引言

目前，全球油气勘探开发正从浅层向深层、超深层发展，未开发油气资源主要集中在低渗透及深层油气藏等。近年来，中国在深层油气井钻井方面取得了长足的进步，也钻成了一大批深度超过7 000 m的超深井^[1-3]，其中，亚洲陆上最深井轮探1井目前深度达8 882 m。塔里木盆地顺北油田已经钻成多口井深超过8 000 m的超深小井眼水平井。然而，在超深水平井钻井过程中，钻具刺漏及断裂等钻柱失效事故时有发生。钻柱失效除钻具本身质量因素外，主要原因是钻柱振动导致的钻具疲劳失效。钻柱振动不仅会产生较大的横向位移，使得钻柱的受力和变形更为复杂，而且在瞬态力的作用下还会导致井口钻具安全系数偏低，从而使钻具失效。据顺北油田现场资料分析，有多达15井次超深井在钻井过程中钻具发生断裂，其中两口井顶驱方保处发生断裂。因此，有必要对深井钻柱动力学开展研究并进行钻柱强度校核，以确保钻具的安全性。

自20世纪60年代开始，国内外学者围绕钻柱振动开展了大量研究。Bailey等率先用实验和解析的方法确定了垂直井眼中钻柱振动固有频率的近似值^[4]；Dareing等考虑钻井液阻尼以及钻头与地层互作用，采用数值分析的方法研究了斜井中钻柱的轴向和扭转振动^[5-6]；Millheim等考虑钻柱与井壁摩阻、钻头及稳定器的影响，运用有限元法系统分析了BHA动力学特性^[7-8]；Yigit等建立了纵横扭振动耦合情况下的钻柱动力学模型，仿真结果表明，钻柱运动引起扭转振动，进而引起钻具横向和轴向振动^[9-10]；Ritto等将钻头与地层互作用考虑为随机接触，建立了钻柱的非线性有限元方程并发展了无参预测的新方法^[11-12]；Real等在钻头与岩石相互作用模型中考虑了钻头速度与加速度的影响并研究钻柱的扭转动力学^[13]。帅健等率先研究井眼弯曲对下部钻具组合振动的影响^[14]，之后其他学者在钻柱动力学模型中进一步考虑真实井眼轨迹^[15]、钻头与地层之间的相互作用^[16-17]、钻柱与井壁接触^[18-19]、钻井液^[20-21]及纵横扭振动耦合^[22-24]等因素的影响，完善了钻柱动力学模型，使其应用范围更广，计算结果更精确。

钻柱动力学方面的研究主要是解决水平井井眼轨迹控制和降低钻柱摩阻扭矩，而将钻柱动力学分析结果应用于全井钻柱强度设计，确保钻柱安全方面的应用却很少，在超深水平井钻柱强度校核的应用更是空白。在前期研究的基础上，考虑真实井眼轨迹、钻头与地层互作用、钻柱与井壁接触及钻井液黏滞作用等因素的影响，建立超深井三维井眼全井钻柱动力学模型，并进行钻柱动力学特征仿真模拟，分析钻压及转速对不同井深处钻柱轴向力、扭矩、钻柱位移及等效应力等参数随时间的变化，并根据钻柱动力学模拟结果，对钻具强度和钻具安全性进行评价。

1 钻柱动力学模型 1.1 坐标体系

引入大地坐标系$ O-XYZ $和自然坐标系$ o'-x'y'z' $对真实井眼轨迹进行准确描述，同时，引入随体坐标系$ o-xyz $对钻井过程中钻柱发生的横向、轴向及扭转运动进行准确描述，坐标体系见图 1。

超深水平井的井眼轨迹可以用不同点处的井深、井斜角及方位角表示，根据井深、井斜角及方位角就可以确定三维轨迹的空间形态，而随体坐标系$ o-xyz $由轨迹坐标及坐标点处井斜角和方位角确定。大地坐标系和随体坐标系可以根据轨迹形态数据相互转换。

1.2 基本假设

(1) 井眼为圆形，初始条件下，钻柱轴线与井眼轴线重合，钻头与井壁之间无间隙。

(2) 钻柱可视为匀质弹性梁单元组成，钻柱变形处于线弹性。

(3) 忽略钻柱接头、螺纹及局部孔槽的影响。

(4) 采用库伦摩擦定律描述钻柱与井壁间的摩擦。

(5) 井壁为刚性，与钻柱接触时不发生变形。

1.3 单元动力学模型

首先对钻柱进行离散化，将钻柱沿$ z $轴方向离散为若干梁单元，每个单元都具有抗弯和抗拉压刚度，钻柱上任取一单元，以单元轴线为$ z $轴，$ OX $、$ OY $为截面主惯性轴，见图 2。

