全球环境变化(特别是气候变化)是近年来科学界和决策界的关注热点^[1-2]，通过气象要素的时空分布特征分析和规律认识，可以指导社会发展规划和生产布局。气候系统作为有序态、随机态和混沌态共存的复杂系统^[3]，既有天气尺度的混沌分量, 还有行星尺度的稳定分量, 其复杂性就表现在混沌分量与稳定分量之间的非线性相互作用上^[4]。降水作为气候系统的重要观测序列，表现出具有非线性、非平稳性等特征，同时还表现出具有不同的时空耦合特征关系。

近年来广泛开展的基于经验正交函数(empirical orthogonal function, EOF)和旋转经验正交函数(rotated empirical orthogonal function, REOF)^[5-6]的气候要素场的量化研究，实现了区域气候场的时空分解。通过EOF可以将气候场分解为空间函数和时间函数，前者描述了气候变量场在整个区域的变率结构，后者则反映了对应的空间模态(空间函数)随时间的权重变化^[7]。如陈少勇等^[8]利用该方法对南方标准化的冬季降水资料进行了分区，同时以分区台站降水均值作为该区的降水代表序列，用以分析各区降水异常的时间变化。徐利岗等^[9]基于EOF/REOF、空间变异函数对流域尺度干旱内陆区山地-绿洲-沙漠系统多地貌单元复合情况下降水的空间结构型及异质性特征进行了探讨。现有研究对EOF/REOF分解得到的空间场讨论较多，而对时间系数关注有限。

极点对称模态分解方法(extreme-point symmetric mode decomposition, ESMD)是一种数据驱动的自适应非线性时变信号分解方法，具有较强的局地特性和自适应性，适合于非平稳、非线性时间序列的分析^[10]，是目前提取时间序列变化趋势与周期的最新方法之一^[11]。本研究尝试采用EOF/REOF^[5-6]和ESMD^[11-12]相结合的方法，利用EOF/REOF方法对冬季降水场进行时空分解和区域划分，进而通过ESMD对不同空间模态对应的时间系数进行量化分析，以达到时空耦合分析的目的。

作为农业大省，山东省气候主要受季风影响，不同季节降水呈现出不同的特点。夏季盛行来自低纬太平洋海面的气流，空气温度高、湿度大，形成暖湿的夏季风^[13]。山东东南沿海的青岛市夏季多年平均降水占到全年降水的57.37%，春季比例15.77%^[14]，从降水比例及造成的农业灾害角度考虑，以往山东降水研究侧重于春季、夏季相对较多^[13]。与受夏季风影响不同，山东省冬季主要受来自欧亚大陆高纬度地区的西伯利亚-蒙古高压气团控制^{[13, 15]}。受此影响，空气温度低、湿度小，形成了偏北向的干冷冬季风，容易造成寒潮、低温、暴雪等灾害，这也成为以往山东省冬季气候研究的重点。山东省冬季降水偏少，即便沿海城市青岛，冬季多年平均降水也仅占到5.05%^[14]，加之造成的危害与夏季风相比较弱，所以以往冬季降水研究较少^[16]。

事实上，冬季降水直接影响到土壤墒情，进而会对作物过冬及春耕备播产生重要影响。作为全国农业大省，山东省粮食产量居全国第2位，并拥有全国最大的蔬菜基地^[17]。可见，研究山东省冬季降水空间场的型式特征及时间规律，对于合理规划和指导农业生产，积极预防灾害具有重要的指导意义。

该文所需数据来自中国国家气象信息中心，数据监测最小时间尺度为12h。在统计各月数据基础上，将本年12月和翌年1月、2月作为本年冬季降水数据，时间尺度为从1961年到2018年。考虑到各气象站具体开始测量时间及中间间断的实际，结合后期EOF空间模态函数插值的需要，本研究共用山东省及周边省份的31个气象站点数据，站点分布如图 1所示。对于其中个别站点少数年份的缺测数据，则是将其看做区域化变量，在对其变异函数和结构分析基础上，通过同年份冬季降水数据的空间克里格插值方法获得。

图 1(Fig. 1)

