2017, Vol. 29
页岩储层微孔（< 2 nm）、介孔（2~50 nm）、宏孔（> 50 nm）以及微裂缝发育，属于典型的多尺度储渗空间[1-3]；自由气与吸附气共存是页岩气藏的另一典型特征。自由气多以压缩态储存于裂缝及宏孔内部；吸附气则赋存于微纳米级孔隙以及干酪根表面[4-6]。裂缝和宏孔中的自由气满足分子连续性假说，可用Navier-Stokes（N-S）方程表征；纳米级孔隙中气体分子平均自由程与孔隙特征尺寸相当，须要考虑多种渗流机理的耦合作用[7-10]。
无机质纳米级孔隙内气体黏性流动可用滑移边界条件的N-S方程进行表征[11-12]。气体分子与孔壁剧烈碰撞使得Knudsen扩散成为气体在无机质纳米级孔隙中运移的重要传输机理。吸附气不仅能够发生吸附解吸作用，而且可以在浓度梯度作用下进行表面扩散[13-16]。随扫描电镜精度的提高，实验室发现无机质纳米级孔隙周围的干酪根内部存在大量有机质孔隙，并溶有气体[4-5]。气藏开发过程中，随压力下降，吸附气解吸为自由气，干酪根内部与孔隙表面产生了浓度差，促使溶解气从有机质孔隙向无机质纳米级孔隙扩散。
综合前人研究成果，笔者提出综合考虑页岩气黏性流动、滑脱效应、Knudsen扩散、表面扩散的表观渗透率模型，结合气体吸附解吸以及溶解气扩散建立页岩气综合渗流数学模型，并对页岩气藏的不稳定产能进行分析，以期为页岩气藏数值模拟和生产动态预测等工作提供理论依据。
1 纳米级孔隙气体传输机理不同尺度孔隙内页岩气主控传输机理有所不同，传输能力也存在很大差异[17-19]。宏孔和微裂缝中气体分子之间的碰撞频率远大于分子与孔壁的碰撞频率，黏性流动为主控传输机理；在介孔、微孔或者压力较低时，气体分子与孔壁之间的碰撞不可忽略，滑脱流动、Knudsen扩散作用凸显；在浓度梯度作用下，吸附气在不同吸附位之间跳跃，发生表面扩散[15]；溶解气在浓度梯度作用下从干酪根内部运移至无机质纳米级孔隙。
气体的传输机理可由Knudsen数（Kn）的大小判别[20]（图 1），Kn定义为气体分子平均自由程与多孔介质特征长度的比值
| $ {K_{\rm{n}}} = \frac{\lambda }{{{R_{\rm{h}}}}} $ | (1) |
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下载eps/tif图 图 1 不同Knudsen数下的流体流态描述方法 Fig. 1 Description methods of flow patterns under different Knudsen numbers |
式中：λ为气体分子平均自由程，m；Rh为多孔介质特征长度，m。
1.1 纳米级孔隙质量传输类型分子平均自由程可由Javadpour等[21-22]和Civan [23]提出的公式计算。考虑真实气体效应，引入气体偏差因子，可得分子平均自由程计算公式为[24]
| $ \lambda = 3.16 \times {10^9}\frac{\mu }{p}\sqrt {\frac{{{\rm{ \mathit{ π} }}ZRT}}{{2M}}} $ | (2) |
式中：μ为气体黏度，Pa∙s；p为气体压力，Pa；Z为气体偏差因子；R为普适气体常数，取值8.314，J/（mol∙K）；T为温度，K；M为气体摩尔质量，kg/mol。
从Kn随p变化图版（图 2）可以看出，在低压区（p < 10 MPa），Kn随p的增加而迅速减小；在高压区（p > 30 MPa），Kn减小幅度降低，表现出类似液体的性质。理论上讲，λ随p升高趋于一个定值，因此，考虑真实气体效应的Kn随p变化图版（图 2，虚线）更加接近气体的真实状况。
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下载eps/tif图 图 2 真实气体和理想气体的流态划分图版 Fig. 2 Flow chart with and without considering real gas effects |
