页岩是一种渗透率极低的沉积岩，通常被认为是油气运移的天然遮挡。页岩气是指赋存于富有机质页岩中的非常规天然气，是连续生成的生物化学成因气、热成因气或二者混合成因，一部分气体以游离态储存在页岩孔隙和天然裂缝中；一部分以吸附态赋存于干酪根和黏土颗粒表面，甚至存在小部分气体以溶解态存储于干酪根和沥青质中^[1-3]。页岩气以游离气和吸附气为主，游离气通常占20%~85%。随着全球能源需求的不断攀升，页岩气作为重要的非常规资源已成为油气勘探和开发的热点。21世纪以来，随着页岩气地质与开发理论的创新和勘探开发关键技术的进步，尤其是水平井钻完井与分段压裂技术的进步及规模推广应用，页岩气进入商业开发阶段。美国早已进入页岩气藏的高速开发时期，在多个盆地实现了页岩气的商业性开采^[4-5]。中国页岩气技术可采资源量与美国相当，具有广阔的勘探开发前景。国内涪陵、长宁、威远和昭通示范区已陆续开始规模开采页岩气，目前正处于快速上产阶段^[6-12]。

页岩气藏与常规天然气藏最显著的区别在于它是一个“自生、自储”系统，且部分气体以吸附态存储于页岩基质中。页岩储层物性差，孔隙喉道半径已达到纳米级，孔隙度约为4%~6%，基质渗透率小于0.001mD，气井无自然产能，需要人工改造才能获得商业价值^[13]。与常规天然气开发相比，页岩气在储层中的流动包含解吸附、扩散和渗流等多种方式，页岩气井也因此具有较长的生产周期和产量递减期。页岩储层低渗致密特性和多种气体流动方式造就了复杂的流动机理，对现有实验测试和渗流理论提出了极大的挑战。在页岩气井产量及最终可采储量预测中，气藏数值模拟方法和解析求解方法的应用也受到了一定的限制^[14]。以经验模型为基础的产量递减分析方法具有操作简单、快速且只需要气井生产数据即可进行预测的优势，在页岩气井产量预测及分析中应用最为广泛^[15-21]。本文主要对国内外经验产量递减分析方法、模型、图版、适用条件、局限性及相应的改进方法进行了详细的论述，同时还给出了今后的研究重点，为经验产量递减分析方法在页岩气藏中的应用提供参考。

1 Arps递减分析方法 1.1 方法来源

Arnold等首先提出了油气井产量递减模式的概念^[22]，Johnson等进一步深化了油气井递减率的概念^[23]。Arps ^[24]在1945年针对具有较长生产时间且井底流动压力恒定或近似恒定的气井产量分析提出了Arps递减模型。利用产量（或累计产量）与时间的关系，该模型将油气井产量递减归纳为3种类型：指数递减、调和递减和双曲递减。Arps递减分析方法简单便捷且只需要生产数据（无需储层参数、钻完井参数）即可预测气井未来产量及最终可采储量，该方法不仅在油气井产量分析中被广泛应用，后续多种递减分析模型也都以Arps模型为基础。

1.2 基本模型

$ q(t) = \frac{{{q_{\rm{i}}}}}{{{{(1 + b{D_{\rm{i}}}t)}^{1/b}}}} $

(1)

式中 q(t)—不同时刻的气井产气量，m³/d；

q_i—初始产气量，m³/d；

b—产量递减指数；

D_i—初始递减率，d^-1；

t—时间，d。

1.3 典型图版

Arps递减根据递减速度快慢将递减方式划分为指数递减（b=0）、调和递减（b=1）和双曲递减（0 < b < 1），其中指数递减速度最快，调和递减速度最慢，图 1中给出了不同递减指数对应的Arps递减典型图版。

