引言

中国页岩气的储量巨大，分布广泛，其开采需要可靠的产能模拟来提供依据。但其地质条件复杂、物性差异大、运移机制复杂给准确模拟带来了较大的困难。因此，需要通过考虑多方因素的影响，来建立一个完善的产能模型。

在建模发展的初期，学者们假设裂缝内流量均匀分布，利用格林函数法和叠加原理，推导出油藏中压裂水平井的压力响应，且考虑了缝间干扰的影响^[1-3]；之后的学者分别在模型中加入了对裂缝方位角、裂缝不等长、应力敏感等影响因素的考虑，丰富了压裂水平井模型^[4-6]；2010年，Bello忽略了气体解吸及基质中的扩散，研究了压裂水平井压力变化及产量动态^[7]；同年，Aboaba和Cheng忽略了页岩气藏的吸附解吸机理，研究了压裂水平井早期线性流阶段特征^[8]。但是解吸和扩散过程的忽略会影响到模型的准确性，所以众多学者在建模过程中开始考虑页岩气多样的运移过程^[9-11]。2014年，高杰^[12]在前人研究的基础上，建立了页岩气藏压裂水平井三线性渗流模型，并且运用拉氏变换进行了求解。在模型逐步完善的基础上，利用模型分析敏感性因素的研究方法不断发展^[13-17]，研究了压裂水平井的生产规律，对页岩气优化开发提供了依据。

天然裂缝应力敏感效应和水力裂缝方位角及渗流特征是影响页岩气井产能的重要因素，但是很多已有的模型并没有同时考虑到两者影响。所以本文基于双重介质渗流理论，综合考虑了页岩储层的吸附解吸、扩散运移、天然裂缝的应力敏感效应，建立了页岩储层渗流模型；同时考虑水力裂缝的有限导流能力、裂缝方位角等因素，利用点源函数的方法^[18-20]，建立页岩气藏压裂水平井产能模型，并解得到产能模型的半解析解。同时编程模拟计算，验证模型，分析产能的主要相关因素。

1 页岩气藏储层模型 1.1 物理模型及假设

(1) 页岩气藏具有双孔介质特征，包括天然裂缝和含有纳—微米孔的页岩基质，且气藏上下边界封闭，外边界为无限大。

(2) 球形基质块中储存吸附气和游离气。

(3) 由于页岩基质极低的渗透性，不考虑页岩气在基质系统中由于压力差而产生的渗流，而是解吸后以扩散的方式运移到天然裂缝系统中。

(4) 页岩气藏开采前处于动态平衡状态，并在标况下以定产量生产。

(5) 基质孔隙中吸附态页岩气解吸遵循Langmuir等温吸附方程。

(6) 气体为单相等温渗流，忽略重力和毛管力的影响。

1.2 基质系统渗流模型

在页岩气基质中，吸附气的解吸过程服从Langmuir等温吸附方程；气体从基质到天然孔隙的流动应该服从Fick扩散定律。下面分别按照拟稳态扩散和非稳态扩散两种模型描述基质孔隙中气体运移。

(1) 吸附气解吸模型

模型假设吸附态页岩气解吸遵循Langmuir等温吸附方程。

(2) 拟稳态扩散模型

通过转化得到无因次的扩散模型

$ \dfrac{\partial {{V}_{{\rm D}}}}{\partial {{t}_{{\rm D}}}}=\lambda \left( \sigma {{\varphi }_{{\rm D}}}-{{V}_{{\rm D}}} \right) $

(1)

其中

$ \sigma =\dfrac{{{p}_{{\rm sc}}}{{q}_{{\rm sc}}}T}{{\mathtt{π}} {{K}_{{\rm i}}}h{{T}_{{\rm sc}}}}\dfrac{{{V}_{{\rm L}}}\varphi ({{p}_{{\rm L}}})}{{{\left[ \varphi ({{p}_{{\rm L}}})+\varphi ({{p}_{{\rm i}}}) \right]}^{2}}} $

(2)