页岩气在无机质纳米级孔隙中可发生黏性流动，采用无滑移边界条件的N-S方程进行描述
| $ {J_{\rm{v}}} = - \frac{\varphi }{\tau }\frac{{pM}}{{ZRT}}\frac{{{k_{{\rm{ins}}}}}}{\mu }\nabla p $ | (3) |
式中：Jv为黏性流动产生的通量，kg/（m2·s）；φ为孔隙度；τ为迂曲度；kins为储层渗透率，m2；▽为梯度算子。
1.2.2 滑脱校正（1）Klinkenberg校正
滑脱现象引起气体在低压状态下的真实流速大于达西公式计算值，修正公式为
| $ {k_{\rm{e}}} = {k_{{\rm{ins}}}}\left( {1 + \frac{{{b_{\rm{k}}}}}{{{p_{{\rm{avg}}}}}}} \right) $ | (4) |
式中：ke为考虑滑脱效应的表观渗透率，m2；bk为滑脱因子（表 1），Pa；pavg为岩心进出口的平均压力，Pa。
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下载CSV 表 1 滑脱因子的不同取值形式 Table 1 Values of slippage factors from different literatures |
（2）滑移边界模型
针对多种流态并存的问题，不同学者提出滑移边界修正模型对N-S方程进行修正[23-24, 30-31]，其中以Beskok-Karniadakis（B-K）模型[32]最具代表性，并广泛应用于页岩气藏渗流理论研究。
滑移边界模型仍可看作是对渗透率的修正，引入滑移边界修正系数Fb，则修正后的渗透率可以表示为
| $ {k_{\rm{e}}} = {F_{\rm{b}}}{k_{{\rm{ins}}}} $ | (5) |
式中：Fb为渗透率修正系数。
B-K模型[32]中Fb的表达式为
| $ {F_{\rm{b}}} = \left( {1 + \alpha {K_n}} \right)\left( {1 + \frac{{4{K_n}}}{{1 - b{K_n}}}} \right) $ | (6) |
式中：b为滑移系数，一般情况下可以取-1；α为稀疏因子，可根据经验公式计算
| $ \alpha = \frac{{128}}{{15{{\rm{ \mathit{ π} }}^2}}}\arctan \left( {4K_n^{0.4}} \right) $ | (7) |
由Fb和Kn的关系（图 3）可以看出，当Kn < 0.02时，Fb接近1，滑移边界对渗透率的影响可以忽略。当Kn > 0.2时，修正渗透率是原渗透率的2倍以上，且Kn越大，Fb越大，非达西效应越明显，越有必要进行渗透率校正。
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下载eps/tif图 图 3 滑移边界修正系数与Knudsen数的关系 Fig. 3 Relationship between permeability modification coefficient and Knudsen number |
另外，Maxwell[33]，Hsia[34]以及Ng等[35]也对滑移速度模型进行了研究，分别得到渗透率修正系数如表 2所列。
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下载CSV 表 2 不同滑移边界模型的渗透率修正系数取值 Table 2 Values of permeability modification coefficient from different literatures |
