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  核技术  2018, Vol. 41 Issue (1): 010101   DOI: 10.11889/j.0253-3219.2018.hjs.41.010101
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秦超, 薛松, 王楠, 孙小沛, 祝万钱. 压弯椭圆柱面镜的有限元分析[J]. 核技术, 2018, 41(1): 010101. DOI: 10.11889/j.0253-3219.2018.hjs.41.010101. [复制中文]
QIN Chao, XUE Song, WANG Nan, SUN Xiaopei, ZHU Wanqian. The finite element analysis of the bent elliptical cylindrical mirror[J]. Nuclear Techniques, 2018, 41(1): 010101. DOI: 10.11889/j.0253-3219.2018.hjs.41.010101.
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第一作者

秦超, 男, 1991年出生, 2014年毕业于东南大学, 现为硕士研究生, 研究领域为光学精密机械

通信作者

祝万钱, E-mail:zhuwanqian@sinap.ac.cn

文章历史

收稿日期: 2017-08-24
修回日期: 2017-10-16
压弯椭圆柱面镜的有限元分析
秦超1,2, 薛松1, 王楠1, 孙小沛1, 祝万钱1     
1. 中国科学院上海应用物理研究所 张江园区 上海 201204;
2. 中国科学院大学 北京 100049
摘要: 针对上海同步辐射光源二期部分线站对压弯椭圆柱面镜的需求,研制出了一种双拉杆压弯机构。对该机构进行理论计算与分析,建立压弯机构的三维模型,对其进行有限元分析。分别分析了水平聚焦、垂直聚焦、和垂直聚焦(有重力补偿)情况下的面形误差。水平聚焦,拉杆位移分别为9.2 mm、10.1 mm,可以获得与理论椭圆相比面形误差为0.35 μrad的椭圆面形;垂直聚焦,拉杆位移分别为7.4 mm、8.4 mm,面形误差为0.88 μrad,误差较大,所以该机构中需要加装重力补偿装置;使用三点重力补偿,加载合适的补偿力,最终得到拉杆位移分别为9.1 mm、10.1 mm,面形误差为0.45 μrad,满足设计要求。
关键词: 压弯    椭圆柱面    有限元分析    面形误差    
The finite element analysis of the bent elliptical cylindrical mirror
QIN Chao1,2 , XUE Song1 , WANG Nan1 , SUN Xiaopei1 , ZHU Wanqian1     
1. Shanghai Institute of Applied Physics, Chinese Academy of Sciences, Zhangjiang Campus, Shanghai 201204, China;
2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China
Received date: 2017-08-24; accepted date: 2017-10-16
First author: QIN Chao, male, born in 1991, graduated from Southeast University in 2014, master student, focusing on optic precision machiner
Corresponding author: ZHU Wanqian, E-mail: zhuwanqian@sinap.ac.cn
Abstract: Background: Bent elliptically cylindrical mirror is required for some beam lines of the 2nd phase of Shanghai synchrotron radiation facility (SSRF). A double rod bending mechanism has been developed accordingly. Purpose: This paper aims to bend an elliptical cylindrical mirror we need by using this mechanism. Methods: Theoretical calculation and analysis combined with finite element analysis were carried out on this mechanism. Results: In horizontal focusing, when the displacements of the rod were 9.2 mm and 10.1 mm, the slope error was 0.35 μrad. In vertical focusing, if not using the gravity compensation mechanism, the slope error was 0.88 μrad when the displacements of the rod were 7.4 mm and 8.4 mm, so the gravity compensation mechanism is necessary, and now when the displacements of the rod were 9.1 mm and 10.1 mm, the slope error was 0.45 μrad. Conclusion: The results can meet our requirements, and this analysis result is useful for the engineering application.
Key Words: Bending    Elliptically cylindrical    Finite element analysis    Surface-shape error    

光束线是同步辐射光源的重要组成部分,装配了许多高性能设备,其依照实验站对光束的要求,对同步辐射光源产生的同步辐射光进行偏转、准直、分光和聚焦等处理,然后将同步光传输到实验站[1]。压弯聚焦镜系统是其中一个关键设备,主要作用包括:对光束偏转、准直、聚焦,由它决定的压弯面形精度对光束线质量有很大影响。光束线上的压弯镜按成形方法可分为磨制镜和压弯镜。与磨制镜相比,压弯镜有半径可调、表面精度高和易于制造等优点[2-3]。双拉杆压弯机构还具有两边弯矩可不对称调节的特点。因此压弯后可得到不对称面形。

随着光学技术的发展,上海光源部分线站中需要使用椭圆柱面压弯镜。针对此需求,科研人员已经研制出了一台双拉杆压弯机构。查阅国内外相关文献,分析压弯机构压弯面形时,首先计算出理论所需弯矩,然后采用有限元分析的方法将弯矩与压弯机构输出位移相对应。本文目标是使用此双拉杆压弯机构将平面柱面镜压弯成所需的椭圆柱面镜。在分析时采用理论与有限元分析相结合的方法,根据一组实际需要的镜面参数,最终得到压弯成所需椭圆柱面面形时压弯机构上拉杆的位移。指导工程的安装与使用。相比于圆柱面,椭圆柱面镜在聚焦时,可以增加输出带宽、调节曲率半径和获得更好的能量分辨率。

