2017, Vol. 29
2. 中国石油大学(华东)石油工程学院, 山东 青岛 266580;
3. 中国石油勘探开发研究院, 北京 100083
2. College of Petroleum Engineering, China University of Petroleum, Qingdao 266580, Shandong, China;
3. PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration & Development, Beijing 100083, China
我国低渗透油藏分布广泛[1-3]，但采出程度普遍较低，而CO2吞吐可以大幅提高采收率[4-5]，并且可以减轻温室效应[6-8]。CO2吞吐提高采收率所具有的原油体积膨胀、降低原油黏度及提高油藏中流体渗透率等[9-11]机理的存在，导致其压力动态变化曲线与普通开采方式下的压力动态曲线有所不同。国内外学者已经陆续进行了CO2吞吐实验[12-13]、CO2吞吐数值模拟[14-15]、CO2吞吐选井方法及工艺研究[16-17]，但总体上对CO2吞吐压力响应理论的研究较少，而对CO2驱过程的压力响应模型研究较多。在实际应用中，CO2驱应该是多井模型，但文献建立的压力响应模型大多是单井模型，此类成果对CO2吞吐模型的建立有一定借鉴意义。对于CO2驱压力响应模型，目前相关文献已有报道，Macallister[18]利用三区复合油藏对注CO2和富气进行了分析；Tang等[19]建立了三区复合油藏模型来表征CO2驱的过程，并进行了压力动态分析，但未对CO2驱的特点进行表征；Su等[20]在考虑了井筒储存系数的前提下，建立了三区复合油藏模型来表征CO2驱；苏玉亮等[21]和李友全等[22]通过对三区复合油藏过渡段的流体非均质性进行修正，来体现CO2驱的特征；Li等[23]建立了基于组分模型的CO2驱压力动态分析模型，但其并未考虑低渗透的特征。目前的研究大多是利用复合油藏模型对CO2驱油进行分析，难以表征CO2浓度的动态变化，并且对低渗透油藏的特征也未详细描述[24]。因此，拟针对低渗透油藏CO2吞吐的注入过程，利用CO2浓度分布来表征流体性质平面非均质性，利用启动压力梯度以及渗透率模数表征油藏低渗透特性，建立CO2吞吐压力动态模型，并通过数值方法对模型进行求解，最后分析启动压力梯度、渗透率模数、CO2注入速度及CO2扩散系数对压力动态曲线的影响。
1 模型建立与求解 1.1 物理模型与基本假设设圆形封闭边界气藏中心有一口井，井筒半径为rw，油藏外边界为Re，定井底流量注入。物理模型如图 1所示。
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下载eps/tif图 图 1 CO2吞吐物理模型示意图 Fig. 1 Schematic diagram of CO2huff and puff physical model |
在建立模型时作以下假设：①在CO2浓度模型中忽略岩石和流体的压缩性，在压力动态模型中考虑岩石和流体的压缩性；②CO2在恒温条件下注入；③只考虑沿径向方向上的扩散；④油藏为圆形、等厚、均质油藏；⑤不考虑注入流体与岩石和原油的化学反应及吸附作用；⑥扩散系数为定值；⑦油藏中的渗流存在启动压力梯度和应力敏感效应。
1.2 CO2浓度分布在CO2吞吐过程中，当井底压力高于CO2与原油的混相压力时，会出现混相[25]，而混相过程中通常存在扩散现象[26]。
1.2.1 数学模型根据物质的量守恒定律，有
| $ - \frac{{\partial {Q_{\rm{i}}} \cdot c}}{{\partial r}} - \frac{{\partial J \cdot 2{\rm{ \mathit{ π} }}rh}}{{\partial r}} = \frac{{\partial Ac}}{{\partial t}} $ | (1) |
式中：Qi为CO2注入速度，cm3/s；c为CO2与原油混相后的浓度，mol/cm3；J为多孔介质中单位时间内通过的与扩散方向垂直的单位面积的扩散通量，mol/（cm2·s）；h为油藏厚度，cm；r为距井筒中心的距离，cm；A为r处的纵向面积，cm2；t为时间，s。
根据Fick定律，有J =-D▽c，代入式（1）可得
| $ D\frac{{{\partial ^2}c}}{{\partial {r^2}}} + \left( {D - \frac{{{Q_{\rm{i}}}}}{{2{\rm{ \mathit{ π} }}h}}} \right)\frac{1}{r}\frac{{\partial c}}{{\partial r}} = \frac{{\partial c}}{{\partial t}} $ | (2) |
式中：D为多孔介质中CO2在原油中的扩散系数，cm2/s。
初始条件下，地层中CO2浓度为0，即
| $ c\left( {r,0} \right) = 0 $ | (3) |
内边界定注入速度条件下有
| $ {Q_{\rm{i}}}{c_0} = - D\frac{{\partial c}}{{\partial r}}2{\rm{ \mathit{ π} }}{r_{\rm{w}}}h + {Q_{\rm{i}}}c $ | (4) |
式中：c0为注入端的CO2初始浓度，mol/cm3；rw为井筒半径，cm。
外边界封闭条件下，浓度变化率为0，即
| $ \frac{{\partial c}}{{\partial r}} = 0 $ | (5) |
定义
浓度变化方程：