从图 3可以看出，在连续流和滑脱流阶段，4种模型的计算结果基本一致；随Kn增加，Fb不断变大，4种模型的差异开始显现；在过渡流阶段，B-K模型[32]与Ng等模型[35]一致，Hsia模型[34]和Maxwell模型[33]分别偏高或偏低。在自由分子流阶段，Hsia模型[34]计算结果明显高于其他模型，已不再适用于该阶段的描述。当Kn < 8时，B-K模型与Ng等模型所得结果仍基本一致，表明B-K模型与Ng等模型可以对页岩气的所有流态进行描述，因此被广泛应用。
滑移边界模型不仅可以对滑脱流进行表征，还可以描述过渡流和自由分子流[17, 34-35]；Klinkenberg校正方法[21, 23-29]只能针对滑脱效应对渗透率测量值加以修正。当Kn < 0.1时，可对滑移边界模型进行简化，得到针对滑脱流动阶段的渗透率修正模型。
1.3 过渡流当Kn为0.1~10.0时，流体处于比较复杂的流态，不满足应力与应变的线性本构关系，既不能看作连续介质，又不属于分子流动，称为过渡流阶段。该阶段的模拟最为困难，可用Burnett方程进行描述。
Burnett方程运用Chapman-Enskog展开的二阶近似从Boltzmann方程导出，可较好地描述稀薄气体的非线性本质。Burnett方程采用了比N-S方程高一阶的近似，应用起来较为复杂，且数值求解时稳定性较差。因此，在石油工程领域，为了分析方便，一般仍然采用连续介质理论，采取相应的修正方法进行描述，将过渡流近似看作滑脱流与自由分子流的综合作用。过渡流的微观作用机理尚不明确，须要进一步研究。
1.4 自由分子流在特定情况下（孔隙尺寸小或者气藏压力低），流体流动可由过渡流转变为分子间碰撞占主导作用的自由分子流。近年来，随着碳纳米管、多孔材料模板以及分子印迹等材料与技术的出现，气体在纳米级孔隙内的输运特性研究得到了很大发展。自由分子流的研究方法主要分为两大类：一是微观分子动力学模型和介观模型；二是基于传统流动理论的Knudsen分子扩散模型。
1.4.1 微观/介观模型微纳米级尺度下，流体并非连续无间隙的分布于多孔介质，其速度、密度等宏观物理量不再是时间和空间的连续性函数。分子流动模型将流体看作分子的集合，基于大量分子动态进行研究，可分为确定性方法（分子动力学模拟）和统计性方法（直接模拟蒙特卡洛方法与格子Boltzmann方法）两大类。
（1）分子动力学模拟（MDS）
分子动力学方法通过模拟真实流体的分子性质、量密度等[36]，再现流体流动的物理过程。由于须要模拟跟踪大量分子，MDS更适合稠密气体或者液体的模拟，其计算量与分子数的平方成正比。常见的分子动力学方法有：平衡分子动力学方法、非平衡分子动力学方法和双控制体积巨正则分子动力学方法。
（2）直接模拟蒙特卡洛法（DSMC）
DSMC基于颗粒模型追踪大量分子的运动、碰撞以及内能变化获取相关信息，在超音速稀薄气体动力学研究中应用广泛。DSMC引入纳米级孔隙渗流后发展较快，且参数取值合理时模拟精度较高。与MDS不同的是，DSMC仅考虑气体中的二体碰撞，适合于稀薄气体，可用较少的模拟分子代表大量的真实分子。在一个时间步长内，DSMC解除了分子运动与碰撞的耦合，计算量与分子数成正比，相比于MDS计算量明显减少。DSMC同样须要在计算过程中追踪大量分子的运动、碰撞以及内能变化等，增加了求解的复杂性，收敛速度慢，需要大量的计算时间。分子速度大小与平均速度的差异可产生较大的统计噪声，缺少确定的表面效应。
（3）格子Boltzmann方法（LBM）
Boltzmann方程可以描述任意流区的分子运动规律。在不影响工程计算精度的前提下，通过对Boltzmann方程Chapman-Enskog展开阶数的不同选择可以得到不同流区的连续性方程，如ChapmanEnskog的零阶近似得到不考虑黏滞力影响的Euler方程，一阶近似得到连续介质假设下的N-S方程，二阶近似得到描述应力与应变非线性本构关系的Burnett方程。当不满足连续性条件时，无法对Boltzmann方程采用阶数近似的方法得到相应的方程，此时常采用LBM进行求解。
LBM从格子气动机中发展而来，是介于宏观与微观之间的模拟方法，可以看作N-S方程差分法逼近的无限稳定格式，但比N-S方程更能反映流动细节。由于LBM中的空间、时间以及粒子速度均为离散变量，因此其计算量和存储量明显减少，计算速度显著提高。该方法在Kn较高时不适用。