图 1 山东省及周边省份气象站点(+)、冬季多年(1961—2018)平均降水量等值线分布图 Fig. 1 Distribution of weather stations (+) in Shandong province and its surrounding provinces, the contour of annual average precipitation in winter for 1961—2018

数据分析采用EOF/REOF和ESMD相结合的方法。EOF/REOF是气候诊断中广泛应用的方法，而ESMD作为近年来应用于时间序列变化分析的最新方法之一，主要借鉴EMD(empirical mode decomposition)^[18]思想，将外部包络线插值改为内部极点对称插值，借用“最小二乘”的思想来优化最后剩余模态使其成为整个数据的“自适应全局均线” (adaptive global mean curve, AGM)，并由此来确定最佳筛选次数^[12]。原始数据经过ESMD分解，可以产生数个模态(modes)和1条最佳的AGM，其中modes对应于EMD中的本征模函数(intrinsic mode function, IMF)分量，AGM对应于剩余模态R或趋势项。

主要分析步骤为：首先通过EOF将随时间变化的气象要素场分解为空间函数和对应的时间函数，并对其进行信号的显著性检验，本研究采用North准则检验^[19]和累计方差贡献率^[6]的双重检验，以判断分解得到的空间模态是有物理意义的信号还是噪声；然后，一方面对通过检验的空间函数进行方差最大正交旋转以得到旋转因子的载荷向量，另一方面通过ESMD分解各模态型场的时间系数(time coefficient, TC)，在分解得到的趋势项R对应最小方差比率时即达到最佳筛选次数，则ESMD筛选分解会自动停止，分别得到各时间系数的IMF分量和趋势项R。在此基础上，通过快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)计算各时间系数IMF的平均周期^[20]，同时计算各IMF的方差贡献^[6]。所涉及方法具体计算算法请参见相关文献^{[6, 12, 18, 20]}，在此不再赘述。

山东省冬季多年平均降水如图 1所示，可以看到西北地区冬季多年平均降水13mm左右，而东南地区则达到47mm，整体呈由东南向西北逐渐减小的分布态势。这是由于山东冬季降水主要是受来自于西伯利亚的冬季风影响有关，来自于西伯利亚的干冷空气大大降低了山东省西北地区的降水概率。除了大范围冬季干冷气流的影响之外，在鲁中地区可以看到，冬季降水明显受到泰沂山地地形的叠加扰动。而在胶东半岛则存在由大气环流、地形和海陆分布共同影响的区域性次天气尺度的定常扰动，并产生冬季明显不同于内陆的山东半岛特有的局地性气候特征^[21]。

在理想化的非线性Lorenz系统中，与距平值相比，距平标准化模式的统计特征更接近原型场^[22]。据此，本研究在处理数量过程中首先对冬季降水数据进行距平标准化，在此基础上进行EOF/REOF量化分析。

通过North准则检验^[19]和累计方差85%贡献率^[6]的双重检验，EOF得到的前3个空间函数通过95%置信水平检验，并且其累计方差占到总方差的85.47%(表 1)，意味着经EOF分解出的前3个空间函数具有相对明确的物理意义信号。

表 1(Tab. 1)

表 1 前3个EOF/REOF模态方差贡献 Tab. 1 Variance contribution by each of the first three modes from EOF/REOF   % 空间模态 Spatial mode 旋转前Before rotate(EOF) 旋转后After rotate(REOF) 方差贡献 Variance contribution 累积方差 Cumulative variance 方差贡献 Variance contribution 累积方差 Cumulative variance 1 68.70 68.70 34.17 34.17 2 10.39 79.09 30.20 64.37 3 6.38 85.47 21.10 85.47 Notes：EOF stands for empirical orthogonal function. REOF stands for rotated empirical orthogonal function.

