我国有色金属的产量与价格受季节、政策和国际环境影响较大，往往出现周期性的较大变化；股票价格随市场的变化波动性较大，因此合理分析股票期权定价对所有者规避风险，做出更优决策有十分重要的意义.研究中将对传统B-S期权定价模型进行改进，改进后的期权定价模型适用范围更广，用于处理更复杂的期权定价问题.

研究认为B-S—二叉树期权定价模型可以很好的对未来股票期权价格进行预测，对预期的未来现金流量按预期报酬率进行折现是传统的股票定价思路，但是B-S—二叉树期权定价模型无需知道准确的投资者的预期收益率，对于未来的现金股利也不需要做出估计，公司历史的和现在的资产评估价值是它唯一需要知道的情况，这样就可以对股票估值，也可以克服传统股票定价方法方面的缺陷^[1].

1 股票期权理论

期权是金融市场中比较重要的金融衍生物，是所有人在未来的某一时点以某一固定的价格向出售人购买或出售一定数量的产品，同时所有人拥有到期选择购买或不购买的权利，而出售人必须按约履行合同.美式期权和欧式期权的基本区别在于是否可以在到期前提前执行，美式期权在到期前可以提前执行而欧式期权却不能提前执行.期权按合约到期时选择出售还是购买分为看跌期权和看涨期权，看跌期权是所有人希望在合约到期时的市场价格越低越好，但出售人必须以约定的价格进行交易；看涨期权是所有人希望在合约到期时的市场价格越高越好，但出售人必须以约定的价格进行交易.

在股票价值的确定方面，许多专家学者运用数学模型来评估这一过程，Jovan（2017）通过允许正态反高斯（NIG）分布式回报来扩展默顿模型，用于估计股票收益^[2].贺俊华（2013）通过对于未来现金流不确定性较大的企业，收益法评估未来各年的收益预测将因其主观性而有失公允；而采用期权定价模型评估这类企业价值具有更好的适应性^[3].白婷（2015）认为金融实证表明用分数布朗运动描述股票价格过程更贴近市场^[4].刘井建（2015）通过增加股价跳跃限制的定价模型降低了传统BS模型对股权价值的高估程度，这将有利于进一步优化高管股票期权激励的定价模型^[5].周仁俊（2015）通过EVA多指数化期权定价模型可以更好地解决由于我国股票市场的剧烈波动和弱有效性等带来的股权激励效果过低甚至反效果的现象^[6].崔占豪（2014）认为金融市场的复杂性和金融衍生品的多样性，给金融衍生品的定价研究带来很大麻烦，将股票的波动过程一般化为伽马过程模拟，必要的时候更贴近实际股票波动^[7].在股票期权激励方面，龙永保（2013）认为股权激励作为完善上市公司治理结构的有益补充，应该从恰当设计股权激励数量、科学确定行权期与行权价格、合理设置股权激励行权要件以及持续完善公司治理结构等方面完善我国上市公司股权激励，促进股权激励功能的发挥^[8].丁保利（2012）认为对职业经理人实施股权激励，能够协调各层级的利益冲突，对于完善市场监管机制、会计制度有重要的意义^[9].在企业中对管理人员授予股票期权是为了激励管理人员，将管理人员的利益与公司的效益挂钩，从长远来看有利于股份制公司的健康发展.采取股票期权激励方式使企业所有者与经营者达成了某种协调的格局，既有助于企业价值的提高，又有助于个人效用的发挥，使企业价值和个人效用达到最大化^[10].

