特高含水期相渗关系表征新理论与实践

引用本文

刘浩瀚, 颜永勤. 特高含水期相渗关系表征新理论与实践[J]. 西南石油大学学报(自然科学版), 2019, 41(2): 127-136.

LIU Haohan, YAN Yongqin. New Theory and Practice of Characterizing Phase Infiltration Relationships in Ultra-high Water-cut Period[J]. Journal of Southwest Petroleum University (Science & Technology Edition), 2019, 41(2): 127-136.

特高含水期相渗关系表征新理论与实践

[PDF全文]

刘浩瀚^1,2, 颜永勤³

1. 四川建筑职业技术学院基础教学部, 四川德阳 618000;
2. 西南石油大学理学院, 四川成都 610500;
3. 四川建筑职业技术学院经济管理系, 四川德阳 618000

收稿日期: 2018-08-04; 网络出版时间: 2019-03-19

基金项目: 教育部职业院校教育类专业教学指导委员会项目(2018GGJCKT200);四川省科技厅项目(2018CC0109)。

作者简介: 刘浩瀚, 1985年生, 男, 汉族, 湖南常德人, 副教授, 博士(后), 主要从事应用数学及油气田开发方面的研究。E-mail:tsinghua616@163.com;
颜永勤, 1989年生, 女, 汉族, 四川资阳人, 助教, 硕士, 主要从事物流评价、项目管理、石油工程管理相关研究。E-mail:925403437@qq.com。

通信作者: 刘浩瀚, E-mail:tsinghua616@163.com

摘要: 特高含水阶段油水相对渗透率比与含水饱和度半对数关系曲线发生转折，针对传统相渗线性理论难以适用于特高含水期水驱油田开发问题，开展了特高含水期相渗非线性理论研究。采用数学建模方法建立了相渗有理函数，基于局部加权回归理论对参数进行识别，通过构建F-统计量开展拟合优度检验，率先将有理拟合理论应用到特高含水期相渗关系表征。利用贝尔油田、榆树林油田、西峰油田及羊二庄油田实际数据，对比分析传统线性拟合方法、二次多项式拟合方法、指数拟合方法、基于数据变形的线性拟合法，新方法预测精度更高、相关性更强，且能准确反映特高含水期相渗曲线半对数坐标轴弯曲特性；基于新方法的水驱特征曲线预测精度更高、相关性更强。新方法对于改进特高含水期水驱评价方法及开发指标预测具有极强的实用性。

关键词: 高含水期有理函数相对渗透率含水饱和度油藏工程方法

New Theory and Practice of Characterizing Phase Infiltration Relationships in Ultra-high Water-cut Period

LIU Haohan^1,2, YAN Yongqin³

1. Basic Teaching Department of Sichuan College of Architectural Technology, Deyang, Sichuan 618000, China;
2. School of Science, Southwest Petroleum University, Chengdu, Sichuan 610500, China;
3. Economic Management Department of Sichuan College of Architectural Technology, Deyang, Sichuan 618000, China

Abstract: In the (extra) high water-cut stage, the semi-logarithmic curve showing the relationship between the oil/water relative permeability ratio and water saturation tends to reach a turning point. Thus, applying the traditional linear theory of the relative permeability curve to the development of oil/water displacement in the (extra) high water-cut stage is difficult. In this study, nonlinear theoretical study of relative permeability in the high water-cut stage was conducted using a rational function for relative permeability established through a mathematical modeling method. Its parameters were identified based on the local weighted regression theory, and the appropriateness of the fitting was tested by constructing F-statistics. This is the first study in which the rational fitting theory has been applied to the characterization of relative permeability relationships in the (extra) high watercut stage. Through the use of actual data from the Beier, Yushulin, Xifeng, and Yangerzhuang oilfields, the traditional linear fitting, quadratic polynomial fitting, exponential fitting, and linear fitting methods based on data deformation were compared and analyzed. The new method and the oil/water displacement characteristic curve on which the new method is based showed higher prediction precision and stronger correlation. The new method can be used to reflect accurately the semi-logarithmic axis bending characteristics of the relative permeability curve of the (extra) high water-cut stage.

