一 H=H₀e^-cx的边值条件

原推导中提出，满足拉普拉斩方程的共扼函数lnH和α，有一个可能的解：

(1)

式中，H—磁场强度的模；

α—与x轴的夹角。

进而得出指数公式。下面用复变函数法推导其实现的边值条件。

原推导结果：

(2)

式中：H₀——磁极表面中心点的磁场强度之模；

e——自然对数底；

s——两极中心线间距离。

选坐标如图 1所示。

在该复平面中，磁场强度矢量：

(3)

式中：i——

当这个场的复磁位函数的实部u(x，у)用来表示称量磁位函数，虚部v(x, у)代表通量函数时，其磁场强度的共轭复数为^〔2〕：

(4)

令Z = x + iy(Z为磁系所处的平面符号）

(5)

由公式（W为这个场的复磁位函数)^〔2〕

(6)

(7)

所以这个场的磁位函数u(x、y)，通量函效v(x, y)为:

(8)

对磁位函数u(x, y)进行讨论，选磁极间隙垂直中也线磁位为零。

即：当时，u=0。代入(8)式有：

(9)

(10)

当x = 0, y =0，u =u₀

当x =0, y = s, u = - u。

(11)

磁极表面是等位线，当u=u₀时，则得磁极表面形状方程：

因此，磁极表面形状为类似抛物线形。

取两极中心距离s = 40厘米进行计算，根据计算结果，绘出开放型平面多极磁系磁极形状及分布，如图 2所示。

由场的唯一性原理知，满足和这两个条件的平面场，唯有磁极表面形状由1 = 所决定的开放型平面多极磁系才能实现。

二 H=H₀e^-cx的分离变量法推导

为使该公式的推导在电磁场理论上更为完善，下面用分离变量法推导之。

选坐标如图 3所示。且设Z方向不影响场强分布，则拉普拉斯方程的通解为^〔3〕：

(13)

式中：A_1n、A_2n、B_1n、B_2n、A₁₀、A₂₀、B₁₀、B₂₀均为待定的系数。

边界条件：

（1）y=0,

（2）x =0,

（3）（m=0，±1, ±2，………………）

由条件（1）有：A_1n=0, A₁₀ =0，B₂₀ = 0；

由条件（2）有B_1n=0, B₁₀ =0。

故简化后的复变函数可写为：

(14)

式中：D_1n = A_1n·B_1n

Z=x+iy，式（14）写成：

(15)

由复变函数法，磁场强度的共轭复数为：

(16)

开放型平面多极磁系磁场强度通式为：

(17)

其中D_1n、C_n为常数，n不同，其值也不同；由相应的选界条件决定。

根据对称性原理：

当Cny=mπ，m=0，±1，±2，±3，……时，研究在磁系的磁极对称中心x方向上的变化，这时

(18)

(19)

当, m=0，±1，±2，±3，……时，研究在磁系的极间隙中心线x方向上的变化，这时

(20)

(21)

由式（19）、式（21）可知，H₁和H₂在x值为同一值时相等。取n=0, 则有：

(22)

由边界条件（3）有

(23)

根据当时（即在极和极间隙对称中心），则有：

(24)

因此证得：

式中，C—磁场非均匀性系数，

三 结语

本义从电磁场理论出发，得出了公式H=H₀e^-cx的边值条件及分离变量推导法，从而说明了该式作为开放型平面多极磁系磁场强度方程式的局限性，完善了原弱磁场磁选理论。