单元节点位移矩阵和对应的广义节点力矩阵和考虑梁单元总能量、耗散函数整理得到微元段随体坐标系下的单元运动方程分别为

$ \begin{eqnarray} {\pmb{U}_{{\rm e}}} = \begin{pmatrix}{{U}_{{ i}}}, \, {{\theta }_{{ yi}}}, \, {{U}_{{ j}}}, \, {{\theta }_{{ yj}}}, \, {{V}_{{i}}}, \, -{{\theta }_{{xi}}}, \, {{V}_{{ j}}}, \, -{{\theta }_{{xj}}}, \, {{W}_{{i}}}, \, {{W}_{{j}}}, \, {{\theta }_{{ zi}}}, \, {{\theta }_{{ zj}}} \end{pmatrix} ^{\rm T} \end{eqnarray} $

(1)

$ \begin{eqnarray} {\pmb{R}_{{\rm e}}} = \left( {{Q}_{{xi}}}, \, {{M}_{{yi}}}, \, {{Q}_{{xj}}}, \, {{M}_{{yj}}}, \, {{Q}_{{yi}}}, \, {{M}_{{xi}}}, \, {{Q}_{{yj}}}, \, {{M}_{{xj}}}, \, {{P}_{{i}}}, \, {{P}_{{ j}}}, \, {{M}_{{zi}}}, \, {{M}_{{zj}}} \right)^{\rm T} \end{eqnarray} $

(2)

$ \begin{eqnarray} {\pmb{M}_{{\rm e}}}{\pmb{\ddot{U}}_{{\rm e}}}+{\pmb{C}_{{\rm e}}}{\pmb{\dot{U}}_{{\rm e}}}+{\pmb{K}_{{\rm e}}}{\pmb{U}_{{\rm e}}} = {\pmb{R}_{{\rm e}}} \end{eqnarray} $

(3)

1.4 系统的运动学方程

(1) 坐标变换

将大地坐标系绕$ X $轴旋转$ {{\gamma }_{X}} $再绕新的$ {{Z}} $轴旋转$ {{\gamma }_{{{Z}^{'}}}} $，即可得到随体坐标，二者转换关系为

$ \begin{eqnarray} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ \end{pmatrix} \! = \!\begin{pmatrix}\cos {{\gamma }_{{{Z}^{'}}}} & \cos {{\gamma }_{X}}\sin {{\gamma }_{{{Z}^{'}}}} & \sin {{\gamma }_{X}}\sin {{\gamma }_{{{Z}^{'}}}} \\ -\sin {{\gamma }_{{{Z}^{'}}}} & \cos {{\gamma }_{X}}\cos {{\gamma }_{{{Z}^{'}}}} & \sin {{\gamma }_{X}}\cos {{\gamma }_{{{Z}^{'}}}} \\ 0 & -\sin {{\gamma }_{X}} & \cos {{\gamma }_{X}} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray} $

(4)

(2) 全井钻柱动力学模型

坐标转换后，全井钻柱动力学总体运动方程为

$ \begin{eqnarray} \pmb{ M\ddot{U}}+\pmb{C\dot{U}}+\pmb{KU} = \pmb{R} \end{eqnarray} $

(5)

1.5 钻柱与井壁接触处理

钻柱与井壁接触本质上为随机接触，钻柱与井壁碰撞模型如图 3所示。

轴向摩擦阻力$ {{R}_{{\rm ez}}} $、切向摩擦阻力$ {{R}_{{\rm e }\tau}} $、扭矩$ {{M}_{{\rm e }\tau}} $及弯矩$ {{M}_{{\rm ez}}} $分别为

$ \begin{eqnarray} {{R}_{{\rm ez}}} = {{\mu }_{{\rm z}}}{{R}_{{\rm e }\sigma{\rm }}} \end{eqnarray} $

(6)

$ \begin{eqnarray} {{R}_{{\rm e }\tau{\rm }}} = {{\mu }_{{\rm }\tau{\rm }}}{{R}_{{\rm e }\sigma{\rm }}} \end{eqnarray} $

(7)

$ \begin{eqnarray} {{M}_{{\rm e }\tau{\rm }}} = 0.5{{{d}_{{\rm o}}}}{{R}_{{\rm e }\tau}} \end{eqnarray} $

(8)