| $ \begin{array}{l} \frac{{c_{{\rm{D}}i + 1}^n - 2c_{{\rm{D}}i}^n + c_{{\rm{D}}i - 1}^n}}{{{\psi ^2}}} - K\left( {\frac{{3c_{{\rm{D}}i}^n - 4c_{{\rm{D}}i - 1}^n + c_{{\rm{D}}i - 2}^n}}{{2 \times \psi }}} \right) = \\ {{\rm{e}}^{ - 2\left( {i - 1} \right)\psi }}\frac{{c_{{\rm{D}}i}^n - c_{{\rm{D}}i}^{n - 1}}}{{\tau \left( n \right)}}\;\;\;\;\;i = 2, \cdots ,N;n = 2, \cdots ,M \end{array} $ | (6) |
初始条件：
| $ c_{{\rm{D}}i}^0 = 0\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,N + 1 $ | (7) |
内边界条件：
| $ K = Kc_{{\rm{D}}1}^n - {{\rm{e}}^{ - \left( {i - 1} \right)\psi }}\frac{{c_{{\rm{D}}2}^n - c_{{\rm{D}}1}^n}}{\psi }\;\;\;\;n = 1,2, \cdots ,M + 1 $ | (8) |
外边界条件：
| $ 3c_{{\rm{D}}N + 1}^n - 4c_{{\rm{D}}N}^n + c_{{\rm{D}}N - 1}^n = 0\;\;\;\;n = 1,2, \cdots ,M + 1 $ | (9) |
不同位置处的流体非均质性主要体现在黏度上。在获得浓度分布的基础上，对于混相后的混合流体的黏度，可按照下式进行处理[27-28]，即将黏度代入渗流方程实现两场的耦合：
| $ \ln \left( {{\mu _{{\rm{mix}}}}} \right) = {c_{\rm{D}}}\ln \left( {{\mu _{\rm{g}}}} \right) + \left( {1 - {c_{\rm{D}}}} \right)\ln \left( {{\mu _{\rm{o}}}} \right) $ | (10) |
式中：μmix为CO2与原油在cD浓度下的混合黏度，mPa·s；μg为CO2在初始浓度c0下的黏度，mPa·s；μo为原油的黏度，mPa·s。
1.3.2 低渗透特性的引入在考虑启动压力梯度的条件下，考虑地层流体黏度的变化，有运动方程
| $ v = - \frac{k}{{{\mu _{{\rm{mix}}}}}}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial r}} - \lambda } \right)\;\;\;{r_{{\rm{we}}}} < r < {R_{\rm{e}}} $ | (11) |
式中：v为渗流速度，cm/s；k为地层中压力为p时流体的渗透率，D；λ为启动压力梯度，10-1 MPa/cm；p为油藏压力，10-1 MPa；rwe为考虑表皮系数影响的井筒半径，cm；Re为油藏外边界半径，cm。
应力敏感性通过渗透率体现，油藏压力越大，渗透率越高，即
| $ k = {k_0}{{\rm{e}}^{\varepsilon \left( {p - {p_0}} \right)}} $ | (12) |
式中：ε为渗透率模数，10 MPa-1；k0为原始油藏压力下的渗透率，D。
1.3.3 数学模型（1）渗流微分方程
在考虑流体性质非均质性、低渗透特性的基础上，可以得到渗流微分方程，即
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left[ {r{{\rm{e}}^{\left( {{c_1} + \varepsilon } \right)\left( {p - {p_0}} \right)}}\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial r}} - \lambda } \right){{\left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{g}}}}}} \right)}^{{c_{\rm{D}}} - 1}}} \right] = \frac{{{\varphi _0}{\mu _{\rm{g}}}}}{{{k_0}}}\frac{\partial }{{\partial t}}{{\rm{e}}^{\left( {{c_1} + {c_{\rm{p}}}} \right)\left( {p - {p_0}} \right)}}}\\ {{r_{{\rm{we}}}} < r < R} \end{array} $ | (13) |
式中：p0为初始条件下的压力，10-1 MPa；c1为液体的压缩系数，10 MPa-1；φ为压力为p时的孔隙度；φ0为初始条件下的孔隙度；cp为岩石孔隙的压缩系数，10 MPa-1。
用
