引言

随着常规油气资源的枯竭，页岩气开采对于日益增长的能源需求至关重要。全球页岩气资源总量预计为456$\times$10$^{12}$ m$^3$，占非常规天然气资源的50%左右^[1-2]。中国拥有丰富的页岩气资源，可采储量达12.85$\times$10$^{12}$ m$^3$^[3]。然而，页岩地层的低孔隙度、低渗透率特征严重限制了气体在页岩基质中的流动能力。为了高效开采页岩气资源，对页岩水平井进行压裂作业十分必要^[3-7]。在压裂作业中，常将含支撑剂的高压流体，如油、气或水等泵入目的层中，由于流体的注入，当井壁某个地方的拉应力超过岩石的抗张强度时，井壁就会产生拉伸破坏，形成新的裂缝，随着压裂作业的继续，裂缝将不断延伸，从而在井筒周围建立流体快速流动通道，提高产气效率。井壁裂缝起裂力学行为，包括起裂压力、起裂位置和起裂倾角作为描述裂缝起裂力学行为的重要参数，如何准确预测将直接决定钻井井漏预防、储层压裂的可靠性和有效性^[8-12]。

自Hubbert和Willis在1957年开展起裂压力研究以来^[13]，已建立了多种预测井壁起裂压力的模型，并取得了一定的成果^{[9-10, 14-23]}。但是，由于页岩具有显著各向异性特征，导致页岩在不同方向的弹性性质和抗张强度差异显著^[24-29]，因此，以上将岩石视为各向同性介质的起裂压力计算模型对各向异性页岩并不完全适用。考虑到页岩的各向异性，1988年，Aadnoy针对横观各向同性地层提出了一个考虑弹性各向异性、剪切各向异性和抗张强度各向异性的的斜井井壁稳定模型，他指出忽略各向异性效应会引入误差^[30]。1995年，Ong和Roegiers考虑岩石的弹性各向异性提出了一种井壁稳定“设计准则”来计算各向异性对裂缝起裂压力的影响，他们通过模拟发现裂缝起裂与地层的各向异性密切相关，尤其是在水平井眼中^[31]。2012年，Khan等指出，当剪切应力超过岩石的抗张强度时，裂缝开始出现，推导了考虑页岩弹性各向异性的起裂压力表达式，并以加拿大Horn河油田为例证明了在完井设计中考虑各向异性的重要性^[32]。2019年，Ma等建立了考虑各向异性变形、模量各向异性、抗张强度各向异性和地应力各向异性的起裂压力预测模型，分析了不同地层产状下起裂压力随不同影响参数的变化规律，研究结果表明当模型中考虑岩石各向异性力学参数时，计算得到的起裂压力可能高于或低于各向同性模型计算得到的起裂压力^[8]。

虽然上述起裂模型考虑了岩石各向异性特征，但大部分只考虑了岩石的弹性参数各向异性，限制了这些模型在具有弹性各向异性和抗张强度各向异性页岩中的应用。Ma等的模型同时考虑了页岩弹性和抗张强度各向异性，但该模型只适用于直井^[8]。除此以外，以上模型大多只针对起裂压力开展了相关研究，而对于表征井壁裂缝起裂行为的起裂位置和起裂倾角很少受到关注。因此，本文将基于页岩各向异性特征，建立页岩气水平井井壁裂缝起裂模型，开展井壁裂缝起裂力学行为研究，从而为钻井井漏和水力压裂设计提供理论指导。

1 页岩各向异性力学特征测试

页岩地层中由于黏土颗粒、干酪根包裹体、微裂纹的各向异性和页岩层理的局部排列，导致页岩在不同方向的弹性性质和强度参数差异显著^{[24, 26-29]}。为了分析页岩各向异性特征，开展了龙马溪组页岩在不同加载角度下的单轴压缩和巴西劈裂实验研究，分析了龙马溪组页岩弹性模量和抗张强度各向异性特征。

1.1 实验样品

实验样品取自四川盆地龙马溪组黑色露头页岩，主要成分为石英、长石、方解石以及黏土矿物，其中还夹杂少许白云石和黄铁矿。页岩基质颗粒形态不规则，矿物颗粒随机分散，颗粒内部及各矿物颗粒之间夹杂少许微孔隙和微裂缝，其微观结构如图 1所示。

