引言

油水相对渗透率曲线是油藏开发中的重要参数，准确给定油水相对渗透率曲线，有助于对油田开发规律的正确认识。相对渗透率曲线可通过室内实验方法获得，但由于天然岩芯数量有限，实验获得的相对渗透率曲线难以反映整个油藏的实际情况^[1-2]。为此，有学者提出了基于油田生产数据来计算相对渗透率曲线的方法^[3-9]，但目前计算方法中的残余油饱和度端点值通常采用初始相渗实验得到的数值，未能考虑长期水驱引起的油藏残余油饱和度变化^[10-13]，同时目前方法主要通过多元回归拟合等数学方法，缺乏严谨理论推导，应用有一定的局限性。为此，本文基于新型的近似理论水驱曲线，推导了油相指数、水相指数、残余油饱和度下的水相相对渗透率等相对渗透率曲线关键参数的数学表征公式，同时结合残余油饱和度计算方法，构建了一种广泛适用的考虑储层参数时变效应的油水相对渗透率曲线动态计算方法。

1 理论推导 1.1 近似理论水驱曲线

近似理论水驱曲线是基于油水相对渗透率指数表达式直接推导得到的一种新型水驱曲线，通过引入两个可变参数$p$、$q$实现了含水率及含水上升率变化规律的全过程精细刻画，能够表征各种类型含水率与采出程度关系，同时还能对中低含水及特高含水阶段水驱规律进行准确表征^[14]，克服了甲型、乙型等传统水驱曲线在高含水期“上翘”的问题^{[15, 16, 17]}。其表达式为

$ {N_{\rm{p}}} = {N_{\rm{R}}} - a\dfrac{{N_{\rm{p}}^p}}{{W_{\rm{p}}^q}} $

(1)

近似理论水驱曲线4个特征参数$a$，$p$，$q$，${N_{\rm{R}}}$求取步骤如下：选取不同的$p$、$q$值通过构建${N_{\rm{p}}}^p/{W_{\rm{p}}}^q$与${N_{\rm{p}}}$的线性关系求解每组$p$、$q$组合对应的${N_{\rm{R}}}$、$a$等参数，得到不同$p$、$q$组合对应的近似理论水驱曲线，从而计算出累产水量、含水率，依据计算的含水率、累产水量与实际生产动态的吻合情况确定合理的$p$、$q$组合以及对应的${N_{\rm{R}}}$、$a$等参数。

1.2 油水相指数计算方法

基于近似理论水驱曲线表达式(式(1))，可得水油比具有如下关系

$ \dfrac{{{f_{\rm{w}}}}}{{1 - {f_{\rm{w}}}}} = \dfrac{{{Q_{\rm{w}}}}}{{{Q_{\rm{o}}}}} = \dfrac{{\partial {W_{\rm{p}}}}}{{\partial {N_{\rm{p}}}}} = \\\quad\quad\quad\quad \dfrac{p}{q}{a^{\frac{1}{q}}}N_{\rm{R}}^{\frac{p}{q} - \frac{1}{q} - 1} \times \dfrac{{\left( {1 + \dfrac{{1 - p}}{p}R} \right)}}{{{{(1 - R)}^{\frac{1}{q} + 1}}}} \times {R^{\frac{p}{q} - 1}} $

(2)

其中，$R = \dfrac{{{N_{\rm{P}}}}}{{{N_{\rm{R}}}}}$。

当含水率小于98%时，可忽略分子中的$\dfrac{{1 - p}}{p}R$项，则式(2)可简化为

$ \dfrac{{{f_{\rm{w}}}}}{{1 - {f_{\rm{w}}}}} = \left( {\dfrac{p}{q}{a^{\frac{1}{q}}}N_{\rm{R}}^{\frac{p}{q} - \frac{1}{q} - 1}} \right) \times \dfrac{{{R^{\frac{p}{q} - 1}}}}{{{{(1 - R)}^{\frac{1}{q} + 1}}}} $

(3)

油水两相相对渗透率曲线可采用指数形式表达^[1]

$ {K_{{\rm{rw}}}} = {K_{{\rm{rw}}}}({S_{{\rm{or}}}}){\left( {\dfrac{{{S_{\rm{w}}} - {S_{{\rm{wi}}}}}}{{1 - {S_{{\rm{wi}}}} - {S_{{\rm{or}}}}}}} \right)^{{n_{\rm{w}}}}} $

(4)