式中：$V_{{\rm D}}$—无因次页岩气浓度；

$t_{{\rm D}}$—无因次时间；

${\lambda }$—无因次扩散窜流系数；

${\varphi _{\text{D}}}$—无因次拟压力；

${p_{{\text{sc}}}}$—标准状况下压力，Pa；

${q_{{\text{sc}}}}$—标准状况下页岩气井的产量，m³/s；

$T$—气体温度，K；

${K_{\text{i}}}$—原始条件下天然裂缝系统的渗透率，m$^{{\rm 2}}$；

$h$—页岩气藏的厚度，m；

${T_{{\text{sc}}}}$—标准状况下温度，K；

${V_{\text{L}}}$—页岩气的Langmuir体积，sm³/m³；

$\varphi$—气体拟压力，Pa/s；

${p_{\text{L}}}$—Langmuir压力，Pa；

${p_{\text{i}}}$—原始状况下的页岩气藏压力，Pa。

将吸附气Langmuir解析模型代入式(1)，可组成拟稳态页岩气基质模型。

(3) 非稳态扩散模型

根据菲克扩散第二定律，运用Laplace变换得到无因次模型为

$ \dfrac{{\rm d}\overline{{{V}_{{\rm D}}}}}{{\rm d}{{r}_{{\rm D}}}}\!=\!\dfrac{\sqrt{{s}/{\lambda }}\cosh \left( \sqrt{{s}/{\lambda }\;}{{r}_{{\rm D}}} \right){{r}_{{\rm D}}}-\sinh \left( \sqrt{{s}/{\lambda }}{{r}_{{\rm D}}} \right)}{r_{{\rm D}}^{2}} \dfrac{\sigma \overline{{{\varphi }_{{\rm D}}}}}{\sinh \sqrt{{s}/{\lambda }} } $

(3)

式中：$\overline {{V_{\text{D}}}} $—拉氏空间下的无因次页岩气浓度；

${r_{\text{D}}}$—无因次径向距离；

$\overline {{\varphi _{\text{D}}}} $—拉氏空间下的无因次拟压力；

$s$—拉普拉斯变量，无因次。

将吸附气Langmuir解析模型代入式(3)，可组成非稳态页岩气基质模型。

1.3 天然裂缝渗流模型

根据前面物理模型的基本假设，将天然裂缝质量守恒方程、状态方程和运动方程结合，同时引入压力敏感系数，得到考虑了应力敏感的页岩气藏天然裂缝系统的渗流微分方程

$ \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial \varphi }{\partial r}+\alpha {{\left( \dfrac{\partial \varphi }{\partial r} \right)}^{2}}+\dfrac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{r}^{2}}} = \\ {\kern 40pt} \dfrac{{{\rm e}^{\alpha \left( {{\varphi }_{{\rm i}}}-\varphi \right)}}}{{{K}_{{\rm i}}}}\left( {{\mu }_{{\rm i}}}\phi {{C}_{{\rm g}}}_{{\rm i}}\dfrac{\partial \varphi }{\partial t}+2\dfrac{T{{p}_{{\rm sc}}}}{{{T}_{{\rm sc}}}}\dfrac{\partial V}{\partial t} \right) $

(4)

式中：

$r$—径向距离，m；

${\mu _{\text{i}}}$—原始状态下的气体黏度，Pa·s；

${C_{\text{g}}}_{\text{i}}$—原始状态下的气体压缩系数，Pa$^{{\rm -1}}$；

${\varphi _{\text{i}}}$—原始状态下的气体拟压力，Pa/s；

$\alpha $—与渗透率模量相关的参数，s/Pa；

$\gamma $—应力敏感系数，Pa$^{{\rm -1}}$；

$\phi$—孔隙度，$\%$；

$t$—时间，s。

利用拟压力的定义，得到拟压力形式的内边界条件

$ {{\rm e}^{-\alpha \left( {{\varphi }_{{\rm i}}}-\varphi \right)}}r{{\left. \dfrac{\partial \varphi }{\partial r} \right|}_{r\to 0}}=\dfrac{{{p}_{{\rm sc}}}\widehat{q}\left( t \right)T}{{\mathtt{π}} {{K}_{{\rm i}}}h{{T}_{{\rm sc}}}} $

(5)

式中：$\widehat{q}\left(t \right)$—地层中一点源定产量生产的流量，sm³/s。

1.4 水力裂缝的渗流模型

页岩气藏水力裂缝模型的建立需综合考虑裂缝的导流能力、裂缝的方位角、裂缝不等长、裂缝间相互干扰等因素，可以通过离散水力裂缝，采用叠加原理的方法得到压裂水平井的压力响应(图 1)。

图 1为压裂水平井水力裂缝离散示意图，$y$轴沿着水平井筒的方向，水平井压裂产生$M$条水力裂缝，假设每条水力裂缝都离散为2$N$个单元，第$i$条水力裂缝与$y$轴的夹角为${{\alpha }_{{ i}}}$，交点坐标为$\left(0, {{y}_{{ i}}} \right)$，水力裂缝之间的间距为$\Delta {{L}_{{ i}}}$($\Delta {{L}_{{ i}}}{\rm =}{{y}_{{ i}}}-{{y}_{{ i-1}}}$，其中$i= 1$，2，$\cdots$，$M$)，第$i$条水力裂缝的两翼缝长分别为${{x}_{{\rm fl}i}}$和${{x}_{{\rm fr}i}}$(下标$i$—第$i$条水力裂缝)。

