相对渗透率曲线资料(相渗资料)在油气藏工程研究中应用广泛，是研究油水两相渗流规律的基础^[1-2]，也是准确预测油田产油量、产水量和含水率的关键。经验公式的拟合精度直接影响着相渗资料预测的准确程度，目前国内外常用的经验公式主要有3种：据文献[3]报道，Chierici 1984年提出了以常数e为底的指数经验公式；据文献[4]报道，Willhite 1986年提出了幂函数经验公式；张继成等^[5] 2007年提出了以10为底的指数经验公式。实际生产过程中，由于这3种经验公式普遍存在难以克服的局限性，往往难以准确拟合相对渗透率曲线，给油田产量的预测带来极大不便。本次研究基于较为成熟的Willhite经验公式，并引入含水饱和度这一变量参数，分别对油相指数和水相指数进行修正，并对Willhite经验公式进行改进，使其能更好地拟合大庆油田3种主要的相渗曲线类型，以期准确描述油水变化规律，提高油田产油量、产水量和含水率的预测精度。

在3种常用的相对渗透率曲线拟合公式中(表 1)，Chierici提出的以常数e为底的指数经验公式推导出的油水相对渗透率比值与含水饱和度呈半对数的直线关系，该经验公式对于无直线关系的相渗曲线并不适用。Willhite提出的幂函数经验公式的最大特点是当任一时刻含水饱和度 S_w趋近于相渗左端点时(S_w等于束缚水饱和度S_wc，就是归一化含水饱和度S_wd为0时)，油相相对渗透率为K_ro(S_wc)、水相相对渗透率为0；当任一时刻含水饱和度S_w趋近于相渗右端点时(S_w等于1减去残余油饱和度S_or之差，就是归一化含水饱和度S_wd为1时)，油相相对渗透率为0、水相相对渗透率为K_ro(S_or)。虽然Willhite经验公式很好地解决了端点处油水相渗的问题，能够基本描述相对渗透率的变化规律，但对于共渗区间小、形态变化剧烈的相渗曲线，该经验公式拟合的偏差较大^[6]。张继成等^[5]提出的以10为底的指数经验公式存在隐含条件，未解决端点油水相渗的问题，若选取的数据不恰当，便会直接影响计算结果。因此，本次研究选取较为成熟的Willhite经验公式作为基础拟合公式，引入归一化含水饱和度这一变量参数，对Willhite经验公式进行修正和改进，以便能更准确地拟合油水相对渗透率曲线。

表 1(Table 1)

表 1 常用相对渗透率曲线经验公式 Table 1 Empirical formulas of relative permeability curves 提出时间 提出者 油相相对渗透率 水相相对渗透率 资料来源 1984 Chierici Kro = Kro(Swc) exp(-aSwdb) Krw = exp(-cSwdd) 文献[3] 1986 Willhite Kro = Kro(Swc) (1 -Swd)α Krw = Krw(Sor)Swdβ 文献[4] 2007 张继成 Kro = 10aSw*+b -Co Krw = 10cSw*+d -Cw 文献[5] 注：${S_{{\rm{wd}}}} = \frac{{{S_{\rm{w}}} - {S_{{\rm{wc}}}}}}{{1 - {S_{{\rm{or}}}} - {S_{{\rm{wc}}}}}}$；Kro为油相相对渗透率；Krw为水相相对渗透率；Sw为任一时刻含水饱和度，%；Swc为束缚水饱和度，%；Sor为残余油饱和度，%；Swd为归一化含水饱和度，%；α为油相指数；β为水相指数；Co，Cw均为校正系数；a，b，c，d均为经验系数。

下载CSV 表 1 常用相对渗透率曲线经验公式 Table 1 Empirical formulas of relative permeability curves