$ {K_{{\rm{ro}}}} = {K_{{\rm{ro}}}}({S_{{\rm{wi}}}}){\left( {\dfrac{{1 - {S_{\rm{w}}} - {S_{{\rm{or}}}}}}{{1 - {S_{{\rm{wi}}}} - {S_{{\rm{or}}}}}}} \right)^{{n_{\rm{o}}}}} $

(5)

忽略重力和毛管力作用的分流量方程可表示为

$ {f_{\rm{w}}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}\dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}\dfrac{{{B_{\rm{w}}}}}{{{B_{\rm{o}}}}}}} $

(6)

将式(4)、式(5)代入式(6)，并转化为可采储量采出程度表达式

$ \dfrac{{{f_{\rm{w}}}}}{{1 - {f_{\rm{w}}}}} = \dfrac{{{K_{{\rm{rw}}}}}}{{{K_{{\rm{ro}}}}}}\dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}{B_{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}{B_{\rm{w}}}}} = M\dfrac{{{R^{{n_{\rm{w}}}}}}}{{{{(1 - R)}^{{n_{\rm{o}}}}}}} $

(7)

式(7)中，$M$表示为

$ M = \dfrac{{{K_{{\rm{rw}}}}({S_{{\rm{or}}}}){\mu _{\rm{o}}}{B_{\rm{o}}}}}{{{K_{{\rm{ro}}}}({S_{{\rm{wi}}}}){\mu _{\rm{w}}}{B_{\rm{w}}}}} $

(8)

式(3)和式(7)联立，可得油水相指数与近似理论水驱曲线特征参数$p$，$q$，$a$，${N_{\rm{R}}}$具有如下关系

$ {n_{\rm{w}}} = \dfrac{p}{q} - 1 $

(9)

$ {n_{\rm{o}}} = \dfrac{1}{q} + 1 $

(10)

$ M = \dfrac{p}{q}{a^{\frac{1}{q}}}N_{\rm{R}}^{\frac{p}{q} - \frac{1}{q} - 1} $

(11)

1.3 残余油饱和度计算

由文献[18]可知，极限驱油效率为可动油储量与动用地质储量比值，即

$ {E_{\rm{D}}} = \dfrac{{{N_{\rm{R}}}}}{N} $

(12)

根据极限驱油效率定义公式^[19]

$ {E_{\rm{D}}} = \dfrac{{1 - {S_{{\rm{wi}}}} - {S_{{\rm{or}}}}}}{{1 - {S_{{\rm{wi}}}}}} $

(13)

由式(12)、式(13)可得，残余油饱和度为

$ {S_{{\rm{or}}}} = \left( {1 - \dfrac{{{N_{\rm{R}}}}}{N}} \right)(1 - {S_{{\rm{wi}}}}) $

(14)

1.4 相对渗透率曲线计算

综上，相对渗透率曲线动态计算方法包括如下步骤：(1)根据生产数据，计算近似理论水驱曲线四个特征参数$a$，$p$，$q$，${N_{\rm{R}}}$；(2)由式(14)计算油藏残余油饱和度；(3)根据式(9)、式(10)和式(11)计算$n_{\rm{o}}$、$n_{\rm{w}}$、$M$；(4)根据式(8)计算${K_{{\rm{rw}}}}({S_{{\rm{or}}}})$。最后，将相关数据代入式(4)、式(5)从而得到油水相对渗透率的指数形式表达式。

2 实例计算

西江油田为边底水能量充足的海相砂岩油田，储层孔隙连通性好，孔隙度20.1%$\sim$30.5%，渗透率432$\sim$2 857 mD。原油物性较好，地层原油黏度2.7 mPa$\cdot$s，原油体积系数1.05，地层水黏度0.36 mPa$\cdot$s，地层水体积系数1.028。束缚水饱和度0.253，油藏动用地质储量4 130$\times$10$^4$ m$^3$。该油田已稳定开发23 a，采用高速开发策略，平均单井日产液量高达1 520 m$^3$，目前含水率已达97%，处于特高含水期^[20-21]。

2.1 水驱曲线拟合

根据油田累产油、累产水等历史生产数据，调节$p$，$q$值构建${N_{\rm{p}}}^p/{W_{\rm{p}}}^q$与$N_{\rm{p}}$的线性关系曲线(图 1)，求取近似理论水驱曲线特征参数。由图 1可知，$p$为2.0、$q$为0.9时，${N_{\rm{p}}}^p/{W_{\rm{p}}}^q$与$N_{\rm{p}}$在油田水驱稳定阶段呈现出良好的线性关系，求得$a$为0.581，$N_{\rm{R}}$为3 361.4$\times$10$^4$ m$^3$。