依据拉普拉斯空间下双重介质页岩气藏下的统一点源解形式，可通过积分得到水力裂缝上任意微元(${{x}_{{\rm w}}}{，}{{y}_{{\rm w}}}$)对地层任意一点($x$，$y$)所产生的线源解

$ {{\overline{\xi }}_{{\rm D}}}={{\overline{\widehat{q}}}_{{\rm fD}}}\int_{l}{{{K}_{0}}\left[ \sqrt{f\left( s \right)}{{R}_{{\rm D}}}\left( {{x}_{{\rm D}}}, {{y}_{{\rm D}}}, {{x}_{{\rm wD}}}, {{y}_{{\rm wD}}} \right) \right]}{\rm d}l $

(6)

式中：${\bar \xi _{{\text{D}}}}$—拉氏空间下摄动变换后的无因次拟压力；

${\overline {\hat q} _{{\text{fD}}}}$—拉氏空间下的地层中一点源定产量生产的无因次流量；

${K_0}$—零阶第二类修正Bessel函数；

$f$—拟稳态和非稳态的耦合模型函数；

${R_{\text{D}}}$—某一裂缝微元中心到地层某一点的距离，无因次；

${x_{\text{D}}}$—地层中某一点的横坐标，无因次；

${y_{\text{D}}}$—地层中某一点的纵坐标，无因次；

${x_{{\text{wD}}}}$—某一裂缝微元中心的横坐标，无因次；

${y_{{\text{wD}}}}$—某一裂缝微元中心的纵坐标，无因次；

$l$—积分曲线。

通过叠加原理得到水力裂缝的渗流方程

$ {{p}_{{\rm f}m}}-{{p}_{{\rm w}}}=\dfrac{{{q}_{{\rm f}m}}\mu }{2{\mathtt{π}} {{K}_{{\rm F}}}{{w}_{{\rm F}}}}\ln \dfrac{\sqrt{{\left( {{x}_{{\rm fr}m}}+{{x}_{{\rm fl}m}} \right)h}/{{\mathtt{π}} }\;}}{{{r}_{{\rm w}}}} $

(7)

式中：${p_{{\text{f}}}}$—裂缝尖端压力，Pa；

${p_{\rm w}}$—水平井筒压力，Pa；

${q_{{\text{f}}}}$—裂缝产量，sm³/s；

$\mu$—黏度，Pa·s；

${K_{\text{F}}}$—水力裂缝渗透率，m$^{{\rm 2}}$；

${w_{\text{F}}}$—水力裂缝宽度，m；

${r_{\text{w}}}$—水平井筒半径，m；

${x_{{\text{fl}}}}$，${x_{{\text{fr}}}}$—裂缝两翼的长度，m；

下标$m$—第$m$条裂缝。

2 模型求解

为了能够得到双重介质页岩气藏的点源解，需要先将天然裂缝渗流模型与两种基质系统渗流模型进行耦合，得到页岩储层点源解。再把页岩储层的点源解引入水力裂缝的求解中得到线源解，从而叠加得到水力裂缝的渗流模型。

(1) 拟稳态、非稳态扩散基质模型与天然裂缝模型耦合及求解

运用Laplace变换得到Laplace空间下的耦合模型

$ \dfrac{1}{{{r}_{{\rm D}}}}\dfrac{{\rm d}{{\overline{\xi }}_{{\rm D}0}}}{{\rm d}{{r}_{{\rm D}}}}+\dfrac{{{{\rm d}}^{2}}{{\overline{\xi }}_{{\rm D}0}}}{{\rm d}r_{{\rm D}}^{2}}=f\left( s \right){{\overline{\xi }}_{{\rm D}0}} $

(8)

运用贝塞尔方程的求解方法，可得到点源解

$ \left \{ \begin{array}{l} {{\overline{\xi }}_{{\rm D}0}}=\overline{{{\widehat{q}}_{{\rm D}}}}{{K}_{0}}\left( \sqrt{f\left( s \right)}{{r}_{{\rm D}}} \right) \\ f\left( s \right) = \omega s + \left( {1 - \omega } \right)s\dfrac{{\sigma \lambda }}{{s + \lambda }} \end{array} \right. $

(9)

