引言

页岩气作为一种典型的非常规能源，在全球范围内分布广泛，开发潜力巨大。据测算，全球页岩气资源量约为456.0$\times$10$^{12}$ m$^{3}$。中国具有分布广泛的富有机质页岩，中国海相页岩气储量为37.4$\times$10$^{12}$ m$^{3}$，其中，南方海相页岩气储量为32.0$\times$10$^{12}$ m$^{3}$，比美国略小。

虽然近年中国在页岩气开发方面进步显著，但相比加拿大和美国，中国页岩气生产正在起步阶段。水平井技术在中国页岩气开发中应用广泛，并与大型体积压裂技术相结合，实现规模化工业生产^[1]，但是在气体成藏、渗流机理、产能数值模拟和评价、开发工艺参数优化等方面系统研究不够，这些都限制了中国页岩气的规模化开采。因此，有必要深入开展相关的基础研究。

相比常规油气藏，页岩气藏有以下典型特征：(1)储存方式特别，具有自生自储特点，储层含有大量的烃源岩，部分气以游离态存储在纳米级孔隙和微细裂缝中，部分气吸附在储层孔隙表面上，另有部分气溶解在干酪根中。(2)多种流态多尺度渗流机理，页岩中含有纳米量级孔隙、微米量级孔隙和较大尺度的裂缝，气体在纳米量级孔隙中的流动是非达西渗流，而气体在微米量级孔隙中的渗流机理与纳米量级孔隙的渗流机理也有差异，存在多种流态多尺度复杂渗流机理。(3)页岩基质的孔隙度和渗透率很低，流动阻力大，常采用水平井与大型压裂方能得到规模化产能^[2]。

由此可知，在页岩气藏开采中所用的技术和开发方案与常规气藏开采存在很大差异，页岩气藏开发不能套用常规气藏的开采方法。根据中国页岩气藏的特征，在页岩气的复杂运移机理及渗流规律研究的基础上，基于气体稳定渗流理论，建立非常规页岩气藏的稳态产能评价方法。

1 压裂井渗流机理模型研究现状

1995年，Spivey等采用Kazemi等提出的双重介质不稳定流模型和附加压缩系数法^[3-4]，建立了页岩气藏压裂井不稳定渗流数学模型，并对页岩气藏生产动态进行了研究。

2001年，蒋廷学等基于质量守恒定律和达西运动方程^[5]，基于保角变换原理，采用简单单向渗流产能计算问题代替裂缝气井产能求解问题，确立了压裂井稳态产能方程。

2003年，汪永利等基于微元体流动分析^[6]，结合质量守恒原理、压力耦合原理和非达西运动方程，应用保角变换原理，建立了裂缝内变质量流动的二阶微分方程，经一系列变换，求得考虑裂缝长度及裂缝流动能力的产能方程，并将公式所得结果与现场生产数据一一比对，结果具有较好符合度。

2010年，段永刚等借鉴煤层气的研究方法^[7-8]，认为天然裂缝系统中的自由气渗流服从达西定律，考虑页岩气在基质中的解吸和由浓度差引起的扩散，基于点源函数方法，建立了页岩气藏压裂井的渗流模型，对页岩气藏压裂井的产能动态规律进行了研究。

2012年，王坤等应用保角变换原理^[9]，针对页岩气藏压裂井存在两条互相垂直的问题，建立了考虑气体滑脱效应及有限导流压裂裂缝的页岩气藏稳态产能数学模型。

2014年，Deng等采用Beskok-Karniadakis方程^[10]，经一系列变化，得到压力梯度和流量的一个关系式，并在此基础上建立了考虑裂缝穿透比$L_{\rm{f}}$/$R_{\rm{e}}$、裂缝流动能力$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$和气体状态等因素的页岩气藏气井稳态产能方程。

2 压裂井稳态产能模型 2.1 多尺度非达西渗流模型

采用达西定律来描述体积流速公式如下

$ {v_{\rm{g}}} = - \dfrac{K}{\mu }\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}} $

(1)

式中：

$v_{\rm{g}}$—体积流速，m/s；

$K$—渗透率，mD；

$\mu$—黏度，mPa$\cdot$s；

$p$—储层压力，Pa；

$x$—距离，m。

Beskok和Karniadakis在1999年提出了考虑分子自由流、过渡流、滑移流和连续流的渗流模型^[11-12]，在引入渗透率修正因子的基础上，简化Beskok-Karniadakis模型，并做相应地近似处理，得到改进型渗透率修正因子$\xi$