1.2 弹性模量各向异性

图 2为龙马溪页岩在不同加载角下的弹性模量。由图可知，不同角度$\varphi$下的弹性模量不一致，在$\varphi$=15°时，弹性模量最大，为28.00 GPa，在$\varphi$=90°时，弹性模量最小，为19.11 GPa，和最大值相比减小幅度为31.75%。在$\varphi$由0°增加到90°的过程中，弹性模量先增加后减小再增加再减小，但从整体上看，弹性模量有逐渐减小的趋势。在$\varphi$=0°~45°时，变化幅度较大，在$\varphi$=45°~90°时，变化幅度较小。通过以上分析可以发现，龙马溪组页岩具有明显的弹性模量各向异性，因此，在页岩储层井壁稳定分析、储层压裂增产改造以及其他实际工程应用和管理中，弹性模量各向异性不可忽视。

1.3 抗张强度各向异性

采用巴西圆盘劈裂法开展了龙马溪组页岩在不同角度下的抗拉实验，实验结果如图 3所示。由图可知，龙马溪组页岩具有显著的抗张强度各向异性特征。随着$\varphi$的增加，页岩抗张强度逐渐增大，在$\varphi$=0°时，其抗张强度为3.47 MPa，在$\varphi$=90°时，其抗张强度为6.61 MPa，与$\varphi$=0°相比，增长了90.24%。

2 页岩气水平井井壁裂缝起裂模型 2.1 假设条件

(1) 页岩为连续、均质、横观各向同性介质，在层理面内页岩力学参数和性质相同；

(2) 水平井井眼轴向与层理面平行；

(3) 井筒周围页岩的应力、应变满足广义平面应变条件；

(4) 忽略渗流、传热和化学反应的影响。

2.2 水平井井周应力分布模型建立

地层局部坐标系下，岩石的本构方程为

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _x}}\\ {{\varepsilon _y}}\\ {{\varepsilon _z}}\\ {{\gamma _{yz}}}\\ {{\gamma _{xz}}}\\ {{\gamma _{xy}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{E}}&{ - \dfrac{\nu }{E}}&{ - \dfrac{{\nu '}}{{E'}}}&0&0&0\\ { - \dfrac{\nu }{E}}&{\dfrac{1}{E}}&{ - \dfrac{{\nu '}}{{E'}}}&0&0&0\\ { - \dfrac{{\nu '}}{{E'}}}&{ - \dfrac{{\nu '}}{{E'}}}&{\dfrac{1}{{E'}}}&0&0&0\\ 0&0&0&{\dfrac{1}{{G'}}}&0&0\\ 0&0&0&0&{\dfrac{1}{G}}&0\\ 0&0&0&0&0&{\dfrac{1}{{G'}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _x}}\\ {{\sigma _y}}\\ {{\sigma _z}}\\ {{\tau _{yz}}}\\ {{\tau _{xz}}}\\ {{\tau _{xy}}} \end{array}} \right] $

(1)

式中：

$E$—垂直层理方向弹性模量，GPa；

$E'$—平行于层理方向弹性模量，GPa；

$\nu$—垂直层理方向泊松比，无因次；

$\nu'$—平行于层理方向泊松比，无因次；

$G$—垂直层理方向剪切模量，GPa；

$G'$—平行于层理方向剪切模量，GPa；

$\varepsilon_x$、$\varepsilon_y$、$\varepsilon_z$、$\gamma_{yz}$、$\gamma_{xz}$、$\gamma_{xy}$—应变分量，无因次；

$\sigma_x$、$\sigma_y$、$\sigma_z$、$\tau_{yz}$、$\tau_{xz}$、$\tau_{xy}$—应力分量，MPa。

为了建立横观各向同性页岩水平井井壁裂缝起裂模型，需要不同坐标系之间的相互转换，图 4为横观各向同性地层水平井示意图，其中，$XYZ$—全局坐标系，地层坐标系与全局坐标系完全重合；$X_{\rm b}Y_{\rm b}Z_{\rm b}$—井眼坐标系；$\sigma_{\rm H}$—沿着地层坐标系的$Y$方向，最大水平主应力，MPa；$\beta$—井眼方位角，(°)；$\theta$—井周角，(°)；井眼轴线平行于各向同性面。

