熔渣作为火法冶炼过程渣金分离的主要产物, 其密度、黏度、导热率、比热容、扩散系数和表面张力^[1-4]等物理性质, 对了解熔渣结构和冶金计算乃至反应速度、动力学分析都十分必要^[5]。在铜火法造锍熔炼过程中, 需将铜锍中FeS先氧化成FeO, FeO再与熔剂中的SiO₂作用形成熔渣, 造锍熔炼炉渣主要是FeO-SiO₂系。但在闪速熔炼高氧势条件下, 渣中Fe总是以Fe²⁺和Fe³⁺的形态同时存在, 所以其熔渣实际上是FeO-Fe₂O₃-SiO₂三元铁硅渣系^[6]。近年来, 针对铜造锍熔炼铁硅渣系的相平衡、活度、密度、黏度、导电率和表面张力等物理化学性质, 众多学者开展了大量的实验测定研究^{[5, 7]}, 为闪速炉造铳熔炼过程研究提供了有价值的渣系热力学实测数据。

铁硅渣系主要组分(FeO、Fe₂O₃、SiO₂)的含量计算或测定对渣型控制至关重要, 若通过人工定时取样分析, 存在滞后问题, 不能及时指导生产。软测量技术^[8-11]是在待测变量无法或难以直接及时测量时, 选择与待测目标变量相关的另一个或一组可测或易测辅助变量, 构造某种以可测辅助变量为输入、待测目标变量为输出的数学模型, 实现可测辅助变量到待测目标变量的实时计算估计。近年来, 国内外研究人员采用软测量技术开展了冶金领域的大量研究工作, 获得了接近实际生产的研究结果^[12-15]。结合软测量技术的特点, 若能通过该技术实现铁硅渣系成分的快速计算预测就显得很有必要。

从理论上看, 熔渣体系的密度、粘度、导热率、热容、扩散系数和表面张力与其成分均具有较强的关联性, 都可作为其成分软测量建模的辅助变量, 目前, 在物质成分含量软测量数模研究中, 无论是密度还是粘度、电导率作为辅助变量, 均采用回归建模方法来构建软测量模型, 其算法原理基本相同^[16-21]。

鉴于此, 本文针对火法冶炼熔渣成分含量与各物理性质强关联性的特点, 以三元渣系温度和密度为软测量辅助变量, 采用泰勒三次展开回归算法, 建立了基于两温两密度的三元渣系成分软测量数学模型。FeO-Fe₂O₃-SiO₂渣系的模型实例验证表明, 该模型能较好的反映三元渣系密度与成分、温度间的内在规律, 回归计算效果良好, 软测量预测命中率高, 为实现三元渣系成分软测量奠定了良好的模型基础。

1 三元渣系成分软测量数学模型 1.1 模型构建

以FeO-Fe₂O₃-SiO₂渣系为研究对象, 该渣系主要成分为FeO、Fe₂O₃和SiO₂, 这三种成分的含量对渣结构及其它物理化学性质影响最为显著。由该渣系物理性质可知, 熔渣密度与其成分含量、温度具有强关联性。因此, 可近似认为FeO、Fe₂O₃和SiO₂的含量和渣系温度决定了渣系密度。鉴于三者含量之和等于100%的约束条件, 该渣系密度可表示为FeO、Fe₂O₃含量和渣系温度的函数, 如式(1)所示。

$ d = f({C_A},{C_B},T) $

(1)

式(1)中: C_A:渣系中FeO的质量百分含量, /%: C_B渣系中Fe₂O₃的质量百分含量, /% T:渣系温度, /℃ d:渣系的密度, /g·(cm^-3).

实际建模时, 可通过正交实验配制若干不同成分含量的熔渣样本, 并在不同温度下测量其密度, 将样本的密度、成分含量、温度数据按某种合适的函数形式进行回归处理, 从而得到熔渣密度与成分含量、温度的具体函数数学表达式。

式(1)用于三元熔渣成分含量软测量时, 可在两个温度点下测定该熔渣的密度, 将所测密度d_i和相应温度T_i代入式式(1), 得到二元非线性方程组如式(2)所示。

$ \left\{ \begin{gathered} {d_1} = f({C_A},{C_B},{T_1}) \hfill \\ {d_2} = f({C_A},{C_B},{T_2}) \hfill \\ \end{gathered} \right. $

(2)