$ \begin{eqnarray} {{M}_{{\rm ez}}} = 0.5{{{d}_{{\rm o}}}}{{R}_{{\rm ez}}} \end{eqnarray} $

(9)

1.6 边界条件

(1) 上部边界条件

井口钻柱在大钩载荷和转盘驱动下，除沿轴向运动和绕$ z $轴的转动外，其余自由度全部约束。

(2) 下部边界条件

钻头铰支在井底，在钻头处横向位移受到约束，但绕坐标轴方向的转动不约束，此外还受钻头与地层的相互作用产生的激振力$ P $和扭矩$ {{T}_{{\rm b}}} $的作用。激振力和扭矩计算式为

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} P = {{P}_{{\rm 0}}}\sin \left( \omega t \right) \\ \omega = 19.50{{\left( \dfrac{N}{164} \right)}^{0.65}}{{\left( \dfrac{1750.00}{h} \right)}^{0.65}} \\ {{T}_{{\rm b}}} = \dfrac{1}{3}{{D}_{{\rm b}}}\mu W_{\rm OB} = \\{\kern 40pt}\dfrac{1}{3}{{D}_{{\rm b}}}\mu \big[ {{P}_{{\rm WOB}}}+{{P}_{0}}\sin \left( \omega t \right) \big] \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $

(10)

2 钻柱强度校核方法

在水平井中，钻柱在上提、下放、旋转钻进过程中受到内压力、外挤压力、轴向力和弯矩的共同作用，有必要对钻柱截面进行等效应力分析。

在水平井中通常按照第四强度理论对钻具进行强度校核，从而确保各种工况下的钻具安全。

钻柱截面的等效应力、钻柱截面弯曲应力、钻井液引起的附加剪应力和扭矩剪应力分别为

$ \begin{eqnarray} \sigma = \sqrt{{{\left( \left| {{\sigma }_{{\rm p}}} \right|+\left| {{\sigma }_{{\rm w}}} \right| \right)}^{2}}+3\left( \tau _{{\rm n}}^{{\rm 2}}+\tau _{{\rm m}}^{2} \right)} \end{eqnarray} $

(11)

$ \begin{eqnarray} {{\sigma }_{{\rm w}}} = \dfrac{32{{M}_{{\rm w}}}{{d}_{{\rm o}}}}{\pi ( d_{{\rm o}}^{4}-d_{{\rm i}}^{{\rm 4}} )} \end{eqnarray} $

(12)

$ \begin{eqnarray} {{\tau }_{{\rm n}}} = \dfrac{{{A}_{\rm{i}}}\left( {{p}_{{\rm od}}}-{{p}_{{\rm id}}} \right)}{A} \end{eqnarray} $

(13)

$ \begin{eqnarray} {{\tau }_{{\rm m}}} = \dfrac{16T{{d}_{{\rm o}}}}{\pi \left( d_{{\rm o}}^{4}-d_{{\rm i}}^{4} \right)} \end{eqnarray} $

(14)

由此，可得钻柱安全系数

$ \begin{eqnarray} n = \dfrac{{{\sigma }_{{\rm s}}}}{\sigma } \end{eqnarray} $

(15)

3 钻柱动力学特性模拟与分析 3.1 基本参数

以塔里木盆地顺北油田某超深水平井为例，该井完钻井深8 225 m，四开水平段钻井液密度1.30 g/cm$ ^{{\rm 3}} $，塑性黏度20 mPa$ \cdot $s，动切力5 Pa。实钻井眼轨迹分段参数如表 1所示，在井深7 530 m开始造斜，该点实际井斜角为7.6°，井身结构见表 2。

四开钻具组合：$ \phi $120.65 mm PDC钻头+$ \phi $95 m m 1.5°弯螺杆+浮阀+211$ \times $DS310+$ \phi $88.9 mm非标钻杆$ \times $72根+旁通阀+$ \phi $88.9 mm非标钻杆$ \times $99根+ DS 311 $ \times $310+$ \phi $88.9mm加重钻杆$ \times $45根+$ \phi $88.9 mm钻杆+311$ \times $DS400+$ \phi $114.3mm钻杆。

3.2 水平段钻柱动力学性能模拟

(1) 钻柱运动状态

模拟了钻压20 kN、转速30 r/min下钻柱的运动状态，图 4为距井口1 000，2 000，3 000和4 000 m处钻柱的运动轨迹。

由图 4可见，钻井过程中钻柱的横向运动轨迹较为复杂，呈随机性，钻柱横向位移不大，未发生穿透，离井口越近，钻柱横向运动幅度越小，说明造斜点之上钻柱的横向摆动比井口钻柱的横向摆动大。

