梯田既是一项水土保持工程措施，也是一项改善农业生产条件的重要措施，是人类创造的一种十分重要的土地资源^[1]。在我国梯田建设中，以黄土高原梯田分布面积最广，截至2015年底，仅水平梯田面积已达345.25万hm^2[2]。由于黄土梯田可以有效提高土壤墒情，增加粮食产量，减少水土流失^[3]，所以成为黄土丘陵地区坡耕地水土流失治理中，采用最广泛、最重要的水土保持工程措施^[4]。黄土梯田的合理设计保证了梯田功能的实现和运行，但是由于梯田的实施者多为农民群众，仅凭经验进行设计施工，随意性较强^[5]。因此，修筑的梯田规格、质量不一，不仅没有发挥出梯田对农业生产的促进作用；反而由于设计的不尽合理，加之在全球气候变化导致极端暴雨事件频发的背景下，使得梯田滑坡灾害时有发生^[6-7]。因此，研究如何在保证边坡稳定的前提下，合理设计黄土梯田断面，对于我国黄土丘陵地区农业发展和生态安全具有重要的理论和实践意义。

虽然目前对降雨边坡稳定性的研究较多，但是专门针对降雨条件下黄土梯田边坡稳定的文献较少，且大部分集中在降雨强度和历时、土壤强度参数(黏聚力、摩擦角、变形模量等)等对稳定性的影响，少有分析梯田设计参数对安全系数影响的研究^[8-10]；即使有些文献涉及到，也是在无降雨的条件下研究梯田设计参数对安全系数的影响，这与梯田滑坡主要发生在降雨期间的实际情况明显不符^[11-13]；而且，现有研究都没有给出降雨条件下梯田设计参数如何影响安全系数(即敏感性分析)，也没有给出梯田稳定性的优化设计方案。为此，笔者采用通用有限元软件ABAQUS，建立降雨条件下的黄土梯田稳定性分析有限元仿真模型，通过正交试验设计，研究田面宽度、田坎坡度、地面坡度3个设计参数对水平梯田稳定性的影响，并采用2次改正极差法计算各设计参数的敏感性，研究结果可为黄土梯田的优化设计提供参考。

取样地点位于宁夏固原市隆德县沙塘镇锦华村(E 106°03′，N 35°34′；海拔2054m)、杨河村(E 105°56′，N 35°36′；海拔2052m)、沙塘村(E 105°59′，N 35°35′；海拔1998m)。野外用三轴实验专用环刀在梯田田坎下部实方分层取样(每层深度25cm，分4层)，每层取3次重复。将环刀带回实验室后，采用三轴压缩试验测定黄土的摩擦角、黏聚力、弹性模量等参数。采用常水头土壤渗透仪测定黄土饱和渗透系数k_s；利用液塑限联合测定仪测定黄土的液限。其他黄土参数的测定方法参照GB/T 50123—1999《土工实验方法标准》进行^[14]。试验结果见表 1。

表 1(Tab. 1)

表 1 模型中的土壤参数 Tab. 1 Soil parameters in model 土壤类型 Soil type 弹性模量 Modulus of elasticity/ MPa 泊松比 Poisson′s ratio 黏聚力 Cohesion stress/ kPa 内摩擦角 Internal friction angle/ (°) 干密度 Dry density/ (kg·m-3) 初始孔 隙比 Void ratio 饱和渗透 系数 Saturated permeability/ (mm·h-1) 初始 饱和度 Initial saturation/ % 饱和体积 含水率 Saturated volumetric water content/% 剪胀角 Dilation angle/ (°) 液限 Liquid limit/% 黄土Loess 20 0.30 25 20 1300 1.105 216 33.18 53.20 0.1 29.90 注：泊松比和剪胀角的取值来源于文献[15-17]。Notes: Values of Poisson′s ratio and dilation angle are derived from literature [15-17].

