0 引言

水驱曲线法是水驱油藏进入中高含水期后油田预测开发指标及计算可采储量的有效动态评价方法^[1-3]。利用水驱曲线可以快速地计算水驱油田的可采储量，但通常由于水驱曲线反映的是累积量之间的关系，想要获得分年产量的预测比较困难^[4-6]。Arps^[7]提出了产量递减理论，以往研究水驱油藏递减规律一般采用Arps递减方法^[8-9]。Arps递减曲线的3种递减规律分别是指数递减、双曲递减、调和递减。Arps递减分析方法已成为产量递减阶段进行产量预测的重要方法，在国内外均得到了广泛应用^[10-12]，其最大的优点是能快速、便捷地预测油田的分年产量^[13-15]。为了使水驱曲线也能像Arps递减分析方法一样准确、快速地预测油田的分年产量，早在20世纪90年代就有学者^[16-17]开始研究两者之间的联系了。俞启泰^[16]总结了乙型和丙型水驱曲线在定液条件下分别符合Arps递减分析方法中的调和递减和递减指数为0.5的双曲递减。裴连君等^[17]、姚建^[18]、高文君等^[19]均认为甲型水驱曲线只在高含水阶段与Arps递减曲线有着相似的递减特征。裴连君等^[17]详细论证了甲型水驱曲线与Arps递减曲线的关系，并利用泰勒展开方法给出了含油率初值邻域内具有二阶精度的双曲递减计算公式，通过实例计算发现，该方法的产量预测剖面只在预测的初始几年内才与甲型水驱曲线产量预测的结果一致，而在预测的初始几年之后两者预测结果差异较大

研究甲型水驱曲线的修正方法是为了解决高含水期水驱曲线上翘问题^[20-21]。为了建立起甲型水驱曲线与Arps递减规律之间的联系，提高甲型水驱曲线预测油田分年产量的计算精度，通过对常用水驱曲线递减率公式的对比和分析，提出甲型水驱曲线含水率与含油率的幂函数拟合方法，以期实现准确、快速地预测油藏甲型水驱曲线的产量剖面。

1 含油率幂函数拟合方法的建立 1.1 水驱曲线递减率公式推导

根据Arps产量递减理论，定液生产条件下递减率公式^[4]可以表达为

$ D = - \frac{{{\rm{d}}{q_{\rm{o}}}}}{{{q_o}{\rm{d}}t}} = - \frac{{{\rm{d}}\left( {{q_1}{f_{\rm{o}}}} \right)}}{{\left( {{q_1}{f_{\rm{o}}}} \right){\rm{d}}t}} = \frac{{{\rm{d}}{f_{\rm{o}}}}}{{{f_{\rm{o}}}{\rm{d}}t}} $

(1)

式中：D为第t年的递减率，%；q_l为第t年的产液量，万m³；q_o为第t年的产油量，万m³；f_o为第t年的含油率，%。

由式(1)可知定液生产条件下产油量的递减率等于含油率的递减率。根据Arps递减规律[4]有

$ \frac{D}{{{D_i}}} = {\left( {\frac{{{q_{\rm{o}}}}}{{{q_{{\rm{oi}}}}}}} \right)^n} = {\left( {\frac{{{f_{\rm{o}}}}}{{{f_{{\rm{oi}}}}}}} \right)^n} $

(2)

式中：D_i为预测初始年的递减率，%；q_oi为预测初始年的产油量，万m³；f_oi为预测初始年的含油率，%；n为递减指数。

由式(2)可知，定液条件下Arps产量的递减率是含油率的幂函数。乙型和丙型水驱曲线均符合Arps递减规律，因此，它们的递减率公式是含油率的幂函数^{[16, 18]}。

根据甲型水驱曲线的含水率与累计产油公式的关系^[4]有

$ {N_{\rm{p}}} = \frac{1}{b}\left[ {\lg \frac{{{f_{\rm{w}}}}}{{1 - {f_{\rm{w}}}}} - \lg \left( {2.303b} \right) - a} \right] $

(3)

式中：N_p为累计产油量，万m³；a为水驱曲线截距；b为水驱曲线斜率，1/万m³；f_w为含水率，%。

对式(3)等号两边关于时间求导，并整理成含油率的表达式为

$ D = - \frac{{{\rm{d}}{f_{\rm{o}}}}}{{{f_{\rm{o}}}{\rm{d}}t}} = 2.303b{q_1}{f_{\rm{o}}}\left( {1 - {f_{\rm{o}}}} \right) $

(4)

式(4)即定液生产条件下甲型水驱曲线递减率公式，同理可以推导乙型和丙型水驱曲线在定液条件下的递减率计算公式(表 1)。

1.2 甲型水驱曲线递减率的表征

由表 1可知：定液条件下乙型和丙型水驱曲线的递减率均是含油率的幂函数，符合Arps递减规律，其递减指数分别为1.0和0.5，而甲型水驱曲线的递减率是含油率的二次函数，与含油率不是幂函数的关系，所以其精确解不符合Arps递减规律。

