0 引言

目前，新开发井多以大斜度井、水平井为主，常规电缆测井在井筒中推进困难，易受到井眼条件及地层环境限制，造成视电阻率测井曲线失真严重^[1-3]。随钻电阻率测井（随钻随测），受井眼环境影响小，更能反映地层的真实地质情况，且通过实现井底信息的实时采集，能够完成现场决策判断，指导井眼轨迹的实时调整从而提高油气藏的钻遇率^[4-5]。因此，大斜度井、水平井的开发大多采用随钻测井技术^[6-8]。

电各向异性在页岩、碳酸盐岩等非常规储层中广泛存在，电阻率测井响应实际上是各向异性、层厚/围岩、井斜角等因素共同作用的结果^[9-11]。随钻侧向测井相较于阵列侧向测井，缺少多种探测深度曲线^[12]，且整体探测深度较小，很难通过自身测量曲线进行迭代反演来校正各向异性的影响^[13-15]。因此，通过正演的方法研究以上因素对随钻侧向测井的影响，实现各向异性快速、简单的校正，对于实际资料的处理及仪器的应用具有重要意义。

针对侧向类随钻测井仪，Arps^[13]在1967年提出了螺绕环式天线结构，能够实现钻头、侧向、成像3种电阻率的测量，在已商用的侧向类随钻测井仪中应用较多。Gianzero等^[14]将螺绕环等效为磁流环与延伸的电压偶极子，分析了井眼、侵入、薄层对随钻电阻率测井的影响；Ortenzi等^[15]分析了斯伦贝谢RAB钻头电阻率测量仪的探测特性；康正明等^[16]、Prammer等^[17]分析了环境因素对哈里伯顿AFR仪器的影响；Kang等^[18]采用3D有限元素法分析了仪器结构参数和环境因素对随钻成像测井模式的影响；李铭宇等^[19]分析了仪器结构对随钻侧向测井仪测量信号强度的影响。目前，国内尚缺乏各向异性、层厚/围岩、井斜角等对该类仪器影响的具体分析，本文拟通过有限元方法模拟分析各向异性、层厚、井斜角等因素作用下的仪器响应规律，并提出一种井斜/各向异性快速校正方法，以期为该类仪器的应用及测井资料的解释提供一定依据。

1 正演原理及模型

本文研究的是螺绕环式随钻侧向电阻率测井仪，忽略频率影响，将钻铤视为完美导体，激励源等效为延伸的电压偶极子而降低计算复杂度。将发射螺绕环的上、下钻铤分别设置为正、负等量的恒定电位，由下部钻铤充当电流发射电极，上部钻铤充当电流回路电极。将接收螺绕环R2，R3采集到的仪器轴向电流差转化为地层视电阻率值（图 1a）。

对于随钻侧向测井的斜井地层模型，采用三维有限元法进行求解，仪器模型满足稳定电流场条件（图 1b），求解域和边界条件可由以下方程组描述^{[5, 20-21]}

$ \begin{cases}\nabla \cdot \sigma[(x, y, z) \nabla V(x, y, z)]=0, & (x, y, z) \in \Omega \\ V_0(x, y, z)=0, & (x, y, z) \in \Gamma_0 \\ V_1(x, y, z)=U, & (x, y, z) \in \Gamma_1 \\ V_2(x, y, z)=0, & (x, y, z) \in \Gamma_2\end{cases} $

(1)

式中：σ（x，y，z）为求解空间的电导率值，S/m；V（x，y，z）为空间电位分布函数；Ω为整个求解域；U为下部钻铤电业，V；Γ₀，Γ₁，Γ₂分别为上部钻铤、下部钻铤和无穷远地层边界表面。

根据定解问题和相应边界条件，可将该问题转化为泛函的求极小值问题^[20]

$ \begin{aligned} \varphi(\nu)= & \frac{1}{2} \iiint\limits_{\Omega} \frac{1}{R}\left[\left(\frac{\partial \nu}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \nu}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial \nu}{\partial z}\right)^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z- \\ & \sum\limits_{\mathrm{C}} I_{\mathrm{C}} U_{\mathrm{C}} \end{aligned} $

(2)

式中：φ（ν）为电位场的泛函；I_C为接收螺绕环接收电流，A；U_C为钻铤上电压，V。

通过对求解域进行离散化，对每个单元使用形函数导出场量表达式，由单元刚度矩阵组装成总刚度矩阵

$ [\boldsymbol{K}][\boldsymbol{X}]=[\boldsymbol{P}] $

(3)