李小刚^[33]等针对横观各向同性地层，基于各向异性材料力学理论，运用应力叠加原理和坐标变换方法，考虑井筒流体压力、最大水平主应力、最小水平主应力和上覆岩层压力作用，推导了水平井井壁应力拟三维解^[33]

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _r} = {\sigma _x}{{\cos }^2}\theta + {\sigma _y}{{\sin }^2}\theta + 2{\tau _{xy}}\sin \theta \cos \theta }\\ {{\sigma _\theta } = {\sigma _x}{{\sin }^2}\theta + {\sigma _y}{{\cos }^2}\theta - 2{\tau _{xy}}\sin \theta \cos \theta }\\ {{\tau _{\theta r}} = {\tau _{r\theta }} = \left( {{\sigma _y} - {\sigma _x}} \right)\sin \theta \cos \theta + {\tau _{xy}}\cos \left( {2\theta } \right)}\\ {{\tau _{rz}} = \sin \theta {\tau _{yz}} + \cos \theta {\tau _{xz}}}\\ {{\tau _{\theta z}} = \cos \theta {\tau _{yz}} - \sin \theta {\tau _{xz}}}\\ {{\sigma _z} = {\sigma _z}} \end{array}} \right. $

(2)

其中

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _x} = {\sigma _{x1}} + {\sigma _{x2}} + {\sigma _{x3}}}\\ {{\sigma _y} = {\sigma _{y1}} + {\sigma _{y2}} + {\sigma _{y3}}}\\ {{\sigma _z} = {\sigma _{z1}} + {\sigma _{z2}} + {\sigma _{z3}} + {\sigma _{z5}}}\\ {{\tau _{xy}} = {\tau _{xy1}} + {\tau _{xy2}} + {\tau _{xy3}}}\\ {{\tau _{yz}} = {\tau _{yz4}}}\\ {{\tau _{xz}} = {\tau _{xz4}}} \end{array}} \right. $

(3)

式(3)中，下标1、2、3、4、5分别表示井筒液柱压力、井筒$X$方向远场作用力、井筒$Y$方向远场作用力、远场反平面剪切应力和井筒$Z$方向远场作用力在井周各方向的应力分量。

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _{x1}} = \dfrac{{ - {p_{\rm w}}}}{C}\left[ {{{\sin }^4}\theta \left( {D - q} \right) + {{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta \cdot \left( {{q^2} + qD - p - q} \right) - {q^2}{{\cos }^4}\theta } \right]}\\ {{\sigma _{y1}} = \dfrac{{ - {p_{\rm w}}}}{C}\left[ {{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta \left( {D + 1 - q - p} \right) - {{\sin }^4}\theta + {{\cos }^4}\theta \left( {qD - q} \right)} \right]}\\ {{\sigma _{z1}} = \nu {\sigma _{x1}} + \nu '{\sigma _{y1}}}\\ {{\tau _{xy1}} = \dfrac{{{p_{\rm w}}}}{C}\left[ {{{\sin }^3}\theta \cos \theta \left( {D + 1 - q} \right) + \sin \theta {{\cos }^3}\theta \left( {qD + {q^2} - q} \right)} \right]} \end{array}} \right. $

(4)

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _{x2}} = \sigma _x^\infty \dfrac{{\left( {1 + D} \right){{\sin }^4}\theta - q{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta }}{C}}\\ {{\sigma _{y2}} = \sigma _x^\infty \dfrac{{\left( {1 + D} \right){{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta - q{{\cos }^4}\theta }}{C}}\\ {{\sigma _{z2}} = \nu {\sigma _{x2}} + \nu '{\sigma _{y2}}}\\ {{\tau _{xy2}} = \sigma _x^\infty \dfrac{{q{{\cos }^3}\theta \sin \theta - \left( {1 + D} \right){{\sin }^3}\theta \cos \theta }}{C}} \end{array}} \right. $

(5)