1 压弯机构与面形误差 1.1 压弯机构

本文中的压弯机构采用双拉杆式U型机械压弯结构[4],如图 1所示。

图 1 压弯机构三维图 Figure 1 3D model of the bending mechanism.
1.2 面形误差

面形误差是反映实际平面与理论平面面形差异的一个定量指标,在束线光学中我们用斜率误差来度量,一般需要分别考虑子午方向和弧矢方向。用斜率误差的均方根值来定量表示面形误差。其计算公式为:

$ {{\Delta }_{\rm{RMS}}}=\sqrt{\frac{\int_{0}^{l}{{{\Delta }^{2}}(x){{\rm{d}}}x}}{l}} $ (1)

式中:$\Delta (x)$是某点斜率误差;l是所求误差范围。

面形误差主要来源有[5]:加工误差、安装、自重和热变形等。面形误差的存在会导致聚焦光斑离散,分辨率下降,从而会导致成像质量下降。

2 压弯机构理论弯矩计算 2.1 椭圆柱面聚焦镜参数

本文分析的椭圆柱面镜参数要求:距光源点距离(物距)26.5 m;像距7.35 m;有效尺寸700 mm× 20mm;聚焦方向为水平/垂直;压缩比3.6;面形误差0.5 μrad;入射角3.5 mrad。

根据成像原理,将光源点和像点分别作为两个焦点建立如图 2所示坐标系[6]

图 2 椭圆柱面镜成像示意图 Figure 2 The imaging schematic diagram of the elliptical cylindrical mirror.

椭圆方程为:x2/16.9252+ y2/0.04882=1;极角为0.241°。

2.2 椭圆柱面压弯理论和形状参数(水平聚焦) 2.2.1 压弯理论

目前所用同步辐射光的掠入射角非常小,一般在毫弧度量级,聚焦镜在沿光束传播方向所需的尺寸较大,设计聚焦镜的长宽比会很大,可以将其近似看作是梁的弯曲,如图 3所示。

图 3 压弯模型 Figure 3 The model of bending.
2.2.2 形状参数

根据材料力学中梁的挠度曲线方程可知,对于一个平面柱面镜来说,在两端施加相等的力矩,可以压弯成对称面形的镜面如圆柱面,施加不对称的弯矩,可得到不对称的面形,当弯矩选择合适时,可以近似得到椭圆柱面,该双拉杆压弯机构就是调节两端压弯弯矩,获得满足要求的椭圆柱面面形。根据此模型,以梁(聚焦镜)的中心为原点建立如图 3所示坐标系,则弯曲方程为:

$ \frac{EI}{\rho (x)}=M(x)=\frac{{{M}_{1}}+{{M}_{2}}}{2}+\frac{{{M}_{2}}-{{M}_{1}}}{L}x $ (2)

式中:E是镜子的弹性模量;I是镜子截面对中性轴的惯性矩;ρ(x)是镜子压弯后各点的曲率半径;M1M2分别是两端所加弯矩;L为镜子两端转轴间距离(本机构中L取0.9 m)。

代入数据可得梁的变形曲线的斜率方程为:

$ \frac{{\rm{d}}\omega }{{\rm{d}}x}=\frac{{{M}_{2}}-{{M}_{1}}}{2.22\times {{10}^{5}}}{{x}^{2}}+\frac{{{M}_{1}}+{{M}_{2}}}{2.466\ 6\times {{10}^{5}}}x+c $ (3)

理论曲线斜率方程为:

$ {y}'=\pm \frac{b}{{{a}^{2}}}x{{\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{-{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}} $ (4)

用二次多项式拟合理论曲线方程,然后使得梁的变形方程与理论方程各项系数相等。代入数据计算可得:M1=35.04 N·m,M2=40.03 N·m。

此时理论计算面形误差为0.02 μrad,满足要求,所以这种压弯方法从理论上可以得到我们所需的椭圆面形。

2.3 椭圆柱面压弯理论和形状参数(垂直聚焦)

垂直聚焦时,重力对子午方向面形影响较大,需要考虑重力影响。此时梁的受力如图 4所示。

图 4 压弯模型(考虑重力影响) Figure 4 The model of bending (take account of gravity).

其受均布载荷q,则其弯矩分布方程为:

$ M(x)=\frac{{{M}_{1}}+{{M}_{2}}}{2}+\frac{{{M}_{2}}-{{M}_{1}}}{L}x+\frac{qL(\frac{L}{2}+x)}{2}-\frac{q{{(\frac{L}{2}+x)}^{2}}}{2} $ (5)

根据式(3)和(4),代入数据可得M1=27.91 N·m,M2=32.89 N·m时,面形误差最小,此时面形误差为0.72 μrad。

3 自重引起的误差分析与补偿 3.1 自重引起的理论误差分析

仅考虑自重时,梁的受力如图 5所示[7]。该压弯镜自重引起的理论面形误差如图 6所示。

图 5 梁的自重分布示意图 Figure 5 The gravity distribution of the mirror.
图 6 自重引起的面形误差 Figure 6 The slope error caused by the gravity.