Keywords: high water-cut stage rational function relative permeability water saturation reservoir engineering method

引言

油田开发面临许多问题，进入高含水甚至特高含水开发阶段，油、水相对渗透率比与含水饱和度关系曲线在半对数坐标轴上不再呈线性特征^[1-2]，基于线性规律得出的油藏工程方法无法准确描述高含水或特高含水渗流特征^[3-10]，如基于线性相渗表征的水驱特征曲线方程^[11-16]。以往关于相渗曲线的研究与应用大多停留在线性表征^[17-21]、修正指数表征^[22]、多项式表征^[8]等方面。虽然修正的指数标准能大致反映特高含水期半对数非线性特征，但预测精度不高；多项式表征相对于传统的线性表征方法极大提高了预测精度，但难以反映相渗半对数非线性特征。因而需要建立拟合精度高又能反映半对数数轴上相渗曲线末端弯曲特性的表征方法，指导特高含水期油藏开发实践。

通过对比前人研究成果，分析特高含水开发阶段相渗特征，本文重点研究了油水相对渗透率比与含水饱和度在半对数坐标的直线偏移特征，率先引入有理函数拟合方法到相渗表征中，采用局部加权线性平滑回归分析及概率$F$分布理论，推导出新型的相渗表征关系式并对结果进行优度分析。实例应用对比表明：新表达式拟合误差更小、相关性更强、参数置信区间长度更大，还能有效反映特高含水期油、水相渗曲线弯曲特性，对特高含水期水驱评价工程方法发展和完善具有重要的指导意义。

1 特高含水期油水两相渗流特征

(1) 随含水饱和度的增加，油相相对渗透率下降趋缓，水相相对渗透率大幅增加，并且水相增加的倍数远大于油相降低的幅度。胜利油田ST2-0斜检313井257号岩样的油水相对渗透率分析表明，含水率98%时油相相对渗透率值是含水率90%时油相相对渗透率值的1/3，含水率98%时水相相对渗透率值是含水率90%时油相相对渗透率值的12倍。

(2) 油水两相相对渗透率比值$ {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} $随含水饱和度增加而下降，在半对数坐标系下，比值曲线$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} -{S_{\rm{w}}}$向下弯曲，由线性段过渡为非线性段。

(3) 普遍认为，当油田含水率超过50%之后，不同的方法应用到相渗半对数曲线中都能出现直线段^[17]。进入特高含水期以后，油水相对渗透率比$\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}$与含水饱和度${S_{\rm{w}}}$半对数关系曲线发生转折，出现新的直线段。因此，以往的相渗关系公式不能再应用，需要研究新的相渗关系表达式，以适应特高含水油田相渗特征。

2 高次有理拟合相渗表征新方法 2.1 构造半对数有理函数

结合有理多项式函数区间内连续可导及末端弯曲特性，构造有理多项式函数

$ y = \dfrac{{{p_{\rm{1}}}{x^n}{\rm{ + }}{p_{\rm{2}}}{x^{n - 1}}{\rm{ + }} \cdots {p_n}x{\rm{ + }}{p_{n + 1}}}}{{{x^m}{\rm{ + }}{q_{\rm{1}}}{x^{m - 1}}{\rm{ + }} \cdots {\rm{ + }}{q_{m - 1}}x{\rm{ + }}{q_m}}} $

(1)

结合特高含水期相渗特征，构造适合于特高含水期相渗特征的有理多项式函数

$ y{\rm{ = ln}}\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{p_1}S_{\rm{w}}^n + {p_2}S_{\rm{w}}^{n - 1} + \cdots + {p_n}{S_{\rm{w}}} + {p_{n + 1}}}}{{S_{\rm{w}}^m + {q_1}S_{\rm{w}}^{m - 1} + \cdots + {q_{m - 1}}{S_{\rm{w}}} + {q_m}}} $

(2)