近年来，分子流动模型在微纳米级多孔介质的渗流问题研究中得到了长足的发展，但是无论是确定性方法还是统计性方法，均须从分子层面进行流动模拟，计算量巨大，对计算机系统的要求较高，当前计算机发展状况限制了其大规模应用。
1.4.2 Knudsen扩散当Kn > 10时，气体分子与孔壁的碰撞成为质量传输的主要动力，用Knudsen方程表述为
| $ {J_{\rm{k}}} = - M{D_{\rm{k}}}\nabla C $ | (8) |
式中：Jk为Knudsen扩散通量，kg/（m2·s）；C为气体的浓度，mol/m3；Dk为Knudsen扩散系数（表 3），m2/s。
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下载CSV 表 3 Dk取值的不同经验公式 Table 3 Values of Knudsen diffusion coefficient from different literatures |
根据真实气体的状态方程以及偏差系数的定义可得Knudsen扩散通量关于压力梯度的表达式[37-39]为
| $ {J_{\rm{k}}} = - \frac{\varphi }{\tau }{\delta ^{{D_{\rm{f}}} - 2}}\frac{M}{R}\frac{{{D_{\rm{k}}}}}{T}\frac{{p{c_{\rm{g}}}}}{Z}\nabla p $ | (9) |
式中：Df为孔隙表面处的分形维数，光滑壁面取2，粗糙壁面取3；δ为分子直径与局部孔隙直径的比值；cg为页岩气的压缩系数，Pa-1。
1.5 表面扩散表面扩散是气体在化学势场作用下发生的表面分子运移，扩散通量可表示为[16]
| $ {J_{k}} = - {L_m}{C_{\rm{s}}}M\nabla u $ | (10) |
式中：Js为表面扩散通量，kg/（m2·s）；Lm为迁移率，mol·s/kg；u为化学势，J/mol；Cs为吸附气体浓度，mol/m3。
假设自由气与吸附气之间动态平衡，则化学势与孔隙压力满足
| $ u = {u_{\rm{o}}} + RT\ln p $ | (11) |
式中：uo为参考状态下的化学势，J/mol。
结合式（10）~（11）得多孔介质内扩散通量表达式为
| $ {J_{\rm{s}}} = - \frac{{{D_{\rm{s}}}{C_{\rm{s}}}M}}{p}\nabla p $ | (12) |
式中：Ds为表面扩散系数，大小为LmR T，m2/s。参照前人成果[16, 38]，利用甲烷/活性炭吸附的实验数据进行拟合，得到的表面扩散系数为
| $ {D_{\rm{s}}} = 8.29 \times {10^{ - 7}}{T^{0.5}}\exp \left( { - \frac{{\Delta {H^{0.8}}}}{{RT}}} \right) $ | (13) |
式中：ΔH为气体的等量吸附热，反映基质吸附气体的能力，J/mol。
2 表观渗透率模型与分析 2.1 综合渗透率模型假设吸附气满足Langmuir等温吸附方程[42]，则吸附气浓度可以表示为
| $ {C_{\rm{s}}} = {\rho _{{\rm{g}}\;{\rm{sc}}}}{G_{\rm{L}}}\frac{p}{{{p_{\rm{L}}} + p}}\frac{1}{M} $ | (14) |
式中：ρg sc为标准状况下的气体密度，kg/m3；GL为Langmuir体积，m3/m3；pL为Langmuir压力，MPa。
黏性流动、滑脱效应、Knudsen扩散以及表面扩散构成了页岩气的主控传输机理。基于前人的研究成果[22, 43]得无机质纳米级孔隙内总传输通量以及等效渗透率表达式为
| $ {J_{\rm{t}}} = {J_{\rm{v}}} + {J_{\rm{k}}} + {J_{\rm{s}}} $ | (15) |
