随着科学技术和国民经济的蓬勃发展，面对着地壳浅部资源日益匮乏，深部资源的开采利用已经成为人类解决资源匮乏的重要途径，深部开采已呈现必然的趋势^[1].在地下深部矿山开采设计中，面临许多地壳浅部矿山未遇到的问题，其中包括高应力问题.伴随高应力的是岩石破坏程度的加剧，破坏频率的增高，矿井灾害爆发的强度远远大于浅部矿井.因此对于采场结构参数选择的合理化尤为重要^[2]，合理的采场结构参数不仅可以更好地保证井下工作人员的生命安全，更能确保矿山高效、安全生产^[3].

近年来随着科学技术的发展，地下矿山采场结构参数优选不再仅仅依靠经验工程类比和半经验半理论的方法，陈顺满^[4]采用响应面法分析矿柱稳定性影响因素并建立模型优化采场结构参数；数值模拟软件也已经广泛应用于地下采场模拟优选采场结构参数，如FLAC^[5-6]、ANSYS^[7]、ABAQUS^[8]和PFC^[9]等.但是数值软件更多的是模拟并分析不同参数的采场开挖造成的应力、位移和塑性区等的影响，未能考虑经济和技术方面的因素.深部矿山采场结构参数优选是由多种因素共同影响的复杂决策问题，王新民^[10]综合考虑经济、技术和安全指标采用AHP法确定各指标权重并通过建立FAHP综合评价模型实现采场结构参数的优选；饶运章^[11]采取熵值法获得各指标权重并通过建立的模糊数学评价模型优化了采场结构布置参数.但AHP法和熵值法确定权重都有其偏向性，不能很好的兼顾业主的主观需求和客观实际情况.鉴于此，选用博弈论组合赋权TOPSIS法的评价模型，对采场的进路布置参数进行优选得到深部采场结构参数.采用标度扩展AHP法和熵值法2种主客观赋权方法计算各指标的主客观权重；利用博弈论的思想得到各指标综合赋权优化模型；最后采用TOPSIS法计算初步拟定方案的逼近理想解，对比各方案的优劣，得出较优深部采场结构参数.

1 权重确定方法 1.1 标度扩展AHP法

通过改进的AHP法来构造判断矩阵.标度扩展AHP法计算得到的判断矩阵具有一致性，无需再重复一致性检验步骤.基本思路^[12]是由专家意见或客户主观需要对各指标两两比较，然后根据重要程度可得到各指标重要程度排序序列；由序列中相邻两指标间的重要程度比较得到的标度值建立判断矩阵，从而得到标度扩展AHP法的各评价指标权重：

$ {\omega _i} = \sqrt[n]{{\mathop {\mathop \prod \limits_{j = 1} }\limits^n {r_{ij}}}}/\sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt[n]{{\mathop {\mathop \prod \limits^n }\limits_{j = 1} {r_{ij}}}}\;\;\;\;\left( {0 \le {\omega _i} \le 1} \right)} $

(1)

1.2 熵值法

利用信息熵来确定各影响因素的权重可以降低决策者主观因素影响，而且最终的评价结果也更加贴合实际生产情况^[13].

主要计算步骤：

步骤1：矩阵标准化.对决策矩阵去量纲标准化^[14]得判断矩阵B：

$ {b_{ij}} = \frac{{{X_{ij}} - {{\overline X }_j}}}{{{S_j}}} $

(2)

式（2）中：x _j、S_j分别为第j个指标的均值和标准差.

步骤2：在计算步骤1的过程中会出现负值，为避免负值影响后续计算，将矩阵B中的元素整体向右进行平移得到矩阵B′.（经计算，只需向右平移2个单位即可使矩阵B′中元素全为正值.）

步骤3：由熵的定义可知：

$ {H_j} = - \frac{1}{{\ln m}}\left( {\sum\limits_{j = 1}^m {{f_{ij}}\ln {f_{ij}}} } \right) $

(3)

$ {f_{ij}} = - \frac{{{b_{ij}}}}{{\sum\limits_{j = 1}^m {{b_{ij}}} }};i = 1, 2, \cdots, n, j = 1, 2, \cdots, m $

显然，0≤H_j≤1.