半对数坐标轴曲线特征分析：当$S_{\rm{w}}^m + $ ${q_1}S_{\rm{w}}^{m - 1} + \cdots + {q_{m - 2}}S_{\rm{w}}^2 + {q_{m - 1}}{S_{\rm{w}}} + {q_m}\to {{\rm{0}}^{\rm{ + }}}$，${{p_1}S_{\rm{w}}^n + {p_2}S_{\rm{w}}^{n - 1} + \cdots + {p_{n - 1}}S_{\rm{w}}^2 + {p_n}{S_{\rm{w}}} + {p_{n + 1}}} > 0$(不趋近于0)时，等式右侧比值$ \to + \infty $，反映左侧${K_{{\rm{ro}}}} \to {1^ - }, {K_{{\rm{rw}}}} \to {0^ + }$时的特征(同理可以反映${K_{{\rm{ro}}}} \to {0^ + }, {K_{{\rm{rw}}}} \to {1^ - }$时特征)。特殊情况：当$n = m = 1$时，$y = \ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = \dfrac{{{p_1}{S_{\rm{w}}} + {p_2}}}{{{S_{\rm{w}}} + {q_1}}}$。此时${S_{\rm{w}}} = - {q_1}$且${S_{\rm{w}}} \ne \dfrac{{{p_2}}}{{{p_1}}}$，右侧趋近于无穷，可以反映左侧半对数端点处特征。

该表达式能实现高相关性，高精度拟合。当$n = 5, m = 5$时相关性强，预测精度更高，当$n = 5, m = 0$时，相关性强，预测精度较高，更容易积分，因而对于改进油藏工程方法具有很强的指导意义。

2.2 有理函数参数局部加权回归识别

构造局部加权误差模型^[23]

$ \min E({p_1}, {p_2}, \cdots , {p_{n + 1}}, {q_1}, {q_2}, \cdots , {q_m}) = \\\quad\quad\quad\quad \sum\limits_{i = 1}^n {\left\{ {{{\left\{ {{y_i} - {{\left[ {y\left( {{S_{\rm{w}}}} \right)} \right]}_i}} \right\}}^2}{K_{\rm{h}}}\left[ {{{\left( {{S_{\rm{w}}}} \right)}_i} - {S_{\rm{0}}}} \right]} \right\}} $

(3)

其中：$h, h \in [0, 1]$为平滑参数。

$ {K_{\rm{h}}}\left[ {{{\left( {{S_{\rm{w}}}} \right)}_i} - {S_0}} \right] = \dfrac{1}{{h\sqrt {2\mathsf{π} } }}{{\rm{e}}^{ - {{\left[ {\dfrac{{{{\left( {{S_{\rm{w}}}} \right)}_i} - {S_0}}}{h}} \right]}^2}}} $

(4)

利用数理统计中局部加权平滑估计，开展参数识别^[24]确定

$ \mathop {\mathit{\boldsymbol{\beta}}} \limits^ \wedge = {\left[ {{{\left( {\mathop {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}_{\rm{w}}}}\limits^ \wedge } \right)}^{\rm T}}W\mathop {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}_{\rm{w}}}}\limits^ \wedge } \right]^{ - 1}}{\left( {\mathop {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}_{\rm{w}}}}\limits^ \wedge } \right)^{\rm T}}Wy $

(5)

2.3 参数拟合优度检验

构造统计量

$ F = \dfrac{{S_{\rm{SE}}/k}}{{R_{\rm{SS}}/(n_0 - k - 1)}} $

(6)

$F$服从自由度$(k, n_0 - k - 1)$的$F$分布。

给定显著水平$\alpha$，假设：${H_0}:{\mathit{\boldsymbol{\beta}}} = 0, {H_1}:{\mathit{\boldsymbol{\beta}}} $不全为0，比较${F_\alpha }$与$F$的大小：$F > {F_\alpha }(k, n_0 - k - 1)$则拒绝原假设${H_0}$；$F \leqslant {F_\alpha }(k, n_0 - k - 1)$则接受原假设${H_0}$。

从而确定参数${\beta _l}, l = 1, 2, \cdots , n_0 + m_0 + 1$的置信区间

$ F_1=\left[ { - {F_\alpha }(k, n_0 - k - 1), {F_{\rm{ \mathsf{ α} }}}(k, n_0 - k - 1)} \right] $

