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  核技术  2018, Vol. 41 Issue (7): 070604   DOI: 10.11889/j.0253-3219.2018.hjs.41.070604
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毕璇璇, 孙光耀, 郝丽娟, 宋婧, 胡丽琴. 基于共轭通量的蒙特卡罗临界硼浓度搜索方法[J]. 核技术, 2018, 41(7): 070604. DOI: 10.11889/j.0253-3219.2018.hjs.41.070604.
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BI Xuanxuan, SUN Guangyao, HAO Lijuan, SONG Jing, HU Liqin. Monte Carlo critical boron concentration search method based on adjoint flux[J]. Nuclear Techniques, 2018, 41(7): 070604. DOI: 10.11889/j.0253-3219.2018.hjs.41.070604.
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基金项目

国家自然科学基金(No.11605233)、国家磁约束核聚变能发展研究专项(No.2014GB112000)、中国科学院合肥物质科学研究院院长基金(No.YZJJ201618)资助

第一作者

毕璇璇, 男, 1992年出生, 2015年毕业于中国石油大学(华东), 现为硕士研究生, 从事中子输运理论相关研究

通信作者

宋婧, E-mail:jing.song@fds.org.cn

文章历史

收稿日期: 2017-09-30
修回日期: 2018-03-23
基于共轭通量的蒙特卡罗临界硼浓度搜索方法
毕璇璇1,2, 孙光耀1, 郝丽娟1, 宋婧1, 胡丽琴1,2     
1. 中国科学院核能安全技术研究所 中子输运理论与辐射安全重点实验室 合肥 230031;
2. 中国科学技术大学 合肥 230026
摘要: 临界硼浓度搜索是反应堆设计和物理分析的重要组成部分。本文针对传统搜索方法需要多次临界计算、效率低的问题,发展了一种基于共轭通量的蒙特卡罗临界硼浓度搜索方法。该方法将临界硼浓度搜索视为微扰问题,采用共轭通量法进行微扰计算,并在蒙特卡罗模拟中使用反复裂变几率法计算共轭通量,只需对系统进行一次临界计算,就可以得到系统初始的共轭通量以及有效增殖因子对硼浓度变化的响应系数,使用该响应系数可直接计算得到系统临界硼浓度。西屋公司标准17×17组件模型的数值验证结果表明:本文方法可以有效应用于临界硼浓度搜索。
关键词: 临界搜索    共轭通量    反复裂变几率    微扰    SuperMC    
Monte Carlo critical boron concentration search method based on adjoint flux
BI Xuanxuan1,2 , SUN Guangyao1 , HAO Lijuan1 , SONG Jing1 , HU Liqin1,2     
1. Key Laboratory of Neutronics and Radiation Safety, Institute of Nuclear Energy Safety Technology, Chinese Academy of Sciences, Hefei 230031, China;
2. University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China
Received date: 2017-09-30; revised date: 2018-03-23
Supported by National Natural Science Foundation of China (No.11605233), National Special Program for ITER (No.2014GB112000), President of Chinese Academy of Sciences Foundation for Young Spark Project (No.YZJJ201618)
First author: BI Xuanxuan, male, born in 1992, graduated from China University of Petroleum in 2015, master student, focusing on neutron transport theory.
Corresponding author: SONG Jing, E-mail: jing.song@fds.org.cn
Abstract: Background: Critical boron concentration search is considered as an important part of reactor design and analysis, but traditional search method requires multiple criticality calculations, hence low efficiency. Purpose: In order to overcome the disadvantages of the traditional search method, a highly efficient Monte Carlo critical boron concentration search method is developed and verified. Methods: First of all, the critical boron concentration search is treated as a perturbation problem. Then the adjoint flux method is adopted for perturbation calculation whilst the adjoint flux is calculated by the iterated fission probability method in the Monte Carlo simulation. The adjoint flux and the effective multiplication factor on the boron concentration response coefficients of the initial state can be obtained by only one criticality calculation, and the critical boron concentration is directly derived from the response coefficients. Finally verification is made on the standard Westinghouse 17×17 assembly model. Results: The numerical results of verification show a good agreement with reference results. Conclusion: This method can be effectively applied to critical boron concentration search.
Key Words: Criticality search    Adjoint flux    Iterated fission probability    Perturbation    SuperMC    