(2) 转速对钻柱振动的影响

在小井眼的水平井钻井时，通常转速不是太高；保持钻压20 kN不变，分别模拟转速10，15及30 r/min时钻柱井口轴向力、扭矩、等效应力、安全系数以及MWD(距钻头约15 m)处等效应力及加速度随时间的变化趋势，结果如图 5~图 8所示。

由图 5~图 6可见，井口钻具轴向力及等效应力波动较小，这是因为钻柱长度大，振动阻尼较大，振动传到井口时，高频振动被极大抑制，从而呈现出低频变化的特征。

随着转速的增加，井口轴向力、扭矩、等效应力及安全系数变化不大。在转速变化不大的情况下，转速对井口钻井动力学特征参数的影响不大。井口钻具安全系数在大部分时间内在1.2左右波动，钻具总体而言是安全的，由于安全系数偏低，井口钻具有可能存在钻具失效的安全隐患。由图 7可见，随着转速的增加，MWD处等效应力变化不大，不同转速下，大部分时间段内MWD处等效应力变化幅度为$ \pm $5 MPa，呈高频振动的特征。由图 8可见，钻柱横向加速度随时间变化幅度较大，轴向加速度则相反，说明钻柱横向振动比轴向振动剧烈；且随着转速增加，MWD处横向加速度幅值显著增加，说明钻柱横向振动加剧，转速越快，横向振动越大。

(3) 钻压对钻柱振动的影响

保持转速10 r/min不变，分别模拟钻压为10和20 kN时钻柱在井口的轴向载荷、扭矩、等效应力、安全系数以及MWD(距钻头约15 m)处加速度及等效应力随时间的变化趋势，模拟结果如图 9~图 12 所示。

由图 9、图 10可见，钻压对井口载荷、扭矩、等效应力及安全系数影响不大，井口载荷及等效应力同样呈低频振动特征。井口安全系数在绝大部分时间在1.2左右波动，钻具总体而言是安全的。

由图 11、图 12可见，MWD处同样呈高频振动特征，等效应力变化幅度为$ \pm $5 MPa；随着钻压的增加，MWD处等效应力增加，但钻压对加速度影响不大。

4 结论

钻井过程中，钻柱横向运动随机性十分明显。井口附近钻柱横向运动幅度较小，下部钻柱横向运动较为明显；井口轴向力和等效应力表现在一定范围内波动，但波动频率不大；井底钻柱振动较大，特别是MWD处等效应力和加速度表现为高频振动且横向振动比轴向振动更加剧烈。

小井眼超深水平井钻井过程中，现场钻压和转速变化较小，井口轴向载荷、井口扭矩、井口等效应力及井口安全系数随钻压和转速的增加变化不大；MWD处等效应力随钻压增加而增大，随转速增加变化不大；钻压较小时，MWD处加速度随钻压增加变化不大，随转速的增加横向加速度幅值显著增大。

(3) 不同钻压和转速情况下，超深小井眼水平井井口安全系数在大部分时间内在1.2左右波动，钻具总体而言是安全的，由于安全系数偏低，井口钻具在瞬时轴向力和扭矩突变情况下有可能导致钻具失效，需要加强井口钻具的检查和倒换，以保证钻具安全。