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {r^2}}} + \left[ {\frac{1}{r} - \lambda \left( {{c_1} + \varepsilon } \right) + \ln \left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{g}}}}}} \right)\frac{{\partial {c_{\rm{D}}}}}{{\partial r}}} \right]\frac{{\partial p}}{{\partial r}} + \left( {{c_1} + \varepsilon } \right){{\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial r}}} \right)}^2} - }\\ {\frac{\lambda }{r} - \ln \left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{g}}}}}} \right)\frac{{\partial {c_{\rm{D}}}}}{{\partial r}}\left( \lambda \right) = \frac{1}{\eta }{{\left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{g}}}}}} \right)}^{1 - {c_{\rm{D}}}}}{{\rm{e}}^{\left( {{c_{\rm{p}}} - \varepsilon } \right)\left( {p - {p_0}} \right)}}\frac{{\partial p}}{{\partial t}}} \end{array} $ | (14) |
（2）定解条件
在初始条件下，地层压力为初始油藏压力，即
| $ p\left( {r,0} \right) = {p_0} $ | (15) |
在内边界定流量注入条件下，有
| $ 2{\rm{ \mathit{ π} }}\frac{{kh}}{{{\mu _{\rm{g}}}{{\left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{g}}}}}} \right)}^{1 - {c_{\rm{D}}}}}}}\left[ {r\left( {\frac{{\partial p}}{{\partial r}} - \lambda } \right)} \right]\left| {_{r = {r_{{\rm{we}}}}}} \right. = - qB + C\frac{{{\rm{d}}{p_{\rm{w}}}}}{{{\rm{d}}t}} $ | (16) |
式中：q为产量，cm3/s；C为井筒储存系数，10 cm3/MPa；pw为井底压力，10-1MPa。
外边界条件封闭，无流体的流入与流出，有
| $ \frac{{\partial p\left( {{R_{\rm{e}}},t} \right)}}{{\partial r}} = 0 $ | (17) |
引入以下无量纲参数：
沿xD方向取步长为κ，共划分为N份；沿TD方向取步长为o，共划分为M份；按照全隐式的有限差分方法，对以上无量纲化的各式进行差分离散[29]。
渗流微分方程：
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{p_{{\rm{D}}i + 1}} - 2{p_{{\rm{D}}i}} + {p_{{\rm{D}}i - 1}}}}{{{\kappa ^2}}} + \left[ { - {\lambda _{\rm{D}}}\left( {{\varepsilon _{\rm{D}}} + {c_{1{\rm{D}}}}} \right){{\rm{e}}^{\left( {i - 1} \right)\kappa - s}} + \ln \left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{g}}}}}} \right)\frac{{{c_{{\rm{D}}i + 1}} - {c_{{\rm{D}}i - 1}}}}{{2\kappa }}} \right]\frac{{{p_{{\rm{D}}i + 1}} - {p_{{\rm{D}}i - 1}}}}{{2\kappa }} -\\ \left( {{\varepsilon _{\rm{D}}} + {c_{1{\rm{D}}}}} \right){{\left( {\frac{{{p_{{\rm{D}}i + 1}} - {p_{{\rm{D}}i - 1}}}}{{2\kappa }}} \right)}^2} + {{\rm{e}}^{\left( {i - 1} \right)\kappa - s}}{\lambda _{\rm{D}}} + } {\ln \left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{g}}}}}} \right)\frac{{{c_{{\rm{D}}i + 1}} - {c_{{\rm{D}}i - 1}}}}{{2\kappa }}{{\rm{e}}^{\left( {i - 1} \right)\kappa - s}}{\lambda _{\rm{D}}} = {{\left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{g}}}}}} \right)}^{1 - {c_{{\rm{D}}i}}}}\\ \frac{{{{\rm{e}}^{\left( {{\varepsilon _{\rm{D}}} + {c_{{\rm{pD}}}}} \right){p_{{\rm{D}}i}} - 2s + 2\left( {i - 1} \right)\kappa }}}}{{{C_{\rm{D}}}o\left( n \right)}}\left( {p_{{\rm{D}}i}^n - p_{{\rm{D}}i}^{n - 1}} \right)} \end{array} $ | (18) |
初始条件：
| $ p_{{\rm{D}}i}^0 = 0\;\;\;\;i = 1,2, \cdots ,N $ | (19) |
内边界条件：