| $ {k_{{\rm{app}}}} = {k_{\rm{e}}} + {k_{\rm{k}}} + {k_{\rm{s}}} $ | (16) |
| $ {k_{\rm{e}}} = \frac{\varphi }{\tau }F{k_{{\rm{ins}}}}{\left( {1 - \frac{{{r_{{\rm{ad}}}}}}{r}} \right)^2} $ | (17) |
| $ {k_{\rm{k}}} = \frac{\varphi }{\tau }{\delta ^{{D_{\rm{f}}} - 2}}{D_{\rm{k}}}{c_{\rm{g}}}\mu {\left( {1 - \frac{{{r_{{\rm{ad}}}}}}{r}} \right)^2} $ | (18) |
| $ {k_{\rm{s}}} = \frac{\varphi }{\tau }{D_{\rm{s}}}{G_{\rm{L}}}\mu \frac{{{\rho _{{\rm{g}}\;{\rm{sc}}}}}}{{\left( {{p_{\rm{L}}} + p} \right){\rho _{\rm{g}}}}}\left[ {1 - {{\left( {1 - \frac{{{r_{{\rm{ad}}}}}}{r}} \right)}^2}} \right] $ | (19) |
式中：Jt为总传输通量，kg/（m2·s）；kapp为考虑滑脱黏性流、Knudsen扩散和表面扩散的表观渗透率，m2；ρg sc为标准状态下气体密度，kg/m3；ρg为储层条件下气体密度，kg/m3；ke为黏性滑脱流等效渗透率，m2；kk为Knudsen扩散等效渗透率，m2；ks为表面扩散等效渗透率，m2; rad为吸附层厚度，m；r为孔隙半径，m。
2.2 模型验证与分析对于圆形截面的单毛管模型，根据Poiseuille定律，可以写出达西渗透率为
| $ {k_{{\rm{ins}}}} = \frac{{{r^2}}}{8} $ | (20) |
采用已有实验数据[20]对表观渗透率模型进行验证，从图 4可以看出，表观渗透率随压力的升高而降低，但降低幅度不断减缓。总体而言，模型计算结果与实验数据拟合较好，证明了模型的正确性和可靠性。
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下载eps/tif图 图 4 综合表观渗透率模型的验证与对比 Fig. 4 Validation of comprehensive apparent permeability model |
以达西渗透率为基准，不同压力下kapp与kins比值随半径的变化关系如图 5(a)所示（基础参数见表 4），孔隙半径越小，气藏压力越低，表观渗透率与达西渗透率的差异越大，非达西流所占比例越高。当孔隙半径r > 1 000 nm时，两者比值趋于1，此时可以忽略滑脱效应、Knudsen扩散以及表面扩散的影响。随孔隙半径增加，表观渗透率持续增加[图 5(b)]。压力对表观渗透率影响主要集中在小孔隙中，当r < 500 nm时，随着压力升高，表观渗透率降低，但降低幅度减弱，当压力大于15 MPa时，压力对表观渗透率的影响可以忽略；当r < 500 nm时，表观渗透率几乎不受压力影响。
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下载eps/tif图 图 5 压力和孔喉半径对表观渗透率的影响 Fig. 5 Effects of pressure and pore radius on apparent permeability |
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下载CSV 表 4 模型分析输入参数 Table 4 Input parameters for model analysis |