$ \xi = 1 + 4{Kn} + \dfrac{{512}}{{15{{\rm{ \mathsf{ π} }} ^2}}}{Kn}^{1.4} + 4b{Kn}^2 + \dfrac{{2048}}{{15{{\rm{ \mathsf{ π} }} ^2}}}{Kn}^{2.4} + 4{b^2}{Kn}^3 + o\left( {{Kn}^3} \right) $

(2)

式中：

$\xi$—渗透率修正因子，无因次；

$Kn$— Knudsen数，无因次；

$b$—滑脱因子，无因次。

图 1分别是滑脱系数$b$=0.1、0.5、2.0和5.0时，Knudsen数$Kn$对渗透率修正因子$\xi$的影响程度曲线。从每个图的4条曲线对比可知，$Kn^{2.4}$项对渗透率修正因子$\xi$的影响不大，可忽略。当滑脱系数$b$较小($b$=0.1和$b$=0.5)时，$Kn^2$项对渗透率修正因子$\xi$的影响较小，可忽略。但是当$b$值增大($b$=2.0和$b$=5.0)时，$Kn^2$项对渗透率修正因子$\xi$有较大影响，不可忽略。所以，对于滑脱流和连续流，当$Kn$ < 0.1时，忽略渗透率修正因子$\xi$大于二阶的高阶修正项，则体积流速式(1)可变为

$ {v_{\rm{g}}} = - \dfrac{{{K_0}}}{\mu }\left( {1 + 4{Kn} + \dfrac{{512}}{{15{{\rm{ \mathsf{ π} }} ^2}}}{Kn}^{1.4} + 4b{Kn}^2} \right)\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}} $

(3)

式中：

$K_0$—初始渗透率，mD。

根据分子平均自由程表达式^[13]、Knudsen扩散系数与孔隙尺寸相关性表达式^[14-16]，结合气体体积系数$B_{\rm{g}}$的定义，可得到地面标准条件下的气体体积流量

$ {q_{\rm{v}}} = \dfrac{{vA}}{{{B_{\rm{g}}}}} = \dfrac{{A{K_0}}}{{{B_{\mathop{\rm g}\nolimits} }\mu }} \\ \left[ {1 + \dfrac{{3{\rm{ \mathsf{ π} }} \phi }}{{16{K_0}}}\dfrac{\mu }{p}{D_{\rm{K}}} + \dfrac{{512}}{{15{{\rm{ \mathsf{ π} }} ^2}}}{{\left( {\dfrac{{3{\rm{ \mathsf{ π} }} \phi }}{{64{K_0}}}\dfrac{\mu }{p}{D_{\rm{K}}}} \right)}^{1.4}} + 4b{{\left( {\dfrac{{3{\rm{ \mathsf{ π} }} \phi }}{{64{K_0}}}\dfrac{\mu }{p}{D_{\rm{K}}}} \right)}^2}} \right]\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}} $

(4)

式中，气体体积系数$B_{\rm{g}}$的表达式为

$ {B_{\mathop{\rm g}\nolimits} }{\rm{ = }}\dfrac{{{p_{{\rm{sc}}}}}}{p}\dfrac{{zT}}{{{T_{{\rm{sc}}}}}} $

(5)

式中：

$q_{\rm{v}}$—气体体积流量，m$^3$/s；

$v$—气体体积流速，m/s；

$A$—渗流面积，m$^2$；

$B_{\rm{g}}$—气体体积系数，无因次；

$\phi$—孔隙度，无因次；

$D_{\rm{K}}$— Knudsen扩散系数，m$^2$/s；

$p_{{\rm{sc}}}$—标准压力，Pa；

$z$—气体压缩因子，无因次；

$T$—储层温度，K；

$T_{{\rm{sc}}}$—标准温度，K。

2.2 考虑多尺度流动的压裂井的稳态产能模型 2.2.1 物理假设

(1) 储层是各向同性的，并且页岩气在储层中是稳定流动的。(2)页岩气在储层和裂缝中属单相流体，在10$^{-3}$$\sim$10$^{-6}$ mD低渗透的页岩中流动属于非达西渗流。(3)压裂井以一定压力生产，认为储层已完全压开，裂缝展布高度与储层相对厚度相当。(4)认为裂缝是垂直裂缝，且在井筒两侧处于对称分布，裂缝半长假定为$L_{\rm{f}}$。当假设垂直裂缝为有限流动时，裂缝宽度假定为$W_{\rm{f}}$。

