大量实验表明，低渗透油藏在开发过程中，一旦地层压力下降造成孔隙度和渗透率下降后，将很难恢复^[1-4]，因此注水开发对低渗透油藏显得十分重要，而在水驱油过程中，由于油藏的非均质性和孔隙结构的微观随机性常会导致指进的产生^[5]，指进产生后在同一平面将产生两种流体，由于启动压力、重力以及流度比的不同，流体运移速度不同，指进会进一步发展^[6-7]。

针对黏性指进的问题，专家学者进行了大量的研究。雷体蔓等^[8]应用扰动理论得到了平直界面失稳形成指进的临界速度。Saffman等^[9]分析界面张力对界面稳定性的影响，得到正则模扰动的色散关系。Kopf-Sill等^[10]采用实验研究了指进失稳后的发展过程，如指进的尖端分裂、屏蔽及增长。Pihler-Puzovic等^[11]将径向Hele-Shaw模型的一个平板换成弹性薄膜后发现流体—结构的交互作用可以推迟指进的发生，抑制界面的不稳定性。Al-Housseiny等^[12]进一步分析表明弹性薄膜对不稳定性的抑制作用是由于变形薄膜形成负间距梯度的流动几何特性造成的。Mora等^[13-14]引入广义牛顿流体的概念，并推导出对应的广义牛顿流体的达西定律，然后推导出集中广义牛顿流体的正则模扰动的增长率。Martyushev等^[15]研究了两相都是幂律流体时两相界面的线性稳定性，研究了驱替相的非牛顿特性对黏性指进的影响。胡江平^[16]采用数值模拟的方法研究了多孔介质中两相驱替的黏性指进发展过程。然而目前的研究中鲜见针对海上低渗透油藏黏性指进的研究。

本文通过建立倾斜低渗透油藏水驱油黏性指进的模型，结合渤海X油田流量—压差室内实验结果对其进行求解，重点分析了黏性指进的影响因素，对注水开发低渗透油田具有非常重要的指导意义。

1 计算模型的建立 1.1 物理模型

某低渗透油藏地层倾角为θ，进行水驱油活塞式驱替时，渗流存在两个区，即水区(含不可动油)和油区，如图 1所示，黏性指进的大小用ΔL表示，开发过程中水以恒定的速度ν注入，油水界面处压力为p₁，在指进的前沿处，油相和水相压力分别为p_o和p_w，并做如下假设：①流体符合修正的达西定律；②不考虑毛细管压力；③等温渗流过程；④水和油不可压缩；⑤忽略扩散现象；⑥油藏的驱替速度恒定。

1.2 数学模型

(1) 运动方程^[17-18]：

$ {v_{\rm{o}}} = - \frac{{{K_{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}\left( {\frac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}L}} + {\rho _{\rm{o}}}g\sin \theta + {G_{\rm{o}}}} \right) $

(1)

$ {v_{\rm{w}}} = - \frac{{{K_{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}}}\left( {\frac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}L}} + {\rho _{\rm{w}}}g\sin \theta + {G_{\rm{w}}}} \right) $

(2)

(2) 连续性方程：

$ \frac{{\partial \left( {{\rho _{\rm{o}}}\phi } \right)}}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {{\rho _{\rm{o}}}{v_{\rm{o}}}} \right)}}{{\partial L}} = 0 $

(3)

$ \frac{{\partial \left( {{\rho _{\rm{w}}}\phi } \right)}}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {{\rho _{\rm{w}}}{v_{\rm{w}}}} \right)}}{{\partial L}} = 0 $

(4)

(3) 边界条件：

定压边界：

$ {p_{L = 0}} = {p_1} $

(5)

初始条件：

$ {p_{t = 0}} = {p_1} $

(6)

式中  ν_o、ν_w——分别为油相和水相的渗流速度，m/s；

    K_o、K_w——分别为油相和水相的渗透率，D；

    ρ_o、ρ_w——分别为原油和水的密度，t/m³；

    μ_o、μ_w——分别为原油和水的黏度，mPa·s；

    p——压力，MPa；

    L——驱替距离，m；

    G_o、G_w——分别为油相和水相的启动压力梯度，MPa/m。

2 启动压力梯度的引入

低渗透油藏在开发过程中存在启动压力梯度，当压力梯度大于启动压力梯度时，渗流速度与压力梯度存在非线性关系^[19]，当压力梯度到达一定程度时，渗流速度与压力梯度呈线性关系。为研究启动压力梯度与渗透率的关系，选取渤海X油田岩心进行流量—压力梯度实验。