2 理论模型的建立 2.1 B-S期权定价模型

20世纪70年代，布莱克和斯科尔斯提出了B-S期权定价模型.该模型指出，未来的预测只能与股价的当前值，也就是现值有关，和过去的历史与其演变方式是不相关的.根据模型，可以看出，期权价格的如何决定很复杂，比如，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权的价格，从而造成价格的改变.期权作为一种客观选择权，以各种单一或组合形式广泛存在于投资和经营领域.随着社会主义市场经济的深入发展，各种经济成分的相互渗透，含有期权的资产会越来越多地出现在我国企业的资产清单中.因此，在具有期权性质资产的单项评估、企业总体价值评估和企业股权价值评估中，会广泛应用期权定价理论.现实中尚未发生的事情都非100 %确定，风险存在普遍性.事物及社会在发展中由于希望回避这种结果的不确定性而产生了期权，为交易中厂商进行套期保值、风险管理提供了更多的选择工具.期权是指持有人在规定的期限内可以，但不是必须按照事先约定的价格买或卖某项财产或物品（金融资产或实物资产）的一种权力.有了权力后就可以根据市场的发展情况决定是否交易，而为取得这个未定权益（Contingent Claim）所付出的代价称为期权金，即期权价格.它由到期日T、约定价格X、市场价格S等关键因素决定.期权定价本质上就是对这一类未定权益定价^[11].其基本假设包括：①（期权是欧式期权（买入期权的一方必须在期权到期日当天或在到期日之前的某一规定的时间才能行使的期权）；②期权的标的资产收益率服从对数正态分布；③如果交易市场是没有摩擦的，那么就不会有交易费用、税收、无风险套利的机会；④在期权有效期内标的资产是不支付股利的；⑤无风险收益率以及标的资产收益率的变量是保持不变的；⑥该模型假设市场交易是连续的，并且不存在跳跃性的特征和间断性的特征；⑦标的资产波动率是一个定值；⑧标的资产价格服从的是几何布朗运动.

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\;\;C = {S_{\rm{t}}}N\left( {{d_1}} \right) - X{e^{ - r\left( {T - t} \right)}}N\left( {{d_2}} \right)}\\ {{d_1} = \frac{{{\rm{ln}}\left( {s/x} \right) + \left( {r + {\sigma ^2}/2} \right)\left( {T - t} \right)}}{{\sigma \sqrt {T - t} }}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;{d_2} = {d_1} - \sigma \sqrt {T - t} } \end{array} $

其中，C为欧式看涨期权的价格，S_t表示股票在t时间的价格，X为执行价格；r为瞬间的无风险利率；T为以年表示的权利期间的长短；N（）为累积正态分布函数；σ为标的资产价格的波动性.

假定知识产权产品预期净收益的现值S随时间t的变化是服从几何布朗运动规律的：

$ {\rm{d}}S\left( t \right) = \mu S\left( t \right){\rm{d}}t + \sigma S\left( t \right){\rm{d}}\mathit{W} $

其中μ为S的期望增长率；σ为单位时间内S随机变化率的标准差；dW为维纳过程增量^[12].

2.2 B-S—二叉树期权定价模型

B-S期权定价模型可以对欧式期权初始合理价格进行精确定价，但是由于计算过于复杂、表述过程不够直观，且对美式期权在各个时间节点上的期权价值不能合理定价，因此在B-S期权定价模型现有研究的基础上改进出B-S—二叉树期权定价模型，可以同时计算美式、欧式期权定价，能够用于处理更复杂的期权定价问题.

B-S—二叉树期权定价模型原理是将所考察的整个存续期间微分为若干个足够小的时间段△t，在每个时间段△t内，该模型都假定标的资产的价格有2种变动方向，分别是向下波动和向上波动，且向下波动的是d倍，而向上波动的是u倍，并且做出假设，认为在整个考察期内，不变的是股价每次向上或向下波动的概率σ和幅度.从而依据股价的历史波动率来模拟出在整个存续期内，股票价格所有可能的运动途径，从而对每一途径上的每个小的时间节点都一一对应计算期权的收益，并且最终对期权的价格使用贴现的方法来计算^[13].

$ u = {e^{\sigma \sqrt {\Delta t} }}, d = \frac{1}{u}, p = \frac{{{e^{\mu \Delta t}} - d}}{{u - d}} $

对美式看涨期权来说由各个节点的内在价值w与时间价值v进行比较，来决定是否提前行使期权，采用倒推法确定各个节点的时间价值；其中n为阶段数，m为上涨的次数，h为下跌的次数，S为现期价格，X为执行价格，μ为初始价格的期望增长率.

$ w = \max \left( {{u^m}{d^h}S - X,0} \right),v = {f_{{u^m}{d^h}}} = {e^{ - \mu \Delta t}}\left( {p{f_{{u^m}{d^{h - 1}}}} + \left( {1 - p} \right){f_{{u^m}{d^{h + 1}}}}} \right) $

如图 1所示为B-S—二叉树期权定价模型图，是利用蒙特卡洛模拟的大量离散运动来模拟期权价格的连续变化，可以很直观地看出期权在各个节点上的价值以及未来股票价格的变化，在美式期权定价中确定是否继续持有还是提前执行期权收益，当时间价值大于内在价值时应该继续持有，而当时间价值小于内在价值时应该提前执行；在欧式期权定价中确定期权的初始合理价格.