表 1 模型中的土壤参数 Tab. 1 Soil parameters in model

梯田设计参数主要包括：1)梯田类型。目前常见的有水平梯田、隔坡梯田、反坡梯田等。2)田面宽度。又细分为田面毛宽、田面净宽等^[1]，本文的田面宽度是指田面净宽。3)地面坡度。4)田坎坡度。5)田坎高度。实践中，在填挖方平衡的条件下，当确定了梯田类型、田面宽度、地面坡度、田坎坡度后，田坎高度是一定值^[5]，因此文中水平梯田的设计参数只有3个。此外，文中的梯田设计参数取值范围参考了国家标准《水土保持综合治理技术规范——坡耕地治理技术》附录A(中国北方梯田断面尺寸参考值)和野外实地调研结果。

本文的梯田类型共有3种：水平梯田、隔坡梯田、原始边坡(对照)。模型中地面坡度分别为15°、18°、21°、24°；田面宽度依次为8、9、10、11m；田坎坡度为55°、60°、65°、70°，各设计参数取值范围及水平见表 2。梯田宽L₁=100m，排水边界L₂=10m(此处孔隙水压力u=0), 坡底高为H₂=5m，其他参数均为变量(图 1)。梯田边坡侧面X方向约束(X=0)、底面完全约束(X=0，Y=0)，梯田表面不做任何约束。模型中黄土的本构模型弹性部分采用各向同性线弹性模型，塑性部分采用Mohr-Coulomb塑性模型。其中网格划分单元类型为CPE4P(四结点平面应变四边形单元, 双线性位移, 双线性孔压)，大小为0.5m。采用强度折减法^[18](c′-φ′ reduction technique)计算梯田安全系数F_s，即用折减系数F对强度参数c和φ进行折减，直至计算不收敛，此时的折减系数即为安全系数F_s，表达式如下：

表 2(Tab. 2)

表 2 梯田各设计参数取值范围及水平 Tab. 2 Range and level of design parameters in terraces 水平 Level 设计参数Design parameters 地面坡度 Slope of ground/(°) 田坎坡度 Slope of ridge/(°) 田面宽度 Field width/m 1 15 55 8 2 18 60 9 3 21 65 10 4 24 70 11 取值范围Range of parameters 15~24 55~70 8~11

表 2 梯田各设计参数取值范围及水平 Tab. 2 Range and level of design parameters in terraces

图 1(Fig. 1)

图 1 梯田模型示意图 Fig. 1 Schematic diagram of terrace models

式中：c为土壤的黏聚力，kPa；c′为折减后的土壤的黏聚力，kPa。φ为土壤的内摩擦角，(°)；φ′为折减后的土壤的内摩擦角，(°)；F为折减系数。

利用方差分析结合实地调研筛选出最佳梯田类型后，采用正交试验的方法研究田面宽度、地面坡度、田坎坡度3个设计参数对安全系数F_s的敏感性。选用3因素4水平正交表L₁₆ (4³)安排试验，试验次数为16次，正交表的设计及数据分析借助数理统计软件SPSS来实现。

参数敏感性的计算参考侯文萃等^[19]与聂兵其等^[20]的方法，借鉴常规极差分析和灰色关联分析法的优点，对极差进行2次改正。即假设灰色关联法求得的各设计参数的灰色关联度为：r₁，r₂，…，r_j，…，r_m，其详细计算方法可参考文献[19-20]。各设计参数的权重值为q₁，q₂，…，q_j，…，q_m，按式(3)计算，其中下标m代表设计参数的总数。