乙型和丙型水驱曲线在定液条件下均符合Arps递减规律，为了将甲型水驱曲线的递减率和Arps递减规律联系起来，根据甲型水驱曲线应用的条件，当含水率大于50%时，用含油率的幂函数来拟合含水率，则有

$ {f_{\rm{w}}} = mf_{\rm{o}}^{ - k}\;\;\;\;\left( {0 < m < 1,0 < k < 1} \right) $

(5)

式中：m为修正系数；k为修正指数。

结合式(4)和式(5)可以得到甲型水驱曲线的递减率为

$ D = - \frac{{{\rm{d}}{f_{\rm{o}}}}}{{{f_{\rm{o}}}{\rm{d}}t}} = 2.303b{q_1}mf_{\rm{o}}^{1 - k} $

(6)

因此，若当含水率大于50%时可以用含油率的幂函数来拟合含水率，则甲型水驱曲线可以等效为递减指数n = 1 - k的双曲递减。对式(6)分离变量积分并结合q_o = q_lf_o得到产油公式为

$ {q_{\rm{o}}} = {q_{{\rm{oi}}}}{\left[ {1 + 2.303mb{q_1}f_{{\rm{oi}}}^{1 - k}\left( {1 - k} \right)t} \right]^{ - \frac{1}{{1 - k}}}} $

(7)

由于油田含水率是逐渐升高的，因此，不同含水阶段要用不同的修正系数和修正指数来表征甲型水驱曲线的递减规律，下面对不同含水阶段含油率幂函数拟合的可行性进行分析。

2 含油率幂函数拟合可行性分析

为了分析含油率幂函数拟合的可行性，建立2个函数f_w1 = 1 - f_o和f_w2 = mf_o^-k，对于一定的修正系数m和修正指数k，f_o ∈ (f_o1, f_o2)不能全部满足f_w1 = f_w2，因此，只能寻求最佳m和k，使得f_o ∈ (f_o1, f_o2)时，f_w1和f_w2无限逼近，即求f_o ∈ (f_o1, f_o2)区间内方差函数y的最小值。

$ y = {R^2} = \frac{1}{{{f_{{\rm{o2}}}} - {f_{{\rm{o1}}}}}}\int_{{f_{{\rm{o1}}}}}^{{f_{{\rm{o2}}}}} {{{\left( {{f_{{\rm{w1}}}} - {f_{{\rm{w2}}}}} \right)}^2}} {\rm{d}}{f_{\rm{o}}} $

(8)

式中：R为拟合误差，%。

图 1显示了含水率大于80%，即含油率f_o ∈ (0.02, 0.20)时，幂函数最佳拟合参数m和k分别为0.716和0.092。以下为具体计算方法。

对方差函数$y = \frac{1}{{{f_{{\rm{o2}}}}-{f_{{\rm{o1}}}}}}{\int_{{f_{{\rm{o1}}}}}^{{f_{{\rm{o2}}}}} {\left({{f_{{\rm{w1}}}}-{f_{{\rm{w2}}}}} \right)} ^2}{\rm{d}}{\mathit{f}_{\rm{o}}}$求积分得

$ \begin{array}{l} y = \frac{1}{{{f_{{\rm{o2}}}} - {f_{{\rm{o1}}}}}}\left[ {{m^2}\frac{{f_{{\rm{o2}}}^{1 - 2k} - f_{{\rm{o1}}}^{1 - 2k}}}{{1 - 2k}} - 2m\left( {\frac{{f_{{\rm{o2}}}^{1 - k} - f_{{\rm{o1}}}^{1 - k}}}{{1 - k}}} \right.} \right. - \\ \;\;\;\;\;\left. {\left. {\frac{{f_{{\rm{o2}}}^{2 - k} - f_{{\rm{o1}}}^{2 - k}}}{{2 - k}}} \right) - \frac{{{{\left( {1 - {f_{{\rm{o2}}}}} \right)}^3} - {{\left( {1 - {f_{{\rm{o1}}}}} \right)}^3}}}{3}} \right] \end{array} $

(9)

对于式(9)中给定的f_o1和f_o2，y可以看作是m和k的函数，令$\frac{{\partial y}}{{\partial m}} = 0$和$\frac{{\partial y}}{{\partial k}} = 0$便可求得m和k的值。由于$\frac{{\partial y}}{{\partial k}} = 0$求解复杂，而对于某一特定的k，y是m的二次函数有最小值，因此，可以对k采用枚举法来求取式(9)的最小值。一般而言，含水率达到98%时所对应的含油率为2%，因此，通常含油率的下限值f_o1 = 2%，利用以上方法通过选取不同含油率(10%，20%，30%，40%，50%)的上限值f_o2，就可以计算不同含水阶段的修正系数m和修正指数k以及拟合误差R。