符号说明

$ O $，$ o' $，$ o $—大地、自然和随体坐标系的原点；

$ X $，$ Y $，$ Z $—大地坐标系3个坐标轴，m；

$ x' $，$ y' $，$ z' $—自然坐标系3个坐标轴，m；

$ x $，$ y $，$ z $—随体坐标系3个坐标轴，m；

$ {{U}_{{i}}} $，$ {{U}_{{ j}}} $—单元节点$ i $，$ j $沿$ x $方向的位移，m；

$ {{V}_{{i}}} $，$ {{V}_{{ j}}} $—单元节点$ i $，$ j $沿$ y $方向的位移，m；

$ {{W}_{{i}}} $，$ {{W}_{{j}}} $—单元节点$ i $，$ j $沿$ z $方向的位移，m；

$ {{\theta }_{{xi}}} $，$ {{\theta }_{{xj}}} $—单元节点$ i $，$ j $绕$ x $轴的扭转角，rad；

$ {{\theta }_{{yi}}} $，$ {{\theta }_{{yj}}} $—单元节点$ i $，$ j $绕$ y $轴的扭转角，rad；

$ {{\theta }_{{zi}}} $, $ {{\theta }_{{zj}}} $—单元节点$ i $，$ j $绕$ z $轴的扭转角，rad；

$ {{Q}_{{xi}}} $，$ {{Q}_{{xj}}} $—单元节点$ i $，$ j $沿$ x $轴的横向剪力，MPa；

$ {{Q}_{{yi}}} $，$ {{Q}_{{yj}}} $—单元节点$ i $，$ j $沿$ y $轴的横向剪力，MPa；

$ {{P}_{{i}}} $，$ {{P}_{{ j}}} $—单元节点$ i $，$ j $的轴向力，MPa；

$ {{M}_{{xi}}} $, $ {{M}_{{xj}}} $—单元节点$ i $，$ j $在$ yz $平面内的弯矩，N$ \cdot $m；

$ {{M}_{{yi}}} $，$ {{M}_{{yj}}} $—单元节点$ i $，$ j $在$ xz $平面内的弯矩，N$ \cdot $m；

$ {{M}_{{zi}}} $，$ {{M}_{{zj}}} $—单元节点$ i $，$ j $的扭矩，N$ \cdot $m；

$ {\pmb{R}_{{\rm e}}} $，$ {\pmb{U}_{{\rm e}}} $，$ {\pmb{\dot{U}}_{{\rm e}}} $，$ {\pmb{\ddot{U}}_{{\rm e}}} $—单元节点的广义节点力矩阵，位移矩阵，速度矩阵，加速度矩阵；

$ {\pmb{M}_{{\rm e}}} $，$ {\pmb{C}_{{\rm e}}} $，$ {\pmb{K}_{{\rm e}}} $—单元节点质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵；

$ {{\gamma }_{X}} $，$ {{\gamma }_{{{Z}^{'}}}} $—坐标变换时，绕$ X $轴和新$ Z $旋转的角度，rad；

$ \pmb U $，$ \pmb{\dot{U}} $，$ \pmb{\ddot{U}} $—全井段钻柱各节点广义位移矩阵，速度矩阵，加速度矩阵；

$ \pmb M $，$ \pmb C $，$ \pmb K $—全井段钻柱总体质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵；

$ \pmb R $—全井段钻柱广义外力矩阵；

$ {{R}_{{\rm ez}}} $—轴向摩擦阻力，N；

$ {{\mu }_{{\rm z}}} $—轴向摩擦系数，无因次；

$ {{R}_{{\rm e }\sigma{\rm }}} $—钻柱所受正接触力，N；

$ {{R}_{{\rm e }\tau{\rm }}} $—切向摩擦阻力，N；

$ {{\mu }_{{\rm }\tau}} $—切向摩擦系数，无因次；

$ {{M}_{{\rm e }\tau}} $—切向摩阻力引起的扭矩，N$ \cdot $m；

$ {{d}_{{\rm o}}} $—钻柱的外径，m；

$ {M}_{\rm ez} $—轴向摩阻力引起的弯矩，N$ \cdot $m；

$ {{P}_{0}} $—激振力幅值，N；

$ \omega $—激振力圆频率，rad/s；

$ N $—钻柱转速，r/min；

$ h $—井深，m；

$ {{T}_{{\rm b}}} $—钻头扭矩，N$ \cdot $m；

$ {{D}_{{\rm b}}} $—钻头直径，m；

$ \mu $—钻头与地层间摩擦系数，无因次；

$ W_{\rm OB} $，$ {{P}_{{\rm WOB}}} $—实测钻压与不考虑激振力时的钻压，N；

$ \sigma $—钻柱截面等效应力，Pa；

$ {{\sigma }_{{\rm p}}} $—钻柱轴向应力，Pa；

$ {{\sigma }_{{\rm w}}} $—钻柱截面的弯曲应力，Pa；

$ {{\tau }_{{\rm n}}} $—钻井液引起的附加剪应力，Pa；

$ {{\tau }_{{\rm m}}} $—扭矩引起的剪应力，Pa；

$ {{M}_{{\rm w}}} $—截面弯矩，N$ \cdot $m；

$ {{d}_{{\rm i}}} $—钻柱内径，m；

$ {{A}_{{\rm i}}} $—钻柱截面内圆面积，m$ ^{{\rm 2}} $；

$ A $—钻柱截面的截面积，m$ ^{{\rm 2}} $；

$ {{p}_{{\rm od}}} $—钻柱外液柱压力，Pa；

$ {{p}_{{\rm id}}} $—钻柱内液柱压力，Pa；

$ T $—钻柱截面扭矩，N$ \cdot $m；

$ n $—钻柱安全系数，无因次；

$ {{\sigma }_{{\rm s}}} $—钻柱屈服强度，Pa。