从图 6(a)可以看出，随孔喉半径增加，气体滑脱黏性流（滑脱流与黏性流之和）产生的质量通量贡献率升高，直至100%。压力较高时，滑脱黏性流贡献率随着孔喉尺寸增加迅速增加；压力较低时，增加速度相对较慢。压力影响滑脱因子的大小，进而改变滑脱黏性流产生的质量通量。随压力升高，滑脱黏性流对通量的贡献率增加，但并不代表滑脱黏性流产生的通量增加，而是与表观渗透率随压力升高而降低[图 5(b)]综合作用的结果。事实上，随压力升高，滑脱因子减小，滑脱黏性流产生的质量通量降低。当孔隙半径大于1 000 nm时，滑脱因子趋于1，此时滑脱黏性流公式退化为达西公式。
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下载eps/tif图 图 6 不同渗流机理在不同条件下的质量传输贡献率 Fig. 6 Contribution of different flow mechanisms on gas transporting under different conditions |
从图 6(b)可以看出，Knudsen扩散对质量传输的贡献率随孔喉半径的增加呈现出先增加后减小的趋势。当气体平均自由程与孔喉尺寸接近时，气体分子与孔壁碰撞产生Knudsen扩散，孔喉半径过大或过小均不利于Knudsen扩散的发生。
图 6(c)表明，页岩气表面扩散的质量传输贡献率受压力和孔喉半径影响显著。随孔喉半径增加，表面扩散的质量传输贡献率迅速降低。在一定尺寸孔喉内，随压力升高，表面扩散质量传输贡献率呈现出先增加后减小的变化规律。原因在于：一方面，低压有利于页岩气表面扩散的发生；另一方面，压力过低时，吸附气在孔隙表面的覆盖度降低，限制了表面扩散效应的进行。
3 综合渗流数学模型 3.1 吸附解吸效应页岩基质巨大的比表面为气体吸附提供了有利场所。吸附气量主要受页岩基质自身性质、外界温度、压力以及吸附气性质的影响。通常假设页岩气分子在基质表面的吸附解吸为动态平衡过程，并用吸附等温线描述。吸附等温线是在一定温度下，描述气体吸附量与压力之间的关系，主要有：①BDDT吸附等温线分类；②IUPAC吸附等温线分类；③Gibbs吸附等温线分类。其中，页岩气吸附描述中应用最多的是IUPAC吸附类型中的Langmuir吸附等温线。除此之外，常用的吸附模型有：Henry模型，Freundlich模型以及BET模型。
（1）Langmuir等温吸附模型
法国化学家Langmuir基于分子动力学理论，假设：①气体分子在均质固体表面单层吸附；②吸附与解吸为动态平衡过程，可相互转化；③气体分子在固体表面的吸附速度正比于该组分的气相分压；④忽略单层吸附的气体分子间相互作用力，提出了著名的Langmuir等温吸附定律
| $ G = {G_{\rm{L}}}\frac{p}{{{p_{\rm{L}}} + p}} $ | (21) |
式中：G为气体吸附量，m3/m3。
尽管温度影响页岩气的吸附能力，但通常而言，页岩气藏开发可以视为等温过程，因此，Langmuir定律得到广泛应用。
（2）Henry吸附理论模型
Henry吸附理论假设页岩气吸附量C与压力p成正比，即
| $ C = Hp $ | (22) |
式中：H为Henry常数，mol/（m3·Pa）。
任何类型的等温吸附曲线在低压条件下都接近于一条直线，因此，Henry定律适用于描述气体低压条件下的吸附行为。
（3）Freundlich吸附模型
Freundlich吸附模型是对Henry模型的进一步发展，由Henry模型的线性关系扩展为指数关系，即
| $ m = f{p^{\rm{n}}} $ | (23) |
式中：m为单位质量吸附剂所吸附的气体质量，kg/kg；f与n均为经验常数。
该关系式为经验方程，一般而言，系数f随温度的升高而降低，指数n为0~1，反映压力对吸附量影响的强弱。
（4）BET吸附理论
1938年，Brunauer等[44]假定：①气体分子可以在固体表面无数多层吸附；②层与层之间无相互作用力；③各吸附单层满足Langmuir吸附定律，提出著名的BET多分子层吸附模型，即