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _{x3}} = \sigma _y^\infty \dfrac{{\left( {1 + D} \right){{\sin }^4}\theta - q{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta }}{C}}\\ {{\sigma _{y3}} = \sigma _y^\infty \dfrac{{\left( {1 + D} \right){{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta - q{{\cos }^4}\theta }}{C}}\\ {{\sigma _{z3}} = \nu {\sigma _{x3}} + \nu '{\sigma _{y3}}}\\ {{\tau _{xy3}} = \sigma _y^\infty \dfrac{{q{{\cos }^3}\theta \sin \theta - \left( {1 + D} \right){{\sin }^3}\theta \cos \theta }}{C}} \end{array}} \right. $

(6)

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\tau _{yz4}} = \dfrac{m}{{m - 1}}\tau _{yz}^\infty - \dfrac{{{{\left( {{A^2} + {B^2}} \right)}^{\frac{1}{4}}}\cos \left[ {{{\arctan \left( {{B /A}} \right)}/2}}\right]}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2}{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right)}}\tau _{yz}^\infty }\\ {{\tau _{xz4}} = - \dfrac{{m{{\left( {{A^2} + {B^2}} \right)}^{\frac{1}{4}}}\sin \left[ {{{\arctan \left( {{B / A}} \right)}/2}} \right]}}{{\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2}{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right)}}\tau _{yz}^\infty } \end{array}} \right. $

(7)

$ {\sigma _{z5}} = \sigma _z^\infty - \nu \sigma _x^\infty - \nu '\sigma _y^\infty $

(8)

其中

$ {{q^2} = \dfrac{{\left( {1 - \nu {'^2}} \right)E'E}}{{E{'^2} - {\nu ^2}E}}} $

$ {p = \dfrac{{E{'^2}E - 2E'EG\nu - 2\nu '\nu E'EG}}{{E{'^2}G - EG{\nu ^2}}}} $

$ {m = \sqrt {{G / {G'}}} } $

$ A = \left( {2{m^2} - 1 - {m^4}} \right){{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta + {m^2} $

$ B = 2\left( {{m^3} - m} \right)\sin \theta \cos \theta $

$ C = {{\sin }^4}\theta + {q^2}{{\cos }^4}\theta + p{{\sin }^2}\theta {{\cos }^2}\theta $

$ D = \sqrt {p + 2q} $

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sigma _x^\infty = {\sigma _{\rm{v}}}}\\ {\sigma _y^\infty = {\sigma _{\rm{H}}}{{\sin }^2}\beta + {\sigma _{\rm{h}}}{{\cos }^2}\beta }\\ {\sigma _z^\infty = {\sigma _{\rm{h}}}{{\sin }^2}\beta + {\sigma _{\rm{H}}}{{\cos }^2}\beta }\\ {\tau _{xy}^\infty = \tau _{xz}^\infty = 0}\\ {\tau _{yz}^\infty = \left( {{\sigma _{\rm{h}}} - {\sigma _{\rm{H}}}} \right)\sin \beta \cos \beta } \end{array}} \right. $

(9)

式中：

$\sigma_r$，$\sigma_\theta$，$\sigma_z$，$\tau_r$，$\tau_\theta$，$\tau_z$—井壁应力分量，MPa；

$\sigma _x^\infty$，$\sigma _y^\infty$，$\sigma _z^\infty$，$\tau _{xy}^\infty$，$\tau _{xz}^\infty$，$\tau_{yz}^\infty$—远场应力，MPa；

$\sigma_{\rm v}$—上覆岩层压力，MPa；

$\sigma_{\rm H}$—最大水平主应力，MPa；

$\sigma_{\rm h}$—最小水平主应力，MPa；

$p_{\rm w}$—井筒压力，MPa。

2.3 井壁裂缝起裂模型建立

在井周应力分布模型的基础上，根据主应力表达式，可得到井壁任意一点的3个主应力

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _1} = {\sigma _r}}\\ {{\sigma _2} = \dfrac{1}{2}\left( {{\sigma _z} + {\sigma _\theta }} \right) + \dfrac{1}{2}{{\left[ {{{\left( {{\sigma _z} - {\sigma _\theta }} \right)}^2} + 4{\tau _{\theta z}}^2} \right]}^{\frac{1}{2}}}}\\ [8pt] {{\sigma _3} = \dfrac{1}{2}\left( {{\sigma _z} + {\sigma _\theta }} \right) - \dfrac{1}{2}{{\left[ {{{\left( {{\sigma _z} - {\sigma _\theta }} \right)}^2} + 4{\tau _{\theta z}}^2} \right]}^{\frac{1}{2}}}} \end{array}} \right. $

