核反应堆的压力容器在寿期内的完整性对反应堆安全至关重要。压力容器的寿命由压力容器材料的脆化程度和加压热冲击程度所决定^[1]。在核电厂运行过程中，压力容器持续受到高能中子的辐照，其材料性能会逐渐劣化。在压水堆中，一般用材料所受的快中子注量（E > 1.0 MeV或E > 0.1 MeV）来反映材料性能的变化。因此，快中子注量为核电厂的安全运行提供数据支持。离散纵标法(S_N)^[2]是目前用于计算反应堆压力容器快中子注量率的主要方法之一，该方法可以较好地解决计算快中子注量率时的深穿透和各向异性散射问题^[3]。

快中子到达压力容器位置需经历长距离的输运过程，注量率的计算对堆芯和堆内构件的几何材料、截面数据、中子源强、输运求解等参数的改变很灵敏，诸多因素均会影响计算结果的不确定性^[4]。为了有效地分析评估计算结果的可靠性，必须对每个影响因素进行深入的研究分析。以典型压水堆为研究对象，研究分析影响压力容器快中子注量率计算结果的不确定性因素，深入理解引入不确定性的原因。在对各影响因素定性定量分析的基础上，得出规律性的结论，有利于不确定性的全面理解，也有助于我们客观地评价计算结果与实际测量结果的偏差，对提高反应堆压力容器寿命评估的可靠度具有一定的意义。

反应堆压力容器快中子注量率计算过程一般可分为4步进行^[5]：第一步建立堆芯、堆内构件（围板、围筒、吊篮、热屏和中子衬垫）、压力容器、堆焊层和辐照监督管的计算模型，包括材料组成、区域温度和几何尺寸等。第二步根据计算模型和堆芯核设计信息，计算中子源强分布。为更真实模拟反应堆运行情况，采用各裂变核素的裂变谱加权平均后的混合裂变谱，权重系数与堆芯燃耗水平相关，特别是最接近于辐照监督管和压力容器内壁的组件平均燃耗水平。第三步以微观评价核数据库（如ENDF/B、JEF等）为基础，制作精细多群截面数据库，且要求能群数大于100群。对于压力容器快中子注量率计算问题，应选取中、高能区划分较精细的截面库，其中能量大于0.1 MeV能群数大于50-100群，散射截面勒让德展开至少3阶。反应堆屏蔽计算时，可适当对精细截面库进行并群。一般采用一维输运计算模型得到的中子能谱作为权重谱进行并群处理，且要求0.1 MeV以上的能群数至少为20群。此过程使用的国际著名计算程序有NJOY^[6]、AMPX和TRANSX^[7]等。第四步采用离散纵标法进行中子输运过程的求解。对反应堆压力容器快中子注量率的计算问题应满足以下要求：网格的划分必须保证相邻网格的任一群通量密度之比小于2；各向异性散射阶数至少为P₃；求积组阶数最小为S₈；通量密度收敛准则至少为0.001；应保证在设置的内迭代次数内计算值可以达到收敛精度；为避免负通量的产生和提高计算精度，通常采用带权重的差分格式。目前主要采用的计算程序有两维离散纵标输运程序DORT^[8]、三维离散纵标输运程序TORT^[9]和离散纵标屏蔽程序ARES^[10]等。反应堆压力容器快中子注量率计算流程如图 1所示。

图 1

图 1 压力容器快中子注量率计算流程图 Figure 1 Flowchart of reactor pressure vessel fast neutron fluence calculation.

实际上在反应堆压力容器快中子注量率计算问题中，并没有通用的一套处理方法。对于不同的堆型，甚至于同一种类型的反应堆，也会有各自适用的求解方案。如要确定某一反应堆压力容器快中子注量率计算方案，首先需要通过与基准题及实验测量数据对比，不断地优化计算模型和数值求解条件，直至计算值与基准值、测量值的计算偏差符合RG1.190导则的要求，计算策略方可沿用于计算该反应堆的相关屏蔽问题。

在压力容器快中子注量率计算流程中，各个环节的数据、几何模型或离散方法都不同程度地存在一定的简化和近似，从而给计算带来相应的不确定性。不确定性因素主要包括：核数据库、几何材料、中子源强计算和输运求解。以NUREG/CR-6115基准题和典型压水堆为测试例题^[11]，着重分析了中子源强处理方法、各向异性散射截面展开和输运方程空间离散格式三个方面对RPV快中子注量率计算的影响。

在进行中子输运计算时，输运方程中的能量变量采用分群近似方法，因此需要相应的多群截面数据库，并由评价核数据库的基本截面信息产生。核数据引起的快中子注量率计算的不确定性主要有三个方面：评价核数据库、精细多群截面库的制作、问题相关工作库。

评价核数据库中包括了各种核素的微观截面数据，包括吸收、裂变、散射以及裂变能谱等数据。评价核数据是根据核物理测量数据和相应的评价模型综合产生的，由于测量过程和评价模型的不确定性，微观截面都不可避免地存在相应的不确定性，最终导致快中子注量率计算结果的不确定性。不确定性可能主要来于以下几个方面：裂变核素的裂变能谱、每次裂变释放中子数、每次裂变释放能量、⁵⁶Fe的共振散射参数、⁵⁶Fe的高能非弹性散射截面、¹⁶O的共振散射参数。

