引言

南海西部乐东区天然气储量巨大，但储层温度超过195 ℃，压力达100 MPa，渗透率低至0.1 mD，是典型的高温高压低渗气藏，开发难度高，且该区块气井测试回归得到二项式产能方程斜率常为负，无法获取真实产能，严重影响了勘探开发进程。

相对于指数式产能方程，气井二项式产能方程有更加严格的理论做支撑，计算无阻流量可信度更高^[1]，常规气井产能测试得到的流压和产量通过二项式方程回归后，会得到一条斜率为正的直线^[2]，外推即求得单井无阻流量。一些学者认为造成高压低渗井二项式产能方程负异常的主要原因是启动压力梯度^[3-5]和应力敏感^[6-8]，一些学者认为是近井带污染^[9-10]，一些学者认为是井筒产液^[11]，继而提出高阶二项式方程^[12]、三项式方程^[13-16]、改进后的一点法^[17-19]等修正方法，这些方法均未考虑测试过程中供给范围内的平均地层压力下降带来的误差。高压低渗气井本质上隶属于气井一类，传统二项式方法对个别因素处理过于简化，导致其在回归时易出现异常，本文从地层压力角度分析，考虑有效供给范围内地层压降构建全新二项式方程，不仅适用于高压低渗井，对常规气井的产能分析也更加精确。

1 高压低渗气井二项式产能方程异常原因

气井测试过程中，通过不断更改气嘴开度调节产气量，最终测试得到多个不同产量对应的井底流压，进行二项式回归可以得到一条斜率为正的直线

$ \dfrac{m\left( {{p}_{{\rm R}}} \right)-m\left( {{p}_{{\rm wf}}} \right)}{q}=A+Bq $

(1)

$ m\left( {{p_{\rm{R}}}} \right){\rm{ = 2}}\int_0^{{p_{\rm{R}}}} {\frac{p}{{\mu \left( p \right)Z\left( p \right)}}{\rm{d}}p} $

(2)

式中：

$m$-拟压力，MPa$^{{\rm 2}}$/(mPa$\cdot$s)；

$p_{{\rm R}}$-平均地层压力，MPa；

$p_{{\rm wf}}$-井底流压，MPa；

$q$-地面产气量，$\times$10$^{{\rm 4}}$ m$^{{\rm 3}}$/d；

$A$，$B$-二项式回归的截距和斜率；

$p$-压力，MPa；

$\mu$-气体黏度，mPa$\cdot$s；

$Z$-气体偏差因子，无因次。

LDX-5-A井试井渗透率0.7 mD，测试生产压差较大，见图 1。

储层原始地层压力89.87 MPa，5级测试制度产量分别为(2.80，4.82，6.98，10.65，12.25)$\times$10$^{{\rm 4}}$ m$^{{\rm 3}}$/d，对应井底流压分别是63.29，48.89，43.29，31.26和27.02 MPa，回归得到的二项式斜率为负，见图 2，其中，$F =\dfrac{m\left( {{p}_{{\rm R}}} \right)-m\left( {{p}_{{\rm wf}}} \right)}{q}$，拟压力差与地面产气量之比，$\times$10$^5$ MPa$\cdot$d$\cdot$s$^{-1}\cdot$m$^{-3}$。

高压低渗储层孔隙度较低且压力传播慢，导致有效供给范围小，尽管产量不高但生产压差较大。测试过程中，压降漏斗范围内的平均地层压力下降幅度大。传统二项式回归时，每级均采用原始地层压力，基础数据不准确，导致回归二项式斜率出现负异常。

2 高压低渗气井产能二项式改进 2.1 平均地层压力方程

认为测试过程中短时间内压力波无法达到边界，将气藏视为无限大模型，压力波外围即原始地层压力，以井筒为中心的压降漏斗内平均地层压力位于原始地层压力和井底流压之间(图 3，其中，$p_{\rm i}$-原始地层压力，MPa；$h$-储层厚度，m；$R_{{\rm e}}$-压力传播半径，m)。

测试过程中，储层遵守物质平衡方程^[20]

$ {{G}_{{\rm p}}}\left( t \right){{B}_{{\rm g}}}\left( t \right)={{G}_{}}\left( t \right){{B}_{{\rm gi}}}\dfrac{{{C}_{{\rm w}}}{{S}_{{\rm wi}}}+{{C}_{{\rm p}}}}{1-{{S}_{{\rm wi}}}}\left[ {{p}_{{\rm i}}}-{{p}_{{\rm R}}}\left( t \right) \right]+ \\{\kern 40pt} {{G}_{}}\left( t \right)\left[ {{B}_{{\rm g}}}\left( t \right)-{{B}_{{\rm gi}}} \right] $

(3)