在反应堆设计和物理分析中,确定临界状态下的硼浓度、控制棒位置等参数非常重要,该过程叫做临界搜索[1]。由于蒙特卡罗法具有适应性强、计算结果准确、易于并行计算等优势,故随着计算机技术的不断发展,蒙特卡罗法在临界搜索中的应用越来越广泛。

传统临界搜索主要采用Newton-Raphson法,它通过不断尝试,进行多次临界计算,直到获得符合临界条件的参数[1]。由于蒙特卡罗临界计算较耗时,而传统方法需要反复进行临界计算,所以不适合蒙特卡罗临界搜索。为了提高临界搜索的效率,国内外学者对蒙特卡罗临界搜索法进行了一些研究。例如,北京应用物理与计算数学研究所邓力等基于中子平衡理论实现临界硼浓度搜索[2];而更多的学者基于微扰理论展开了相关研究,密歇根大学Aaron等[3]使用相关抽样法实现了临界硼浓度搜索;清华大学李泽光等[4]使用微分算符法实现了临界硼浓度搜索。

蒙特卡罗微扰计算方法主要有三类[4]:共轭通量法、微分算符法以及相关抽样法。其中,微分算符法和相关抽样法是传统微扰计算方法,这两种方法在计算微扰对有效增值因子影响时必须要考虑裂变源扰动效应,而裂变源扰动的处理非常困难[5]。共轭通量法不需要考虑裂变源扰动效应,使用时更加方便,并且共轭通量计算结果与考虑裂变源扰动效应的一阶微分算符法结果等效[6]。因此,本文选取共轭通量法作为计算微扰问题的方法进行临界硼浓度搜索的研究。

本文基于FDS凤麟核能团队自主研发的中子输运设计与安全评价软件系统SuperMC[7-11] (Super Multi-functional Calculation Program for Nuclear Design and Safety Evaluation)开展。FDS凤麟核能团队在中子学分析与程序开发、堆芯设计[12-15]与材料研究[16-19]、核能安全研究、实验及核技术应用[20-21]等方面具有丰富的研究经验和突出的研究成果。本文研究在蒙特卡罗程序中使用反复裂变几率计算共轭通量的问题,发展了一种基于共轭通量的蒙特卡罗临界硼浓度搜索方法。该方法只需对系统进行一次临界计算,就可以得到系统初始的共轭通量以及有效增殖因子对硼浓度变化的响应系数,进而计算得到临界硼浓度。

1 共轭通量计算方法

基于共轭通量进行临界硼浓度搜索,关键在于共轭通量的求解。共轭通量的物理意义是中子价值,本身不具有“通量”的含义。中子价值的定义[22]为:在临界反应堆中,一个运动方向为Ω、能量为E的中子投放到位置r处所引起的对该系统稳定功率的贡献。1965年,Hurwitz[23]指出:系统在临界状态下,由一个中子引起的每代裂变反应次数在中子代数趋于无穷时会趋近于一个极限值,该极限值即为此中子引发的反复裂变几率,等同于中子价值,可以使用反复裂变几率替代共轭通量。

根据反复裂变几率的物理含义,蒙特卡罗程序模拟粒子输运的过程可以分为三个阶段[24]:第一阶段,统计源中子的个数;第二阶段,跟踪源中子发生裂变反应产生的后代中子;第三阶段,统计属于相同的源中子的后代中子的个数,得到反复裂变几率的大小。反复裂变几率示意图如图 1所示。

图 1 反复裂变几率法示意图 Figure 1 Schematic diagram of iterated fission probability method
2 临界硼浓度搜索方法

微扰理论的基本方程[22]

$ \left\langle {{\phi ^ * }, \mathit{\boldsymbol{P}}\phi } \right\rangle {\rm{ = }}0 $ (1)

式中:ϕ=ϕ(r, E, Ω)为中子通量密度;ϕ*=ϕ*(r, E, Ω)为共轭中子通量密度;P为扰动算符,包括裂变源项算子F、除裂变源项算子以外的其他输运算子Lkeff等在内的系统内各种参数的微小扰动。

假设由于某种原因在系统内引入某种扰动,算子LF获得相应扰动。为保持系统临界,其特征值λ(λ=1/keff)亦给予相应的扰动δλ,即LFλ扰动后分别为:

$ \mathit{\boldsymbol{L'}} \to \mathit{\boldsymbol{L}} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{L}}{\bf{、}}\mathit{\boldsymbol{F'}} \to \mathit{\boldsymbol{F}} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{F}}{\bf{、}}\lambda ' \to \lambda + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\lambda $

因而扰动算符PL-λδFλF[25],根据扰动方程(1),得到:

$ \left\langle {{\phi ^*},{\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{L}}\phi } \right\rangle - \left\langle {{\phi ^*},\lambda {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{F}}\phi } \right\rangle - \left\langle {{\phi ^*},{\rm{ \mathsf{ δ} }}\lambda \mathit{\boldsymbol{F}}\phi } \right\rangle = 0 $ (2)

根据反应性与有效增殖因子的关系$\rho = \left( {{k_{{\rm{eff}}}} - 1} \right)/{k_{{\rm{eff}}}}$,可得${\rm{ \mathsf{ δ} }}\rho = - {\rm{ \mathsf{ δ} }}\left( {1/{k_{{\rm{eff}}}}} \right) = - {\rm{ \mathsf{ δ} }}\lambda $,因而:

$ {\rm{ \mathsf{ δ} }}\rho = - \frac{{\left\langle {{\phi ^*},{\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{L}}\phi } \right\rangle - \left\langle {{\phi ^*},\lambda {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{F}}\phi } \right\rangle }}{{\left\langle {{\phi ^*},\mathit{\boldsymbol{F}}\phi } \right\rangle }} $ (3)

这便是中子输运方程的扰动方程,δL及δF扰动包括各种截面的变化,如:总的反应截面的变化量δt、裂变反应截面的变化量δf、散射反应截面的变化量δs等。把这些扰动带入式(3)便得到扰动方程:

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ \mathsf{ δ} }}\rho = - \left\{ {\int_0^\infty {{\rm{d}}E} } \right.\int_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} {{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}\int_V {{\phi ^*}\left[ {\phi {\rm{ \mathsf{ δ} }}} \right.} } {\mathit{\Sigma }_{\rm{t}}} - }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\int_{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}}} {{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}}} \int_0^\infty {\phi \left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E',\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}}} \right)} }\\ {\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ \mathsf{ δ} }}{\mathit{\Sigma }_{\rm{s}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}};E',\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}} \to E,\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}} \right){\rm{d}}E' - \frac{\lambda }{{4{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}}} {{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}}} }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\left. {\left. {\int_0^\infty {{\rm{d}}E'{\rm{ \mathsf{ δ} }}\left( {\chi \left( E \right)\nu {\mathit{\Sigma }_{\rm{f}}}} \right)\phi \left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E',\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}}} \right)} } \right]{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{r}}} \right\}/Q} \end{array} $ (4)
$ \begin{array}{*{20}{l}} {Q = \left\langle {{\phi ^*},\mathit{\boldsymbol{F}}\phi } \right\rangle = \frac{1}{{4{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\int_V {{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{r}}} \int_0^\infty {{\rm{d}}E\int_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} {{\phi ^*}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E,\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}} \right)} } {\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\int_0^\infty {{\rm{d}}E'} \int_{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}}} {\chi \left( E \right)\nu {\mathit{\Sigma }_{\rm{f}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E'} \right)} \times \phi \left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E',\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}}} \right){\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} '}}} \end{array} $ (5)

式中:Q为系统内裂变中子的总价值,对于给定稳定系统,它等于常数。

基于上述微扰理论,本文使用反复裂变几率法计算共轭通量,发展了临界硼浓度搜索的方法。对于式(4)左侧δρ,可以由目标值keff=1和初始keff计算得到;式(4)右侧,由于硼浓度的变化对散射截面的变化δs和裂变截面的变化δf以及其他截面的变化影响较小,可以忽略不计,所以δtas≈δa,式(4)可以简化为:

$ - \left( {1 - \frac{1}{{{k_{{\rm{eff}}}}}}} \right) = - \left\{ {\int_0^\infty {{\rm{d}}E\int_\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }} {{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varOmega} }}\int_V {{\phi ^*}\phi {\rm{ \mathsf{ δ} }}{\mathit{\Sigma }_{\rm{a}}}{\rm{d}}\mathit{\boldsymbol{r}}} } } } \right\}/Q $ (6)