3 有色金属股票期权定价的实证分析 3.1 B-S期权定价模型实证分析

有色金属期货是风险较大的股票板块，涨幅和跌幅变化较大，因此选择合理的时机购入或抛售期货股票显得尤为重要.研究表明，赣州在资源价值、生产能力、技术水平等方面在南方离子吸附型稀土产业中具有一定优势，但竞争优势具有很强的脆弱性，主要取决于资源价值.章源钨业（002378）通过技术创新、发展模式创新，坐落钨都，占尽天时地利人和，钨这种资源丰富.据调查江西钨精矿的产量基本上占据全国的半壁江山，高达47 %，该公司除了自有丰富的矿山之外，还处于江西赣南地区，这可是中国钨资源最丰富的地方，现在已经建立了完备和非常便利的采购网络，能以合理价格方便、有效以及快捷地采购钨精矿，在原材料供给方面能得到有力的保障^[14].近年来从该公司招股说明书可以看到，在最初，公司拟投入该项目3.1亿元，根据预算，如果项目成功的话，可实现年利润总额高达8 876.70万元，净利润高达6 657.53万元，投资回收期为5.53年（其中包含建设期1.75年），这样，项目经济效益较好.之后，为了使项目的建设能够有更高的起点和更好的可操作性，同时在建设完成之后，要确保项目的产品性能能达到国际上的一流水准，而且能够在较长时间内持续不断的发挥优势，同时也抓紧时间和机遇，努力做到精益化生产，这第二产业有第二产业的弊端，该公司近些年做到了趋利避害，但是为了避免在投产之后，即需要的更新建设和减弱投资功效的出现，公司决定在原有投资的基础之上进一步进行投资，新投资总额大约是5.59亿元，和原投资总额相比，增加了2.49亿元.随着募投项目的建成，这对章源钨业的业绩是非常好的^[15].由2015年全年亏损1.6亿元转为2016年全年盈利979万元，建立了钨原料公共服务库、形成了以钨精矿和APT为主要库存商品的新商业发展模式，图 2所示为章源钨业2016年第4季度股票变化情况，可以看出最高单日涨幅达到4.81 %，而最高单日跌幅更是达到6.47 %，前后波动幅度较大.

本研究为了进一步说明模型对期权初始合理价格的预测作用，简化了相应的数据，选取一个简单例子对股票期权定价进行实证分析，通过数据收集，各参数如下：时间间隔为1天，现期价格S为11元，执行价格X为10元，无风险利率r为15 %，标准差σ为30 %；

$ \begin{array}{l} {d_1} = \frac{{\ln \left( {11/10} \right) + \left( {15\;\% + 30\;{\% ^2}/2} \right) \times 1}}{{30\;\% \times \sqrt 1 }} = 0.968\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{d_2} = 0.968 - 30\;\% \sqrt 1 = 0.668\\ C = 11 \times N\left( {0.968} \right) - 10 \times {e^{ - 15\;\% \times 1}} \times N\left( {0.668} \right) = 2.739 \end{array} $

因此，为了拟补机会成本的损失，在股票抛售时能得到合理的收益，这里将期权初始合理价格定为2.739元，超过这一合理价格得到的收益将减少；但所得到的初始合理价格仅为理论价格，实际上会超过这一合理价格.

同理当时间间隔分别为5、10、15、…、120 d时的期权初始合理价格为表 1所列，可以看出对于美式期权来说，时间间隔越长意味着可以行使期权的机会越多，当时间间隔足够长时，期权初始合理价格趋于稳定，无法购入更低价格的期权股票.

3.2 B-S—二叉树期权定价模型实证分析

这里同样以章源钨业（002378）为例，分析在一个季度期间的不存在分红美式看涨期权定价；这里简化了相应的数据，选取一个简单例子对股票期权定价进行实证分析，通过数据收集，各参数如下：初始价格S为10元，执行价格为X=9元，初始价格的期望增长率μ为25 %，年波动率σ为20 %，时间间隔△t为0.06年（一个季度分为4段，每段为23天），可以得出：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {e^{20\;\% *\sqrt {0.06} }} = 1.05,d = 1/1.05 = 0.952}\\ {p = {e^{25\;\% *\sqrt {0.06} }} - 0.952/1.05 - 0.952 = 0.644,1 - p = 0.356} \end{array}} \right.}\\ {\;\;\;S = {S_{ud}} = {S_{{u^2}{d^2}}} = 10,{S_u} = {S_{{u^2}d}} = 10*1.05 = 10.5,{S_{{u^2}}} = {S_{{u^3}d}} = }\\ {10*{{1.05}^2} = 11.025,}\\ {\;\;\;{S_{{u^3}}} = 10*{{1.05}^3} = 11.576,\;\;{S_{{u^4}}} = 10*{{1.05}^4} = 12.155,\;\;{S_d} = }\\ {{S_{u{d^2}}} = 10*0.952 = 9.52,}\\ {\;\;\;{S_{{d^2}}} = {S_{u{d^3}}} = 10*{{0.952}^2} = 9.063,\;\;{S_{{d^3}}} = 10*{{0.952}^3} = 8.628,}\\ {{S_{{d^4}}} = 10*{{0.952}^4} = 8.214} \end{array} $