制作精细多群截面数据库的过程中，能群数目及能群结构的选择、散射截面展开阶数、中子和光子权重谱的选择、共振参数的确定等都引入不确定性。共振自屏处理方法、并群结构、并群权重谱、输运修正方法在问题相关工作库的生成中同样会引入一定的不确定性。

反应堆几何材料的物理特性的不确定性影响快中子注量率计算的不确定性，包括压力容器、堆芯及堆内构件几何尺寸的制造公差和温度的测量误差。对中子通量密度衰减起主要作用的材料（如铁和水）的相关数据需要重点关注，如下降段冷却剂实际温度与名义设计值的偏差等。应提供反应堆实际功率运行下的温度和密度，并充分考虑轴向和径向的堆芯温度差异引起的水的密度的变化。

压力容器的快中子注量率主要由堆芯外围燃料组件的功率决定，且外围组件具有显著的径向功率梯度。在堆芯内部组件采用均匀打混模型的情况下，外围三层组件的径向建模采用pin-by-pin结构相对均匀建模通常产生20%左右的偏差。同时轴向建模需根据实际功率分布分为若干个区域，堆芯组件建模方案的选取会对快中子注量率的结果引入一定的不确定性。

反应堆快中子注量率计算中，堆芯中子源的确定十分关键。中子源强分布的处理包括裂变谱χ、功率源强转换因子C和堆芯功率分布P，同时这些参数的计算存在一定的不确定性。

在反应堆的堆芯中，随着燃耗的加深，其它超铀同位素会逐渐累积。在典型压水堆中由堆芯内部转换产生的钚同位素产生将近一半的能量。钚同位素的裂变谱比²³⁵U的裂变谱偏硬，裂变核素每次裂变释放的能量也存在差异，且每个组件的燃耗深度各不相同，因此裂变核素的选取和燃耗深度的确定都对中子源强的计算造成一定的不确定性。堆芯主要裂变同位素裂变谱与²³⁵U裂变谱比值如图 2所示。

图 2

图 2 238U、239Pu和241Pu核素的裂变谱与235U裂变谱之比 Figure 2 Ratio of 238U, 239Pu and 241Pu fission spectrums to the fission spectrum of 235U.

另外堆芯功率分布由运行功率水平和燃料管理方案决定。一般采用反应堆平衡循环周期的各组件平均燃耗深度下的堆芯燃耗、功率水平。堆芯功率分布参数的计算同样会产生一定的不确定性。

综上所述，裂变谱χ、功率源强转换因子C和堆芯功率分布P任何一个参数的改变，都会对计算结果引入不同程度的不确定性。以NUREG/CR-6115基准题为测试例题定量分析各因素对结果的影响，该基准题取自SINBAD数据库，提供了不同燃耗下堆芯各裂变核素的裂变份额、每个燃料组件的相对功率分布和燃耗分布以及堆芯四区轴向功率相对分布。反应堆堆芯由204个燃料组件组成，堆芯外依次由围板、吊篮、热屏、辐照监督管、压力容器以及混凝土生物屏蔽等结构组成。压力容器内半径为219.075 cm，厚21.59 cm，包括0.635 cm内表面不锈钢覆盖层。NUREG/CR-6115几何结构如图 3所示。该基准题给出了辐照监督管处的⁵⁶Fe(n, p)⁵⁶Mn和⁵⁸Ni(n, p)⁵⁸Co反应的测量数据，两个探测器的核反应阈值分别为2.8 MeV和6.0MeV，主要用于快中子能谱的测量。选取不同裂变核素对探测器反应率计算值影响偏差小于10%。

图 3

图 3 NUREG/CR-6115标准堆芯几何模型 1堆芯，2围板，3水反射层，4吊篮，5 #1下降区，6热屏，7 #2下降区，8压力容器，9空腔，10生物屏蔽层 Figure 3 Geometric model of NUREG/CR-6115 standard core. 1 Reactor core, 2 Baffle, 3 Water reflector, 4 Barrel, 5 First downcomer, 6 Thermal shield, 7 Second downcomer, 8 Pressure vessel, 9 Cavity, 10 Biological shield

