磁系磁场的研究对分析磁选设备的性能, 进而确定适宜的磁系结构参数、磁极形状和尺寸, 以及研究磁性颗粒受力情况等起着重要的作用。在高梯度磁选设备的研制过程中, 磁系设计是最关键的部分, 而磁系设计中, 为了优化结构、节省材料, 设计制造供不同用途且能满足特定磁场要求的磁系体系, 就必须对磁场的大小与分布, 做出严密的分析与准确的计算。因而磁系磁场的研究是磁选领域中的一个重要课题。

1 磁场的实验研究方法

目前, 对磁系磁场的研究主要采用了两种方法:场的实验研究方法和场的理论研究方法, 而且这两种方法在分析实际问题中常常是相互补充的。

磁场的实验研究方法有两种:实测法和模拟法^[1~2]。实测法是在真实的磁选设备(磁系)的磁场中直接测量有关的量, 它广泛应用于测量磁选设备(或磁系)的磁场分布。实测时使用高斯计, 该方法的优点是它可以直接测出具有大空间磁场的磁选设备(或磁系)的磁场分布, 而不能测量小空间或微小空间的磁场分布。这是因为高斯计探头的体积远远大于被测量的体积。模拟法又可分为磁模拟法和电模拟法。磁模拟法能直接模拟出真实设备中的磁场分布; 可以研究磁介质材质对磁场分布的影响; 对形状较为复杂的铁磁质中周围的磁场分布也可以进行研究。此外, 可以观察到磁性颗粒在磁场中的受力情况, 借此深入了解磁场分布特性。电模拟法测出的是电位分布, 通过电位函数和电场强度之间的关系求出电场强度的分布, 以此反映磁场强度的分布, 它是一种间接的磁场研究方法。模拟法能弥补实测法的不足, 是研究小空间或微小空间的磁场分布的一种好方法。

2 磁场的理论研究方法

目前, 高梯度磁选设备磁系磁场的理论研究方 法主要有传统的研究方法和新型的数值计算方法。

2.1 传统的研究方法

传统的研究方法有以下几种(参照文献[3])。

2.1.1 线性积分法

该法主要是针对铠装圆柱形螺线管(图 1)而言的, 它认为, 在螺线管分选腔0~R范围内为均匀磁场, 在导体占据的空间内, 随R的增加在R处产生磁通的安匝数线性减少, 因而该处的场强也线性减少。如图 1所示, 场强分布为:

因此, 其有效磁通为无效磁通为:

总磁通为:

令则

漏磁系数为:

由上式可以看出, 铠装圆柱形螺线管磁系的漏磁系数只与α(R₂/R₁的比值)有关, 从而可从数学上证明减少漏磁的途径对磁系设计有一定的参考价值, 但是该法不能直接用于磁系的设计计算, 主要原因:在导体占据的空间内, 场强的线性分布是近似关系, 精确度不高, 与实际情况还有一定的距离。

2.1.2 回路磁通法

回路磁通法根据磁路和电路之间存在的相似性, 用类似于电路的方法来模拟和等效所计算的磁路的一种方法。仍然以圆柱形螺线管为例, 其等效磁路可用图 2来表示。

图 2中IN为磁势, 是事先给定的; R₀为主气隙磁阻, R₁₃和R₂₃为磁极侧面与磁轭间的漏磁阻, 这3个磁阻在已知磁系各部分几何尺寸时可以计算出, 未知的仅是与铁磁部分有关的磁阻R₁、R₂和R₃以及磁通Φ, 由图 2可以推出:

利用上式, 通过查找铁磁导体的磁化曲线, 采用逐次迭代法, 可求得主气隙磁通Φ₃, 再利用磁位降相同时, 磁通量正比于磁导的关系, 最终可求得工作气隙的平均磁场强度H。用这种方法可以大致计算出磁系工作气隙的平均场强, 但对磁系内各点的磁场分布情形却无从知晓。

2.1.3 并联磁路法

对于铠装鞍形线圈磁系, 可采用并联磁路法进行计算。根据磁路定律, 磁路的总磁通为:

式中:F--为磁动势;

R_m--为磁阻。

在具体设计的条件下, 有:

式中: l₀--分选区气隙的长度;

l₁、l₂--铁铠和磁极的长度;

A₁、A₂--铁铠和磁极截面积;

μ₀、μ₁、μ₂--气隙、铁铠和磁极的导磁系数。因此, 选别空间的磁场强度为:

按漏磁系数的定义, 可推得按并联磁路法设计时磁系的漏磁系数为:

不难看出, 并联磁路法实际上只考虑了铁铠和磁极消耗的磁势, 漏磁系数是偏低的。

2.1.4 经验计算法

在实际设计工作中, 更多的是采用经验计算法。其计算公式为:

式中:IN--所需磁势, 安匝;

H₀--工作气隙磁场, A/m;

h--工作气隙高度, m;