图 3所示为期权在各个节点上的价值，其中期权在各个节点上的内在价值w为：

$ \begin{array}{l} {w_{10}} = {w_{21}} = \max \left( {10.5 - 9.0} \right) = 1.5,{w_{30}} = \max \left( {11.576 - 9.0} \right) = \\ 2.576, \end{array} $

$ \begin{array}{*{20}{l}} {\;\;\;{w_{01}} = {w_{12}} = \max \left( {9.52 - 9.0} \right) = 0.52,{w_{03}} = \max \left( {8.628 - 9.0} \right) = }\\ {0,}\\ \begin{array}{l} \;\;\;{w_{40}} = \max \left( {12.155 - 9.0} \right) = 3.155,{w_{20}} = {w_{31}} = \max (11.025 - \\ 9.0) = 2.025, \end{array}\\ \begin{array}{l} \;\;\;{w_{00}} = {w_{11}} = {w_{22}} = \max \left( {10 - 9.0} \right) = 1,{w_{02}} = {w_{13}} = \max (9.063 - \\ 9.0) = 0.063, \end{array}\\ {\;\;\;{w_{04}} = \max \left( {8.214 - 9.0} \right) = 0}\\ \end{array} $

在一个季度期间内从期权到期之日开始倒推出这个期权在各个节点上的时间价值v，分为4个阶段描述各个阶段内的价值，其中：

1）在第4阶段上的节点时间价值v等于内在价值w：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{v_{40}} = {f_{{u^4}}} = {w_{40}} = 3.155, {v_{31}} = {f_{{u^3}d}} = {w_{31}} = 2.025, {v_{22}} = {f_{{u^2}{d^2}}} = {w_{22}} = 1, }\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;{v_{13}} = {f_{u{d^3}}} = {w_{13}} = 0.063, {v_{04}} = {f_{{d^4}}} = {w_{04}} = 0, } \end{array} $

2）在第3阶段上的节点时间价值v为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{v_{30}} = {f_{{u^3}}} = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*{f_{{u^4}}} + 0.356*{f_{{u^3}d}}} \right) = 2.712, }\\ {{v_{21}} = {f_{{u^2}d}} = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*{f_{{u^2}}} + 0.356*{f_{{u^2}{d^2}}}} \right) = 1.635, }\\ {{v_{12}} = {f_{u{d^2}}} = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*{f_{ud}} + 0.356*{f_{u{d^3}}}} \right) = 0.657, }\\ {{v_{03}} = {f_{{d^3}}} = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*{f_{{d^2}}} + 0.356*{f_{{d^4}}}} \right) = 0.04, } \end{array} $

3）在第2阶段上的节点时间价值v为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{v_{20}} = {f_{{u^2}}} = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*{f_{{u^3}}} + 0.356*{f_{{u^2}d}}} \right) = 2.294, }\\ {{v_{11}} = {f_{ud}} = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*{f_u} + 0.356*{f_{u{d^2}}}} \right) = 1, }\\ {{v_{02}} = {f_{{d^2}}} = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*{f_d} + 0.356*{f_{{d^3}}}} \right) = 0.431, } \end{array} $

4）在第1阶段上的节点时间价值v为：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{v_{10}} = {f_u} = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*{f_{{u^2}}} + 0.356*{f_{ud}}} \right) = 1.806, }\\ {{v_{01}} = {f_d} = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*f + 0.356*{f_{{d^2}}}} \right) = 1.024, }\\ {{v_{00}} = f = {e^{ - 25\;\% *0.06}}\left( {0.644*{f_u} + 0.356*{f_d}} \right) = 1.376, } \end{array} $

由此得到期权在各个节点上的时间价值v和内在价值w，如表 2所列，可以看出该期货股票还是值得继续持有的，前3阶段表现为内在价值小于时间价值，所以应该继续持有；而在第4阶段随着股票价值的逐渐递减，应该选择提前执行期权收益.