(7)

式中：$F_1$—不同置信度下的置信区间函数。

当$m=0$，$n=1$时，式(2)变成传统的线性拟合函数

$ \ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = \dfrac{{{p_1}{S_{\rm{w}}} + {p_2}}}{{{q_0}}} $

(8)

当$m=0$，$n=2$时，式(2)变成二次线性拟合函数

$ y{\rm{ = ln}}\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{p_1}S_{\rm{w}}^2 + {p_2}{S_{\rm{w}}} + {p_3}}}{{{q_0}}} $

(9)

不同的行业应用背景，所需的有理拟合函数$m, n$选取不同，通过多次数学分析比对计算，对于特高含水期相渗关系表征满足条件

$ m = n = 5, h = 0.25\sim0.35 $

(10)

能实现99.9%以上相关，且拟合数据与真实数据标准误差低于1%，显著水平为100%的置信区间长度更大。对于涉及积分变化的油藏工程方法改进时，令$m \geqslant 2, n = 0$即可实现高精度、高相关性拟合。

3 方法对比分析及实践应用

选取大庆贝尔油田某区块8块岩芯、榆树林油田东14区块5块岩芯，应用平均相对渗透率方法归一化处理数据、长庆西峰油田庄19井区岩芯数据及羊二庄油田某区块数据^{[8, 25-26]}，基础数据见表 1。

表1 不同油田区块岩芯油、水相渗数据 Tab. 1 Oil and water permeability data of different oilfield blocks

贝尔油田某区块			榆树林油田东14区块			西峰油田庄19井区			羊二庄油田某区块
$S_{\rm{w}}$	相对渗透率		$S_{\rm{w}}$	相对渗透率		$S_{\rm{w}}$	相对渗透率		$S_{\rm{w}}$	相对渗透率
$S_{\rm{w}}$	$K_{\rm{ro}}$	$K_{\rm{rw}}$	$S_{\rm{w}}$	$K_{\rm{ro}}$	$K_{\rm{rw}}$	$S_{\rm{w}}$	$K_{\rm{ro}}$	$K_{\rm{rw}}$	$S_{\rm{w}}$	$K_{\rm{ro}}$	$K_{\rm{rw}}$
0.622 0	1.000 0	0	0.477 9	1.000 0	0	0.367 0	1.000 0	0	0.292 0	1.000 0	0
0.632 8	0.871 7	0.019 2	0.488 6	0.862 4	0.005 9	0.383 1	0.883 2	0.053 7	0.295 0	0.986 8	0.000 4
0.643 6	0.754 2	0.027 5	0.499 4	0.737 8	0.010 9	0.399 1	0.774 8	0.072 4	0.320 0	0.880 0	0.005 9
0.654 3	0.647 2	0.034 0	0.510 1	0.625 6	0.015 8	0.415 2	0.674 6	0.086 3	0.345 0	0.778 9	0.011 1
0.665 1	0.550 2	0.039 4	0.520 8	0.525 2	0.020 5	0.431 2	0.582 5	0.097 7	0.370 0	0.683 8	0.017 2
0.675 9	0.462 9	0.044 3	0.531 6	0.435 9	0.025 0	0.447 3	0.498 2	0.107 6	0.395 0	0.594 5	0.024 6
0.686 7	0.384 8	0.048 7	0.542 3	0.357 2	0.029 5	0.463 3	0.421 6	0.116 5	0.420 0	0.511 1	0.032 2
0.697 4	0.315 5	0.052 8	0.553 0	0.288 4	0.033 9	0.479 4	0.352 3	0.124 5	0.445 0	0.433 8	0.039 5
0.708 2	0.254 7	0.056 6	0.563 7	0.228 9	0.038 3	0.495 4	0.290 2	0.131 9	0.470 0	0.362 5	0.047 8
0.719 0	0.201 7	0.060 2	0.574 5	0.178 1	0.042 6	0.511 5	0.235 1	0.138 8	0.495 0	0.297 3	0.057 7
0.729 8	0.156 3	0.063 6	0.585 2	0.135 3	0.046 8	0.527 5	0.186 6	0.145 2	0.520 0	0.238 2	0.069 1
0.740 5	0.117 9	0.066 8	0.595 9	0.099 8	0.051 0	0.543 6	0.144 6	0.151 4	0.545 0	0.185 4	0.082 8
0.751 3	0.086 0	0.069 9	0.606 7	0.071 0	0.055 2	0.559 6	0.108 7	0.157 2	0.570 0	0.138 8	0.102 1
0.762 1	0.060 1	0.072 9	0.617 4	0.048 3	0.059 3	0.575 7	0.078 7	0.162 7	0.595 0	0.098 7	0.126 3
0.772 9	0.039 8	0.075 8	0.628 1	0.031 0	0.063 4	0.591 7	0.054 2	0.168 0	0.620 0	0.065 1	0.154 1
0.783 6	0.024 4	0.078 5	0.638 9	0.018 3	0.067 5	0.607 8	0.034 8	0.173 1	0.645 0	0.038 2	0.192 0
0.794 4	0.134 0	0.081 2	0.649 6	0.009 6	0.071 5	0.623 8	0.020 3	0.178 0	0.670 0	0.018 2	0.230 4
0.805 2	0.006 2	0.083 8	0.660 3	0.004 2	0.075 6	0.639 9	0.010 1	0.182 7	0.695 0	0.006 3	0.284 7
0.816 0	0.002 1	0.086 4	0.671 0	0.001 3	0.079 6	0.655 9	0.003 8	0.187 3	0.720 0	0.000 9	0.369 4
0.826 7	0.000 3	0.088 8	0.681 8	0.000 2	0.083 5	0.672 0	0.000 7	0.191 7	0.726 0	0	0.408 9
0.837 5	0	0.091 3	0.692 5	0	0.087 5	0.688 0	0	0.196 0	0.292 0	1.000 0	0