计算得到:最大变形为5.53 μm;与平面相比面形误差为13.73 μrad。

3.2 自重引起的面形误差的有限元分析

建立三维简化模型,如图 7(a)所示,并且对其进行网格划分,划分后如图 7(b)所示。

图 7 简化三维模型图(a)和三维模型网格图(b) Figure 7 The simplified 3D model (a) and the grids of the 3D model (b).

施加重力载荷,可得如图 8所示的变形图和面形斜率变化图。

图 8 自重引起的变形(a)和面形斜率变化(b) Figure 8 Deformation (a) and slope error (b) caused by the gravity.

有限元分析出的重力引起的最大形变是6.1μm,与平面相比面形误差为14.88 μrad。同理论分析基本一致。由理论与有限元分析结果可知,引入重力之后,如果不使用重力补偿机构,面形误差较大,故需要加装重力补偿装置。

3.3 自重的平衡

工程实际使用中,设置补偿点时,需要使用均方根误差最小或尽量小的平衡力[8]。本文机构采用三点补偿。受力情况如图 9所示。

图 9 三点自重平衡时压弯镜受力分析 Figure 9 Forces acting on the mirror with three points gravity compensation.

此时参考文献[9]提出的方法可得:P1=20.14 N、P2=20.67 N、a=0.199 m、b=0.251m时,由重力引起的误差可减小至0.07 μrad左右。

4 双拉杆压弯机构有限元分析 4.1 水平聚焦有限元分析

水平偏转时,重力对子午方向面形误差影响较小,可以忽略不计,故不考虑重力影响。建立如图 7所示的三维模型,然后导入ANSYS workbench中进行仿真计算。其中拉杆材料为轴承钢,聚焦镜材料为单晶硅,其余构件均为结构钢。材料属性如表 1所示。

表 1 压弯机构部件材料属性 Table 1 The material property of the bending mechanism's parts.

接触面接触类型:拉杆与夹持件之间使用了轴承,设置为摩擦系数为0.001的有摩擦接触,其余接触均设置为摩擦系数为0.1的有摩擦接触。在实际机构中,挡板是固定的,4个挡板设置固定支撑,最后给两边拉杆分别设置不对称位移(相当于给镜子两端加上不对称弯矩),将输出的面形与理论椭圆面形相比较,求其面形误差,直至面形误差达到我们所需要求。

根据有限元分析,最终在两边拉杆位移分别为9.2 mm、10.1 mm时,可以得到仿真面形与所需理论面形的误差为0.35 μrad,如果考虑镜子加工误差为0.2 μrad,最终误差卷积约为0.41 μrad,可以满足要求。其变形情况与理论曲线相比斜率误差如图 10所示。

图 10 压弯机构引起的变形(a)和斜率变化(b) Figure 10 Deformation (a) and slope error (b) caused by the bending mechanism.
4.2 垂直聚焦有限元分析

垂直聚焦与水平聚焦最大的区别就在于重力的影响。如果不采用重力补偿,在上述模型中,给系统加上重力,其余设置与上述水平聚焦分析一样,最终得出在拉杆两边位移分别为7.4 mm、8.4 mm时,可以得到相对较小的面形误差,其值为0.88μrad。镜面变形与理论曲线相比斜率误差如图 11所示。

图 11 压弯机构和重力共同作用引起的变形(a)和面形误差(b) Figure 11 Deformation (a) and slope error (b) caused by the bending mechanism and the gravity.

从有限元分析也可以看出,垂直聚焦时,在不平衡重力的情况下,面形误差比较大,无法满足我们的使用要求,故而需要重力平衡装置。

4.3 垂直聚焦有限元分析(使用重力补偿)

根据前文理论计算结果,加载§3.3计算出的三点补偿力和重力载荷,同时加载重力和拉杆位移,进行有限元分析。最终在P1=20.5 N、P2=21 N、拉杆位移分别为9.1 mm、10.1 mm时,得到有限元分析的面形与理论面形相比面形误差为0.45 μrad,若镜面加工误差为0.2 μrad,则卷积之后误差为0.49μrad左右,该机构中还有面形误差补偿机构,可以继续减小误差,所以此结果可以满足设计要求。镜面变形与理论曲线相比斜率误差如图 12所示。

图 12 加重力补偿机构后的变形(a)和面形误差(b) Figure 12 Deformation (a) and slope error (b) caused by the bending mechanism with gravity compensation mechanism.
5 结语

本文对椭圆柱面压弯镜进行了理论与有限元的分析,验证了该双拉杆机构压弯椭圆柱面的可行性,并且针对水平与垂直聚焦分别分析了压弯所需位移。根据分析结果可知垂直聚焦时重力的影响较大,需要使用重力补偿装置对重力误差进行补偿,参考文献计算得出三点补偿的位置与力的大小。最后根据实际机构,建立简化的有限元模型,得出拉杆位移为9.1 mm、10.1 mm时,面形误差为0.45 μrad,综合考虑加工误差和面形补偿机构,最终误差可以控制在所需范围内,满足设计要求。

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