指数递减模式下递减率（D）为常数，产量（q）与时间（t）在半对数坐标上呈直线关系，产量（q）与累计产量（Q）在直角坐标中呈直线关系。由于上述直线关系，指数递减规律容易识别也便于应用。双曲递减模式下递减率不再为常数，引入递减指数（b）描述该变化规律，需要通过曲线拟合获取b值。调和递减模式下产量倒数（1/q）与时间（t）在直角坐标中呈直线关系，累计产量（Q）与产量自然对数（lnq）在半对数坐标中呈直线关系。表 1给出了Arps递减分析方法不同递减模式的基本模型。Arps产量递减分析结果主要受岩石流体性质、气藏几何形状与驱动机理和操作条件的影响^[25]。

1.4 适用条件

Arps递减分析方法适用条件包括^[25]：①油气井具有足够长的生产时间；②递减分析仅适用于衰竭式开发，只能对井底流动压力恒定或近似恒定条件下的生产数据进行分析，且要求生产数据连续稳定避免长时间关井；③生产数据需去除不稳定流阶段的产量数据，分析对象仅限于边界主导流阶段气井生产数据；④对于存在压力供给的油气藏，递减分析结果仅代表目前流动状态持续的时间段。

1.5 局限性

Arps递减分析方法的局限性主要来自以下3个方面：①分析结果仅代表当前开发状态下，关井、措施或加密钻井均影响气井的产量递减规律预测；②该方法仅能对处于边界主导流阶段的生产数据进行递减分析，不能用来分析不稳定流状态下油气井的生产数据，且要求油气井以井底流动压力恒定或近似恒定的生产方式；③调和递减持续时间不可预知，指数递减中产量最终会趋于零，因此调和递减必将在某个时刻转换为指数递减。Arps递减分析方法在实际应用过程中，如果气井生产时间较短，3种递减模式都能很好地拟合，但是累计产量趋势预测会出现较大的偏差。由于调和递减持续时间不可预知，该递减模式预测结果往往偏高。针对页岩气藏等低渗致密储层，气井不稳定流持续时间差异较大，需要首先判断流态才能应用Arps递减分析方法。实际页岩气井产量递减分析中，应用Arps递减模型拟合生产数据时得到的递减指数b值通常大于1，这是气井长期线性流的体现。

1.6 改进方法

为了避免双曲递减模式对油气井未来产量和累计产量预测结果偏高的问题，Robertson^[26]提出了改进双曲递减模型，对油气井产量递减数据分段进行拟合分析，第一阶段利用双曲递减进行分析，第二阶段应用指数递减进行分析。改进双曲递减模型的基本方程如下所示：

$ q(t) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{q_{\rm{i}}}}}{{{{(1 + b{D_{\rm{i}}}t)}^{1/b}}}}\;\;\;(D > {D_{\lim }})\\ {q_{\lim }}{{\rm{e}}^{-{D_{\lim }}(t-{t_{\lim }})}}\;\;\;(D \le {D_{\lim }}) \end{array} \right. $

(2)

式中 D_lim—进入第二阶段指数递减时的递减率，d^-1；

t_lim—进入第二阶段指数递减对应的生产时间，d。

改进双曲递减模型是在Arps递减模型基础上对油气井进入边界主导流阶段的生产数据进行分段拟合，该模型的适用条件与Arps递减模型适用条件相同。

2 幂指数递减分析方法 2.1 方法来源

以Arps递减模型为基础，Ilk等^[27-28]认为油气藏多层效应等多种因素会导致递减指数b发生变化，并在2008年提出用一个衰减幂指数函数表征气井不稳定流阶段、过渡流阶段和边界主导流阶段的递减率。

2.2 基本模型

$ D = {D_\infty } + {D_1}{t^{-(1-n)}} $

(3)

$ q(t) = {{\hat q}_{\rm{i}}}\exp [-{D_\infty }t-{{\hat D}_{\rm{i}}}{t^n}] $

(4)