4 结论与对策建议 4.1 结果与结论

在我国，不论是钨资源储量、产品产量和出口贸易量，还是消费量都是居于世界首位.主要体现在：①在钨储量方面. 2013年全球探明的钨储量有350万t，而我国的钨矿储量高达190万t，占比达到为54.3 %；②在钨生产方面.我国在2013年钨精矿的产量达到了13.8万t（折合大约65 %WO₃），占到了全球资源的84.5 %；③在钨进出口方面.在2013年，我国对钨品的出口达到了18 323.6 t（指金属量，不包含硬质合金），相比之前下降了15.76 %，进口钨品达到5 819.3 t（指金属量，包含钨精矿），相比之前增长6.49 %；④在钨消费方面，从2013年开始，我国钨的消费量一直在增长，根据不完全统计，我国钨的消费量基本占到了全球总量的37 %左右，现在基于可持续发展的理念，我国对其实行了保护性开采和出口配额限制，以及出口退税下调等一揽子产业政策，并且规范了部分开采和冶炼加工企业^[16].研究中以章源钨业为例，运用B-S期权定价模型以及改进后的B-S—二叉树期权定价模型对股票期权定价问题进行分析，研究结果表明：①将期权初始合理价格定为2.739元是最合理的理论价格，超过这一合理价格得到的收益将减少；②对于美式期权来说，时间间隔越长意味着可以行使期权的机会越多，当时间间隔足够长时，期权初始合理价格趋于稳定，无法购入更低价格的期权股票；③改进后的B-S—二叉树期权定价模型可以对各个阶段上的节点时间价值、内在价值进行分析，该期货股票在前三阶段应该继续持有，而在第4阶段随着股票价值的逐渐递减，应该选择提前执行期权收益.

结合上述结果，得出以下分析结论：①有色金属股票期权价格波动幅度较大，可以通过建立模型来评估股票价值，评估的过程有利于股票期权激励对管理人员的正向影响. ②改进后的B-S—二叉树期权定价模型较B-S期权定价模型更加直观、简单，可以同时计算美式、欧式期权定价，但是，即便是改进后的B-S—二叉树期权定价模型，也是有其自身固有的局限性的, 比如，它的假设条件并不能完美清楚地描述出现实世界的真实情况，或者说很难完美的涵盖现实中的情况，这在实际情况中可能包含了更多的因素是这个模型没有触及到的方面，那么运用该模型有些情况就可能会出现定价方面的偏差，这种偏差导致我们对于股票市场的把握更加朦胧^[17].对期权定价方法方面的研究，现在还在不断的发展中，从理论层面上来说，期权的发展是没有尽头的，从实际情况上说，期权是复杂的、不断变化的和应用广泛的，因此为了深入研究复杂交易市场条件下的期权的定价问题，不断研究探寻期权定价方法的共性和个性是具有重要意义的.目前，在完全市场条件下的期权定价的研究已经日趋成熟，而且也具有了较为完善的定价系统.但是如果放松完全市场的一部分假设条件，探讨期权在不确定市场条件下的定价问题的话，主要是需要进一步放松B-S二叉树期权定价模型的假设条件，将更多的现实因素引入模型，进一步对不同市场状况下的期权定价问题进行研究，这毫无疑问更加具有挑战性和现实价值，与此同时也可以让这个模型更符合实际，实用价值进一步提高.到目前为止，关于这方面的研究还比较少，是值得我们继续深入研究和探讨的^[18].

4.2 对策建议

通过分析有色金属股票期权定价问题，可知期权初始合理价格以及根据时间价值与内在价值的关系得到是否应该继续持有还是提前执行约定的执行价格.提出以下对策与建议：

1）在股票期权价值评估过程中可以运用定量化的模型分析方法，使评估的结果更加直观、简单、稳定.

2）运用B-S—二叉树期权定价模型对美式期权股票的执行期进行系统分析，降低期权股票执行的风险，提高股票期权激励作用于管理人员的长期正向影响.

3）改进后的B-S—二叉树期权定价模型也有其自身固有的局限性，需要在实践中不断完善，提高评估的准确性和适用性；在实际应用中，可以分别计算通过传统定价方法得到的估计值和通过期权定价法得到的结果，将它们进行对照，以便为日后的研究作参考.现在我国证券市场正在不断的发展和完善，将来，也一定会出现各种各样的金融衍生工具，这就表明，如何给出科学的定价将会是极其重要的事情，同时对整个市场而言，这也是非常有利的，值得我们共同去探究.