2.1 实验条件

模拟装置如图 2所示，实验原油采用煤油与原油的混合，模拟地层的温度为70℃，在该温度下，混合原油的黏度为4mPa·s，地层水采用NaCl:CaCl₂:MgCl₂按照一定比例配制，实验岩心选取渤海X油田沙二段1小层4口井的岩心, 岩心的基础数据见表 1。

2.2 实验步骤

(1) 测量不同岩心的渗透率；

(2) 制造束缚水，以不同的流速恒速注入原油，记录不同流量下的压力曲线；

(3) 对不同渗透率岩心进行反复试验；

(4) 绘制流量—压力梯度实验曲线。

实验得到束缚水饱和度下单相油拟启动压力梯度与空气渗透率的关系：

$ {G_{\rm{o}}} = 0.0808{\left( {\frac{{{K_{\rm{g}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}} \right)^{ - 0.4667}} $

(7)

式中  Kg——空气渗透率，mD。

对于水相启动压力梯度，宋付权等曾经提出^[20]：

$ {G_{\rm{w}}} = 0.1{G_{\rm{o}}} $

(8)

3 模型的求解与适用性分析 3.1 模型的求解

本文中建立的活塞式水驱油模型，采用小瘤演化的长度来表征指进程度，小瘤沿着自己的通道呈线性流动，在平面上对饱和度影响较小，可以忽略，为了简化模型，认为相对渗透率和绝对渗透率相等。同时为了方便讨论，假设油藏沿着驱替方向的非均质性是均匀变化的，渗透率的表达式可以表示为：

$ K = aL + b $

(9)

式中  K——油藏渗透率，D；

    a——渗透率梯度，D/m；

    b——初始的油层渗透率，D。

对于油相，将公式(1)、公式(9)代入公式(3)中，可以得到：

$ \left( {aL + b} \right)\frac{{{{\rm{d}}^2}p}}{{{\rm{d}}{L^2}}} + a\frac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}L}} + a\left( {{\rho _{\rm{o}}}g\sin \theta + {G_{\rm{o}}}} \right) = 0 $

(10)

在驱替速度ν的条件下，根据边界条件p_L=0=p₁可以得到指进前沿处油相压力：

$ {p_{\rm{o}}} = {p_1} - \left( {{\rho _{\rm{o}}}\sin \theta + {G_{\rm{o}}}} \right)L - \frac{{v{\mu _{\rm{o}}}}}{a}\ln \left( {\frac{{aL}}{b} + 1} \right) $

(11)

同样能够得到指进前沿处水相压力：

$ {p_{\rm{w}}} = {p_1} - \left( {{\rho _{\rm{w}}}\sin \theta + {G_{\rm{w}}}} \right)L - \frac{{{v_{\rm{w}}}{\mu _{\rm{w}}}}}{a}\ln \left( {\frac{{aL}}{b} + 1} \right) $

(12)

因为对于一维驱替同一平面只有一个压力，所以指进前沿处水相和油相压力相等，由于在驱替前沿p_L=0=p₁，但是对于水相和油相来说，压力方程不同，驱替速度不同。当ν_w＜ν时，指进会得到有效的抑制；当ν_w=ν时，指进会保持在原来的状况不再发展；当ν_w＞ν时，指进会变得更严重。

当ν_w＞ν时，由于驱替前沿处水相和油相压力相同即：

$ {p_{\rm{w}}} = {p_{\rm{o}}} $

(13)

由式公(11)、公式(12)和公式(13)可得：

$ {v_{\rm{w}}} = v\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}}} + \frac{{\left( {\Delta \rho g\sin \theta + \Delta G} \right)aL}}{{{\mu _{\rm{w}}}\ln \left( {\frac{{aL}}{b} + 1} \right)}} $

(14)

式中，Δρ=ρ_o-ρ_w，ΔG=G_o-G_w。

指进小瘤的相对运移速度ν_ΔL为：

$ {v_{\Delta {\rm{L}}}} = {v_{\rm{w}}} - v = v\left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}}} - 1} \right) + \frac{{\left( {\Delta \rho g\sin \theta + \Delta G} \right)aL}}{{{\mu _{\rm{w}}}\ln \left( {\frac{{aL}}{b} + 1} \right)}} $

(15)

在${\frac{{aL}}{b}}$比较小的情况下，公式(15)可以变为:

$ {v_{\Delta {\rm{L}}}} = {v_{\rm{w}}} - v = v\left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}}} - 1} \right) + \frac{{\left( {\Delta \rho g\sin \theta + \Delta G} \right)b}}{{{\mu _{\rm{w}}}}} $