式中：F_ij为因素j在i水平下的安全系数，K_ij为F_ij在不同水平下之和。

由常规极差分析法得到的各设计参数的极差值为R₁，R₂，…，R_j，…，R_m，详细计算方法可参考文献[19-20]，代表计算式如下：

利用式(6)对R_j进行第1次改正，改正后的极差j_j按式(6)计算。

令某设计参数的水平值为s₁，s₂，…，s_n，对第1次改正的极差j_j进行第2次改正，最终极差值M_j按式(7)计算，其中下标n代表设计参数的水平数。

表 3是在不同降雨入渗强度(20~40mm/h，依据《我国年最大1h雨量均值等值线图》设置)和入渗历时(24~168h，依据梯田失稳时间设置)下，3种梯田类型安全系数(F_s)的协方差分析(总样本量924个)。因为主要考虑不同梯田类型之间的差异，所以降雨入渗强度、降雨历时、地面坡度均设置为协变量。为了在相同条件下比较3种不同类型梯田的稳定性差异，这里设置田坎坡度都为60°，田面宽度都为10m。由于安全系数的原始数据不符合正态分布和方差齐次性的要求，在SPSS中对原始数据进行对数转换。从表 3中可以看到，3种梯田类型(水平梯田、隔坡梯田、原始边坡(对照))的安全系数存在极显著差异(F=29.333，P＜0.001)；由多重比较(表 4)可知，水平梯田和隔坡梯田的安全系数极显著高于原始边坡(P＜0.001)；但是水平梯田和隔坡梯田的安全系数并无显著差异(P＞0.05)。表 3中由分布值X的计算公式：X=各因素的Ⅲ类平方和/修正后总计，得到4个影响因素所对应的分布值X分别为：1.073%、31.545%、8.596%、33.506%，这说明对梯田安全系数(F_s)的影响因素：降雨历时>地面坡度>降雨入渗强度>梯田类型。根据数据分析结果，降雨条件下，修筑水平梯田和隔坡梯田其安全系数明显高于原始边坡(对照)；结合实地调研，当地梯田类型绝大多数以水平梯田为主，因此下文选择水平梯田进行优化设计。

表 3(Tab. 3)

表 3 影响梯田安全系数(Fs)的各因素协方差分析 Tab. 3 Covariance analysis of factors affecting safety factor Fs of a terrace 变异来源(因素) Source of variation (factors) Ⅲ类平方和 Square sum of class Ⅲ 自由度 Freedom 均方 Mean square F值 F value P值 P value 分布值X Distribution value X/% 梯田类型Type of terrace 0.365 2 0.183 29.333 0.001** 1.073 地面坡度Slope of ground 10.730 1 10.730 1724.384 0.001** 31.545 降雨入渗强度Rainfall infiltration intensity 2.924 1 2.924 469.899 0.001** 8.596 降雨历时Duration of rainfall 11.397 1 11.397 1831.562 0.001** 33.506 修正后总计Revised total 34.015 923 注：**代表极显著差异，分布值X=各因素的Ⅲ类平方和/修正后总计。Notes: ** represents a very significant difference. Distribution value X=Sum of class Ⅲ square of factors/Revised total.

表 3 影响梯田安全系数(Fs)的各因素协方差分析 Tab. 3 Covariance analysis of factors affecting safety factor Fs of a terrace

表 4(Tab. 4)

表 4 梯田类型对安全系数(Fs)影响的多重比较分析 Tab. 4 Multiple comparative analysis of influence of type of terrace on safety factor Fs 梯田类型 Type of terrace 梯田类型 Type of terrace 平均值差值 Mean difference 标准误差 Standard error 显著性 Significance 95%置信区间 95% confidence interval 下限 Lower limit 上限 Upper limit 水平梯田Level terrace 隔坡梯田Alternate terrace -0.001 0.006 0.920 -0.013 0.012 原始边坡Original slope 0.042 0.006 0.001** 0.029 0.054 隔坡梯田Alternate terrace 原始边坡Original slope 0.043 0.006 0.001** 0.030 0.055 水平梯田Level terrace 0.001 0.006 0.920 -0.012 0.013 原始边坡Original slope 隔坡梯田Alternate terrace -0.043 0.006 0.001** -0.055 -0.030 水平梯田Level terrace -0.042 0.006 0.001** -0.054 -0.029 注：**代表极显著差异。Notes: ** represents a very significant difference.