相对渗透率曲线通常表现为5种形态：水相上凹型、水相直线型、水相下凹型、水相上凸型和水相靠椅型^[7]。本次研究对比了大庆油田84条水驱油藏的相对渗透率曲线。其中油相相对渗透率曲线的变化趋势基本一致，但下降速度不同，含水饱和度越大，油相相对渗透率曲线下降的速度差异越明显；水相相对渗透率曲线的形态具有明显差异，主要表现为上凹和下凹2种类型。根据相对渗透率曲线的不同表现形态，可将大庆油田相对渗透率曲线归纳为以下3类(图 1)：①Ⅰ型相对渗透率曲线的油相相对渗透率缓慢下降，水相呈上凹型[图 1 (a)]；②Ⅱ型相对渗透率曲线的油相相对渗透率快速下降，水相呈上凹型[图 1(b)]；③Ⅲ型相对渗透率曲线的油相相对渗透率快速下降，水相呈下凹型[图 1 (c)]。

图 1

Fig. 1

下载eps/tif图 图 1 大庆油田3种主要相对渗透率曲线形态 Fig. 1 Three types of relative permeability curves in Daqing Oilfield

根据Willhite经验公式，油、水相相对渗透率的表达式分别为：

在油水相相对渗透率比值(K_ro/K_rw)已知的情况下，常以经验公式(1)~ (2) 为基础，通过二元线性回归，得到α，β，并将α，β分别代入式(1)，式(2)，即可获得相对渗透率拟合曲线。其中，二元线性回归公式如下

利用上述方法分别对大庆油田3种主要的相对渗透率曲线进行拟合，从拟合结果(图 2)可以看出，应用二元线性回归求解出α，β之后，再利用Willhite经验公式进行相对渗透率曲线拟合时，拟合精度并不理想。类型Ⅰ中二元线性回归得到的β值较高，类型Ⅱ中二元线性回归得到的α值较低，而类型Ⅲ中二元线性回归得到的α，β值的范围均有误。这是因为二元线性回归求解方法虽然能够直观、快速地分析自变量与因变量之间的线性关系，提高预测的精度和效果，但由于α，β是根据式(3) 回归得到的，取值结果偏离α ∈ (1，3)，β ∈ (1，3) 的可能性较大，从而造成油、水相相对渗透率曲线单独拟合的效果较差。因此，需要对Willhite经验公式进行改进，以便找到适用性更强的能更好地拟合水驱油藏相对渗透率曲线的经验公式。

图 2

Fig. 2

下载eps/tif图 图 2 传统Willhite经验公式拟合大庆油田3种相对渗透率曲线 Fig. 2 Fitting results of the three types of relative permeability curves in Daqing Oilfield by Willhite empirical formula

从拟合结果(参见图 2)可以看出，直接应用Willhite经验公式拟合油、水相相对渗透率时，拟合结果与实际实验数据的偏差较大。此外，含水饱和度S_w越大，油相相对渗透率的拟合误差越大；水相相对渗透率的拟合误差虽然整体较小，但当含水饱和度S_w达到等渗点(油相相对渗透率等于水相相对渗透率时对应的含水饱和度)附近时，拟合误差迅速增大。这些现象表明：油相指数和水相指数并不是常数，而是与含水饱和度S_w有关的变量。因此，需要对α，β进行修正，研究两者与含水饱和度的关系，而对于不同的相对渗透率曲线，由于其含水饱和度所处区间不同，不具有统一的标准，所以采用归一化的含水饱和度S_wd来代替含水饱和度S_w，即通过式(1)，式(2) 变形，将α，β与归一化含水饱和度S_wd的关系转换为$\frac{{\lg \left[ {{K_{{\rm{ro}}}}/{K_{{\rm{ro}}}}\left( {{S_{{\rm{wc}}}}} \right)} \right]}}{{\lg \left( {1 - {S_{{\rm{wd}}}}} \right)}}$与S_wd、$\frac{{\lg \left[ {{K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{r}}w}}\left( {{S_{{\rm{ro}}}}} \right)} \right]}}{{\lg {S_{{\rm{wd}}}}}}$与S_wd的关系。表 2为在不同相渗类型中，分别采用线性、对数、乘幂、指数及二项式等公式拟合α，β与归一化含水饱和度S_wd之间关系时的误差统计结果。