表 1 前3个EOF/REOF模态方差贡献 Tab. 1 Variance contribution by each of the first three modes from EOF/REOF

EOF展开得到的前几个特征向量最大限度地表征气候变量场在整个区域的变率分布结构^[6]，反映的是大范围的空间分布特征。通过EOF分析发现(如图 2虚线部分)，第1模态数值符号一致，全部为正值，表明山东省冬季降水空间变率呈现整体一致变化；第2模态数值有正有负，且呈现西北-东南反向分布，表明该模态的冬季降水表现为西北多-东南少或者西北少-东南多的反向分布模式；第3模态数值同样有正有负，表明具有东北-西南反向的分布形式。同时每种特征向量场的高值区域即冬季降水变化敏感地区有所不同，第1模态敏感区域主要集中于鲁中南山地一带，第2模态敏感区域分别位于鲁西北和鲁东南，第3模态敏感区域分别位于鲁西南和胶东半岛。

图 2(Fig. 2)

图 2 山东省冬季降水场EOF(等高线虚线)和REOF(等高线实线)空间模态分布图 Fig. 2 Distributions of spatial modes from EOF (dashed contours) and REOF (solid contours) for winter precipitation in Shandong province

3种模态中第1空间模态占冬季降水年际变化总方差的68.70%，远高于其他模态的贡献率，表明降水总量的一致变化是山东省冬季降水年际变化最主要的变化特征，也是山东省冬季降水场的主要空间分布形式。该空间型式与高留喜等分析得出的春季降水的3种空间分布类型^[15]基本一致，同时也与中国冬季降水的总体特征^[16]保持一致，说明山东冬季降水受宏观大尺度因素影响更为明显。

通过REOF分析得到的各个主成分方差贡献如表 1所示，可以看到前3个主分量旋转得到的旋转因子载荷向量，即空间模态，保存了主要的降水信息，得到前3个主要旋转空间函数如图 2实线部分所示。

从图 2可以看到，REOF所得3种模态的符号均呈现一致的特点，符号的一致性说明山东冬季降水变化一致，且形成了以高载荷地域为中心的空间分布结构。其中>0.6的区域主要分布于东南、北部和西部，这意味着这3个地区的冬季降水异常有相对明显的区域特征。当然，这种型场是相对的，1个型场仅表示侧重于表示1个地区，但不是仅限于1个地区。同时，从3种模态的方差贡献来看，前3个REOF模态方差贡献占比分别为34.17%、30.20%和21.10%，说明与东南型和北部型冬季降水异常是山东冬季降水变率的最重要部分，其中又以东南型更为明显。同时，由于格点资料为距平标准化数据，说明以东南为中心的冬季降水异常的空间尺度最大。

冬季降水场作为一个复杂系统，既受到全球性因子的控制，也有区域性和局地型因子的影响。EOF分析得出的山东省冬季降水场主要表现为整体一致变化，说明其主要应该受到大范围宏观气流因素影响，相关研究表明山东冬季主要受西北偏西气流控制^[23]；而西北-东南和东北-西南两种反向的空间分布模式，以及REOF空间载荷聚类显示山东冬季降水场所具有的东南、北部和西部3个分类区划，则与山东省地处副热带与西风带和南北气候的过渡地带，以及北太平洋及黄、渤、东海海温对山东气候的反馈作用有关。在此背景下，山东省冬春季节的农耕备播更多需要考虑省域基础上冬季降水的整体变化，同时，还需兼顾西北-东南和东北-西南型场的两种反向降水变化模式带来的影响。在农业冬季降水区划上，可以考虑划分为山东北部、东南和西部3个分区，以此为依据合理安排农业春耕备播。

为验证分解结果的可靠性，通过将IMF和趋势项R重构序列, 发现重构序列与原始时间系数序列完全重合, 表明ESMD方法具有完备性, 分解结果可信。同时，各时间系数分解得到的IMF各自反映了原序列中固有的不同特征尺度的振荡，通过FFT方法^[20]计算得到各IMF的周期如表 2所示。

表 2(Tab. 2)

表 2 冬季降水空间模态对应时间系数分解得到的各IMF分量的周期、方差贡献率、相关系数及P值 Tab. 2 Cycles, variance contributions, correlation coefficients and P values of IMFs for time coefficients (TCs) corresponding to spatial modes of winter precipitation 时间系数 Time coefficient 周期 Cycle/a 方差贡献 Variance contribution/% 相关系数 Correlation coefficient P TC1 IMF1 2.90 71.38 0.84 0 IMF2 5.27 15.23 0.18 0.18 IMF3 11.60 6.09 0.31 0.02 R 29.00 7.31 0.22 0.10 TC2 IMF1 2.52 84.21 0.92 0 IMF2 8.29 14.05 0.31 0.02 R 29.00 1.74 0.11 0.41 TC3 IMF1 3.63 72.17 0.83 0 IMF2 6.44 10.85 0.45 0 IMF3 14.50 16.18 0.44 0 R 58.00 0.81 0.12 0.36 Notes: IMF stands for intrinsic mode function for each time coefficient. R is residual mode or trend item.