2.2.2 有限裂缝流动压裂井产能公式

考虑有限裂缝流动时，根据流出单元体质量等于流入单元体质量，利用质量守恒定律、拟压力函数和压裂裂缝的边界条件，可以得到考虑有限裂缝流动的裂缝井的产能公式

$ {Q_{\rm{f}}}{\rm{=}}\dfrac{{2{K_{\rm{f}}}{W_{\rm{f}}}h\lambda {T_{{\rm{sc}}}}}}{{{p_{{\rm{sc}}}}T\overline {\mu z} }} \left[ { {\dfrac{{p_{\rm{e}}^2\!-\!p_{\rm{w}}^2}}{2}\!+\! \dfrac{{3{\rm{ \mathsf{ π} }} \mu \phi {D_{\rm{K}}}}}{{16{K_0}}}\left( {{p_{\rm{e}}}\!-\! {p_{\rm{w}}}} \right) + \dfrac{{512}}{{9{{\rm{ \mathsf{ π} }} ^2}}}{{\left( {\dfrac{{3{\rm{ \mathsf{ π} }} \mu \phi {D_{\rm{K}}}}}{{64{K_0}}}} \right)}^{1.4}} } }\right.\\ \left. {\left( {p_{\rm{e}}^{0.6} \!-\!p_{\rm{w}}^{0.6}} \right)\!+\!4b{{\left( {\dfrac{{3{\rm{ \mathsf{ π} }} \mu \phi {D_{\rm{K}}}}}{{64{K_0}}}} \right)}^2}\ln \dfrac{{{p_{\rm{e}}}}}{{{p_{\rm{w}}}}}} \right] \tanh \dfrac{{{\rm{ \mathsf{ π} }} \lambda }}{2} $

(6)

式中：

$Q_{\rm{f}}$—裂缝井的产能，m$^3$/d；

$K_{\rm{f}}$—裂缝渗透率，mD；

$W_{\rm{f}}$—裂缝宽度，cm；

$h$—储层厚度，m；

$\lambda$—平均分子自由程，m；

$p_{\rm{e}}$—储层压力，Pa；

$p_{\rm{w}}$—井底流压，Pa。

2.3 压裂井产能影响因素分析

已知某页岩气藏的基本参数如表 1所示，基于建立的压裂井稳态产能方程，分析Knudsen数、裂缝长度、裂缝穿透比、滑脱效应、页岩渗透率与裂缝流动等相关物理量对气井产能的影响。

2.3.1 渗透率修正因子对压裂井产能的影响

表 2是不同渗透率修正因子对压裂井产能的影响。由表 2可以看出，渗透率修正因子$\xi$对产能影响较大。如果将渗透率修正因子$\xi$的修正值设定为1，即在达西流动时，压裂井产能较小；当采用Karniadakis-Beskok模型修正渗透率，随着渗透率修正因子$\xi$修正阶值的增加，压裂井产能增强。结合页岩气气藏现场生产数据表明：当压差为8 MPa，且裂缝半长为250 m时，压裂井产气量为1.5$\times$10$^4$ m$^3$。相比于达西渗流或考虑Klinkenberg渗透率修正因子的预测模型，新推导的压裂井产能方程的预测数据与现场生产记录数据非常接近。

2.3.2 Knudsen扩散系数和滑脱效应对压裂井产能的影响

在不同滑脱因子$b$条件下井底流压$p_{\rm{w}}$对压裂井产能的影响见表 3。当井底流压$p_{\rm{w}}$较小时，随着滑脱效应$b$值增加导致压裂井产能增加明显，而当井底流压$p_{\rm{w}}$较大时，滑脱效应$b$值增加对压裂井产能影响较小。具体而言，当井底流压$p_{\rm{w}}$>15 MPa时，压裂井产能受滑脱效应$b$值的影响较小，实际生产中可以忽略滑脱效应的影响。当井底流压$p_{\rm{w}}$ < 15 MPa时，压裂井的产能开始受滑脱效应$b$值的影响，且压裂井产能随着滑脱效应$b$值变大也有所增加。Javadpour等人认为：当井底流压$p_{\rm{w}}$值较大时，$b$≈0，气井产能可由达西定律计算而得；当井底流压$p_{\rm{w}}$值较小时，需仔细考虑滑脱效应的影响。因此，在页岩气开采过程时，可以充分利用滑脱效应，同时考虑适度降低井底流压$p_{\rm{w}}$，以此提高气井产能。

表 4是在不同Knudsen扩散系数$D_{\rm{K}}$条件下井底流压$p_{\rm{w}}$对压裂井产能的影响情况。从表 4可知，在相同井底流压$p_{\rm{w}}$下，Knudsen系数$D_{\rm{K}}$值越大，压裂井产能越大；在Knudsen扩散系数$D_{\rm{K}}$值相同时，井底流压$p_{\rm{w}}$越大，压裂井产能越低。Knudsen扩散系数$D_{\rm{K}}$值越小，压裂井产能随井底流压$p_{\rm{w}}$的增加而下降得越慢，Knudsen扩散系数$D_{\rm{K}}$值越大，压裂井产能随井底流压$p_{\rm{w}}$的增加而下降得越快。