其中

$ {\hat D_{\rm{i}}} = \frac{{{D_1}}}{n} $

式中 D—Arps递减模型中的递减率，d^-1；

D_∞—无穷大时间对应的递减率，d^-1；

D₁—第一个时间周期对应的递减率，d^-1；

n—时间指数；

${{\hat q}_{\rm{i}}} $—初始产气量，该参数区别于Arps递减模型中的初始产气量，m³/d；

${{\hat D}_{\rm{i}}} $—幂指数递减模型定义的递减率，d^-1。

2.3 典型图版

图 2给出了不同时间指数对应的幂指数递减模型递减率和无因次产量变化规律，随时间指数n增大，递减率下降速度变缓，产量递减速度变快。当时间指数等于1时，幂指数递减简化为Arps递减模型中的指数递减曲线，递减率为常数。

2.4 适用条件

幂指数递减模型认为Arps递减模型中的递减率随时间成幂指数变化规律。在气井生产初期，tⁿ项控制气井在不稳定流和过渡流阶段的产量递减特征。与Arps递减模型相比，幂指数模型拓宽了生产数据的分析范围（不稳定流、过渡流和边界主导流阶段的生产数据）。幂指数递减模型是Arps递减模型的扩展，其适用条件也同样是只能对井底流动压力恒定或近似恒定条件下的生产数据进行分析，且要求生产数据连续稳定避免长时间关井。

2.5 局限性

幂指数递减模型在Arps递减模型基础上拓宽了应用范围，可以对油气井不稳定流和过渡流阶段的生产数据进行递减分析。当时间无穷大时，D_∞控制气井的产量递减特征，幂指数递减模型简化为Arps的指数递减模型。幂指数递减模型的局限性也与Arps递减模型类似，预测产量和最终可采储量必须假定历史生产条件在未来保持不变。

2.6 改进方法

幂指数递减分析方法在实际应用过程中需要对4个参数$({{\hat q}_{\rm{i}}}, n, {D_\infty }, {{\hat D}_{\rm{i}}}) $进行拟合，实际操作中存在多解性问题，且不同拟合结果对应的产量预测差异较大。2009年，Mattar等^[29]基于前人的研究成果^[30-31]推导了长期线性流不稳定流阶段的解，针对气井在线性流、径向流和边界主导流阶段的幂指数递减进行了简化，称之为改进幂指数递减。改进幂指数递减分析方法将气井生产数据分段进行拟合分析，第一段为到达边界主导流之前的生产数据，第二段为边界主导流阶段的生产数据。根据长期线性流不稳定流阶段解^[30], 在不稳定流阶段幂指数递减模型可被进一步简化。进入边界主导流阶段，气井产量服从双曲递减并指出递减指数b=0.5。

改进幂指数递减模型：

$ q(t) = \left\{ \begin{array}{l} {{\hat q}_{\rm{i}}}\exp [{{\hat D}_{\rm{i}}}{t^n}]\;\;\;(不稳定流)\\ \frac{{{q_{{\rm{i -BDF}}}}}}{{{{(1 + 0.5{D_{{\rm{i -BDF}}}}t)}^2}}}\;\;(边界主导流) \end{array} \right. $

(5)

式中 q_i-BDF—气井进入边界主导流时刻的产气量，m³/d；

D_i-BDF—气井进入边界主导流时刻对应的递减率，d^-1。

改进幂指数递减模型是以进入边界主导流时刻为时间界限对生产数据进行分段分析。与Arps递减模型最主要的区别在于：幂指数模型和改进幂指数模型能够对气井到达边界主导流之前的不稳定流和过渡流阶段生产数据进行分析。

3 扩展指数递减分析方法 3.1 方法来源

Valkó^{[17, 32]}在2009年提出了扩展指数递减模型，该模型主要用于对均匀定期采集的生产数据进行产量递减分析，模型中以采集生产数据的周期来衡量时间。与Arps递减模型相比，扩展指数递减模型也完全基于经验公式，该模型的基础是一个非自治微分方程。扩展指数递减模型在Arps递减模型基础上修改了基本方程的理论形式。