式中：

$G_{{\rm p}}$-累产气，m$^{{\rm 3}}$；

$t$-时间，d；

$B_{{\rm g}}$-气体体积系数，m$^{{\rm 3}}$/m$^{{\rm 3}}$；

$G_{{\rm }}$-压力波及范围储量，m$^{{\rm 3}}$；

$B_{{\rm gi}}$-气体原始体积系数，m$^{{\rm 3}}$/m$^{{\rm 3}}$；

$C_{{\rm w}}$-孔隙水压缩系数，MPa$^{{\rm -1}}$；

$S_{{\rm wi}}$-束缚水饱和度，$\%$；

$C_{{\rm p}}$-岩石压缩系数，MPa$^{{\rm -1}}$。

忽略测试过程中岩石和地层水的体积变化、气体体积系数变化，将式(3)简化为

$ {{G}_{{\rm p}}}\left( t \right){{B}_{{\rm g}}}={{G}_{}}\left( t \right)\left( {{B}_{{\rm g}}}-{{B}_{{\rm gi}}} \right) $

(4)

根据气体状态方程

$ {{B}_{{\rm g}}}=\dfrac{{{p}_{{\rm sc}}}ZT}{{{p}_{{\rm R}}}{{T}_{{\rm sc}}}} $

(5)

$ {{B}_{{\rm gi}}}=\dfrac{{{p}_{{\rm sc}}}{{Z}_{{\rm i}}}T}{{{p}_{{\rm i}}}{{T}_{{\rm sc}}}} $

(6)

式中：$p_{{\rm sc}}$-地面标况压力，$p_{{\rm sc}}$=0.101 MPa；

$T$-温度，K；

$T_{{\rm sc}}$-地面标况温度，$T_{{\rm sc}}$=293.15 K；

$Z_{{\rm i}}$-原始偏差因子，无因次。

$t$时刻压力传播半径满足

$ {{R}_{{\rm e}}}\left( t \right)=\sqrt{\dfrac{Kt}{2{\rm{ \mathsf{ π} }} \phi \mu {{C}_{{\rm t}}}}} $

(7)

式中：$K$-渗透率，mD；

$\phi$-孔隙度，$\%$；

$C_{{\rm t}}$-综合压缩系数，MPa$^{{\rm -1}}$。

$t$时刻动用储量满足

$ {{G}_{}}\left( t \right)=\dfrac{\phi {\rm{ \mathsf{ π} }} \left[{{R}_{{\rm e}}}{{\left( t \right)}}\right]^{2}h\left( 1-{{S}_{{\rm w}}} \right)}{{{B}_{{\rm gi}}}} $

(8)

其中：$S_{\rm w}$-含水饱和度，$\%$。

$t$时刻累积采出量满足

$ {{G}_{{\rm p}}}\left( t \right)=\sum\limits_{j=1}^{n-1}{{{q}_{j}}{{T}_{j}}}+{{q}_{n}}\left( t-\sum\limits_{j=1}^{n-1}{{{T}_{j}}} \right), {\kern 4pt} 1\leqslant j<n $

(9)

式中：$j$-第$j$级测试制度；

$n$-$t$时刻的测试级数；

$q_{j}$-第$j$级测试制度下的产量，m$^{{\rm 3}}$/d；

$T_{j}$-第$j$级测试制度的测试时间，d；

$q_{n}$-第$n$级测试制度下的产量，m$^{{\rm 3}}$/d。

联立式(4)$\sim$式(9)，得到$t$时刻压降漏斗内的平均地层压力

$ {{p}_{{\rm R}}\left( t \right)}={{p}_{{\rm i}}}\left[ 1-\dfrac{\sum\limits_{j=1}^{n-1}{{{q}_{j}}{{T}_{j}}}+{{q}_{n}}\left( t-\sum\limits_{j=1}^{n-1}{{{T}_{j}}} \right)}{{\rm{ \mathsf{ π} }} \dfrac{Kt}{{{B}_{{\rm gi}}}\mu {{C}_{{\rm t}}}}h\left( 1-{{S}_{{\rm w}}} \right)} \right] $

(10)

2.2 平均地层压力敏感性分析

以LDX-5-A井为例(各项参数见表 1)，根据式(10)计算得到测试期间动用范围内的平均地层压力，见图 4。

除第1级测试外，平均地层压力随产量和时间变化，且每个固定测试制度中平均地层压力变化逐渐缓慢并趋于稳定。随着渗透率逐渐减小平均地层压力下降明显，且下降幅度逐渐增大，表明渗透性越差的储层地层压力下降越大。