式中：[K]为总刚度矩阵；[X]为需要求解的未知量矩阵；[P]为施加条件。

采用广义最小余量法求解式（3）中的大型稀疏矩阵，得到整个求解域的电场分布，最后通过对R2，R3之间的电流密度J进行面积分，从而采集到仪器轴向电流

$ I_{\mathrm{m}}=\oint _{\mathrm{s}} J \mathrm{~d} s $

(4)

根据欧姆定律转化为仪器测量的视电阻率

$ R_{\mathrm{a}}=\mathrm{k} \frac{U_0}{I_{\mathrm{m}}} $

(5)

式中：J为电流密度，A/m²；k为均质地层中确定的仪器常数；U₀为螺绕环上、下钻铤的电压差，V；I_m为采集的轴向电流，A。

模拟过程中仪器位于井眼中部，泥浆电阻率R_m为1 Ω·m，井径为0.215 9 m，井眼在钻头处截断。井斜角θ为井眼轨迹与地层之间的夹角；目的层电阻率为R_t；围岩电阻率为R_s；水平电阻率为R_h；垂直电阻率为R_v；目的层厚度为H。发射螺绕环T与接收螺绕环R2之间的源距（L_tr）为1.27 m，接收螺绕环R2与R3之间的接收线圈距（L_r）为0.381 m。采用非结构化四面体网格对地层及仪器模型进行离散化，钻铤部分控制单元大小为毫米级，井眼部分为厘米级，地层部分逐渐增长至米（图 1b、1c），由于井斜角不同，模型自由度数为（150~200）×10⁴。计算均匀无限厚地层中的电流结果与文献[18]中的解析解较为一致，相对误差小于1%，验证有限元算法及网格剖分的准确性（图 2）。

2 影响因素

井斜角、层厚、围岩电阻率、各向异性对电阻率测井的影响通常同时存在。通过分析不同影响因素的响应规律，可为各向异性校正提供一定指导。为分析各向异性、井斜角，层厚对随钻侧向测井仪器响应的影响及参数敏感性程度，采用各向异性系数λ表征地层电阻率的各向异性，并定义敏感性函数分析仪器响应的敏感性。各向异性系数λ为地层垂直电阻率与水平电阻率比值的开方^[20-21]，其表达式为

$ \lambda=\sqrt{\frac{R_v}{R_{\mathrm{h}}}} $

(6)

敏感性函数为归一化后的测井响应与地层参数的偏导^[22-23]

$ \left\{\begin{array}{l} S X_{\mathrm{i}}=\mid \frac{\frac{\partial A}{\partial x}-\min \left(\frac{\partial A}{\partial x}\right)}{\max \left(\frac{\partial A}{\partial x}\right)-\min \left(\frac{\partial A}{\partial x}\right)}, \mid\\ S Y_{\mathrm{i}}=\mid \frac{\frac{\partial A}{\partial y}-\min \left(\frac{\partial A}{\partial y}\right)}{\max \left(\frac{\partial A}{\partial y}\right)-\min \left(\frac{\partial A}{\partial y}\right)}, \mid \end{array} , H=\theta, \lambda\right. $

(7)

式中：A表示测井仪器响应曲线；x，y表示需要分析的地层参数，可以为井斜角、各向异性、侵入深度等。

2.1 各向同性地层

首先分析各向同性地层的响应规律。目的层电阻率取10 Ω·m，围岩电阻率取2 Ω·m，4 Ω·m，8 Ω·m，10 Ω·m，20 Ω·m，30 Ω·m，40 Ω·m，目的层厚度为0.1~10.0 m时，对直井中仪器探测点位于目地层中点时视电阻率随层厚与围岩电阻率的变化情况进行分析（图 3a）。可见，当目的层厚度为0.1~0.4 m时，仪器视电阻率的变化幅度最大，接近目地层电阻率。当目的层厚度为0.4~5.0 m时，视电阻率稍微偏离地层电阻率，出现下凹或上凸，凹凸程度与目的层厚度和围岩的电阻率有关，电阻率最大偏移点在层厚为2 m处，为1~2 Ω·m，这与电缆式侧向测井响应规律类似。目的层厚度大于5 m时，视电阻率又恢复到地层电阻率。