σ--漏磁系数。

该方法简明方便, 理论依据也很充分, 问题主要是漏磁系数难以确定, 只能根据经验来选择, 故只适应于具有较丰富设计经验的设计者。

目前, 高梯度磁选设备的磁系设计计算还没有突破传统的计算范围, 漏磁系数的确定也不能摆脱对经验的依赖。在电子计算机技术迅猛发展、电磁场数值计算理论研究日益深入的今天, 完全应该, 也完全可能研究出更为简便、准确, 并建立在电磁场理论研究基础上的磁系设计计算及漏磁系数计算的新方法。

2.2 数值计算法

利用计算机, 采用数值计算方法来解决电磁场问题, 是近30年来发展起来的一门新学科。1856年麦克斯韦从数学的推演出发, 以积分和微分的形式描述了电场和磁场之间的相互关系, 得到了举世闻名的麦克斯韦方程组。百余年来, 人们以此为出发点, 从事电磁场的理论分析与工程设计。在1976年成立了专门的国际电磁场计算会议(简称COMPUMAG)的组织, 同年召开了第一次会议。国际电磁场计算会议现在每两年举行一次。IEEE目前也每两年举办一次电磁场计算双年会。另外, 包括中国在内的许多国家都不定期地举办电磁场计算的国际研讨会, 参加者不仅来自各大学及研究机构, 而且来自许多的工业企业部门。

实际的电磁场问题是相当复杂的, 如边界形状不规则、复杂的物质结构以及材料性能的非线性等等。以致在计算机出现以前, 人们在实际工作中, 只能以麦克斯韦方程为依据, 采用一些简化措施, 得出近似的解析解; 或者用模拟实验的方法来求得满足工程要求的近似结果。对于开域磁场问题, 只能用做图法来求解, 误差较大。除此以外, 分离变量法、保角变换法、镜像法、直接积分法和松弛法等等, 也都在一定范围内得到应用。实用上将场的问题转化成路的问题进行处理, 在相当长的时间内也是设计电工产品的主导方法。随着电子计算机的发展, 使得大量工程电磁场问题的分析研究从经典的解析方法进入到离散系统的数值分析方法, 从而使得许多用解析方法难以解决的复杂的电磁场问题有可能通过电子计算机辅助分析获得高精度的离散解。

从40年代开始就有人试探用数值方法去解决具有简单边界形状的场问题。但真正使数值方法具有实用性, 则是近20年来计算机及其应用的发展而逐步实现的。1964年, Winslow利用向量位, 采用有限差分法离散, 求解了二维非线性磁场问题^[3]。随后, Colonias和Dorst用该程序设计了同步加速器磁铁, 并且把它发展成为TRIM软件包^[4]。有限差分法的优点是网格剖分简单、数据准备省时、编制程序容易。但当区域的边界线和内部媒质分界线形状较复杂以及场域内磁场的变化较大时, 由于有限差分法的网格的灵活性小, 因而较难适应这些情况, 它在60年代末、70年代初就达到了顶点。目前, 有限差分法还在不断发展, 但总的来说, 用得比较少了。70年代初期, P.Silvester和M.V.K.Chari把有限元法引用到电磁场计算中^[5], 有限元法在电气工程中获得了迅速、深入的发展, 而被广泛应用。有限元法以变分原理为基础, 用剖分插值的办法建立各单元间的相互关系, 把二次泛函的极值问题转化为一组多元代数方程组来求解。它能使复杂结构、复杂边界情况的边值问题得到解答。特别是近20年来, 由于数值处理技术的提高, 例如采用不完全Cholesky分解法、采用自适应网格剖分法^[6~7]等方法, 使得有限元法在电磁场数值分析的领域中, 越来越占主导地位。

在磁选领域, 尽管很少有人利用数值分析法来进行计算, 但在高梯度磁选应用中曾有人利用有限差分法和有限元法对分选腔内矩形和任意多边形磁介质的磁场特性^[1~2]进行过研究, 中南工业大学矿物工程系何平波也曾利用有限元法进行了磁系设计, 效果十分显著^[8]。

有限差分法和有限元法有一个共同的特点, 即用有限个单元来近似描述一个连续体, 而且都是区域型数值解法。在开域问题中, 必须把边值为0的边界取到相当远处, 致使需要计算的场区变得很大, 网格和节点数亦随之增强, 造成单元数的增加, 因而对计算机内存要求高、CPU占用时间增大。在很多情况下, 必须把网格剖分得很细, 才能达到要求的精度。由于计算机容量和计算时间的限制, 欲达到规定的要求常常很困难, 有时甚至是不可能的。