2.2 残余油饱和度端点值变化

对西江油田评价井15块岩芯做驱替实验，得到初始状态下的残余油饱和度(图 2)。由图 2可知，地质特征参数与残余油饱和度呈现出较好的对数关系，初始状态下油藏的残余油饱和度主要分布在0.25$\sim$0.40。将$N_{\rm{R}}$值代入式(14)得到长期水驱后的油藏残余油饱和度为0.14，比初始状态实验值减小了0.11$\sim$0.26，表明长期水驱使得储层微观结构发生改变^[22-25]，油藏残余油饱和度降低。

2.3 油水相对渗透率曲线

根据近似理论水驱曲线四个特征参数，由式(9)、式(10)和式(11)计算可得$n_{\rm{w}}$为1.22，$n_{\rm{o}}$为2.11，$M$为2.996，并由式8得到${K_{{\rm{rw}}}}\left( {{S_{{\rm{or}}}}} \right)$为0.39，将相关数据代入式(4)、式(5)，得到油水相相对渗透率表达式，作出相对渗透率曲线(图 3)，同时可得油田含水率与采出程度的关系曲线(图 4)。

从图 4可以看出，根据理论相对渗透率曲线所得到的含水率随采出程度的变化关系与实际生产数据吻合，预测油田含水率达到98%时，采出程度可达到66%，西江油田仍有107$\times$10$^4$ m$^3$的可采储量。

3 结论

(1) 建立了残余油饱和度动态计算方法，可根据生产动态数据计算油藏长期水驱后的残余油饱和度，克服了现有相对渗透率曲线计算方法只能依赖实验测量残余油饱和度端点值的局限性，实现了油藏残余油饱和度的时变表征。

(2) 基于新型的理论水驱曲线建立了油相指数、水相指数、残余油饱和度下的水相相对渗透率等相对渗透率曲线关键参数的数学表征公式，并结合残余油饱和度计算方法提出了一种考虑储层参数时变的水驱油藏相对渗透率曲线计算新方法。

(3) 典型油田应用实例表明，该方法有助于解决长期水驱后油藏相对渗透率曲线有效表征的问题，也可广泛应用于疏松砂岩等取芯困难油田基础参数的获取，从而为油田可采储量标定、剩余油分布规律研究、特高含水期油藏数值模拟历史拟合等提供参考。

符号说明

$N_{\rm{p}}$—累积产油量，$\times$10$^4$ m$^3$；

$W_{\rm{p}}$—累积产水量，$\times$10$^4$ m$^3$；

$a$，$p$，$q$—近似理论水驱曲线特征参数；

$N_{\rm{R}}$—可动油储量，$\times$10$^4$ m$^3$；

$f_{\rm{w}}$—含水率，无因次；

$Q_{\rm{w}}$—日产水量，m$^3$；

$Q_{\rm{o}}$—日产油量，m$^3$；

$R$—可动油储量采出程度，无因次；

$K_{\rm{rw}}$—水相相对渗透率，无因次；

$K_{\rm{ro}}$—油相相对渗透率，无因次；

${K_{{\rm{rw}}}}({S_{{\rm{or}}}})$—残余油饱和度下的水相相对渗透率，无因次；

${K_{{\rm{ro}}}}({S_{{\rm{wi}}}})$—束缚水饱和度下的油相相对渗透率，无因次；

$S_{\rm{w}}$—含水饱和度，无因次；

$n_{\rm{w}}$—水相指数，无因次；

$n_{\rm{o}}$—油相指数，无因次；

${S_{{\rm{wi}}}}$—初始含水饱和度，无因次；

${S_{{\rm{or}}}}$—残余油饱和度，无因次；

$\mu_{\rm{o}}$—地层原油黏度，mPa$\cdot$s；

$\mu_{\rm{w}}$—地层水黏度，mPa$\cdot$s；

$B_{\rm{o}}$—地层原油体积系数，无因次；

$B_{\rm{w}}$—地层水体积系数，无因次；

$M$—水油流度比，无因次；

$N$—动用地质储量，$\times$10$^4$ m$^3$；

$E_{\rm{D}}$—极限驱油效率，无因次；

$K$—岩芯气测渗透率，mD；

$\phi$—岩芯孔隙度，无因次。