0 引言

随着我国工业的发展，大容量工业负荷大量接入电网，造成各类电能质量问题，引发了经济损失^[1-3]。准确评估负荷对电网电能质量的影响有利于设计补偿方案，降低经济成本。但电能质量的优劣受多项指标的综合影响，现有的国家标准只针对单项电能质量指标，不能满足实际应用的需求^[4]。因此，电能质量综合评估方法具有实际的研究意义。

目前已经有众多学者提出了诸如模糊综合评估法、未确知测度法、秩和比法、雷达图法等多种综合评估方法。文献[5]使用改进的理想解法(technique for order preference by similarity to ideal solution, TOPSIS)求取评估对象与预先设定的参考点之间的距离，依据与理想值之间的相对接近度计算评估等级，不需要构造复杂的隶属度函数。但其理想解只是简单地选限值区间的端点，没有体现出电能质量指标的模糊性和不确定性。文献[6]采用雷达图法进行电能质量综合评估，以指标权重作为角度，样本值作为角平分线长度，依次绘制射线构成扇形面积来反映电能质量评估等级，可以直观地通过图形表示评估结果。文献[7]结合粒子群优化算法(particle swarm optimization, PSO)与支持向量机(support vector machine, SVM)回归模型，使用惯性权重自适应PSO对SVM模型进行参数寻优，通过训练样本实现对待评估样本的电能质量综合评估。这种方法精度较高，但SVM参数的选取对评估的影响很大，需要大量数据样本作为支撑，反复调整的评估过程较为复杂。

本文提出一种可变模糊云模型电能质量综合评估方法。首先根据待评估负荷的电能质量特征构建评估指标体系。使用模糊层次分析法(fuzzy analytical hierarchy process, FAHP)和变异系数法确定电能质量指标的主、客观权重，使用二者建立目标函数计算主客观综合权重。在此基础上使用正向云模型确定电能质量标准等级云模型。根据可变模糊集思想，求样本数据对限值区间的相对隶属度，以加权平均的方式计算逆向云模型特征值。最后比较电能质量标准等级云模型与样本数据云模型的云相似度，得到电能质量综合评估等级。

1 电能质量评估指标体系

电能质量综合评估是对多项电能质量指标的测量值进行数学分析处理的过程。因此，指标的选取直接影响评估结果，选取合适的指标建立电能质量评估指标体系是准确评估的前提。

根据GB/T 12325-24337的相关标准规定，电能质量指标可分为连续型和事件型两大类。连续型电能质量指标包括供电电压偏差、公用电网谐波、三相电压不平衡度、公用电网间谐波、频率偏差、电压波动及长时电压闪变。事件型电能质量指标包括电压暂降、短时中断、暂时过电压与瞬态过电压。建立电能质量评估指标体系时需要针对具体评估对象来选择包含的指标。通常以待评估负荷的实际运行数据或仿真模型作为样本，分析负荷的电能质量发射特性，选取其中具有明显影响的指标作为评估指标体系包含的元素。

以典型非线性负荷电弧炉为例，电弧炉的特点是熔炼期负荷高度不稳定，变化较剧烈，对其进行等效建模分析选取电能质量评估指标。其中电压暂降等事件型指标在实际应用中难以准确量化测量。间谐波指标在强系统中扰动影响较小，且与闪变之间存在关联性，可以依靠闪变近似体现间谐波指标影响^[8-9]。综上选取6项特征较为明显的指标，建立电弧炉电能质量评估指标体系如图 1所示。

2 指标综合权重的确定

代表不同电能质量指标影响程度的权重分配问题会直接影响评估结果。本文使用以专家主观意见为依据的FAHP计算指标间的主观权重，使用以实测数据规律为依据的变异系数法计算指标间的客观权重，并以求得的主、客观权重作为目标函数得到主客观综合权重值。

2.1 模糊层次分析法

层次分析法是根据专家意见或已有经验构造评估指标的判断矩阵，并求取权重向量的一种主观赋权法。FAHP是一种改进的方法，其优势在于构造的判断矩阵本身具有模糊一致性，很大程度上不再需要反复进行校验与调整，且不需要依靠最大特征根进行一致性检验。主要步骤如下。