3.2 基本模型

$ q({t_{{\rm{SEPD}}}}) = {q_{\rm{i}}}\exp [-{(\frac{{{t_{{\rm{SEPD}}}}}}{\tau })^n}] $

(6)

式中 q(t_SEPD)—不同周期数量对应的气井产气量，m³/d；

q_i—扩展指数递减模型定义的最大（或初始）产气量，m³/d；

t_SEPD—周期数量（如月产量数据则为月数）；

τ—扩展指数递减模型参数（周期特征数）。

3.3 典型图版

图 3给出了扩展指数递减的典型图版，即不同周期特征数（τ）对应的无因次产量与周期数量的关系曲线，以及无因次产量与无因次累计产量的关系曲线。

3.4 适用条件

扩展指数递减模型实际上是幂指数递减模型的特殊形式。由幂指数递减模型可知，当D_∞=0并用1/τⁿ替换${{\hat D}_{\rm{i}}} $，即可得到扩展指数递减模型。幂指数递减模型中，引入D_∞项是用于控制气井在无穷大时间段（边界主导流阶段）的产量递减特征。在不稳定流和过渡流阶段的产量递减特征主要受tⁿ项控制。由此可知，扩展指数递减模型并未考虑时间无穷大阶段（边界主导流阶段）产量递减特征，该模型仅适用于对气井在不稳定流和过渡流阶段的生产数据进行递减分析。

3.5 局限性

扩展指数递减模型仅能对不稳定流和过渡流阶段的油气井产量进行递减分析，同时该模型也要求气井以井底流动压力恒定或近似恒定模式进行生产，且要求油气井生产数据连续稳定避免长时间关井。

4 Duong递减分析方法 4.1 方法来源

Duong^[33-34]以多数页岩气井长期处于线性流阶段为前提给出了一种产量递减模型。该方法认为页岩气井中裂缝主导流往往持续较长时间并占据主导地位，气井很少能够到达晚期稳定流阶段。由于气井长期处于裂缝主导流阶段，无法确定储层基质渗透率和供气面积，说明与裂缝相比基质系统的贡献可以忽略不计。在井底流动压力恒定的条件下，产量(累计产量）与时间的双对数曲线是一条斜率为1的直线。由于实际现场的操作条件达不到理想状态，数据的相近性以及流动状态的改变会导致实际数据的斜率往往大于1（Arps递减模型应用于页岩气井产量递减分析时，拟合得到的递减指数b > 1）。页岩气井裂缝线性流可持续数年，唯一的区别就是不稳定线性流持续时间的长短。

4.2 基本模型

$ \frac{{q(t)}}{{{G_{\rm{p}}}}}{\rm{ = }}a{t^{-m}} $

(7)

$ q(t) = {q_1}{t^{- m}}{{\rm{e}}^{[\frac{a}{{1-m}}({t^{1-m}}-1)]}} $

(8)

式中 G_p—累计产气量，m³；

a—双对数曲线截距，d^-1；

m—双对数曲线斜率；

q₁—气井第一天产气量，m³/d。

4.3 典型图版

图 4给出了Duong递减模型不同参数值（m）对应的典型图版。随m值增大，气井峰值产量q_max与气井第一天产气量q₁差异增大，气井产量递减速度加快。当m趋近于1.00时，气井保持稳产。

4.4 适用条件

Duong递减模型和改进Duong递减模型用于页岩气水平井产量递减分析时，同样只能对井底流动压力恒定或近似恒定条件下的生产数据进行分析，且要求生产数据连续稳定避免长时间关井。

4.5 改进方法

改进Duong递减模型^[34]补充了页岩气井到达边界主导流后的递减分析方法，在线性流阶段应用Duong递减模型进行产量递减分析，当气井到达边界主导流之后应用Arps递减模型中的指数递减进行分析。