(10)

式中：

$\sigma_1$—最大主应力，MPa；

$\sigma_2$—中间主应力，MPa；

$\sigma_3$—最小主应力，MPa。

图 5为井壁受力分析示意图，因为径向应力是一个主应力，由轴向应力和切向应力所形成的平面是一个主应力平面。

同时，$\sigma_1$与$Z_{\rm b}$轴的夹角$\gamma$可表示为

$ \gamma = \dfrac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}\dfrac{{2{\tau _{\theta z}}}}{{{\sigma _\theta } - {\sigma _z}}} $

(11)

式中：

$\gamma$—最大主应力与$Z_{\rm b}$轴的夹角，(°)。

由于$\sigma_3$垂直于$\sigma_1$，因此，$\sigma_3$与$Z_{\rm b}$轴的夹角$\psi$可表示为

$ \psi = \gamma + \dfrac{{\mathtt{π}} }{2}{\rm{ = }}\dfrac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}\dfrac{{2{\tau _{\theta z}}}}{{{\sigma _\theta } - {\sigma _z}}} + \dfrac{{\mathtt{π}} }{2} $

(12)

式中：

$\psi$—最小主应力与$Z_{\rm b}$轴的夹角，(°)。

通过分析可知，只有当最小主应力出现负值时，井壁才会出现拉应力。将最小主应力代入抗拉强度准则中，便可得到页岩水平井起裂压力非线性方程

$ {\sigma _3} - \alpha {p_{\rm p}} + T\left( {{\beta _{\rm b}}} \right) = 0 $

(13)

其中

$ T\left( {{\beta _{\rm b}}} \right) = \dfrac{{{T_{\rm m}}{T_{\rm b}}}}{{{T_{\rm b}}{{\sin }^2}{\beta _{\rm b}} + {T_{\rm m}}{{\cos }^2}{\beta _{\rm b}}}} $

(14)

式中：

$\alpha$—Biot系数，无因次；

$p_{\rm p}$—孔隙压力，MPa；

$\beta_{\rm b}$—层理面法向与拉应力方向的夹角，(°)；

$T\left({{\beta _{\rm b}}} \right)$—页岩在$\beta_{\rm b}$下的抗张强度，MPa；

$T_{\rm m}$—页岩本体的抗张强度，MPa；

$T_{\rm b}$—页岩层理面的抗张强度，MPa。

为了确定夹角$\beta_{\rm b}$，可依据空间几何理论，分别得到全局坐标系下层理面的法向向量和最小主应力方向向量，并进一步根据向量夹角公式，即可得夹角$\beta_{\rm b}$的表达式为

$ {\beta _{\rm b}}{\rm{ = }}{\cos ^{ - 1}}\dfrac{{\vec n \cdot \vec N}}{{\left| {\vec n} \right| \cdot \left| {\vec N} \right|}}{\rm{ = }}{\cos ^{ - 1}}\dfrac{{{c_1}}}{{\sqrt {{c_1}^2 + {c_2}^2 + {c_3}^2} }} $

(15)

其中

$ \left\{ \begin{array}{l} {c_1}{\rm{ = }}\sin \theta \sin \psi \\ {c_2}{\rm{ = }}\sin \beta \cos \theta \sin \psi + \cos \beta \cos \psi \\ {c_3}{\rm{ = }}\sin \beta \cos \psi - \cos \beta \cos \theta \sin \psi \end{array} \right. $

(16)

联立式(2)~式(16)，对非线性方程(13)进行求解即可得到页岩水平井井壁裂缝起裂压力$p_{\rm f}$，裂缝在井周的起裂位置$\theta_{\rm f}$和裂缝起裂倾角$\gamma_{\rm f}$。