(16)

3.2 模型的适用性分析

经典的水驱油理论包含活塞驱替和非活塞驱替两种类型。所谓的活塞驱替，就是指注入水跟活塞一样能够将可动油全部驱走的方式；而非活塞驱替是指被水驱替过的地方依然存在可动油的驱替方式。为了更有针对性地分析黏性指进的变化规律，本文在建立模型时进行了5个基本假设：①流体符合修正的达西定律；②不考虑毛细管压力；③等温渗流过程；④水和油不可压缩；⑤忽略扩散现象。其中假设①考虑了低渗透油藏的基本特点，常规油藏在开发过程中，毛细管压力较小，基本处于恒温状态下，水和原油的压缩性较小，扩散现象并不明显，因此在整个模型过程做了假设②、③、④和⑤。在这些基本假设的情况下，水驱油的过程认为是活塞式的，在此基础上建立了相应的数学模型并进行求解，具有一定的适用性。

4 低渗透油藏指进情况分析

根据以上低渗透油藏水驱油黏性指进的公式，对低渗透油田黏性指进情况进行分析。为了更加真实模拟实际油藏数据，指进分析时地质油藏特征以及原油和水的物性参数选自渤海X油田，油藏驱替速度根据X油田的日产油数据，按照孔祥言等^[21]水驱油物理模拟理论和相似准则进行折算。所用的基本参数如下：原油初始黏度为4mPa·s，地层水黏度为1mPa·s，原油密度为0.8g/cm³，地层水密度为1.0g/cm³，地层渗透率为30mD；油藏地层倾角为15°，油藏的驱替速度为0.1cm/s。

4.1 渗透率对黏性指进的影响

图 3为不同渗透率条件下的指进情况，可以看出，随着渗透率的增大，指进程度减轻。由公式(16)的第二项$\frac{{\left( {\Delta \rho g\sin \theta + \Delta G} \right)b}}{{{\mu _{\rm{w}}}}}$可以知道，指进速度随着启动压力梯度差ΔG的增大而增大，而根据公式(7)和公式(8)启动压力梯度差ΔG与渗透率负向相关，因此随着渗透率的增大，指进程度减轻。

4.2 密度差对指进程度的影响

图 4表示不同密度差条件下的指进情况，可以看出，在密度差较大的情况下，指进明显减轻，这是因为一般条件下油的密度小于水相密度，即Δρ＜0，重力是减小指进的一个因素，在较大密度差的条件，公式(16)第二项$\frac{{\left( {\Delta \rho g\sin \theta + \Delta G} \right)b}}{{{\mu _{\rm{w}}}}}$会减小，在第一项不变的情况下，指进运移速度减慢。

4.3 地层倾角对指进程度的影响

图 5为不同地层倾角条件下的指进情况，可以看出，地层倾角越大指进越小。这是因为重力作为减小指进的一个因素，在较大的地层倾角条件下，公式(16)第二项$\frac{{\left( {\Delta \rho g\sin \theta + \Delta G} \right)b}}{{{\mu _{\rm{w}}}}}$会减小，更能充分发挥重力的作用，减缓指进，因此，对于倾斜油藏来说，应该尽量从底部注入。

4.4 驱替速度对指进程度的影响

图 6为不同驱替速度条件下的指进情况对比，可以看出，驱替速度越大指进情况越严重。根据公式(16)第一项$v\left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}}} - 1} \right)$可以看出，驱替速度越大，指进小瘤的相对运移速度越大。因此为了控制指进，应该保持在一定驱替速度之内。

4.5 油水黏度比对指进程度的影响

图 7为不同油水黏度比条件下的指进情况对比，可以看出，油水黏度比越大指进情况越严重。当油水黏度比较大时，公式(16)第一项$v\left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}}} - 1} \right)$会较大，在第二项不变的情况下，指进的速度会变大，指进程度较严重；反之，指进程度较轻。

5 结论

(1) 针对渤海低渗透油藏黏性指进问题，建立了考虑启动压力梯度的一维驱替模型并进行求解，分析了渗透率、密度差、地层倾角、驱替速度和油水黏度比对指进运移的影响。

(2) 渗透率越大，密度差越大，地层倾角越大，指进程度就越轻；驱替速度越大，油水黏度比越大，指进程度就越严重。

(3) 限于篇幅原因，本文仅对低渗透油藏黏性指进开展了机理性研究，并未提出不同生产条件下的黏性指进发展状况，下一步将结合相似准则和本文成果提出有效控制黏性指进的具体参数。