2.3.3 储层物性及裂缝参数对压裂井产能的影响

表 5为不同页岩渗透率$K$条件下井底流压$p_{\rm{w}}$对压裂井产能的影响情况。从表 5可知，在相同井底流压下，页岩渗透率$K$值增大导致压裂井产能增加。如当井底流压$p_{\rm{w}}$=15 MPa时，页岩渗透率$K$从0.005 mD增加到0.010、0.015、0.020、0.025 mD时，即分别增加到2、3、4和5倍时，压裂井的产能分别增加到1.94、2.57、3.21和3.48倍，主要原因是渗透率$K$增加，流动通道较大，导致气体渗流阻力减小，产能明显增加。

表 6为在不同裂缝半长$L_{\rm{f}}$条件下井底流压对压裂井产能的影响情况。从表 6可知，在相同井底流压$p_{\rm{w}}$条件下，裂缝半长$L_{\rm{f}}$增加导致压裂井产能增加。如当井底流压$p_{\rm{w}}$=15 MPa时，页岩的裂缝半长$L_{\rm{f}}$分别增加到3、5、7和9倍时，压裂井的产能分别增加到1.29、1.89、2.49和3.10倍。主要原因是裂缝长度增加，泄气面积增加，导致渗流阻力减小，产能显著增加。当页岩渗透率增加倍数小于裂缝半长$L_{\rm{f}}$增加倍数时，后者导致压裂井增加产能幅度依然小于前者导致产能增加幅度，说明$L_{\rm{f}}$的增加对压裂井产能增加很有限，只能改善裂缝附近储层的渗流能力，对裂缝较远的基质渗透能力贡献较小，但产能显著增加需由整个储层流动能力的提高来决定。从表 6还可以看出，在裂缝半长$L_{\rm{f}}$一定条件下，井底流压$p_{\rm{w}}$增加，导致压裂井产能显著下降，因而在实际生产中保持一定流压$p_{\rm{w}}$开采，才能获得较高产能。

表 7是在不同裂缝穿透比$L_{\rm{f}}$/$R_{\rm{e}}$条件下的裂缝流动能力$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$对压裂井产能的影响。

由表 7可知，当裂缝穿透比$L_{\rm{f}}$/$R_{\rm{e}}$一定条件下，裂缝流动能力$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$增加，气井产能增加。裂缝流动能力$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$一定条件下，裂缝穿透比$L_{\rm{f}}$/$R_{\rm{e}}$增加导致产能增加，当裂缝流动能力$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$增加到一定程度时，产能增加程度变小。例如，在裂缝穿透比$L_{\rm{f}}$/$R_{\rm{e}}$为0.1时，当$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$>1 D$\cdot$cm时，明显出现产气量增加变小，但是当裂缝穿透比$L_{\rm{f}}$/$R_{\rm{e}}$为0.3时，$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$则要>4 D$\cdot$cm时产气量增加程度才开始变小。只有在$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$值更大时$L_{\rm{f}}$/$R_{\rm{e}}$增加产能才变得更平缓。表 7的数据可为不同裂缝穿透比$L_{\rm{f}}$/$R_{\rm{e}}$的压裂井裂缝流动能力$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$的优选提供依据。

3 结论

(1) 依据Karniadaki-Beskoks模型推导出适合于不同流态的页岩储层非达西渗流公式，研究表明增加Knudsen数，渗透率修正因子$\xi$越来越偏离达西渗流。

(2) 确立了考虑裂缝变质量的产能压裂井模型，结果表明根据渗透率修正因子$\xi$的非达西渗流模型计算的产能更接近现场数据。

(3) 考虑了Knudsen扩散系数$D_{\rm{K}}$对孔隙尺寸的影响，在低渗透率页岩储层中Knudsen扩散和滑脱效应影响产能明显，当井底流压$p_{\rm{w}}$ < 15ca时，滑脱效应开始影响压裂井页岩气产能。

(4) 压裂井产能在不同程度上受滑脱因子$b$、Knudsen扩散系数$D_{\rm{K}}$、页岩渗透率$K$、裂缝半长$L_{\rm{f}}$、裂缝穿透比$L_{\rm{f}}$/$R_{\rm{e}}$与裂缝流动$K_{\rm{f}}$$\cdot$$W_{\rm{f}}$等因素的影响。