步骤4：计算熵权评价指标W

$ W = {\left( {{w_j}} \right)_{1 \times m}} $

(4)

$ {W_j} = - \frac{{1 - {H_j}}}{{m - \sum\limits_{j = 1}^m {{H_j}} }}, 且满足\sum\limits_{j = 1}^m {{w_j} = 1} . $

2 基于博弈论组合赋权TOPSIS模型 2.1 博弈论组合赋权

博弈论是研究分析在多个方案方法存在竞争的情况下，如何做出科学有利决策的数学理论和方法，目前已发展较为成熟，在评价方法中也有应用^[15].组合赋权具体算法如下^[16]：

对于多指标评价分析系统，假设采用L种权重确定方法计算出权值，记为：

$ {w_k} = \left( {{w_{k1}}, {w_{k2}}, \cdots, {w_{kn}}} \right), \left( {k = 1, 2, \cdots, L} \right) $

由此可以获得一个权重集w：

$ w = \sum\limits_{k - 1}^L {{\alpha _k} \cdot w_k^{\rm{T}}} \left( {{\alpha _k} > 0} \right) $

(5)

为了得到最合适的权重向量w^*，需对线性组合系数α_k优化，以达到w与每个w_k的离差极小化的目标，由此，可得到计算式子如下：

$ \min {\left\| {\sum\limits_{k = 1}^L {{\alpha _k}w_k^{\rm{T}} - {\omega _k}} } \right\|_2},\left( {k = 1,2, \cdots ,L} \right) $

则根据矩阵的微分性质，可导出上式的最优化一阶导数条件为

$ \sum\limits_{k = 1}^L {{\alpha _k}{w_k}w_k^{\rm{T}}} = {w_k}w_k^{\rm{T}} $

(6)

由式（6）可求得（a₁，a₂，…，a_L），继而可计算得到W^*.

$ a_k^* = {\alpha _k}/\sum\limits_{k = 1}^L {{\alpha _k}} $

(7)

$ {W^*} = \sum\limits_{k = 1}^L {{\alpha _k}w_k^T} $

(8)

2.2 基于组合赋权的TOPSIS综合模型

1）决策矩阵标准化.首先由给出的备选方案及各方案下的所有指标建立初始评判矩阵.初始评判矩阵内各指标的量纲不一致，无法进行直接比较优选，不存在可比性.因而需要将初始评判矩阵转换计算，规范标准化后的矩阵B′.

$ \left. \begin{align} &b_{ij}^{'}=\frac{{{x}_{ij}}-\min \left( {{x}_{ij}} \right)}{\max \left( {{x}_{ij}} \right)-\min \left( {{x}_{ij}} \right)}\ \ \ \ \left( a \right) \\ &b_{ij}^{'}=\frac{\max \left( {{x}_{ij}} \right)-{{x}_{ij}}}{\max \left( {{x}_{ij}} \right)-\min \left( {{x}_{ij}} \right)}\ \ \ \ \ \left( b \right) \\ \end{align} \right\} $

(9)

其中：效益型指标选用式（9-a）；成本型指标选用式（9-b）.

2）建立加权决策矩阵.将博弈论组合赋权后的综合权重W^*下的各指标权重与标准化后的决策矩阵中各元素相乘得到加权决策矩阵C.

3）计算评判指标的理想解和贴近度.矩阵C的C⁺与C^-取值如下所示：

$ \left. \begin{array}{l} {C^ + } = \left[{\max \left( {{c_{ij}}} \right)} \right] = \left[{c_1^ +, c_2^ +, \cdots, c_n^ + } \right]\\ {C^ - } = \left[{\min \left( {{c_{ij}}} \right)} \right] = \left[{c_1^-, c_2^-, \cdots, c_n^-} \right] \end{array} \right\} $

(10)

4）评判指标与理想解的距离

$ \left. \begin{array}{l} S_i^ + = \sqrt {\sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( {{c_{ij}} - c_j^ + } \right)}^2}} } \\ S_i^ - = \sqrt {\sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( {{c_{ij}} - c_j^ + } \right)}^2}} } \end{array} \right\} $

(11)

式（11）中：S_i⁺、S_i^-表示各评判指标和正、负理想解的距离.