| $ {{\rm{e}}^{ - {\varepsilon _{\rm{D}}}p_{{\rm{D}}i}^n}}{\left( {\frac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{g}}}}}} \right)^{{c_{\rm{D}}} - 1}}\left( {\frac{{p_{{\rm{D2}}}^n - p_{{\rm{D1}}}^n}}{\kappa } + {\lambda _{\rm{D}}}{{\rm{e}}^{ - s}}} \right) = - 1 + \frac{{p_{{\rm{D1}}}^n - p_{{\rm{D1}}}^{n - 1}}}{{o\left( n \right)}} $ | (20) |
外边界条件：
| $ p_{{\rm{D}}N + 1}^n - p_{{\rm{D}}N}^n = 0\;\;\;n = 1,2, \cdots ,M $ | (21) |
结合相关文献[30-31]，给出以下参数：封闭均质圆形油藏中心一口井的CO2注入速度为30 m3/d，油藏厚度为5 m，多孔介质中CO2在原油中的扩散系数为3×10-7 m2/s，井筒半径为10 cm，油藏外边界半径为200 m，初始渗透率为10 mD，综合压缩系数为4×10-5 MPa-1，启动压力梯度为0.01 MPa/m，体积系数为1.12，井筒储存系数为10-6 m3/MPa，渗透率模数为10-3 MPa-1，表皮系数为2，原油初始黏度为0.35 mPa·s，CO2黏度为0.05 mPa·s。将以上数据代入数学模型，可以得到CO2注入过程中的浓度变化曲线（图 2）与压力动态变化曲线（图 3）。
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下载eps/tif图 图 2 低渗透油藏CO2浓度变化曲线 Fig. 2 Change of CO2 concentration with time in low permeability reservoir |
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下载eps/tif图 图 3 低渗透油藏CO2吞吐压力动态变化曲线 Fig. 3 Pressure transient of CO2 huff and puff in low permeability reservoir |
在实际应用中，可以将通过试井手段与本文模型得到的2种压力动态变化曲线进行拟合，获得地层渗透率、流体黏度等信息。压力导数的第2个波峰是CO2浓度前缘，该波峰后的波谷表示压力波传播到油藏边界。
2 模型验证 2.1 与三区复合油藏解析模型的对比鉴于常规CO2驱模型的试井分析通常基于复合模型，并且复合模型为解析解，可靠性高[32]，因此，将本文所建模型与三区复合模型进行对比，以验证本文模型的正确性。2种模型使用相同的参数，得到相应的曲线如图 4所示。
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下载eps/tif图 图 4 本文模型与三区复合模型对比验证 Fig. 4 Comparison between the model and the composite model |
从图 4可以看出，2种模型在相同的参数条件下，所得到的压力动态曲线几乎重合，从而验证了本文模型的正确性。复合模型由于需要数值反演，在封闭边界条件下，早期阶段其曲线不完整，并且复合模型采用解析的方法，不能考虑启动压力梯度和应力敏感的机理，而本文模型可以在一定程度上体现以上机理。
2.2 与数值模拟模型的对比将本文所建模型与Eclipse数值模拟结果进行比较，以验证本文模型的正确性。模型中原油组分如表 1所列，相应的储层参数如表 2所列。
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下载CSV 表 1 原油组分 Table 1 Composition of crude oil |
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下载CSV 表 2 流体及储层物性参数 Table 2 Parameters of fluid and reservoir property |
将数学模型与数值模拟的结果进行比较（图 5），可以看出二者压力导数曲线有较好的拟合关系。因此，可以运用所建立的模型分析CO2注入过程的压力动态变化。通过拟合压力曲线可以获得扩散系数，相应的浓度分布模型便可反映CO2的浓度分布规律。
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下载eps/tif图 图 5 本文模型与数值模拟的压力导数曲线的拟合关系 Fig. 5 Fitting of pressure derivative curve between model and numerical simulation |
低渗透油藏中因启动压力梯度的存在，导致流体在注入CO2后不能立即流动，当压力克服启动压力梯度之后才可以流动[33-34]。分别变化启动压力梯度为0 MPa/m，0.01 MPa/m，0.02 MPa/m，0.03 MPa/m，得到压力动态变化曲线如图 6所示。从图 6可以看出，在中后期，由于启动压力梯度的存在，压力和压力导数曲线均出现上翘，并且启动压力梯度越大，上翘的时间越早，压力与压力导数曲线上升的幅度越大，斜率越大。这是由于启动压力梯度越大，阻力越大，在井底的压力值越高。
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下载eps/tif图 图 6 不同启动压力梯度下的压力和压力导数曲线 Fig. 6 Pressure and pressure transient curves under different start-up pressure gradient |