目的层电阻率取100 Ω·m，围岩电阻率取10 Ω·m时，模拟了井斜角与层厚对随钻侧向测井的影响。井斜角与层厚对仪器响应的影响主要在层厚小于3 m的范围，井斜角小于45°时，在0.5 m层厚处，视电阻率值会相对偏高，出现一个尖锐拐点；井斜角大于45°时，曲线逐渐平滑；层厚大于2 m时，各角度下仪器响应趋于一致，不再受井斜角影响；层厚大于5 m时，仪器响应几乎不再受围岩电阻率影响（图 3b）。

2.2 各向异性地层

随钻侧向测井在井斜角、各向异性系数改变时，其响应特征及参数敏感性也会随之变化。本次模拟条件为无限厚地层，固定水平电阻率为10 Ω·m，仪器响应程度随各向异性系数增大而增大。各向异性系数一定时，井斜角和仪器响应视电阻率增大；井斜角小于30°时，测井响应受各向异性系数影响较小，视电阻率差最大为2.5 Ω·m；井斜角大于30°时，仪器响应受各向异性影响严重，不能反映地层水平电阻率，需要考虑进行各向异性校正（图 4a）。仪器响应对各向异性的敏感性随井斜角非线性增大，对60°~90°的高角度地层敏感性最强，敏感性范围最大。随钻侧向对65°~85°倾斜地层的敏感性最强，因为此时的井斜角度刚超过仪器对各向异性的敏感角度，且尚未达到90°，同时，地层垂直方向电阻率的改变最大，随钻侧向受到的影响相对更大（图 4b，4c）。由此看出，响应敏感性整体上可分为3个井斜角区间：0°~30°低敏感性，30°~60°中敏感性，60°~90°高敏感性。

当目的层水平电阻率为10 Ω·m，围岩电阻率为1 Ω·m时，对直井条件下随钻侧向受各向异性和目的层厚度的影响与参数敏感性进行分析。结果显示：目的层厚度小于等于0.5 m时，由于地层厚度较小，仪器响应主要受围岩电阻率影响，视电阻率几乎不随各向异性系数变化（图 5a）；当地层厚度小于0.5 m时，随钻侧向测井响应对地层厚度的敏感性最大，此时仪器受围岩影响较大，难以反映目的层电阻率；当目的层厚度为0.5~5.0 m时，仪器响应会同时受到各向异性与围岩电阻率的影响，且随层厚增大，仪器对各向异性的敏感性也增大，层厚大于1 m时，对各向异性的敏感性相对较大，各向异性系数大于3时的敏感性基本不再发生变化；在层厚大于5.0 m的地层中，随钻侧向的响应曲线基本是重合的，此时仪器响应基本只受到地层各向异性的影响，不再需要进行层厚校正，只需要进行各向异性校正。

3 井斜/各向异性快速校正

井斜角与各向异性对仪器响应的影响是同时存在的。不同井斜角对仪器响应的敏感程度不同，其校正规律也不同，仪器的响应与井斜角和各向异性是一个复杂的函数关系。随钻测井中通常井斜角是已知的，各向异性系数可结合其他测井曲线通过交会图版反演或在岩心实验中得到^[24]。参考传统的井眼、层厚/围岩校正图版建立方法，采用分段拟合方式对随钻侧向测井的视电阻率进行各向异性与井斜角校正，以下为校正方法的具体过程。

首先，对直井中的仪器响应与各向异性系数进行拟合，横轴为各向异性系数，纵轴为视电阻率与原状地层电阻率的比值（图 6a）。对原始数据点进行拟合，得到直井中的各向异性校正系数R₀，计算公式为

$ R_0=0.268 \ln (\lambda)+1.004\;4 $

(8)

然后对斜井中的仪器响应与直井中的仪器响应进行拟合，测试后发现，对于井斜角小于70°的井，原始数据点之间存在线性关系；井斜角大于70°的井，存在幂指数关系（图 6a—6d）。因此，井斜角小于70°时，可得到拟合关系式

$ P=a m+b $

(9)

井斜角大于70°时，得到的拟合关系式为

$ P=a \cdot e^{b m} $

(10)

式中：a，b为待求参数；$m=\frac{R_{\mathrm{a} 0}}{R_{\mathrm{t}}}$，表示井斜角为0°时的视电阻率与地层真电阻率的比值；$P=\frac{R_{\mathrm{ai}}}{R_{\mathrm{t}}}$，表示井斜角为i时的视电阻率与真电阻率的比值，i取0°~90°。