1) 构造模糊一致矩阵。对于电能质量评估指标体系中的n项指标，构造判断矩阵Y =(y_ij)_n×n。当矩阵内的所有元素均在[0, 1]之间，对角线元素均为0.5，其余元素满足y_ij+y_ji=1时，称这个矩阵Y为模糊互补矩阵。以专家意见或已有经验为基础，采用9标度法构造电能质量评估指标体系的模糊互补判断矩阵C =(c_ij)_n×n，矩阵标度值从0.1至0.9代表指标重要性逐渐提高。

模糊互补矩阵中电能质量指标的标度值选择取决于具体评估对象。以电弧炉负荷为例，其负荷波动剧烈，主要影响是产生大量谐波，造成电网电压波形畸变。因此可赋予电压偏差以及电压总谐波畸变率较大的标度值，赋予频率偏差较小的标度值。对模糊互补判断矩阵 C 按行求和得r_i，对r_i进行处理使其具备模糊一致矩阵元素的要求，模糊一致处理的计算过程为

$ r_{i j}=\left(r_{i}-r_{j}\right) / 2(n-1)+0.5, $

(1)

构造电能质量指标的模糊一致判断矩阵R =(r_ij)_n×n为

$ \boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{cccc} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1 j} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2 j} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ r_{i 1} & r_{i 2} & \cdots & r_{i j} \end{array}\right]，$

(2)

2) 计算各指标的主观权重值。第i项指标的主观权重ω1_i计算过程为

$ \omega 1_{i}=1 / n-1 /(n-1)+2 \sum\limits_{f=1}^{n} r_{i f} / n(n-1)，$

(3)

其中：$\sum\limits_{f = 1}^n {{r_{if}}} $为对模糊一致判断矩阵R按行求和。

3) 进行一致性检验。权重特征矩阵ω^*=(ω_ij)_n×n的计算过程为

$ \omega_{i j}=\omega_{i} /\left(\omega_{i}+\omega_{j}\right), i, j=1,2, \cdots, n。$

(4)

计算权重特征矩阵与设定的模糊一致判断矩阵之间的相容性指标I为

$ I\left(\boldsymbol{R}, \boldsymbol{w}^{*}\right)=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left|r_{i j}+\omega_{i j}-1\right| / n^{2}, $

(5)

求得的相容性指标I越接近于零，则判断矩阵的一致性越强。一般根据评估需要确定临界α，当I≤α时，认为满足一致性检验^[10]。α随判断矩阵标度值增多可在0.1左右进行选择。经过一致性检验的权重向量W₁=[ω1₁, ω1₂, …, ω1_n]^T为电能质量评估指标体系中各指标的主观权重。

2.2 变异系数法

变异系数法是根据指标在不同样本中变化的大小程度来确定权重的一种客观赋权法。变化越剧烈的指标可以更好地区分指标所属的等级情况，通常赋予更大的权重。其优势在于所需信息少、计算简便，可以体现数据本身的规律。主要步骤如下。

1) 设m个评估样本，n项电能质量指标的待评估数据矩阵为YB =(b_ij)_m×n，其中：b_ij代表第i个评估对象对于第j项指标的测量值。求取各指标的均值b_j，以及标准差σ_j。

2) 第j项指标的客观权重ω2_j计算过程为

$ \omega 2_{j}=\sigma_{j} /\left(\bar{b}_{j} \cdot \sum\limits_{j=1}^{n}\left(\sigma_{j} / \bar{b}_{j}\right)\right), $

(6)

计算所得权重向量W₂=[ω2₁, ω2₂, …, ω2_n]^T为电能质量评估指标体系中各指标的客观权重。

2.3 主客观综合权重

主观赋权法注重实际经验，但忽视了测量数据本身的特点。客观赋权法强调测量数据的规律，但没有参考实际经验。因此本文以二者作为约束，使用最小二乘法，计算主客观综合权重作为电能质量指标权重，克服了单独只用一种赋权法存在的问题。构造最小二乘方程为