表 4 梯田类型对安全系数(Fs)影响的多重比较分析 Tab. 4 Multiple comparative analysis of influence of type of terrace on safety factor Fs

水平梯田的设计参数有3个(田坎坡度、地面坡度、田面宽度)，各参数水平及安全系数计算结果见表 5。为了保证试验结果的可靠性，在降雨入渗强度(20~40mm/h)和历时(24~168h)下，试验总样本量达544个；相当于16个试验，每个试验结果重复34次。由表 5的安全系数F_s计算结果，可得各设计参数的K_1j、K_2j、K_3j和K_4j(K_ij是因素j在i水平下的安全系数之和)，再由K_ij计算得到各设计参数的极差值R_j。表 6的未经改正的极差R_j结果为：地面坡度(2.682±0.080)＞田坎坡度(0.059±0.007)＞田面宽度(0.049±0.006)，也就是未经改正前设计参数的敏感性排序为：地面坡度＞田坎坡度＞田面宽度。表 6还反映出地面坡度的K_ij随地面坡度的增加而减小(最大值为8.213±0.119，对应水平为18°)；田坎坡度的K_ij随田坎坡度的增加变化规律不明显(最大值为6.817±0.066，对应水平为65°)；田面宽度的K_ij随田面宽度的增加先增大后减小(最大值为6.809±0.067，对应水平为9m)，可见这时水平梯田的最优设计组合为：地面坡度=18°、田坎坡度=65°、田面宽度=9m。

表 5(Tab. 5)

表 5 正交试验计算结果(安全系数Fs) Tab. 5 Results of orthogonal test (safety factor Fs) 试验序号 Test serial number 田坎坡度 Slope of ridge/(°) 地面坡度 Slope of ground/(°) 田面宽度 Field width/m 安全系数 Safety factor Fs 1 55 18 9 1.795±0.017 2 55 15 8 2.056±0.030 3 60 24 10 1.385±0.009 4 55 21 10 1.558±0.012 5 70 21 9 1.556±0.012 6 55 24 11 1.384±0.009 7 70 15 11 2.048±0.033 8 65 24 9 1.398±0.010 9 65 21 8 1.563±0.012 10 70 24 8 1.370±0.010 11 65 18 11 1.807±0.017 12 60 18 8 1.781±0.017 13 60 21 11 1.543±0.011 14 60 15 9 2.060±0.029 15 70 18 10 1.805±0.017 16 65 15 10 2.049±0.027

表 5 正交试验计算结果(安全系数Fs) Tab. 5 Results of orthogonal test (safety factor Fs)

表 6(Tab. 6)

表 6 各设计参数极差分析 Tab. 6 Range analysis of design parameters Kij 田坎坡度 Slope of ridge 地面坡度 Slope of ground 田面宽度 Field width K1j 6.792±0.038 8.213±0.060 6.769±0.038 K2j 6.769±0.036 7.196±0.034 6.809±0.037 K3j 6.817±0.036 6.219±0.024 6.797±0.035 K4j 6.779±0.040 5.537±0.019 6.783±0.040 Rj 0.059±0.040 2.682±0.080 0.049±0.006

表 6 各设计参数极差分析 Tab. 6 Range analysis of design parameters

由灰色关联法计算各设计参数的关联度矩阵r_j(式(8))，可知田坎坡度、地面坡度、田面宽度3个设计参数对安全系数F_s的敏感性顺序为：田面宽度(0.705±0.015)>田坎坡度(0.525±0.048)>地面坡度(0.463±0.077)。再由式(3)~(7)计算2次改正后的极差M_j(表 7)，最终可知田坎坡度、地面坡度、田面宽度3个设计参数对安全系数F_s的敏感性排序为：地面坡度(0.081)>田面宽度(0.007)>田坎坡度(0.001)，地面坡度对安全系数的敏感性是田面宽度的12倍，是田坎坡度的81倍；田面宽度对安全系数的敏感性是田坎坡度的7倍。

表 7(Tab. 7)

表 7 权重值及改正后的极差值 Tab. 7 Weight value and corrected range 参数 Parameter 田坎坡度 Slope of ridge 地面坡度 Slope of ground 田面宽度 Field width qj 0.310 0.273 0.416 jj 0.018 0.732 0.020 Mj 0.001 0.081 0.007 注：qj为设计参数权重值，jj为对极差的第一次改正值，Mj为对极差的第二次改正值。Notes: qj is the weight value of design parameters, and jj is the first corrected value of range, and Mj is the second corrected value of range.