参数a和b会随井斜角增大/减小而增大/减小，将参数a和b与井斜角的正弦值进行拟合。为提高拟合结果的准确性，参考敏感性分析结果，将井斜角分为3个区间：0°~30°时数据点之间满足二次多项式关系，30°~70°时满足二次多项式关系，70°~90°满足线性关系（图 6e，6f）。

$ \left\{\begin{array}{l} L a X=a R_0+b \\ a=1.6304 \sin ^2 \theta-0.1043 \sin \theta+1.0031 \\ b=-1.6083 \sin ^2 \theta+0.1074 \sin \theta-0.0032 \end{array}\right. $

(11)

当30° ≤ θ ≤ 70°时

$ \left\{\begin{array}{l} L a X=a R_0+b \\ a=12.263 \sin ^2 \theta-13.15 \sin \theta+5.0408 \\ b=-12.855 \sin ^2 \theta+13.927 \sin \theta-4.2852 \end{array}\right. $

(12)

当70° ≤ θ ≤ 90°时

$ \left\{\begin{array}{l} L a X=a e^{b \cdot R_0} \\ a=-0.741 \sin \theta+0.7982 \\ b=9.2289 \sin \theta-6.3788 \end{array}\right. $

(13)

因此，仪器测量的视电阻率R_a与地层水平电阻率R_th之间的关系为

$ R_{\mathrm{a}}=L a X R_{\mathrm{th}} $

(14)

式中：R_a为视电阻率，LaX为斜井中各向异性校正系数。

通过上式可得到无穷厚地层中井斜角与各向异性系数影响下的随钻侧向视电阻率值。对式（14）进行变换，得到地层各向异性系数为λ，井斜角为θ时的井斜/各向异性校正公式

$ R_{\mathrm{tc}}=\frac{R_{\mathrm{a}}}{L a X} $

(15)

式中：R_tc为校正后水平电阻率，Ω·m。

从校正公式计算和前文中的敏感性分析可看出，井斜角越大，其校正量越大。如直井中，各向异性系数分别为4，3，2时，校正系数为1.37，1.30，1.20，校正后的电阻率分别为72.6 Ω·m，76.9 Ω·m，84.0 Ω·m，三者之间分别相差约为4.0 Ω·m和7.0 Ω·m；当井斜角为60°时，相同条件下的校正系数分别为2.1，1.8和1.5，校正后的电阻率分别为48.6 Ω·m，54.5 Ω·m，65.5 Ω·m，三者之间相差分别达到6.0 Ω·m和10.0 Ω·m。可见，在敏感性较高的区域，各向异性系数和井斜角的取值对校正结果的影响更大。

利用上述校正方法对3层地层模型中随钻侧向测井视电阻率进行校正。设计计算模型分别为电导性目的层与电阻性目的层，目的层厚度分别为1 m，2 m，3 m，5 m，井斜角分别为0°，37°，68°，各向异性系数为1.5，2.5，不同参数组合下共建立了48个模型（图 7）。经过公式校正，视电阻率发生了显著改变，电导性地层中的校正电阻率明显更接近地层水平电阻率，薄层中的校正效果更好；电阻性地层校正效果相对较差，层厚大于3 m时，具有更好的校正效果，但层厚小于3 m时，由于受各向异性与围岩的共同影响，视电阻率则非常接近目的层电阻率。因此，该方法可用于不同目的层厚的电导性地层，而针对电阻性地层，可仅对厚度大于2 m的地层进行井斜/各向异性校正。

4 结论

（1）当目地层厚度小于0.5 m时，随钻侧向测井仪的响应主要受围岩电阻率影响；当目的层厚度为0.5~5.0 m时，仪器响应受各向异性和围岩电阻率共同影响，需要同时进行层厚/围岩与各向异性校正；当目的层厚度大于5 m时，各向异性对仪器响应的影响占主导，此时，可考虑仅进行各向异性校正。

（2）井斜角越大，地层各向异性表现越突出，仪器响应受各向异性的影响就越大。当井斜角小于30°时，仪器响应受井斜角、各项异性系数影响较小；当井斜角大于60°时，仪器响应对井斜角和各项异性系数的敏感性较强。

（3）随钻侧向测井的井斜/各向异性快速校正方法可用于不同目的层厚度的电导性地层；电阻性地层中，可仅对厚度大于2 m地层进行井斜/各向异性校正。各向异性取值和井斜角取值在高敏感区域对校正结果的影响大于低敏感区域。