$ \left\{\begin{array}{l} \min F(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\omega 1_{i}-\omega_{i}\right)^{2}+\left(\omega 2_{i}-\omega_{i}\right)^{2} \\ \text { s.t. } \sum\limits_{i=1}^{n} \omega_{i}=1, \omega_{i}>0, \quad i=1,2, \cdots, n \end{array}\right., $

(7)

其中：ω1_i为求得的主观权重；ω2_i为求得的客观权重；ω_i为主客观综合权重。

通过构造拉格朗日函数，对其求偏导函数，进而可以求极值得到优化模型的解。经计算得到电能质量评估指标体系中各指标的主客观综合权重向量W =[ω₁, ω₂, …, ω_n]^T。

3 可变模糊云模型电能质量综合评估

本文使用可变模糊云思想对传统云模型算法进行改进。求出各项电能质量指标对不同标准等级限值区间的可变模糊相对隶属度，将其作为等级限值区间期望的加权项求逆向云模型特征值，以此克服传统逆向云模型存在的问题。

3.1 传统云模型理论

云模型是一种具有随机性和模糊性的数学模型，它通过生成大量符合定性概念特征的云滴来实现与定量关系之间的互相转换，经过验证具有很好的泛用性。云模型通过3个基本特征值(E_x, E_n, H_e)描述电能质量等级概念, 其中：E_x为期望值；E_n为熵值；H_e为超熵值。通过选取特定的特征值组合，就可以表示由优至劣不同的电能质量等级概念^[11]。

传统的云模型评估过程可分为正向云发生器和逆向云发生器的建立。即根据电能质量等级限值区间计算标准云模型特征值，以及使用各电能质量指标实测值求样本云模型特征值^[12-13]。使用云模型进行评估的优势在于没有固定的隶属度模型，而是通过样本数据本身来对模型进行调整，可以很好地体现电能质量评估过程的随机性和模糊性。

3.2 可变模糊集思想

可变模糊集是一种处理评估指标之间不确定关系的模型^[14]。可变模糊集思想认为待评估的量化数据并不仅仅属于某一确定的等级区间，同时其他区间也会对它有吸引或排斥的作用，这一作用的大小使用相对隶属度来衡量。通过计算样本数据与所有等级限值区间之间的吸引域与拒绝域的相对差异值，可得到样本对于不同等级区间的相对隶属度。

可变模糊集的优势在于能够动态地根据不同的区间调整模糊隶属关系，克服了传统模糊理论中选定隶属度函数不会发生变化的问题，强调了指标等级区间之间的关联性。

3.3 可变模糊云模型的建立

传统云模型中，逆向云算法只是使用样本数据的均值直接作为期望E'_x，这种简单的数学统计方法依据性不强，并且在样本数据较少或存在极端数据的情况下不可避免地会产生误差，不能直接应用于所有场景。因此本文结合可变模糊集的思想对逆向云算法进行改进。改进过程的关键是使用可变模糊集思想求得每个样本数据对不同等级区间的相对隶属度。不同样本数据对于不同等级区间的相对隶属度之间相互独立，可以表征每个样本值对各个等级区间的模糊关系。将样本数据的相对隶属度作为权值，同时求得每个等级区间本身代表的期望，最后对二者进行加权求和，结果作为逆向云模型的期望值E'_x。这种方法得到的逆向云期望来源清晰，体现了每个样本值对于电能质量限值区间具有的模糊关系，同时由于不直接使用样本数据计算，也可以在样本数据质量不高时降低误差。具体计算过程如下。

设n项评估指标的K个标准等级限值区间组成的矩阵为B =([b_jh, c_jh])_n×K。m个电能质量监测点对于n项评估指标的标准样本数据为A =(a_ij)_m×n。建立n项电能质量指标对K个等级限值区间的点值映射矩阵M =(M_jh)_n×K，其中M_jh为指标j对等级h相对隶属度为1的点，计算过程为

$ M_{j h}=b_{j h}(K-h) /(K-1)+c_{j h}(h-1) /(K-1), $

(8)