表 2(Table 2)

表 2 α，β与归一化含水饱和度Swd拟合误差统计 Table 2 Fitting error of relationship between phase index and normalized water saturation 相渗 类型 油相指数 α拟合误差 水相指数β拟合误差 线性 对数 乘幂 指数 二项式 线性 对数 乘幂 指数 二项式 Ⅰ 0.956 9 0.958 3 0.926 6 0.977 1 0.980 7 0.984 3 0.842 9 0.931 0 0.976 9 0.987 6 Ⅱ 0.982 5 0.947 6 0.892 5 0.988 9 0.989 8 0.946 4 0.739 4 0.826 5 0.967 8 0.962 5 Ⅲ 0.805 0 0.545 5 0.536 7 0.797 9 0.956 3 0.918 0 0.943 5 0.884 1 0.941 3 0.963 5

下载CSV 表 2 α，β与归一化含水饱和度Swd拟合误差统计 Table 2 Fitting error of relationship between phase index and normalized water saturation

从表 2可见，用对数、乘幂或指数表征α与S_wd、β与S_wd之间关系时，Ⅰ型相对渗透率曲线的相关系数较高，Ⅱ型相对渗透率曲线及Ⅲ型相对渗透率曲线的相关程度较低，说明这3种表征方式受相渗类型的影响较大，从而导致α与S_wd、β与S_wd之间关系不稳定。用线性或二项式表征α与 S_wd、β与S_wd之间关系时，3种相渗类型中的相关程度均较强，其中用二项式表征时的相关程度最强，α与S_wd、β与S_wd关系更为稳定。因此，可将Willhite经验公式改进为：

式中：a，b，c，d，e，f均为回归系数。

以大庆油田Ⅰ型相对渗透率曲线为例，相对渗透率、含水饱和度及其回归数据统计结果见表 3。利用这些统计数据，分别回归$\frac{{\lg \left[ {{K_{{\rm{ro}}}}/{K_{{\rm{ro}}}}\left( {{S_{{\rm{wc}}}}} \right)} \right]}}{{\lg \left( {1 - {S_{{\rm{wd}}}}} \right)}}$与S_wd，$\frac{{\lg \left[ {{K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{r}}w}}\left( {{S_{{\rm{ro}}}}} \right)} \right]}}{{\lg {S_{{\rm{wd}}}}}}$与S_wd的二项式关系曲线[图 3(a)]，求取回归系数a，b，c，d，e，f。将回归系数a，b，c，d，e，f分别代入改进的Willhite经验公式(5) 和(6)，得到油水相对渗透率拟合曲线如图 3(b)所示。拟合曲线与原始相对渗透率曲线的拟合误差仅为4.829%。再利用改进的Willhite经验公式分别对Ⅱ型相对渗透率曲线和Ⅲ型相对渗透率曲线进行拟合，拟合结果如图 4所示。3种主要相对渗透率曲线类型的平均拟合误差见表 4。

表 3(Table 3)