| $ G = {G_{\rm{B}}}\frac{{b\left( {p/{p_{\rm{o}}}} \right)}}{{\left( {1 - p/{p_{\rm{o}}}} \right)\left[ {1 + \left( {b - 1} \right)\left( {p/{p_{\rm{o}}}} \right)} \right]}} $ | (24) |
式中：GB为参考温度下饱和吸附量，m3/m3；p为气体平衡分压，Pa；po为参考温度下饱和蒸汽压，Pa；b为经验常数。
BET吸附关系式成立的p/po值为0.005~0.350，当p/po < 0.005时，表明固体表面的物理化学形状不均匀，存在活性吸附位，偏离直线关系；当p/po > 0.35时，表明吸附层无限大。
3.2 溶解气扩散页岩孔隙结构中存在能够持续产生油气的干酪根。在原始地层条件下，干酪根内部溶解气与其表面吸附气处于平衡状态。随着气藏的开采，两者之间产生浓度差，溶解气向无机质纳米级孔隙运移。由于有机质孔隙狭小，气体运移能力差，溶解气的存在和运移常常被忽略。近年来，有学者指出，溶解气扩散对气藏生产了极为重要的补充作用[22]，且通过实验验证了这一论据[5]。
页岩气藏开发过程中，气体的流动过程为统一整体：①裂缝内气体在压差作用下流向井筒；②基质与裂缝间的压差驱动气体由基质流向微裂缝，发生窜流；③基质内压力降低，吸附气发生解吸；④解吸作用打破溶解气与吸附气之间的平衡，促使溶解气向无机质纳米级孔隙运移，补充产出的自由气。采用常规气藏数值模拟器对页岩气藏生产进行模拟时，得到的结果往往较实际生产数据偏低，其中一个重要原因就是溶解气的补充作用。
根据不稳定扩散理论，气体从干酪根内部向外扩散过程中，浓度是时间和空间的函数，满足如下数学模型
| $ \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r{D_{\rm{c}}}\frac{{\partial C}}{{\partial r}}} \right) = \frac{{\partial C}}{{\partial t}} $ | (25) |
式中：Dc为溶解气扩散系数，m2/s；r为干酪根内径向长度，m；t为生产时间，s。
在吸附气发生解吸之前，干酪根内部气体浓度平衡，因此，初始条件为
| $ C\left( {t = 0,r} \right) = {C_i} $ | (26) |
式中：Ci为初始气体浓度，mol/m3。
假设溶解气浓度与压力满足Henry定律，干酪根与无机质纳米级孔隙连通，则内边界条件为
| $ C\left( {t,r = {r_{\rm{f}}}} \right) = \frac{p}{H} $ | (27) |
式中：rf为纳米孔半径，m。
H可根据原始状态下溶解气浓度与压力关系进行求取，即
| $ H = \frac{{{p_{\rm{i}}}}}{{{C_{\rm{i}}}}} $ | (28) |
式中：pi为初始气藏压力，Pa。
干酪根外部为黏土等物质构成的不渗透边界，因此，外边界条件为
| $ \frac{{\partial C\left( {t,r = R} \right)}}{{\partial r}} = 0 $ | (29) |
式中：R为干酪根基质体半径，m。
3.3 综合渗流方程假设页岩气藏由微裂缝系统、基质纳米级孔隙、干酪根以及不渗透的黏土等组成，采用稳态吸附解吸模型对吸附气进行描述，则微裂缝系统的连续性方程可以表示为
| $ \frac{1}{{{r^2}}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{{{k_{{\rm{app}}}}}}{\mu }{\rho _{\rm{g}}}{r^2}\frac{{\partial p}}{{\partial r}}} \right) + {q_{{\rm{des}}}} + {q_{\rm{c}}} = \frac{{\partial \left( {{\rho _{\rm{g}}}\varphi } \right)}}{{\partial t}} $ | (30) |