S_N方法求解中子输运方程时，存在一些简化和近似，如散射源的计算、空间离散方法、网格步长划分、离散求积组等，从而给计算带来相应的不确定性。

散射源计算的偏差主要来源于勒让德展开阶数、负散射源处理和输运修正方法。在典型压水堆快中子注量率计算时，压力容器1/4壁厚位置，以P₅阶展开为参考基准，当勒让德展开阶数超过3阶，计算偏差小于4%。因此压力容器快中子注量率计算，在综合考虑精度与效率的基础上，采用P₃阶足以满足工程计算要求。勒让德展开散射截面会引入非物理意义的负截面出现，从而导致在某些方向上产生负散射源。当某一个网格的某一离散方向上的总散射源为负值时，将该项置零。这样的方法仅只保证了散射源非负，而并没有考虑粒子的守恒。散射源的修正影响计算的收敛性，同时对计算结果引入一定的不确定性。随着勒让德阶数的增加，负散射源修正对计算结果的影响变小；高能区的中子散射各向异性严重，因此主要影响高能区的中子通量密度，高能区的能群影响在5%以内，其它能群的影响偏差很小。为了更好地描述各向异性散射物理过程和减少截断误差，采用输运修正方法。以典型压水堆压力容器快中子注量率计算为例，分析采用贝尔汉森(Bell-Hansen-Sandmeier, BHS)和对角修正方法对结果的影响。采用P₃阶展开，压力容器1/4壁厚处的45°方位角位置处，不同的输运修正截面方法对计算结果能谱的影响偏差，如图 4所示。输运修正对计算结果的影响较大，最大偏差可达到12%。对于屏蔽计算问题，一般采用BHS修正方法，当BHS修正方法产生负截面时，可采用对角输运修正方法。不同的输运修正方法引起的偏差一般在2%之内。

图 4

图 4 输运修正方法对能谱的影响 Figure 4 Effect of transport correction methods on neutron spectrum.

输运方程空间变量的离散误差由两个相互影响的方面组成，即离散方法和网格步长划分。S_N方法空间变量的离散主要有有限差分、有限元和特征线等。RG1.190导则中对反应堆压力容器快中子注量率的计算问题有如下建议，为避免负通量密度的产生和提高计算精度，需采用带权重的差分格式；网格的划分需保证相邻网格的任一群通量密度之比小于2。以典型压水堆模型为例，研究分析菱形差分(Diamond Difference, DD)、菱形置零方法(Diamond Difference with Zero Fixup, DZ)、θ权重差分(Theta Weighted Difference, TW)、方向权重差分(Directional Theta Weighted Difference, DTW)和指数方向权重差分(Exponential Directional Weighted Difference, EDW)差分方法对压力容器1/4壁厚处快中子注量率(E > 0.1 MeV)计算结果的影响。模型径向网格划分为1 cm×1 cm，选取EDW差分格式的计算结果为比较基准。不同差分方法得到的中子通量密度分布趋势基本一致，且DD、DZ和TW差分方法表现出非物理震荡。由图 5可知，DZ和TW (θ=0.9)的计算结果非常一致，但DD的非物理震荡相对更严重。差分方法的选取一定程度上影响压力容器快中子注量率的计算。对于典型压水堆模型的不同差分方法的计算结果最大偏差为5%左右，且DTW偏差在2%之内。在TW差分方法中，θ的取值介于0和1之间，不同的θ取值也会对计算结果造成影响。在DORT和TORT程序中采用θ=0.9作为默认值，此时的计算结果往往收敛的较快且与DZ差分格式的计算结果相近。TW差分方法中θ的取值需要依据实际的计算模型和经验确定。

图 5

图 5 不同差分方法的计算偏差 Figure 5 Relative deviations of various differencing schemes.

典型压水堆的计算模型中，分别以1 cm、2 cm和4 cm网格划分分析计算结果的偏差。由于DD、DZ具有明显的非物理震荡现象，在此仅分析TW、DTW和EDW差分方法不同网格步长的变化规律。网格细化会耗费更多的计算时间，尽管粗网格会大大地减少计算时间，但对计算结果的影响是不可忽略的。当网格步长发生改变时，TW、DTW和EDW差分方法具有相似的变化趋势。TW和DTW方法对网格大小的改变较为敏感，以1 cm网格划分为基准，最大偏差可达24%，最大的偏差值一般出现在距离中平面0°-5°方位角的位置处。EDW差分方法假设网格内角通量密度分布呈指数变化，更加符合实际分布规律。EDW差分方法适合于通量密度梯度大的问题，粗网格数值结果更加稳定。EDW差分方法对网格步长的敏感性相对较小，最大偏差9%左右。

反应堆压力容器快中子注量率计算流程中，反应堆几何模型的建立、材料成分及温度的确定、多群截面数据产生、中子源强参数处理和输运求解等都存在不确定性，显著影响快中子注量率模拟结果的可信度。以NUREG/CR-6115基准题和典型压水堆为测试例题分析了各个环节的计算不确定来源及影响。研究结果表明，堆芯燃料组件建模采用pin-by-pin结构相对均匀建模通常产生20%左右的偏差；中子源强处理过程中，裂变核素的选取对探测器反应率计算值影响偏差10%左右；散射源计算的偏差主要来源于勒让德展开阶数、负散射源处理和输运修正方法，输运修正对计算结果的影响较大，最大偏差可达到12%；空间离散方法产生的偏差小于5%，屏蔽计算问题对网格步长的改变十分敏感。

下一步研究可以采用敏感性和不确定性分析方法，分析每个环节造成的不确定度，从而得出快中子注量率计算的总不确定度，提高计算结果的可信度。