2.4 井壁裂缝起裂模型求解

根据本文所建立的井壁裂缝起裂模型，利用二分法对式(13)进行求解，采用MATLAB软件编制了井壁裂缝起裂行为求解程序，其详细计算流程如图 6所示。

3 页岩气水平井井壁裂缝起裂行为

以四川盆地CN示范区下志留系龙马溪页岩为例，分析页岩气水平井井壁裂缝起裂力学行为影响因素及其变化规律，该地区龙马溪页岩储层埋深约2 280~2 500 m，垂向应力梯度为2.60 MPa/hm、最大水平地应力梯度为3.15 MPa/hm(N120°E)、最小水平地应力梯度为2.20 MPa/hm，属于典型的走滑断层应力机制，其孔隙压力梯度达到2.03 MPa/hm^[34]。

以垂深2 500 m为例，该位置上覆岩层压力为65.00 MPa，最大水平地应力为78.75 MPa，最小水平地应力为55.00 MPa，孔隙压力为50.75 MPa，平行层理方向的弹性模量为26.66 GPa，平行层理方向的泊松比为0.202，垂直层理方向的弹性模量为18.48 GPa，垂直层理方向的泊松比为0.242，Biot系数为0.80，页岩层理面抗张强度为3.47 MPa，页岩本体抗张强度为6.61 MPa。

3.1 模型验证与对比

为了分析各向异性对井壁裂缝起裂力学行为的影响规律，计算了各向同性、弹性模量各向异性、泊松比各向异性、抗张强度各向异性和完全各向异性5种情形下不同井眼方位的起裂压力$p_{\rm f}$、裂缝起裂位置$\theta_{\rm f}$和裂缝起裂倾角$\gamma_{\rm f}$。计算结果如图 7所示，其中，$\beta$=0°代表水平井井眼方位沿最大水平地应力方向钻进，$\beta$=90°代表水平井井眼方位沿最小水平地应力方向钻进。

由图 7a可知，5种情形下，起裂压力均会随着$\beta$的增加先升高后降低，最大值出现在50°附近。在$\beta$较小时，5种情形下的起裂压力差异较小，当$\beta$较大时，考虑模量各向异性后的起裂压力最大，考虑抗张强度各向异性后的起裂压力最小，各向同性、泊松比各向异性和完全各向异性介于二者之间。

图 7b展示了井壁裂缝$\theta_{\rm f}$随$\beta$的变化规律，可以发现，井壁裂缝起裂位置随$\beta$的变化规律可分为3个阶段，在$\beta$较小时，5种情形下的起裂位置保持0°不变，在$\beta$较大时，5种情形下的起裂位置保持90°不变。然而，当$\beta$处于中间段时，井壁裂缝起裂位置$\theta_{\rm f}$随$\beta$增加而增大。

图 7c为5种情形下井壁裂缝倾角$\gamma_{\rm f}$随$\beta$的变化规律。由图可知5种情形下井壁裂缝倾角$\gamma_{\rm f}$随$\beta$的变化规律也可分为3个阶段，在$\beta$较小时，$\gamma_{\rm f}$随$\beta$的增加逐渐增加，之后迅速降低，最后保持恒定值。5种情形下的$\gamma_{\rm f}$仅在降低阶段有较大差异，泊松比各向异性下的降低速率最快，紧接着是各向同性、强度各向异性、完全各向异性，模量各向异性下的降低速率最慢。

3.2 井壁裂缝起裂行为影响因素分析 3.2.1 模量各向异性程度

为了分析模量各向异性程度对井壁裂缝起裂行为的影响规律，保持基础参数不变，分别计算了$E'/E$分别为1.0，1.5，2.0和2.5时不同井眼方位下的$p_{\rm f}$，$\theta_{\rm f}$和$\gamma_{\rm f}$，结果如图 8所示。