图 1表明：贝尔油田某区块、榆树林油田东14区块、西峰油田庄19井区及羊二庄油田某区块进入高含水期后，半对数相渗比与饱和度曲线出现明显的下弯段。

图1 不同油田区块高含水期相渗数据图 Fig. 1 Relative permeability data figure of different oil field blocks in high water cut stage

传统的相渗表征方法

$ \ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = a - b{S_{\rm{w}}} $

(11)

基于数据变形处理的线性表征方法^[8]

$ \lg {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} {\rm{ = }}\lg m{\rm{ - }}n{\rm{lg(}}1 - {S_{\rm{w}}}{\rm{)}} $

(12)

基于多项式拟合的相渗表征方法^[9]

$ {\rm{ln}}\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}} = aS_{\rm{w}}^2 + b{S_{\rm{w}}} + c $

(13)

基于指数模拟的相渗表征方法^[21]

$ {\rm{ln}}\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}{\rm{ = }}a + bS_{\rm{w}}^2 + c\ln (1 - {S_{\rm{w}}}) $

(14)

新方法

$ {\rm{ln}}\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}} = \dfrac{{{p_1}S_{\rm{w}}^5 + {p_2}S_{\rm{w}}^4 + {p_3}S_{\rm{w}}^3 + {p_4}S_{\rm{w}}^2 + {p_5}{S_{\rm{w}}} + {p_6}}}{{S_{\rm{w}}^5 + {q_1}S_{\rm{w}}^4 + {q_2}S_{\rm{w}}^3 + {q_3}S_{\rm{w}}^2 + {q_4}{S_{\rm{w}}} + {q_5}}} $

(15)

选取传统的线性拟合方法、多项式拟合方法与有理拟合新方法进行比较，应用表 1数据开展数值拟合，结果见表 2，图 2，图 3，图 4。

表2 传统线性拟合、二项式拟合及有理拟合结果对比分析 Tab. 2 Results comparative analysis of traditional linear fitting, binomial fitting and rational fitting method