通过反复裂变几率方法获取每个栅元、能群的共轭中子通量密度ϕ*(r, E)。同时可以获得系统中慢化剂中硼对中子的吸收率Ra(r, E)和keff。对于式(6)中的Q值,归一化后可以取渐进代裂变中子的权重w。将计算出来的各个变量带入式(6)中,可以得到:

$ \begin{array}{*{20}{l}} { - \left( {1 - \frac{1}{{{k_{{\rm{eff}}}}}}} \right) = - \Sigma {\phi ^*}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E} \right)\phi \left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E} \right)\frac{{{R_{\rm{a}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E} \right)}}{{\phi \left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E} \right)}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{N_{\rm{b}}}/w}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = - \Sigma {\phi ^*}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E} \right){R_{\rm{a}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E} \right){\rm{ \mathsf{ δ} }}{N_{\rm{b}}}/w} \end{array} $ (7)

其中:δNb表示由初始状态到临界状态(即keff=1)下的硼核子密度的变化量,可得到:

$ {\rm{ \mathsf{ δ} }}{N_{\rm{b}}} = w\left( {1 - \frac{1}{{{k_{{\rm{eff}}}}}}} \right)/\left[ {\Sigma {\phi ^*}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E} \right){R_{\rm{a}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{r}},E} \right)} \right] $ (8)

系统初始状态的硼核子密度为Nb,达到临界状态硼核子密度需要的变化量为δNb,所以临界硼核子密度Nb'为:

$ {N'_{\rm{b}}} = {N_{\rm{b}}} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}{N_{\rm{b}}} $ (9)

基于上文对临界硼浓度搜索方法的描述,本文实现的临界硼浓度搜索流程图如图 2所示。

图 2 临界硼浓度搜索流程图 Figure 2 Flow chart of critical boron concentration search
3 数值验证

为了验证本文发展方法的正确性,选取了西屋公司标准17×17组件模型[26]进行数值验证。

3.1 例题描述与计算

基于SuperMC的层次结构建模功能[27-29]对模型的几何、材料、源项、计数等进行建模,如图 3所示。

图 3 压水堆组件模型图 (a)整体图,(b) x=10.71 cm剖面图 Figure 3 Illustration of PWR assembly model (a) Overall diagram, (b) x=10.71 cm section

组件长和宽均为21.42cm,高为20cm,四周采用反射边界条件,燃料材料UO2的密度为30.196g·cm-3,硼水作慢化剂。在KCODE模式下,源中子数为50000,计算200个非活跃代,400个活跃代。本次测试中均使用ENDF/B-Ⅶ.0数据库,采用栅元计数模式统计各个栅元中热群、中间能群、快群的共轭通量及硼对中子的吸收率。

通过计算得出临界硼浓度以后,改变输入文件中的硼浓度,进行临界搜索结果验证。

3.2 计算结果及分析

为了验证该方法的正确性,选取多个初始硼浓度,进行临界搜索。初始硼浓度、初始keff值以及通过上述方法搜索得到的临界硼浓度和验证计算的keff的值如表 1所示。

表 1 临界硼浓度搜索验证结果 Table 1 Critical boron concentration search verification results

通过表 1可知,当初始keff与1相差0.02之内时,通过本文方法得到的硼浓度,可以使keff与1相差小于0.0005,结果比较理想;由于该方法只考虑了一阶扰动的影响,当初始keff与1相差大于0.02时,用搜索到的硼浓度计算得到的keff与1尚有一定差异,需要进一步考虑高阶扰动的影响。

4 结语

为了克服传统临界搜索方法效率低的缺点,本文基于超级蒙特卡罗核模拟软件系统SuperMC发展了一种高效的蒙特卡罗临界硼浓度搜索法。该方法选取共轭通量法作为计算微扰问题的方法,并使用反复裂变几率的统计结果作为共轭通量的估计,仅需一次临界计算,可以获得系统的共轭通量和初始有效增殖因子对硼浓度的响应系数,进而求得临界硼浓度。经验证,该方法计算结果准确,表明了本文方法的正确性与可行性。

致谢 本文工作得到了FDS凤麟核能团队其他成员的帮助和大力支持,在此深表感谢!
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