点M_jh与等级区间[b_jh, c_jh]及其邻近等级区间的关系如图 2所示。

对于样本数据a_ij，令其与区间[b_jh, c_jh]对应的M_jh值进行比较，当a_ij小于M_jh时，求a_ij对等级h的相对差异度D_ijh的计算过程为

$ \left\{\begin{array}{l} D_{i j h}=\left(a_{i j}-b_{j h}\right) /\left(M_{j h}-b_{j h}\right), a_{i j} \in\left[b_{j h}, M_{j h}\right] \\ D_{i j h}=-\left(a_{i j}-b_{j h}\right) /\left(b_{j(h-1)}-b_{j h}\right), a_{i j} \in\left[b_{j(h-1)}, b_{j h}\right] \end{array}\right., $

(9)

其中：b_j(h－1)为相邻等级区间端点。

当a_ij大于M_jh时，求a_ij对等级h的相对差异度D_ijh的计算过程为

$ \left\{\begin{array}{l} D_{i j h}=\left(a_{i j}-c_{j h}\right) /\left(M_{j h}-c_{j h}\right), a_{i j} \in\left[M_{j h}, c_{j h}\right] \\ D_{i j h}=-\left(a_{i j}-c_{j h}\right) /\left(c_{j(h+1)}-c_{j h}\right), a_{i j} \in\left[c_{j h}, c_{j(h+1)}\right] \end{array}\right., $

(10)

得到相对差异度D_ijh后，即可进行矩阵A对于各等级的相对隶属度的计算为

$ \mu_{i j h}=\left(1+D_{i j h}\right) / 2 $

(11)

其中：μ_ijh为求得的电能质量样本数据a_ij对于等级h的相对隶属度。

得到各样本数据对标准等级限值区间的相对隶属度后，将其作为加权项对各等级区间的期望E_x进行加权平均处理，结果作为样本数据逆向云模型的期望。以上逆向云发生器对于指标j的期望E'_x(j)计算过程为

$ E_{x}^{\prime}(j)=\sum\limits_{h=1}^{K} \bar{\mu}_{j h} \cdot E_{x}(j h) / \sum\limits_{h=1}^{K} \bar{\mu}_{j h}, $

(12)

其中：μ_jh为各电能质量监测点指标平均相对隶属度；E_x(jh)为对应等级区间的期望。

逆向云发生器对于指标j的熵E'_n(j)计算过程为

$ E_{n}^{\prime}(j)=\sqrt{\pi / 2} \cdot \sum\limits_{i=1}^{m}\left|a_{i j}-E_{x}^{\prime}(j)\right| / N, $

(13)

其中：N为电能质量监测点个数。

指标j的超熵H'_e(j)计算过程为

$ H_{e}^{\prime}(j)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{m}\left(a_{i j}-E_{x}^{\prime}(j)\right)^{2}-E_{n}^{\prime 2}(j) /(N-1)}。$

(14)

这种改进后的方法不再仅使用样本数据的均值作为逆向云发生器的期望，而是使用每个样本数据对各等级区间的相对隶属度以及相应等级区间的期望来表示。这种做法可以体现不同指标的样本数据具有的特征，同时等级限值区间的期望加权计算方法也不会因个别数据的畸变而影响评估结果，相较传统算法具有优势。

3.4 电能质量综合评估流程

在本文提出的可变模糊云模型基础上，进行电能质量综合评估的主要流程简述如下。

1) 根据记录的波形、实测数据或仿真模型，对待评估负荷进行电能质量发射特性分析，确定合适的电能质量评估指标体系。对样本数据进行标准化处理，设定各电能质量指标的等级限值区间。

2) 基于FAHP和变异系数法，根据最小二乘求得评估指标间的主客观综合权重。

3) 建立正向云发生器计算标准等级云模型。电能质量指标j的等级h区间[b_jh, c_jh]的正向云发生器特征值(E_x(jh), E_n(jh), H_e(jh))计算过程为

$ \left\{\begin{array}{l} E_{x}(j h)=\left(c_{j h}+b_{j h}\right) / 2 \\ E_{n}(j h)=\left(c_{j h}-b_{j h}\right) / 2.355, \\ H_{e}(j h)=\eta \end{array}\right. $

(15)

其中：η为常数，可根据不确定性的程度大小选取。

对电能质量指标的标准等级限值区间，以E_n(jh)为期望，H_e(jh)为标准差生成正态随机数E_ni(jh)。以E_x(jh)为期望，E_ni(jh)为标准差生成正态随机数x_i(jh)，x_i(jh)对应的隶属度μ_i(jh)的计算过程为