油田	传统的相渗表征方法			多项式拟合方法			有理拟合新方法
油田	拟合表达式	拟合标准差	相关系数	拟合表达式	拟合标准差	相关系数	拟合表达式	拟合标准差	相关系数
贝尔油田某区块	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = \begin{array}{*{20}{l}} { - 17.31{S_{\rm{w}}} + 12.81} \end{array}$	0.315 0	0.921 6	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = - 77.26S_{\rm{w}}^2 + 95.45{\rm{ }}{S_{\rm{w}}} - 28.07$	0.999 7	$4.375 \times {10^{ - 5}}$	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} =\dfrac{{1.527S_{\rm{w}}^5 + 0.5441S_{\rm{w}}^4 + 0.5051S_{\rm{w}}^3 + 0.7898S_{\rm{w}}^2 + 1.046{S_{\rm{w}}} - 0.2359}}{{S_{\rm{w}}^5 - 0.1531S_{\rm{w}}^4 + 0.89S_{\rm{w}}^3 + 1.466S_{\rm{w}}^2 + 0.8448{S_{\rm{w}}} + 0.8522}}$	$5.938 \times {10^{ - 5}}$	1.000 0
榆树林油田东14区块	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = \begin{array}{*{20}{l}} { - {\rm{47}}{\rm{.06}}{S_{\rm{w}}} + 28.15} \end{array}$	0.300 8	0.946 9	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = - {\rm{158}}{\rm{.1}}S_{\rm{w}}^2 + 137.9{S_{\rm{w}}} - 25.44$	0.207 8	0.976 1	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} =\dfrac{{17.02S_{\rm{w}}^5 + 10.13S_{\rm{w}}^4 - 22.62S_{\rm{w}}^3 - 0.977S_{\rm{w}}^2 + 4.776{S_{\rm{w}}} - 0.3718}}{{S_{\rm{w}}^5 + 11.13S_{\rm{w}}^4 - 16.35S_{\rm{w}}^3 + 2.611S_{\rm{w}}^2 + 3.309{S_{\rm{w}}} - 0.8349}}$	0.017 26	0.999 9
西峰油田庄19井区	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = \begin{array}{*{20}{l}} { - {\rm{23}}{\rm{.81}}{S_{\rm{w}}} + 12.35} \end{array}$	0.281 8	0.920 8	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = - {\rm{72}}{\rm{.8}}{S_{\rm{w}}}^2 + 53{S_{\rm{w}}} - 7.349{\rm{ }}$	0.167 7	0.973 6	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} =\dfrac{{140.3S_{\rm{w}}^5 + 91.05S_{\rm{w}}^4 + 275.7S_{\rm{w}}^3 - 232.7S_{\rm{w}}^2 - 30.14{S_{\rm{w}}} + 21.48}}{{S_{\rm{w}}^5 - 7.905S_{\rm{w}}^4 - 222S_{\rm{w}}^3 + 302.7S_{\rm{w}}^2 - 107.9{S_{\rm{w}}} + 11.18}}$	0.084 00	0.999 4

图2 3种同类方法拟合分析图(贝尔油田) Fig. 2 Fitting analysis with three similar methods of Beier Oilfield

图3 3种同类方法拟合分析图(榆树林油田) Fig. 3 Fitting analysis with three similar methods of Yushulin Oilfield

图4 3种同类方法拟合分析图(西峰油田) Fig. 4 Fitting analysis with three similar methods of Xifeng Oilfield

由表 2知：新方法较传统方法及多项式拟合法，在参数显著水平99.9%的置信区间长度更大，相关系数全部趋近于1，且残差平方和$S_{\rm SE}$远小于其他方法值，新方法$S_{\rm SE}$趋近于0，说明新方法在预测油水相渗特征更佳。

由图 2，图 3，图 4知：新方法具有更好的稳定性和高拟合特性，且更好地反映了特高含水期相渗上下端弯曲特性。

选取基于数据变形处理的线性拟合方法、指数拟合方法与有理拟合新方法比较，应用表 1数据开展数值拟合，结果见表 3。

表3 指数拟合、基于数据变形处理的线性拟合与有理拟合对比分析 Tab. 3 Results comparative analysis of exponential fitting, Linear fitting based on data deformation and rational fitting method