表 2 冬季降水空间模态对应时间系数分解得到的各IMF分量的周期、方差贡献率、相关系数及P值 Tab. 2 Cycles, variance contributions, correlation coefficients and P values of IMFs for time coefficients (TCs) corresponding to spatial modes of winter precipitation

从表 2可以看到，第1空间模态即东南型时间系数具有准2.90年、准5.27年、准11.60年和准29年的主周期，表明山东冬季降水在年际尺度上具有准2.90年和准5.27年的周期特征，年代际尺度上有准11.60和准29年的周期特征。方差贡献率体现了各IMF分量对原始序列的重要程度，准2.90年的IMF方差贡献率最大, 达到71.38%，同时，该IMF1分量与原序列的相关性最高，相关系数达到0.84，并通过了1%的显著性水平检验，说明准2.90年周期震荡是东南型冬季降水异常的主要变化周期。与之相比，年际准5.27年周期所属的IMF2与原序列的相关程度相对有限，并且没有通过5%的显著性水平检验。年代际变化中，IMF3的准11.6年周期震荡通过5%的显著性水平检验，占据主导地位；趋势项R对本模态场型时间系数具有一定的贡献，但显著性有限。综上，在山东冬季降水的东南模态场型变化中，主要是由IMF1决定，同时IMF3亦有一定的作用，呈现年际和年代际的双重变化特点，对应的主周期分别为准2.90年和准11.6年。

对于第2空间模态而言，即北部型时间系数则具有准2.52年、准8.29年和准29年的周期。结合方差贡献率、与原序列的相关系数和P值来看，IMF1和IMF2具有准2.52年和准8.29年周期变化分别通过了1%和5%的显著性检验，说明第2空间模态主要表现为以准2.52年和准8.29年的年代际变化为主的准周期震荡特征。第3空间模态的震荡周期变化则相对复杂，IMF1、IMF2和IMF3都通过了1%的显著性检验，对应的周期分别为准3.63年、准6.44年和准14.50年，呈现出既有年际变化也有年代际变化的特点，但从与原序列的相关系数来看，准3.63年周期为主，准6.44年和准14.50年的周期震荡次之。

可以看到，通过ESMD分解得到的IMF，均表现为具有准年代际和年际的双重周期变化，其中又以年际变化为主。通过表 2可以看出, 在年际振荡和年代际振荡中，东南型、北部型和西部型冬季降水模态的年际变化方差贡献分别为86.61%、98.26%和83.02%，3种模态的年际振荡在冬季降水变化中占据主导地位，其中北部型表现最为突出。与年际变化相对的年代际变化中，西部型冬季降水的年代际变化相对较强，而北部型表现相对较弱。

山东冬季降水3个空间模态对应的时间系数进行ESMD分解后，得到的趋势项R如图 3(a)、(b)、(c)所示。从图中可看出，在监测时段内各分区冬季降水异常变化中，东南型呈现波动微弱不显著增加趋势，与之相对的北部型呈现波动微弱不显著减小趋势, 而西部型总体变化不大, 表明各个型场的冬季降水表现出不同的变化趋势。同时，在FFT计算得到的周期方案中(表 2)，各模态时间系数趋势项均检测得到了趋势项的周期成分，说明在监测时段内山东各区域的冬季降水尚没有表现出单一的趋势特征，而是呈现以年代际波动为主的趋势，并未表现出明显的线性变化的趋势特点。

图 3(Fig. 3)