渗透率模数的定义为
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下载eps/tif图 图 7 不同渗透率模数下的压力和压力导数曲线 Fig. 7 Pressure and pressure transient curves under different permeability modulus |
CO2的注入速度对其浓度的扩散和注入压力的变化均有影响。一方面，注入速度与井底压力有直接关系；另一方面，注入速度对CO2浓度分布有影响，进而间接影响压力的传播。分别变化井底CO2注入速度为10 m3/d，20 m3/d，30 m3/d，40 m3/d，得到压力和压力导数曲线如图 8所示。从图 8可以看出，随CO2注入速度的加快，压力和压力导数曲线均表现为上升趋势，波及区与未波及区的界限（压力导数曲线的“驼峰”位置）也越明显。这是由于注入速度越快，CO2在地层中的浓度分布越不均匀所导致。
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下载eps/tif图 图 8 不同CO2注入速度下的压力和压力导数曲线 Fig. 8 Pressure and pressure transient curves under different CO2 injection rate |
在距离井筒中心43.73 m处观测CO2浓度随时间的变化，4种注入速度下的浓度变化曲线如图 9所示；在注入CO2后第288天，观测径向上的浓度分布（图 10）。可以看出，随着注入速度的增大，CO2浓度扩散速度加快。
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下载eps/tif图 图 9 距离井筒中心43.73 m处不同CO2注入速度下的浓度变化曲线 Fig. 9 Concentration change curves under different CO2 injection rates at 43.73 m |
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下载eps/tif图 图 10 注入CO2后第288天不同CO2注入速度下的浓度分布曲线 Fig. 10 Concentration distribution curves under different CO2 injection rates for 288 days |
扩散系数表征的是单位时间内CO2的扩散面积，其取值的差别同样会影响CO2浓度的分布和黏度的变化。变化扩散系数为3×10-7 m2/s，3×10-6 m2/s，3×10-5 m2/s和3×10-4 m2/s，得到压力和压力导数曲线如图 11所示。从图 11可以看出，扩散系数越大，压力与压力导数越大，波及区与未波及区的界限越不明显。这是因为随扩散系数增大，相同量的CO2更多地扩散到地层深处，而波及区域的浓度却很低，故界限不明显。
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下载eps/tif图 图 11 不同CO2扩散系数下的压力和压力导数曲线 Fig. 11 Pressure transient curves under different diffusion coefficient |
在距离井筒中心43.73 m处观测CO2浓度随时间的变化，4种扩散系数下的浓度变化曲线如图 12所示；在注入CO2后第288天，观测径向上的浓度分布（图 13）。可以看出，对于油藏的某一位置（如距离井筒中心43.73 m处），扩散系数越大，CO2波及的时间越早，达到最大CO2浓度的时间越晚；对于CO2注入后的同一时间点（如注入后第288天），扩散系数越大，CO2波及的范围越广，各位置的CO2浓度值越低。在矿场应用时，通过试井过程拟合压力与压力导数曲线，可以得到扩散系数，进一步利用浓度方程可以确定CO2浓度的分布形式。
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下载eps/tif图 图 12 距离井筒中心43.73 m处不同扩散系数下的CO2浓度变化曲线 Fig. 12 Concentration variation curves under different diffusion coefficients at 43.73 m |
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下载eps/tif图 图 13 注入CO2后第288天不同扩散系数下的浓度变化曲线 Fig. 13 Concentration variation curves under different diffusion coefficients for 288 days |
（1）基于Fick定律以及达西渗流方程，建立了考虑流体非均质性和低渗透特性的CO2吞吐压力动态模型，并利用三区复合模型以及数值模拟软件验证了模型的正确性。本文模型具有计算简单、快捷的特点，可以用来确定地层参数与CO2的浓度分布，对CO2吞吐试井分析具有借鉴意义。
（2）启动压力梯度越大，CO2注入压力越大，压力及压力导数曲线斜率也越大；渗透率模数越大，压力及压力导数曲线末期斜率越小。
（3）CO2注入速度越快，其注入压力越大，浓度扩散越快，CO2在储层中的分布范围越广，波及区与未波及区的界限越明显。
（4）CO2扩散系数越大，其在平面上的浓度差异性越小，储层流体性质的非均质性越小，波及区与未波及区界限越不明显。
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