式(2)即为所构建的两温两密度熔渣成分含量软测量模型。求解该模型所示方程组, 即可得到待测熔渣的成分含量估计值。这也是以密度、温度为辅助变量的熔渣成分含量软测量模型构建原理。

1.2 求解算法

目前, 文献[17, 18]已报道的类似软测量模型, 均采用泰勒级数展开-回归处理求解的思路。为提高软测量预测的命中率, 本文将式(1)按泰勒级数三次展开, 得到式(3)所示的展开式, 其中含有待定系数20个。

$ \begin{gathered} d = {a_{000}} + {a_{001}}{C_A} + {a_{002}}{C_B} + {a_{003}}T + {a_{011}}{C_A}^2 + {a_{012}}{C_A} \cdot {C_B} + {a_{013}}{C_A} \cdot T + \hfill \\ {a_{022}}{C_B}^2 + \;{a_{023}}{C_B} \cdot T + {a_{033}}{T^2} + {a_{111}}{C_A}^3 + {a_{112}}{C_A}^{ \cdot 2} \cdot {C_B} + {a_{113}}{C_A}^2 \cdot T + \hfill \\ {a_{221}}{C_B}^2 \cdot {C_A} + {a_{123}}{C_A} \cdot {C_B} \cdot T + {a_{331}}{T^2} \cdot {C_A} + {a_{222}}{C_B}^3 + {a_{223}}{C_B}^2 \cdot T + \hfill \\ {a_{332}}{T^2} \cdot {C_B} + {a_{333}}{T^3} \hfill \\ \end{gathered} $

(3)

合并式(3)中各温度变量的一次项和二次项, 并令:

$ F = {a_{033}} + {a_{133}}{C_A} + {a_{233}}{C_B} $

(4)

$ G = {a_{003}} + {a_{013}}{C_A} + {a_{023}}{C_B} + {a_{113}}{C_A}^2 + {a_{123}}{C_A} \cdot {C_B} + {a_{223}}{C_B}^2 $

(5)

$ \begin{gathered} G = {a_{000}} + {a_{001}}{C_A} + {a_{002}}{C_A} + \;{a_{011}}{C_A}^2 + {a_{012}}{C_A} \cdot {C_B} + {a_{022}}{C_B}^2 + \hfill \\ \;\;\;\;{a_{111}}{C_A}^3 + {a_{112}}{C_A}^{ \cdot 2} \cdot {C_B} + {a_{221}}{C_B}^2 \cdot {C_A} + {a_{222}}{C_B}^3\quad \hfill \\ \end{gathered} $

(6)

代入式(3), 可得:

$ d = E{T^3} + F{T^2} + GT + H $

(7)

将两组密度-温度测量数据(d₁, T₁)、(d₂, T₂)分别代入式(7), 整理可得变元为C_A和C_B的二元三次非线性方程组, 如式(8)所示:

$ \left. \begin{gathered} T_1^2 \cdot F + {T_1} \cdot G + H = {d_1} - E \cdot T_1^3 \hfill \\ T_2^2 \cdot F + {T_2} \cdot G + H = {d_2} - E \cdot T_2^3 \hfill \\ \end{gathered} \right\} $

(8)

采用牛顿迭代或最速下降法, 通过计算机数值求解该方程组, 可得到熔渣成分含量C_A和C_B。

1.3 算法流程

根据以上软测量模型建模原理及求解算法, 针对FeO-Fe₂O₃-SiO₂渣系的特点, 本文采用图 1所示的求解流程。

2 模型实例验证

为考察基于泰勒三次展开回归算法的两温两密度FeO-Fe₂O₃-SiO₂渣系成分软测量模型的计算效果, 基于建模原理及回归模型求解算法, 采用delphi高级语言开发了基于两温两密度法的FeO-Fe₂O₃-SiO₂渣系成分软测量模型求解软件, 进行模型实例验证和软测量测试实验。程序界面见图 2, 其中图 2(a)为数据样本多元回归界面, 图 2(b)为软测量预测界面。

2.1 回归分析

采用文献[5]中的测量数据作为数据样本, 见表 1。按式(3)进行三次全系数项回归建模, 建立基于三因素（FeO含量、Fe₂O₃和温度）的熔渣体系两温两密度回归软测量模型。为提高软测量预测命中率, 按文献[18]方法, 选定部分强关联性系数项进行回归分析, 结果见式(9)。表 1中d为密度测量值, d'为回归计算值, 由结果可知, 回归计算精度高, 平均相对误差(绝对值)仅为0.412%。