$ \mu_{i}(j h)=\mathrm{e}^{-\left(x_{i}(j h)-E_{x}(j h)\right)^{2} / 2 E_{n}^{\prime}(j h)^{2}}, $

(16)

求得的(x_i(jh), μ_i(jh))即为能体现电能质量标准等级限值区间特征的云滴，多次重复以上过程，形成各指标不同等级云模型。使用指标主客观综合权重对特征值进行加权处理，得到代表电能质量标准等级云模型。

4) 根据可变模糊云模型计算过程，得到代表样本数据云模型。

5) 计算样本数据云模型和标准等级云模型之间的云模型重叠度^[15]。两个云模型之间重叠度CD(C₁, C₂)的计算过程为

$ {CD}\left(C_{1}, C_{2}\right)=2\left(L\left(C_{1}\right)-S\left(C_{2}\right)\right) /\left(L\left(C_{1}\right)-S\left(C_{1}\right)\right)+L\left(C_{2}\right)-S\left(C_{2}\right), $

(17)

其中：C₁代表待比较的期望值较小的云模型；C₂代表期望值较大的云模型；L(C_n)和S(C_n)代表云模型C_n的上界与下界。

根据云模型的数字特征值和正态分布的特点可以求得两个待比较云模型的交点，以及交点对应的云模型隶属度，据此可计算云相似度sim(C₁, C₂)的计算过程为

$ {sim}\left(C_{1}, C_{2}\right)=(\mu-\alpha) \cdot C D\left(C_{1}, C_{2}\right) /(1-\alpha), $

(18)

其中：μ代表交点对应的隶属度；α代表云模型边界对应的隶属度。

比较样本数据云模型与标准等级云模型的云相似度大小，相似度最大的即为待评估负荷所属的电能质量等级。

4 实例分析

以电弧炉负荷为例，验证本文提出的综合评估方法的有效性。电弧炉在熔炼期负荷随电弧变化发生剧烈波动，会引起接入点电网电压发生畸变，是一种具有较典型电能质量特征的负荷^[16-17]。在Matlab/Simulink中建立以能量守恒原理为基础的非线性时域微分方程模型，使用Parameter Estimate功能参照实际电弧炉负荷伏安关系进行参数辨识处理，通过仿真得到电弧U-I特性曲线如图 3所示，整体与典型交流电弧炉U-I特性曲线吻合。证明该模型可以反映实际电弧炉负荷所具有的电气特性，可用作研究电能质量影响的电弧炉等效模型。

依照某钢厂40 t电弧炉电气系统搭建三相交流电弧炉系统仿真模型如图 4所示。图中系统电源电压U幅值为110 kV，频率为50 Hz；钢厂主变T₁额定功率为63 MVA，炉变T₂额定功率为22 MVA；110 kV侧电抗1.816 Ω，35 kV侧电抗0.256 Ω，短网电阻0.4 mΩ，短网电抗2.496 mΩ。

对仿真模型的电压电流波形进行分析，选取具有明显影响的指标，建立图 1所示的电弧炉电能质量评估指标体系，仿真测量得到电压偏差X₁、电压谐波总畸变率X₂、三相电压不平衡度X₃、电压波动X₄、长时电压闪变X₅、频率偏差X₆的6组CP95概率值如表 1所示，作为待评估负荷的样本数据。

由于仿真模型没有考虑背景系统干扰，因此在国家标准的基础上预留20%的裕度，将电弧炉电能质量指标划分为五组标准等级限值区间如表 2所示。

根据专家经验，建立模糊一致判断矩阵R为：

$ \boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{llllll} 0.50 & 0.52 & 0.73 & 0.61 & 0.58 & 0.78 \\ 0.48 & 0.50 & 0.71 & 0.59 & 0.56 & 0.76 \\ 0.27 & 0.29 & 0.50 & 0.38 & 0.35 & 0.55 \\ 0.39 & 0.41 & 0.62 & 0.50 & 0.47 & 0.67 \\ 0.42 & 0.44 & 0.65 & 0.53 & 0.50 & 0.70 \\ 0.22 & 0.24 & 0.45 & 0.33 & 0.30 & 0.50 \end{array}\right] \text { , } $