式中：qdes为单位时间单位体积储层岩块中稳态解吸扩散的页岩气质量，kg/（m3·s）；qc为单位时间单位体积干酪根扩散到微裂缝中的页岩气质量，kg/（m3·s）。
页岩气吸附解吸行为由Langmuir等温吸附定律描述，则qdes有
| $ {q_{{\rm{des}}}} = - {\rho _{{\rm{g}}\;{\rm{sc}}}}\left( {1 - \varphi } \right)\frac{p}{{{{\left( {{p_{\rm{L}}} + p} \right)}^2}}}\frac{{\partial p}}{{\partial t}} $ | (31) |
假设干酪根发育半径为微裂缝半径的n倍，即大小为n rf，则
| $ {q_{\rm{c}}} = - \beta M\left( {1 - \varphi } \right){D_{\rm{c}}}\frac{{\partial C}}{{\partial t}} $ | (32) |
式中：β为流速转换系数，与基质形状的选取有关。本文中表达式为
| $ \beta = \frac{2}{{{{\left( {{n^2} - 1} \right)}^2}{r_{\rm{f}}}}} $ | (33) |
在表观渗透率模型和综合渗流方程的基础上，考虑矩形页岩气藏内一口多级压裂水平井，建立渗流数学模型，并分析各运移机理对气井非稳态产能的影响。
图 7(a)和图 7(b)分别反映了表面扩散和Knudsen扩散对页岩气井非稳态产能的影响。表面扩散和Knudsen扩散主要影响页岩气藏生产中期阶段的非稳态产能曲线形态。表面扩散系数或Knudsen扩散系数越大，气井生产中期的非稳态产能越高。总体而言，表面扩散系数和Knudsen扩散系数均通过影响表观渗透率的大小，进一步作用于气井产能。与Knudsen扩散系数对产能曲线的影响相比，表面扩散系数变化对产能曲线影响更为显著。
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下载eps/tif图 图 7 不同渗流机理对页岩气藏非稳态产能曲线影响 Fig. 7 Effects of different flow mechanisms on unstable productivity curves of shale gas reservoirs |
图 7(c)和图 7(d)分别反映了解吸常数（ε）和溶解常数（σ）对页岩气藏生产过程中气井非稳态产能曲线的影响。ε和σ分别反映了页岩气藏储层内吸附气含量和溶解气含量的大小。从图 7(c)和图 7(d)可以看出，ε和σ主要影响曲线的中晚期阶段。ε和σ越大，吸附气和溶解气含量越高，气井在中晚期阶段的非稳态产能越高。由于生产早期气藏压降较小，吸附气和溶解气对气井产能没有影响。随着气井生产，页岩气藏压力逐渐降低至临界解吸压力，打破气体间原有的平衡状态，吸附气解吸，溶解气从有机质孔隙运移至无机质纳米级孔隙系统，补充产出的自由气。ε和σ越大，补充作用越明显，气井的产能越高，气井的生产周期越长。
4 结论（1）综合考虑页岩气储层中气体的黏性流动、滑脱效应、Knudsen扩散以及表面扩散，建立了表观渗透率模型。模型表明：在微孔以及介孔的低压条件下，表观渗透率远大于达西渗透率。随着孔隙半径增大和压力升高，两者的差异逐渐减小，直至相等。
（2）不同压力和孔隙半径条件下，主控质量传输机理不同。随孔隙半径增大，滑脱流贡献率增加，表面扩散贡献率降低，Knudsen扩散贡献率先缓慢增加后较快下降。
（3）考虑溶解气扩散，结合气体的吸附解吸效应和表观渗透率模型，建立了全面考虑各种质量传输机理的连续性方程。分析表明：Knudsen扩散以及表面扩散主要影响气井中期阶段的非稳态产能；吸附气和溶解气主要影响气井中晚期阶段的非稳态产能。
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