表 2给出了不同含水阶段对应的m和k的值及其相应的拟合误差R。从表 2可知：随着含水率上升，用含油率的幂函数来拟合含水率的误差逐渐降低；当含水率大于70%时，其拟合的误差小于2.81%。图 2为根据式(4)和式(6)绘制的2.303 b q_l = 1情况下不同含水阶段甲型水驱曲线递减率与近似表征方法递减率的拟合效果。由图 2可以看出，当含水率为50%和60%时，递减率的拟合效果虽然在全局最优，但在含油率的上限值附近拟合效果较差，而当含水率达到70%时，拟合效果不仅全局最优且在含油率上限值附近拟合效果也非常好。因此，当含水率大于70%时，可以用含油率的幂函数来拟合含水率等效表征甲型水驱曲线递减率。

3 实例计算

以渤海Q油田北区块为例，根据历史生产数据(表 3)拟合了甲型水驱曲线及相关计算方法的参数(表 4)。利用式(3)可以求得含水率达到极限值98%时甲型水驱曲线的累计产油量，而预测2017年以后定液生产的产量剖面一般采用数值方法。

3.1 不同计算方法求解过程

按照以下步骤采用编程方法可以求出该实例中甲型水驱曲线预测的产量剖面：①假设第n + 1年的产油量为q_o (n + 1)，利用q_o = q_l(1 - f_w)以及式(3)计算累计产油量N_p (n + 1)，再根据${\tilde q}$_o (n + 1) = N_p (n + 1) - N_p (n)计算${\tilde q}$_o (n + 1)，若|q_o(n + 1) -${\tilde q}$_o(n + 1)| < 1 × 10^-6，则输出q_o (n + 1)；②若| q_o (n + 1)-${\tilde q}$_o (n + 1)| ≥ 1 × 10^-6，则令q_o (n + 1) =${\tilde q}$_o (n + 1)，返回步骤①继续计算，直至结束。

数值方法需要编程迭代计算，求解较为复杂。为了快速预测甲型水驱曲线的产量剖面，根据表 2含水率大于70%时含油率幂函数拟合方法的m和k值，利用式(7)得到双曲递减公式为

$ {q_{\rm{o}}} = {q_{{\rm{oi}}}}{\left( {1 + 0.294\;6 \times 0.871t} \right)^{ - \frac{1}{{0.871}}}} $

(10)

根据泰勒展开方法^[17]得到的双曲递减公式为

$ {q_{\rm{o}}} = {q_{{\rm{oi}}}}{\left( {1 + \frac{{0.280}}{{1.384}}t} \right)^{ - 1.384}} $

(11)

3.2 不同计算方法预测结果分析

利用以上3种方法分别预测了渤海Q油田北区块的产量曲线(图 3)，从预测结果可以看出：在预测初始6年内(2018—2023年)2种近似方法预测与数值方法计算的甲型水驱产量曲线差异不大，而当预测达到6年之后(2024—2045年)，泰勒展开方法与数值方法计算的甲型水驱产量曲线的误差逐渐增大，而本文提出的含油率幂函数拟合方法则一直保持着比较好的拟合效果。

图 4为用不同方法计算的递减率预测结果，从图中可以看出不同方法计算的递减率存在差异，采用幂函数拟合方法计算的递减率与数值方法的结果更为接近，而采用泰勒展开方法计算的递减率比数值方法的结果偏大。其原因在于，泰勒展开方法采用的是含油率初值邻域内二阶精度的拟合，而幂函数拟合方法采用的是整个含油率拟合段内方差函数的最小值拟合，因此，本文提出的幂函数拟合方法在甲型水驱曲线产量预测的整个过程中拟合效果都更好。

利用式(3)计算得出渤海Q油田北区块甲型水驱曲线达到极限含水率98%时的累计产量为722.59万m³。表 5为利用不同方法得到极限含水率为98%时的累计产量，可以看出与利用式(3)计算的累计产量相比，根据幂函数拟合方法产量曲线求得的累计产量仅相差4.32万m³，而根据泰勒展开方法求得的累计产量却相差26.02万m³，这也进一步验证了幂函数拟合方法的计算精度更高。

4 结论

(1) 通过对常用水驱曲线递减率公式的对比、分析，建立了含水率与含油率的幂函数关系，得到了甲型水驱曲线在不同含水阶段近似的Arps递减规律表达式，即含油率幂函数拟合方法，实例应用表明该方法计算精度较高。

(2) 利用方差函数最小值分析方法来求取含油率幂函数拟合的参数，通过计算发现，当含水率大于70%时，甲型水驱曲线递减率可以用Arps递减规律来近似表征，其拟合误差小于2.81%，表明含油率幂函数拟合方法适用于符合甲型水驱特征且含水率大于70%的油藏。

(3) 实例验证表明，由于泰勒展开方法采用的是含油率初值邻域内二阶精度的拟合，而幂函数拟合方法采用的是整个含油率拟合段内方差函数的最小值拟合，因此，本文提出的幂函数拟合方法在甲型水驱曲线预测的整个过程中拟合效果都更好。