$ \begin{gathered} d = 1.1138 \times 10 + 1.2845 \times {10^{ - 3}}{C_A} - 1.8199 \times 10{C_B} + \hfill \\ 8.2743 \times {10^{ - 4}}T + 1.5663 \times {10^{ - 2}}{C_A} \cdot {C_B} - 6.2902 \times {10^{ - 6}}{C_A} \cdot T + \hfill \\ 1.1812 \times 10{C_B}^2 - 2.6459{C_B}^3 \hfill \\ \end{gathered} $

(9)

2.2 软测量测试

测试方法与步骤:

1) 在回归建模样本空间内, 任意给出若干组渣系成分含量和渣系温度(C_A, C_B, T₁, T₂), 并以此作为已知量, 根据式(9), 采用模型软件计算出该熔渣在两个温度下的密度;

2) 以步骤(1)计算的密度和相应温度组成数据对, 作为软测量辅助变量输入(d₁, T₁, d₂, T₂), 并按两温两密度软测量模型求解相应的成分含量, 完成从辅助变量到目标变量的转换;

3) 将软测量转换结果与原给定成分含量比较, 考察其软测量效果。

按照步骤1), 给定三组渣系成分含量-密度值(温度在T₁=1 250 ℃, T₂=1 350 ℃时由模型计算得到), 作为软测量的模拟测试条件, 见表 2。

按照步骤2), 以表 2中密度、温度为软测量预测模型输入, 对应的渣系成分含量C_A, C_B作为参比值进行模拟测试, 测试结果见表 3。其中表中1号软测量测试实验收敛残差见图 3。从测试结果可知, 两温两密度软测量预测模型计算结果与迭代求解初值无关, 且收敛范围宽, 预测求解精度高。由于该软测量建模是通过大量的样本数据回归拟合探寻温度、密度和熔渣成分之间的内在热性规律, 并建立了基于多点约束的数学模型, 且密度和温度测量手段及精度日益成熟, 也提高了软测量的命中率。

可见, 基于泰勒三次展开回归处理的两温两密度FeO-Fe₂O₃-SiO₂渣系软测量模型具有良好的预测效果和高命中率。

2.3 密度-温度特性曲线分析

为系统考察构建的软测量模型与FeO-Fe₂O₃-SiO₂渣系密度-温度-成分内在规律的整体吻合效果, 利用数模软件计算绘制了不同成分含量条件下该渣系的密度-温度特性曲线, 并进行分析讨论。

1) FeO含量对密度-温度特性曲线的影响. 图 4是在渣系中Fe₂O₃组分含量固定为1.6%时, FeO组分含量分别为60%、63%、66%和69%时, 模型软件计算输出的密度-温度特性曲线。

由图 4结果可知, 随着FeO组分含量升高, 渣系密度逐渐增大, 且密度-温度特性曲线斜率基本不变, 渣系密度随温度升高而增大。

2) Fe₂O₃含量对密度-温度特性曲线的影响.图 5是在FeO组分含量C_A固定为70%, Fe₂O₃组分含量分别为1.3%、1.4%、1.5%和1.6%时, 数模软件计算输出的密度-温度特性曲线。

由图 5可知, 随着Fe₂O₃组分含量升高, 渣系密度先增大后减小, 且特性曲线斜率也基本不变, 渣系密度随温度升高也呈增大趋势, 与文献[5]实验测量结果相符。

3 结论

1) 以三元渣系温度和密度为软测量辅助变量, 采用泰勒级数三次展开回归算法, 建立了基于两温两密度的三元渣系成分软测量数学模型, FeO-Fe₂O₃-SiO₂渣系的实例验证表明, 回归计算精度高, 平均相对误差(绝对值)仅为0.412%。

2) 依此模型的多组软测量预测命中率高, 且渣系组分含量适应范围较宽, 为实现三元渣系组分含量实现实时预测提供了良好的模型基础。

3) FeO-Fe₂O₃-SiO₂渣系密度-温度特性曲线分析表明, 随着FeO组分含量升高, 密度随之增大, 而Fe₂O₃含量升高, 密度先减小后增大, 曲线斜率两者基本不变, 温度升高渣系密度随之升高, 该模型能较好地反映三元渣系密度与组分含量、温度间的内在规律。