(19)

得到的模糊一致判断矩阵R具有任意行与其他行对应元素之差为常数的特征，符合模糊一致矩阵的规范。按式(1)~(3)使用FAHP求指标的主观权重为[0.215, 0.207, 0.123, 0.171, 0.183, 0.101]。按照式(4)~(5)计算得相容性指标I为0.18，满足一致性检验。按式(6)计算过程使用变异系数法求指标的客观权重为[0.063, 0.144, 0.162, 0.290, 0.289, 0.052]。在此基础上根据式(7)求得评估指标主客观综合权重为[0.139, 0.175, 0.142, 0.231, 0.236, 0.077]。由主客观综合权重可知，电压波动及长时电压闪变对评估结果造成的影响较大，反之频率偏差的大小则不会对结果造成显著影响。

按式(15)计算各标准等级限值区间的云模型特征值[E_x, E_n, H_e]，根据主客观综合权重W得到标准等级综合云模型的云特征值。按式(16)生成大量云滴形成标准等级综合云模型如图 5所示。

图 5中各等级云模型的混叠交叉部分反映了电能质量综合评估的模糊性。同时各等级云模型云滴分布范围与熵成正比，与由低等级到高等级限值区间递增的原则相符。在云模型的上下界分别使用半升与半降梯形正态云模型，作为超出一定范围后的评估原则。

根据式(8)~(11)得到样本数据对于各等级区间的平均相对隶属度如表 3所示。

参照改进的逆向云模型算法，根据式(12)~(14)的逆向云算法求得样本数据云模型特征值为[E'_x, E'_n, H'_e]=[0.389 6, 0.106 2, 0.039 2]，生成样本数据云模型如图 6所示。

由图 6可知样本云模型介于等级Ⅲ略好与等级Ⅳ合格之间。按式(17)~(18)计算样本云模型与标准等级综合云模型的云相似度为S=[0.000 3, 0.049 3, 0.420 8, 1.016 7, 0.718 8]，可知本文的电弧炉模型电能质量评估等级为Ⅳ合格。

使用文献[5]中的TOPSIS法以及文献[18]中的未确知测度法进行对比实验。使用TOPSIS法计算各评估等级由高至低的相对接近度分界为([0.00, 0.47], [0.47, 0.67], [0.67, 0.81])，样本数据的相对接近度为0.608，属于等级Ⅳ合格。使用未知测度函数得到等级由低至高的置信度为[0.08, 0.09, 0.16, 0.11, 0.31]，以等级特征值^{[1, 2, 3, 4, 5]}加权得样本等级分值为3.95，属于等级Ⅳ合格。尽管存在微小区别，但以上方法得到了相同的结果。同时作为特殊情景验证，将每个指标的等级区间端点数据代入模型，得到5个等级的4个分界点对本身等级的云相似度为0.98、0.92、0.89、0.99，相较于其他方法等级划分更分明且与正确结果相符，具有有效性。本文方法通过云模型本身具有的可视化特征与云相似度的比较，即使对于同一等级的多个评估结果也无须再进一步处理即可进行优劣判断，等级划分明显而易于区分。同时电能质量评估指标数据本身具有的概率统计特性与本文方法体现的模糊性相符，相较于其他具有固定模型的评估方法客观性更强。

5 结论

本文提出一种可变模糊云模型电能质量综合评估方法。首先依照待评估负荷的电能质量特征构建评估指标体系。使用FAHP和变异系数法求得的主、客观权重建立目标函数计算主客观综合权重。在此基础上使用正向云模型确定电能质量标准等级云模型，依据样本数据的相对隶属度计算逆向云模型特征值，使用可变模糊集思想改进传统云模型特征值的计算方法，克服传统云模型评估方法存在的问题。比较二者的云相似度得到待评估样本的电能质量等级。最后以典型非线性负荷电弧炉作为实例，验证模型可以得到准确的综合评估结果。电能质量综合评估结果可为工业负荷电能质量的优化治理方案设计提供依据，具有实际意义。