计算贴近度：

$ E_i^ + = S_i^ - /\left( {S_i^ + + S_i^ - } \right)\left( {0 \le E_i^ + \le 1} \right) $

(12)

3 实例分析

某铅锌矿矿区内矿脉长约1 600 m，水平宽度约300～760 m，呈近东西向分布，矿体形态复杂多样，矿体厚度及倾角分布情况极不稳定，沿走向变化大，总体是西部矿床倾角较大，东部矿床较平缓.且主次要矿体平均厚度均较薄，而矿体之间的夹层厚度较大，往往是矿体厚度的几倍，开采过程极易造成矿石贫化.资料显示各矿体地下赋存标高跨度相差较大，矿体埋深超-1 000 m，因此必然需要深部开采，深部开采将会面临高地应力、高温、地压显现事故加剧等恶劣开采环境，大大增加开采难度.文献[17]在对矿区围岩进行岩爆倾向性试验发现该矿床在未来开采中将受到岩爆威胁，因而初步确定5种充填法进行深部矿体回采，并通过熵权-理想点法优选后最终确定采用上向水平分层进路充填法进行开采.采矿方法如图 1所示.

岩爆试验结果表明，矿体深部开采过程中可能会存在岩爆现象，因而分析采用上向水平分层进路充填法在矿体整个回采作业过程及结束后的充填过程中受到的应力、竖向位移变化、塑性区的分布规律，以及采场的整体稳定性因素，从而确定矿体的回采原则回采步骤如图 2所示，为满足生产要求，确定15条进路的回采方案，按步骤进行矿体回采作业，每步骤回采完后及时回填进路空区.

3.1 构建评价指标体系

采场进路参数优选的评价指标体系如图 3所示.

采用上向水平分层进路充填法进行矿体回采时，进路的跨度、高度及矿房和矿柱的处理方式是影响采场稳定性的主要因素.初步拟定采场布置的备选方案见表 1.

根据矿山资料，利用ANSYS建立模型导入到FLAC3D进行计算和分析得到各主要指标值见表 2.

3.2 指标综合计算

采用式（1）计算改进标度扩展AHP法得到权重值为：w₁=[0.182 5 0.187 1 0.133 6 0.095 4 0.059 7 0.049 7 0.121 7 0.170 3].由式（2）～式（4）计算得熵值法权重w₂=[0.123 4 0.123 2 0.125 4 0.123 0 0.129 5 0.125 5 0.126 5 0.123 5].

对比w₁和w₂可知，改进标度扩展AHP法计算出的权重离散性相对更大，所以考虑综合主客观2种赋权方法计算权重值优化组合赋权.由式（5）～式（8）计算得到博弈论组合权重为W^*=[0.180 6 0.185 0 0.133 6 0.096 3 0.062 0 0.052 1 0.121 9 0.168 8].

计算式（9）～式（12）可得各方案贴近度为[0.580 5 0.419 5 0.416 1 0.568 7].

3.3 结果分析

从4种方案贴近度比较可知方案1值最大，是备选方案之中的较优方案，应予以采纳，即采场进路大小为4.5 m×4 m，矿柱则采用非胶结充填方案.

常用线性加权组合赋权法：

（W^* = 0.5（w₁+w₂））计算得各方案贴近度为[0.590 9 0.448 2 0.394 7 0.583 9]；乘法归一组合赋权法（${\mu _i} = \frac{{{w_j} \times {S_j}}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {\left( {{w_j} \times {S_j}} \right)} }} $）计算得各方案贴近度为[0.582 0 0.417 8 0.417 6 0.567 9].比较可知，通过3种组合赋权法对比计算得到各备选方案优劣度排序是相同的，方案1较优，其次是方案4、方案2、方案3.由此，基于博弈论组合赋权的TOPSIS法采场参数优选体系是合理可用的.

4 结论

1）采用改进的AHP（标度扩展）法和熵值法确定各指标的主观、客观权值，并通过博弈论的组合赋权思维构造组合赋权模型计算出各指标的综合权重，充分考虑了主观和客观因素的影响.

2）通过基于博弈论优化组合赋权的TOPSIS法的综合评价体系的评价分析，最终得到4个备选方案的贴近度：方案1为58.05 %；方案2为41.95 %；方案3为41.61 %；方案4为56.87 %，从而优选出方案1采场进路为4.5 m×4 m，矿柱非胶结充填为较优方案.

3）对比常用的线性加权组合赋权法和乘法归一组合赋权法，几种方法得到的各方案贴近度排序相同，优选结果一致.这说明博弈论组合赋权模型合理并具有可行性，为多方案评价科学决策出较优方案提供了依据，并可应用于其它矿山的采场进路参数方案的优选.