自70年代初发展起来的积分方程法也是电磁场数值计算的一种重要方法, 特别是在开域电磁场的计算中应用得相当广泛。

1972年, C. W. Trowbridge等人提出用计算机求解电磁场积分方程的基本思想, 并给出了二维、三维问题的离散形式。积分方程法的基本思想是把空间任意点的磁场看成是由自由电流产生的场值与磁化的磁性介质产生的场值两部分的迭加构成的。自由电流源视为一次场源, 而磁化的磁介质视为二次场源^[9]。一次场源产生的场可由毕奥-萨伐定律采用数值积分方法求得, 二次场源产生的场, 可从其等效磁荷模型出发, 对磁性介质部分采用等磁化单元剖分, 列出相应的积分方程并求解来获得。由于积分方程的离散仅需在源区进行, 所以能较好的解决开域问题以及连续计算场的问题。

积分方程法从宏观的角度来描述场, 场区中每点的值仅取决于所有场源对它的影响, 场点和源点的联系是通过毕奥-萨伐定律实现的。由于离散只在源区进行, 加上恒定磁场问题的电流分布和大小是已知的, 因此实际上离散只需在非线性铁区内进行, 这使得数据输入和网格剖分大为简化, 如果铁的物质参数是一个常数(即为线性), 则它所产生的场值就不会由于方法本身的近似而产生误差。因此, 对线性问题, 积分方程法具有极高的精度。而在微分方程法中, 剖分过稀会带来较大的截断误差, 剖分过密又会带来较大的舍入误差。

但是, 用积分方程法去解非线性问题时, 由于确定物质磁化状态的离散方程的系数矩阵是非对称满秩阵, 加上每一剖分单元重心上的场参数是用向量来表示的, 在三维场中每一单元重心上形成3个未知数, 因此需要相当大的内存来存储系数矩阵的元素。此外耦合系数是由二重或三重积分通过数学变换化简而来, 带有超越函数, 轴对称场更含有椭圆积分函数, 因此系数的形成要消耗大量的CPU时间。

为了改进积分方程法, J. Simkin等人发展了边界积分法^[10~12]。边界积分的离散仅涉及到铁区边界, 从而使未知数大为减少, 系数矩阵的形成中又吸取了有限元法的插值方法, 减少了CPU时间, 对线性和非线性的情况, 达到了相当高的精度, 这就是边界单元法较为早期的应用。后来, 人们仿照有限元法在边界积分法中引入了边界元素(BE)的概念, 并把它发展成为边界单元法^[13~14] (Boundary Element Method, 简称BEM), 从此以后, 这种方法受到了人们极大的重视, 并且对它进行了深入地研究和广泛地应用。

“边界元素”这个词, 首先是在70年代英国的索斯安普敦(Sounthampton)大学土木工程系开始使用的^[13], 所谓边界单元法是一种边界型解法, 根据积分定理, 将区域内的微分方程变换成边界上的积分方程。它只需把所考虑区域的边界分割成许多单元, 在每个单元上所考虑的插值函数, 象有限元素的插值函数那样, 可以有多种形式, 然后将边界积分方程转化为多元代数方程, 求解即可得到边界上的磁位值或磁场值。

边界单元法与有限元法相比, 它只需将区域的边界分割成许多边界单元, 这样能使所考虑的问题的维数降低一维, 从而使得输入的数据大大减少, 计算时间也大大缩短, 便于微机应用; 边界单元法可以方便地处理开域问题; 边界单元法只对边界离散, 离散化误差仅来源于边界, 区域内的有关物理量可由解析式的离散形式直接求得, 因此提高了精度; 边界单元法求解时改变内点的位置或数量非常方便, 对于只需求解边界值的问题, 区域内的物理量可以不必进行计算, 能提高计算的效率。

从上述各种数值积分法的发展来看, 目前有限元法在电磁场分析计算中居主导地位, 但从原理上而言, 它不适合于处理开域问题。长期以来, 开域问题的计算是电磁场数值计算中难以解决的问题。所谓开域问题, 是指场域延伸至无限远处, 以无限远作为其零值边界的电磁场问题。大多数电磁装置, 所研究的是其内部的电磁场, 而它们大多数被铁磁物质封闭着, 故一般选择空气与铁磁物质的相交边界来作为边界, 把场域局限在有限区域。但是, 仍然有许多问题必须按照开域问题来处理。在选矿领域, 对于高梯度磁选设备磁系磁极头开孔以后分选腔内磁场的分布情况一直未能为人知道。1999年笔者曾在其硕士论文中应用边界单元法对高梯度磁选机铠装螺线管磁系磁场进行了研究, 效果十分明显^[15], 同时也指明了该方法也存在一定的缺点, 提出了是否应用混合单元法, 即把有限元法和边界单元法结合起来进行研究, 也许效果会更佳。

3 结论

在高梯度磁选设备磁系磁场的研究过程中, 人们正逐步研究出了一些更为简便、准确的新方法。但是, 仍然存在许多的不足, 尤其把它应用于设备实际研制过程中还存在许多的问题, 如果能在这一方面有所突破, 将会给磁选设备的研制带来不可估量的经济效益。