式中：${\bar \xi _{{\text{D0}}}}$—拉氏空间下摄动变换后的零阶无因次拟压力；

${\overline {\hat q} _{\text{D}}}$—拉氏空间下的无因次点源流量。

式(9)为拟稳态和非稳态的耦合模型，在拉普拉斯空间下的统一点源解形式。扩散窜流系数$\lambda $在拟稳态和非稳态定义不同。

(2) 页岩气储层渗流模型与水力裂缝模型耦合及求解

结合水平井筒出压力表达式和流量的约束条件式，耦合得到求取压力响应的线性方程组为

$ \begin{array}{*{10}{l}} \left[ \begin{matrix}{{F}_{1, 1}}+{{f}_{1}} & {{F}_{1, 2}} & \cdot \cdot \cdot & {{F}_{1, m}} & -1 \\{{F}_{2, 1}} &{{F}_{2, 2}}+{{f}_{2}} & \cdot \cdot \cdot & {{F}_{2, m}} & -1 \\ \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\{{F}_{{ m, 1}}} & {{F}_{{ m, 2}}} & \cdot \cdot \cdot & {{F}_{{ m, m}}}+{{f}_{m}} & -1 \\1 & 1 & \cdot \cdot \cdot & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}{{\overline{\widehat{q}}}_{{ f1D}}} \\{{\overline{\widehat{q}}}_{{ f2D}}} \\\cdot \cdot \cdot \\{{\overline{\widehat{q}}}_{{ fmD}}} \\{{\overline{\xi }}_{{ wD}}} \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\\cdot \cdot \cdot \\0 \\{1}/{s}\; \\\end{matrix} \right] \end{array} $

(10)

$ {F_{m, i}} = \sum\limits_{j = 1}^N {\dfrac{{{L_{{\rm{ref}}}}}}{{{x_{{\rm{fl}}m}} + {x_{{\rm{fr}}m}}}}\int_{{x_{{\rm{D}}i, j}}}^{{x_{{\rm{D}}i, j + 1}}} {{K_0}\left[ {\sqrt {f\left( s \right)} {R_{\rm{D}}}\left( {{x_{\rm{D}}}, {y_{\rm{D}}}, {x_{{\rm{wD}}i}}} \right)} \right]\sqrt {1 + {\rm{ctan}}^2 {{\alpha _i}} } {\rm{d}}{x_{{\rm{wD}}i}}} } $

(11)

$ {{R}_{{\rm D}}}=\sqrt{ {{\left( -{{x}_{{\rm flD}m}}\sin {{\alpha }_{{ m}}}-{{x}_{{\rm WD}i}} \right)}^{2}}+ {{\left( {{y}_{{\rm D}m}}+{{x}_{{\rm flD}m}}\cos {{\alpha }_{{ m}}}-{{y}_{{\rm Di}}}+{{x}_{{\rm WD}i}}{\rm ctan} {{\alpha }_{{ i}}} \right)}^{2}} \\ } $

(12)

$ {{f}_{{ m}}}=\dfrac{1}{{{C}_{{\rm FD}}}}\ln \dfrac{\sqrt{{\left( {{x}_{{\rm frD}m}}+{{x}_{{\rm flD}m}} \right)h}/{{\mathtt{π}} }\;}}{{{r}_{{\rm wD}}}} $

(13)

式中：${F}$—裂缝响应压力，Pa；

${L_{{\text{ref}}}}$—参考长度，m；

${C_{{\text{FD}}}}$—裂缝的井筒储集系数，无因次；

${x_{{\text{flD}}}}$—条裂缝的左翼裂缝无因次长度；

${x_{{\text{frD}}}}$—条裂缝的右翼裂缝无因次长度；

${x_{{\text{WD}}}}$—在某一裂缝微元上积分的积分变量，无因次。

利用Laplace变换和Stehfest数值反演方法，得到拉氏空间下定井底流压的无因次产量与%定产量下的无因次井底流压之间的关系为

$ {{\overline{q}}_{{\rm D}}}=\dfrac{1}{{{s}^{2}}{{\overline{\varphi }}_{{\rm wHD}}}} $

(14)

式中：${\overline q_{\text{D}}}$—拉氏空间的无因次产量，无因次；

${\overline \varphi _{{\text{wHD}}}}$—拉氏空间下的无因次井底拟压力，无因次。

计算拉氏空间的无因次产量${\overline q_{\text{D}}}$，然后进行数值反演得到实空间下的无因次产量${\overline q_{\text{D}}}$，根据${\overline q_{\text{D}}}$与${t_{\text{D}}}$之间的关系，可以绘制出压力及压力导数曲线和无因次产能特征曲线，进而分析产能的影响因素。