表 7 权重值及改正后的极差值 Tab. 7 Weight value and corrected range

式中X₁、X₂、X₃分别为田坎坡度、地面坡度、田面宽度对安全系数F_s的敏感性。

笔者通过在不同降雨入渗强度(20~40mm/h)和历时(24~168h)下的共924次模拟试验结果，分析了水平梯田、隔坡梯田、原始边坡(对照)在降雨入渗条件下的稳定性差异。结果表明修筑梯田比不修筑梯田(原始边坡)可以明显提高边坡的安全系数，这一结论被很多研究所证明^{[2, 5-6, 10, 13]}。但是，也有研究认为修筑梯田会降低边坡的安全系数，如：程圣东等^[5]研究得出，15°坡面修筑梯田安全系数降低45%，25°坡面修筑梯田安全系数降低73%，且安全系数与田坎坡度和田面宽度成反比，但是该研究没有考虑降雨这个重要条件，因而得出的结论与本文不一致。作者认为不考虑降雨条件的梯田设计参数研究是没有意义的，据统计由降雨导致的黄土滑坡占总滑坡数量的68.5%^[17]；另外，表 3也证明了降雨历时和入渗强度2个降雨参数对梯田安全系数有极显著影响，因此这类研究不能忽视降雨的作用。考虑降雨入渗后，边坡稳定性规律更加复杂，其安全系数并不是由单个参数所决定，而是存在明显的多参数交互作用和最佳组合^[21-23]。正如本文表 6反映的，田坎坡度、地面坡度、田面宽度3个水平梯田设计参数，除了地面坡度增加安全系数减小规律较明显外，其他2个参数与安全系数的关系并非呈线性变化，而是存在一个最佳组合，在本文的设计参数水平下是：地面坡度=18°、田坎坡度=65°、田面宽度=9m。因此，可以利用正交试验结合极差分析进行梯田的优化设计。

根据作者的现场调查和资料分析，目前黄土丘陵地区的梯田基本上是水平梯田，因为水平梯田相对于隔坡梯田具有施工方便，土地利用率高等特点；加之，通过表 4的分析，降雨条件下水平梯田和隔坡梯田的稳定性并无显著差异(P=0.920＞0.1)。因此，作者选择水平梯田进行正交试验，分析设计参数对安全系数的敏感性。笔者共得到了3种敏感性排序(表 6、式(8)、表 7)，很明显3种排序结果并不一致，这是由于未经改正的极差R_j因其参数量纲不一致，且各参数的数值差别较大，导致按照该方法算得的安全系数可比性较差^[19]；灰色关联分析法虽然对参数的数值进行了量纲归一化处理，弥补了未经改正极差的量纲不一致这一缺陷，但是计算的关联度没有考虑各参数的权重^{[20, 23]}。此外，从表 6中可以看到，未经改正的田坎坡度、田面宽度2个参数的极差R_j差别并不是很大，同样的式(8)中的关联度矩阵r_j的差别也并不是很大，但是表 7中经过2次改正后的极差M_j却差异很大(地面坡度的敏感性是田面宽度12倍，是田坎坡度的81倍；田面宽度的敏感性是田坎坡度的7倍)，所以基于二次改正的敏感性排序可以有效避免由于试验误差引起的错误排序，因此敏感性排序更加准确。经过对本文结果的分析和讨论，可以得出以下结论：

1) 修筑水平梯田或隔坡梯田比不修筑梯田(原始边坡)可以明显提高黄土边坡的稳定性，但是水平梯田和隔坡梯田的稳定性没有显著差别，优先选择水平梯田作为黄土丘陵地区的梯田类型。

2) 地面坡度、田面宽度、田坎坡度3个水平梯田设计参数，地面坡度对边坡稳定的敏感性最高(是田面宽度12倍，是田坎坡度的81倍)，其次为田面宽度(是田坎坡度的7倍)，最低为田坎坡度。

3) 进行水平梯田设计时地面坡度越小越好，而田面宽度和田坎坡度的取值要进行极差分析后，才能确定最佳组合；在无法改变地面坡度时，要特别注意田面宽度的设计，才能使黄土梯田更加稳定。