2.3 无阻流量求解

考虑地层压力变化，提出新的二项式方程回归法

$ \left\{ \begin{array}{l} m\left( {{p}_{{\rm R1}}} \right)-m\left( {{p}_{{\rm wf1}}} \right)=A{{q}_{{\rm 1}}}+Bq_{{\rm 1}}^{2} \\[5pt] m\left( {{p}_{{\rm R2}}} \right)-m\left( {{p}_{{\rm wf2}}} \right)=A{{q}_{{\rm 2}}}+Bq_{{\rm 2}}^{2} \\[5pt] \vdots \\ m\left( {{p}_{{\rm R}n}} \right)-m\left( {{p}_{{\rm wf}n}} \right)=A{{q}_{n}}+Bq_{n}^{2} \\ \end{array} \right. $

(11)

式中：

$p_{\rm R1}$，$p_{\rm R2}$，$\cdots$，$p_{{\rm R}n}$-第1级，第2级，$\cdots$，第$n$级测试制度下的平均地层压力，MPa；

$p_{\rm wf1}$，$p_{\rm wf2}$，$\cdots$，$p_{{\rm wf}n}$-第1级，第2级，$\cdots$，第$n$级测试制度下的井底流压，MPa；

$q_{1}$，$q_{2}$-第1级，第2级测试制度下的产量，m$^{{\rm 3}}$/d。

传统二项式方程回归得到$A$、$B$值后令$p_{{\rm wf}}$=0.101 MPa即可求得无阻流量，在新方法中平均地层压力未知，与产量大小有关，联立式(1)，式(2)，式(10)，可得

$ 2\int_{0.101}^{{p_{\rm{i}}}\left( {1 - C{q_{{\rm{AOF}}}}} \right)} {\frac{p}{{\mu \left( p \right)Z\left( p \right)}}{\rm{d}}p = A{q_{{\rm{AOF}}}} + Bq_{{\rm{AOF}}}^2} $

(12)

$ C=\dfrac{{{B}_{{\rm gi}}}\mu {{C}_{{\rm t}}}}{{\rm{ \mathsf{ π} }} Kh\left( 1-{{S}_{{\rm w}}} \right)} $

(13)

式中：

${{q}_{{\rm AOF}}}$-无阻流量，m$^{{\rm 3}}$/d。

拟压力形式无法求得解析解，需要将方程左边离散处理，采用牛顿-拉普森迭代法求解。若用压力或压力平方形式简化处理可求得解析解

$ {{q}_{{\rm AOF}}}=\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{-{{p}_{{\rm i}}}C-A+\sqrt{{{\left( {{p}_{{\rm i}}}C+A \right)}^{2}}+4B\left( {{p}_{{\rm i}}}-0.101 \right)}}{2B}, {\kern 55pt} \text{压力} \\[8pt] \dfrac{2p_{{\rm i}}^{2}C+A+\sqrt{{{\left( 2p_{{\rm i}}^{2}C+A \right)}^{2}}-4\left( p_{{\rm i}}^{2}{{C}^{2}}-B \right)\left( p_{{\rm i}}^{2}-0.010 \right)}}{2\left( p_{{\rm i}}^{2}{{C}^{2}}-B \right)}, {\kern 10pt} \text{压力平方} \\ \end{array} \right. $

(14)

受测试过程中平均地层压力影响，无阻流量不仅与地层原始静压和二项式系数相关，也受到储层物性影响。

3 实例应用

采用新方法回归时，考虑不同测试阶段地层压力的变化，以LDX-5-A井为例，新方法回归得到的二项式斜率为正，回归得到$A=-591.4$，$B=905.5$，如图 5所示。令$p_{{\rm wf}}$=0.101 MPa，得到该井无阻流量为14.82$\times$10$^{{\rm 4}}$ m$^{{\rm 3}}$/d。

新方法从气井实际测试过程出发，不仅适用于高压低渗储层，对常规井也能够进行回归并求取无阻流量，且由于考虑了平均地层压力下降，新方法比传统方法计算结果更加准确。

对南海西部油田多口高压低渗气井采用新方法进行二项式回归，斜率均恢复正常，且求得相应无阻流量，此外，对部分常规气井采用新老方法进行对比，见表 2。

从表 2中可以看出，常规气井渗透率较高，地层压力下降不明显，故新老方法计算结果较为接近，也证明了新方法的合理性。

4 结论

(1) 从物质平衡角度入手，针对气井测试过程中动用范围内的平均地层压力变化构建方程并求解，认为传统方法忽略平均地层压力变化是造成二项式方程斜率为负的主要原因。

(2) 测试过程中，平均地层压力随产量和时间逐渐变化，但在某一特定制度内变化幅度逐渐减小且区域稳定，渗透率对平均地层压力影响较大，渗透性越差的储层地层压力下降越明显。

(3) 新的二项式产能方程，可对南海西部7口高压低渗气井进行回归，得到无阻流量；该方程对4口常规气井回归求得的无阻流量与传统方法所得一致，该方法合理可行。