由图 8可知，当井眼方位沿最大水平地应力方向时($\beta$=0°)，随着模量各向异性程度的增加，起裂压力逐渐减小，在$E'/E$分别为1.0，1.5，2.0和2.5时，对应的起裂压力分别为65.59，63.71，62.47和61.41 MPa。当井眼方位沿最小水平地应力方向时($\beta$=90°)，随着模量各向异性程度的增加，起裂压力逐渐增大，$E'/E$为1.0，1.5，2.0和2.5时，对应的起裂压力分别为79.38，82.50，85.39和88.14 MPa。在$\beta$由0°偏转到90°的过程中，起裂压力随模量各向异性程度的增加变化规律较复杂，呈现出先降低后增加再降低再增加的现象。随着模量各向异性程度的增加，$\theta_{\rm f}$随$\beta$的变化过程由3个阶段(恒定—增长—恒定)变为两个阶段(恒定—增长)。模量各向异性越大，井周在0°~90°起裂的井眼方位越多。随着模量各向异性程度的增加，$\gamma_{\rm f}$随$\beta$的变化过程也会由3个阶段(升高—降低—恒定)变为两个阶段(升高—降低)。当$\beta$较小时，模量各向异性程度对$\gamma_{\rm f}$无影响，不同模量各向异性程度下计算的$\gamma_{\rm f}$值近似相等。当$\beta$较大时，模量各向异性程度对$\gamma_{\rm f}$影响显著，模量各向异性程度越高，$\gamma_{\rm f}$随$\beta$的减小速率越慢。

3.2.2 泊松比各向异性程度

为了分析泊松比各向异性程度对井壁裂缝起裂行为的影响规律，保持基础参数不变，计算了$v/v'$分别为1.00，1.25，1.50和1.75条件下在不同井眼方位下的$p_{\rm f}$，$\theta_{\rm f}$和$\gamma_{\rm f}$，结果如图 9所示。

由图 9可以看出，当$\beta$未介于46°~56°时，随着泊松比各向异性程度的增加，起裂压力逐渐减小，但减小幅度较小。当$\beta$处于46°~56°时，起裂压力随泊松比各向异性程度的变化规律复杂，时增时降。除此以外还可以发现，随着泊松比各向异性程度的增加，起裂压力最大值逐渐偏向较小的$\beta$。随着泊松比各向异性程度的增加，$\theta_{\rm f}$随$\beta$的变化过程保持3个阶段(恒定—增长—恒定)不变。但井周在0°~90°起裂的井眼方位逐渐减少。随着泊松比各向异性程度的增加，井壁裂缝起裂倾角随$\gamma_{\rm f}$的变化过程也保持3个阶段(升高—降低—恒定)不变。当$\beta$较小时，泊松比各向异性程度对$\gamma_{\rm f}$的影响不显著，不同泊松比各向异性程度下计算的$\gamma_{\rm f}$值差别不大。当$\beta$较大时，泊松比各向异性程度越大，$\gamma_{\rm f}$随$\beta$的减小速率越快。

3.2.3 抗张强度各向异性程度

由于页岩本体和层理面抗张强度存在较大差异，为了分析页岩强度各向异性对井壁裂缝起裂行为的影响规律，通过改变页岩本体强度，对比了$T_{\rm m}/T_{\rm b}$分别为1.0，1.5，2.0和2.5条件下页岩水平井井壁裂缝起裂行为，如图 10所示。由图 10可知，在$\beta$小于60°时，随着抗张强度各向异性程度的增加，起裂压力逐渐增加，当$\beta$大于60°时，起裂压力不随页岩本体强度改变而变化，通过图 10b和图 10c可以看出，当$\beta$大于60°时，井壁裂缝起裂位置为90°，且井壁裂缝起裂倾角为0，这意味着，在$\beta$大于60°时，井壁裂缝沿层理面方向起裂，因此，其起裂压力受页岩层理面抗张强度控制，从而使得本文模型中，在$\beta$大于60°时起裂压力恒定不变。随着抗张强度各向异性程度的增加，井壁裂缝起裂位置保持“恒定—增长—恒定”不变，但增长阶段逐渐偏向较小的$\beta$。随着抗张强度各向异性程度的增加，井壁裂缝起裂倾角也保持“升高—降低—恒定”不变，但井壁裂缝起裂倾角最大值逐渐减小。

3.2.4 地应力比值

地应力对井壁裂缝起裂行为有显著影响，保持基础参数不变，取$\sigma_{\rm H}/\sigma_{\rm h}$为1.00，1.25，1.50和1.75，计算不同井眼方位下的$p_{\rm f}$，$\theta_{\rm f}$及$\gamma_{\rm f}$，结果见图 11。