$ q(t) = \left\{ \begin{array}{l} {q_1}{t^{- m}}{{\rm{e}}^{[\frac{a}{{1-m}}({t^{1-m}}-1)]}}\;\;\;(线性流)\\ \frac{{{q_{{\rm{sfi}}}}}}{{{{(1 + b{D_{{\rm{ye}}}}t)}^{1/b}}}}\;\;\;(边界主导流) \end{array} \right. $

(9)

其中

$ {D_{{\rm{ye}}}} = \frac{{0.2}}{{{t_{{\rm{sfi}}}}}}\;\;\;{t_{{\rm{sfi}}}}{\rm{ = (1}}{\rm{.82}}a{{\rm{)}}^{1/(m-1)}} $

式中 q_sfi—裂缝干扰流开始时刻气井的产气量，m³/d；

D_ye—裂缝干扰流开始时刻气井的递减率，d^-1；

t_sfi—裂缝干扰流开始时间，d。

Duong递减模型和改进Duong递减模型的区别在于Duong递减仅能对线性流阶段气井生产数据进行分析，而改进Duong递减模型能够对线性流阶段和边界主导流阶段生产数据进行分段分析。

5 经验产量递减分析方法对比

不同经验产量递减分析方法之间最主要的差异是适用流态不同，表 2总结了现有经验产量递减分析方法的功能和适用条件。

页岩气井在投产之后会经历多个流态，准确认识和划分不同流态特征能够评价压裂效果并获取储层信息。页岩气水平井从开始生产到结束需经历6个流态，即早期双线性流、早期线性流、早期径向流、复合线性流、拟径向流和边界主导流^[35-36]。复合线性流与边界主导流持续时间长，特征显著，其他一些流态由于缺失或持续时间短难以通过诊断曲线进行识别。复合线性流的持续时间与页岩储层的基质渗透率、裂缝半长及裂缝复杂程度有关。页岩基质渗透率越低，诱导裂缝越长，复合线性流持续时间就越长，到达边界时间就越长。不同经验产量递减分析方法适用流态不同，准确识别和划分页岩气井流态是经验产量递减分析方法推广应用的关键。

由于北美页岩气藏已进入高速开发阶段，地表条件和地面管线配套完善，多数气井能够实现连续平稳的生产^[37-38]，气井生产数据连续便于进行产量递减分析，许多适用于定压生产方式的递减分析方法也得以广泛的应用。然而中国页岩气勘探开发起步较晚，例如目前已进入规模开发阶段的示范区，受地表条件及地面管线配套的限制，气井难以实现井底压力恒定的生产方式。国内示范区一部分气井采用前期变产量变压力，后期压力基本保持稳定产量递减的生产方式；还有一部分气井通过调整油嘴尺寸实现限产控压的生产方式，气井前期产量基本保持恒定压力下降，后期压力基本保持恒定产量快速下降。鉴于国内页岩气井的生产方式，经验产量递减分析方法在国内页岩气藏中的应用受到了一定的限制。只有准确获取气井在井底流动压力恒定或近似恒定条件下的生产数据，经验产量递减分析方法才能得以有效应用。

6 结论

(1) 页岩气水平井经验递减分析方法都具备产量预测和最终可采储量预测的功能，只能对井底流动压力恒定或近似恒定条件下的生产数据进行分析，且要求生产数据连续稳定避免长时间关井。

(2) 不同经验产量递减分析方法之间最主要的差异是适用流态不同，其中Arps递减和改进双曲递减仅适用于边界主导流，扩展指数递减和Duong递减适用于线性流，改进Duong递减、幂指数递减和改进幂指数递减适用于线性流和边界主导流。

(3) 准确识别和划分页岩气井流态是经验产量递减分析方法推广应用的关键。

(4) 国内页岩气井难以实现井底流动压力恒定或近似恒定的生产方式，如何准确将当前生产方式下气井的生产数据校正为定压生产条件下的生产数据是下一步经验产量递减分析方法的研究重点。