表 3 Ⅰ型相对渗透率、含水饱和度及其回归数据统计表 Table 3 Regression data of relative permeability and water saturation of type 1 relative permeability curve Sw Kro Krw Swd $\frac{{\lg \left[ {{K_{{\rm{ro}}}}/{K_{{\rm{ro}}}}\left( {{S_{{\rm{wc}}}}} \right)} \right]}}{{\lg \left( {1 - {S_{{\rm{wd}}}}} \right)}}$ $\frac{{\lg \left[ {{K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{r}}w}}\left( {{S_{{\rm{ro}}}}} \right)} \right]}}{{\lg {S_{{\rm{wd}}}}}}$ 计算Kro 计算Krw Kro误差 Krw误差 0.187 1.000 0 0 — — 1.000 0 0 — 0.210 0.889 0.013 0.046 2.514 1.120 0.892 0.010 0.360 25.761 0.235 0.792 0.019 0.095 2.325 1.298 0.789 0.020 0.376 2.126 0.264 0.685 0.030 0.153 2.277 1.391 0.685 0.031 0.057 2.918 0.302 0.571 0.040 0.229 2.159 1.574 0.568 0.045 0.531 12.606 0.335 0.491 0.054 0.294 2.041 1.653 0.482 0.058 1.933 6.739 0.364 0.419 0.067 0.352 2.006 1.730 0.415 0.069 1.035 3.557 0.398 0.346 0.084 0.419 1.952 1.819 0.345 0.084 0.247 0.545 0.434 0.280 0.103 0.491 1.885 1.936 0.280 0.103 0.016 0.381 0.473 0.211 0.129 0.569 1.851 2.039 0.218 0.126 3.105 2.505 0.511 0.156 0.157 0.644 1.798 2.171 0.163 0.153 4.729 2.510 0.545 0.114 0.185 0.712 1.746 2.326 0.120 0.183 5.181 1.245 0.592 0.069 0.237 0.805 1.635 2.507 0.067 0.235 2.192 1.015 0.644 0.024 0.310 0.909 1.559 2.864 0.022 0.313 8.886 0.870 0.690 0 0.408 1.000 — — 0 0.408 — 0

下载CSV 表 3 Ⅰ型相对渗透率、含水饱和度及其回归数据统计表 Table 3 Regression data of relative permeability and water saturation of type 1 relative permeability curve

表 4(Table 4)

表 4 平均误差统计结果 Table 4 Statistics of average error 相渗 类型 Kro Krw a b c 平均误差/ % d e f 平均误差/ % Ⅰ 0.643 2 -1.586 0 2.508 2 2.204 0.426 3 1.398 6 1.151 3 4.829 Ⅱ 1.312 2 -4.769 1 5.311 9 6.067 0.598 9 0.561 0 1.080 5 4.566 Ⅲ -4.854 2 2.386 4 3.702 7 7.465 0.797 1 -1.524 2 0.924 0 2.324

下载CSV 表 4 平均误差统计结果 Table 4 Statistics of average error

图 3

Fig. 3

下载eps/tif图 图 3 Ⅰ型相对渗透率曲线Willhite改进经验公式拟合结果 Fig. 3 Fitting results of type 1 relative permeability curve by improved Willhite empirical formula

图 4

Fig. 4

下载eps/tif图 图 4 Ⅱ型相对渗透率曲线和Ⅲ型相对渗透率曲线Willhite改进经验公式拟合结果 Fig. 4 Fitting results of type 2 and type 3 relative permeability curves by improved Willhite empirical formula

从表 4可见，引入归一化含水饱和度S_wd进行修正后，Willhite经验公式的拟合精度明显提高，与原始相对渗透率曲线吻合度较高，平均拟合误差小于8%。

(1) 大庆油田84条相对渗透率曲线主要表现为3种相渗类型：① 油相相对渗透率缓慢下降，水相呈上凹型；② 油相相对渗透率快速下降，水相呈上凹型；③ 油相相对渗透率快速下降，水相呈下凹型。

(2) 通过采用不同公式拟合油相指数α、水相指数β与归一化含水饱和度S_wd的关系，认为用二项式表征α与S_wd，β与S_wd的关系时，相关系数更高，更稳定。

(3) 利用改进的Willhite经验公式拟合实验测定的相对渗透率数据点时，吻合程度更高，适用性更强，保证了相渗资料的准确性。研究成果可以有效提高油田产油量、产水量和含水率的预测精度，在油气藏工程方面具有一定的推广应用价值。