由图 11可知，当水平最大主应力与水平最小主应力相等时，在任意井眼方位下，$p_{\rm f}$=63.88 MPa，$\theta_{\rm f}$=0，$\gamma_{\rm f}$=90°恒定不变。当水平最大主应力与水平最小主应力不相等时，起裂压力随$\beta$的增加先升高后降低，且水平最大最小地应力比值越大，后期减小幅度越大。在$\sigma_{\rm H}/\sigma_{\rm h}$为1.25，1.50和1.75时，对应最大起裂压力分别为91.92，87.01和81.84 MPa。当水平地应力不相等时，随着水平地应力比值的增加，整体上井壁裂缝在0°~90°起裂的井眼方位由较大值偏向较小值。随着地应力比值的增加，井壁裂缝倾角最大值逐渐增加，且最大值逐渐偏向较小的井眼方位。

3.2.5 孔隙压力

地层孔隙压力对井壁裂缝起裂压力有较大影响，为了分析不同孔隙压力对井壁裂缝起裂行为的影响规律，保持基础参数不变，计算了孔隙压力为50，45，40和35 MPa条件下，在不同井眼方位下的$p_{\rm f}$，$\theta_{\rm f}$和$\gamma_{\rm f}$，如图 12所示。

由图 12可知，在任意井眼方位下，起裂压力均会随着孔隙压力的增加而减小。在$\beta$=0°时，在孔隙压力分别为35，40，45和50 MPa条件下，对应的起裂压力分别为76.85，72.74，68.62和64.50 MPa。孔隙压力对$\theta_{\rm f}$影响较小，随着孔隙压力的增加，$\theta_{\rm f}$随$\beta$的变化过程保持3个阶段(恒定—增长—恒定)不变，井周在0°~90°起裂的井眼方位逐渐偏向较小的$\beta$。随着孔隙压力的减小，$\gamma_{\rm f}$随$\beta$的变化过程也保持3个阶段(升高—降低—恒定)不变，但井壁裂缝倾角最大值逐渐减小。

4 结论

(1) 龙马溪组页岩具有显著的弹性模量各向异性和抗张强度各向异性。不同层理角度下的弹性模量不一致，在$\varphi$=15°时，弹性模量最大，最大值为28.00 GPa，在$\varphi$=90°时，弹性模量最小，最小值为19.11 GPa，和最大值相比减小幅度为31.75%。随着$\varphi$的增加，页岩抗张强度逐渐增大，在$\varphi$=0°时，其抗张强度为3.47 MPa，在$\varphi$=90°时，其抗张强度为6.61 MPa，与$\varphi$=0°相比，增长了90.24%。

(2) 井壁裂缝起裂力学行为与应力状态、岩石弹性参数和岩石抗张强度均有关。与各向同性相比，$\beta$较小时，完全各向异性模型计算的起裂压力小于各向同性模型计算的起裂压力，$\beta$较大时，完全各向异性模型计算的起裂压力大于各向同性。

(3) 模量各向异性越大，井周在0°~90°起裂的井眼方位越多。当$\beta$较小时，模量各向异性程度对$\gamma_{\rm f}$几乎没有影响，当$\beta$较大时，模量各向异性程度对$\gamma_{\rm f}$影响显著。随着泊松比各向异性程度的增加，井周在0°~90°起裂的井眼方位逐渐减少。随着抗张强度各向异性程度的增加，在$\beta$小于60°时，起裂压力逐渐增加，当$\beta$大于60°时，由于井壁裂缝沿层理面方向起裂，起裂压力不随井眼方位变化。

(4) 水平地应力对井壁裂缝起裂行为有显著影响，当水平地应力不相等时，随着水平地应力比值的增加，井壁裂缝在0°~90°起裂的井眼方位由较大值偏向较小值。井壁裂缝倾角最小值逐渐减小，且最小值逐渐偏向较小的井眼方位。

(5) 在任意井眼方位下，起裂压力均会随着孔隙压力的增加而减小；孔隙压力对井壁裂缝起裂位置影响较小；随着孔隙压力的增加，井壁裂缝起裂倾角逐渐增大。