图(a)、(b)和(c)分别为第1、2、3空间模态的时间系数通过ESMD分解得到的本征模函数IMF和趋势项R，图(d)为时间系数的年际变化和年代际变化。纵坐标IMF1-3分别为对应时间系数ESMD分解得到的IMF分量。 Fig.(a), (b) and (c) are the intrinsic mode functions (IMF) and trend (R) obtained from ESMD decomposition of time coefficients of spatial mode 1, 2 and 3 respectively, Fig.(d) is the inter-annual and inter-decadal changes of time coefficients. The ordinate IMF1-3 represent the IMF components obtained by ESMD decomposition of the corresponding time coefficients, respectively. 图 3 山东冬季降水各模态时间系数ESMD分解的IMF分量和趋势项以及其年际和年代际变化 Fig. 3 IMFs and trend component from ESMD decomposition of the time coefficients for different modes of winter precipitation in Shandong and their inter-annual and inter-decadal variations

从随时间的变化来看，3种模态时间系数分解得到的R趋势项波动起伏程度状态不一，其中第1模态的R起伏最大，并经历了一个“增—减—增—减”的周期性波动趋势变化过程，表现为10%显著性水平下的准29年周期趋势变化(表 2)，其中20世纪70年初期和90年代中期处于正值峰值段，说明这一时期山东冬季降水的东南型模态特征最为典型，结合空间模态的正负符号，表明该时期冬季降水较多；与之相比，1960年前后、1980年左右和2010年以来处于谷值期，表明这一时期的东南型冬季降水表现为降水较少的特征。第2模态时间系数的R趋势项起伏程度居中，在20世纪90年代末期作为分界，之前和之后北部型冬季降水呈现不同的变化特点，之前为微弱起伏变化，之后为深幅调整。第3模态时间系数起伏最小，变化缓慢，趋势不明显。从周期特征来看，第1和第2模态具有不显著的准29年周期趋势变化。

分别将各模态时间系数中代表年际IMF、年代际IMF和趋势项分别相加，得到各模态时间系数的年际和年代际变化曲线(图 3(d))。年际变化可认为是由滤掉大尺度振荡，可表征ESMD分解的各模态冬季降水年际变化趋势，而年代际变化可认为是由滤掉小尺度振荡，可表征ESMD分解的各模态冬季降水年代际变化趋势。

纵观冬季降水模态的年际变化(图 3(d)虚线所示)，除在个别具体年份变化态势具有差异外，3模态整体呈现相类似的变化，均在20世纪80年代中期到2000年左右具有较高的变化幅度，之后趋于相对和缓变化。从年代际变化来看，东南型和北部型趋势项均具有相同的准29年周期趋势(表 2)，但从年代际变化态势来看(图 3(d)实线)，东南型(即TC1)和西部型(即TC3)年代际变化趋向更为相似，尤其是20世纪80年代到2010年前后冬季降水具有相类似的变化态势，说明鲁东南型和鲁西型冬季降水可能具有相类似的年代际变化影响机制，但目前对其产生过程和影响机制尚不完全明确，这也是以后研究的重点。

1) EOF分析表明山东冬季降水空间变率呈现整体一致、西北-东南反相位及东北-西南反相位3种主要分布型式，其中降水变率的一致性是山东省冬季降水年际变化主要空间分布模式，这与山东冬季主要受西北偏西气流控制有关。

2) REOF分析同样揭示出山东冬季降水变化一致，且形成了以鲁东南、鲁北和鲁西为高载荷地域为中心的空间分布结构，其中东南型和北部型冬季降水异常是山东冬季降水变率的主要组成，该特点与山东独特的地理位置以及东南沿海海温对山东气候的反馈作用有关。

3) ESMD对3种模态时间系数分析表明，山东冬季降水以年际震荡变化为主，且北部型年际变化表现最为突出。从年代际变化态势来看，东南型和西部型更为相似，表现出相类似的变化态势，说明此2种型场可能具有相类似的年代际变化影响机制。

4) ESMD分解得到的各模态趋势项R均显示以年代际的波动为主导，并未表现出明显的线性变化的趋势，说明监测时段内3种模态的山东冬季降水均没有表现出明显的单一的趋势特征。