3 模型验证和应用 3.1 模型验证

在已建立的模型和求解基础上，通过编程模拟计算页岩气压裂水平井的产能，从而验证模型的有效性。

基本模拟参数如表 1所示，模型模拟所需要的无因次参数计算过程如下。

(1) 弹性储容比

$ \varLambda =\phi {{\mu }_{{\rm i}}}{{C}_{{\rm gi}}}+\dfrac{2{\mathtt{π}} {{K}_{{\rm i}}}h}{{{q}_{{\rm sc}}}}=1.05\times {{10}^{-13}} $

(15)

$ \omega =\dfrac{\phi {{\mu }_{{\rm i}}}{{C}_{{\rm gi}}}}{\varLambda }=0.772 $

(16)

式中：

$\varLambda$—油藏的弹性储集能力，无因次；

$\omega$—弹性储容比，无因次。

(2) 扩散窜流系数

$ \tau =\dfrac{{{R}^{2}}}{6D{{{\mathtt{π}} }^{2}}}{\rm =8}{\rm .443}\times {\rm 1}{{{\rm 0}}^{{\rm 3}}} $

(17)

$ \lambda =\dfrac{\varLambda L_{{\rm ref}}^{^{2}}}{{{K}_{{\rm i}}}\tau }{\rm =}0.0083 $

(18)

式中：

$D$—扩散系数，m$^2$/s；

$\tau$—形状因子，无因次。

实际页岩气藏的生产数据与模型模拟数据的对比结果如图 2所示。

由图 2可以看出，本文的模型与现场实际数据拟合结果较好，说明了本文建模理论及产能模型的合理性。

3.2 模型应用

以上述实际页岩气井为例，分析裂缝导流能力、裂缝非均匀缝长、裂缝间距对产量的影响。

(1) 裂缝导流能力的影响

图 3为不同裂缝导流能力下页岩气井日产量递减曲线。由图 3可见，裂缝导流能力主要影响气井生产的早期，生产后期影响很小，图中可明显看出当裂缝导流能力在15~18 D·cm时，页岩气井具有高的生产能力。

(2) 裂缝非均匀缝长的影响

裂缝总长度912 m保持不变，分为均匀缝长分布、外高内低分布和外低内高分布3种方式进行模拟计算，每种分布方式下裂缝条数均为6条，缝间距均100 m。

对于均匀分布的情况，裂缝半长均设置为76 m；对于外高内低的分布，6条裂缝半长分别为116，76，36，36，76和116 m；对于外低内高分布，6条裂缝半长分别为36，76，116，116，76和36 m。

采用以上数据，模拟计算得到页岩气井日产量递减曲线如图 4所示。

从图 4可以看出，在水力裂缝总长保持不变的情况下，不同的裂缝缝长分布方式会对页岩气井中后期生产产生影响，其中，对比日产量可得出：外高内低分布>均匀分布>外低内高分布。因此，该井在实际的压裂改造中，应适当增加两端裂缝的长度，形成外高内低的U型缝长分布，追求气井的最大产能。

(3) 裂缝间距优化

对于实例页岩气井，裂缝间距分别采用均匀分布、外疏内密分布及外密内疏3种分布方式，裂缝总长均为912 m，裂缝条数均为6条，裂缝半长为76 m。

对于均匀分布方式，设置缝间距均为100 m；对于外密内疏的情况，裂缝间距分别为80，120，200，120和80 m；对于外疏内密的情况，设置裂缝间距为190，80，60，80和190 m。

不同裂缝间距下页岩气井日产量递减曲线如图 5所示。

由图 5可见，裂缝间距的分布方式主要影响页岩气井生产的中后期，并且外密内疏分布方式下页岩气井后期产量高于其他两种裂缝间距分布方式。所以，采用等间距分布方式，可获得气井高产。

4 结论

(1) 基于双重介质渗流理论，综合考虑页岩气在储层中的吸附解吸、扩散运移及天然裂缝应力敏感效应，同时结合点源函数法得到储层模型并求解点源解；耦合页岩储层的点源解和水力裂缝模型，建立页岩气藏压裂水平井产能预测及研究模型，同时，结合实例验证了模型的准确性。

(2) 裂缝导流能力主要影响早期线性流持续时间的长短，裂缝导流能力越大，页岩气藏的早期产能越高。

(3) 裂缝间距主要影响中期拟径向流和中期线性流阶段，裂缝间距越大时，页岩气井中后期产能越高。

(4) 低孔、低渗、高温页岩气分段压裂水平井的最优的水力裂缝导流能为15~18 D·cm，缝长分布以外高内低的U型分布方式，水力裂缝间距呈等间距分布为宜。