油田	指数拟合方法			基于数据变形处理的线性拟合方法			有理拟合新方法
油田	拟合表达式	拟合标准差	相关系数	拟合表达式	拟合标准差	相关系数	拟合表达式	拟合标准差	相关系数
榆树林油田东14区块	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = 41.7721 + 296.5893S_{\rm{w}}^2 + 161.4932\ln \left( {1 - {S_{\rm{w}}}} \right)$	0.969 8	0.910 2	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}}= 17.91 + 19.44\ln (1 - {S_{\rm{w}}})$	0.555 0	0.963 9	${\rm{ln}}\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}} = \dfrac{{12.82S_{\rm{w}}^5 - 7.965S_{\rm{w}}^4 - 6.503S_{\rm{w}}^3 - 13.41S_{\rm{w}}^2 + 19.45{S_{\rm{w}}} - 5.371}}{{S_{\rm{w}}^5 - 7.373S_{\rm{w}}^4 + 4.167S_{\rm{w}}^3 + 2.527S_{\rm{w}}^2 - 1.7{S_{\rm{w}}} + 0.149}}$	0.028 94	0.999 9
西峰油田庄19井区	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = 38.4774 + 341.5829S_{\rm{w}}^2 + 177.6668\ln \left( {1 - {S_{\rm{w}}}} \right)\begin{array}{*{20}{l}}\end{array}$	0.340 8	0.986 4	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = 8.362 + 11.17\ln (1 - {S_{\rm{w}}})$	0.491 8	0.951 8	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = \dfrac{{17.02S_{\rm{w}}^5 + 10.13S_{\rm{w}}^4 - 22.62S_{\rm{w}}^3 - 0.977S_{\rm{w}}^2 + 4.776{S_{\rm{w}}} - 0.3718}}{{S_{\rm{w}}^5 + 11.13S_{\rm{w}}^4 - 16.35S_{\rm{w}}^3 + 2.611S_{\rm{w}}^2 + 3.309{S_{\rm{w}}} - 0.8349}}$	0.017 26	0.999 9
羊二庄油田某区块	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = - 23.4857 - 170.7117S_{\rm{w}}^2 - 92.8616\ln ( {1 - {S_{\rm{w}}}} $)	0.117 6	0.997 2	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = - 9.589 - 11.37\ln (1 - {S_{\rm{w}}})$	0.763 0	0.950 6	$\ln {\dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}} = \dfrac{{140.3S_{\rm{w}}^5 + 91.05S_{\rm{w}}^4 + 275.7S_{\rm{w}}^3 - 232.7S_{\rm{w}}^2 - 30.14{S_{\rm{w}}} + 21.48}}{{S_{\rm{w}}^5 - 7.905S_{\rm{w}}^4 - 222S_{\rm{w}}^3 + 302.7S_{\rm{w}}^2 - 107.9{S_{\rm{w}}} + 11.18}}$	0.084 00	0.999 4

由表 3知：新方法较指数拟合方法及基于数据变形处理的线性拟合方法，相关性更强，拟合标准差远小于其他方法，说明新方法在预测油水相渗特征更佳。

由表 3及图 5、图 6、图 7知：虽然指数预测方法能一定程度反映特高含水期相渗弯曲特征，且带修正线性拟合方法预测精度较传统方法高，但新方法比指数预测、带修正的(基于数据变形处理的)线性拟合方法更稳定，预测精度更高，且更能反映特高含水期油水相渗曲线半对数坐标下曲线下翘特性。

图5 3种不同方法拟合分析图(榆树林油田东14区块) Fig. 5 Fitting analysis with three different methods of 14 block of Yushulin Oilfield

图6 3种不同方法拟合分析图 Fig. 6 Fitting analysis with three different methods of 19# block of Xifeng Oilfield

图7 3种不同方法拟合分析图(羊二庄油田某区块) Fig. 7 Fitting analysis with three different methods of Yangerzhuang Oilfield block

4 改进油藏工程方法 4.1 含水率计算

根据达西定律，当油水两相同时流过油藏内某一地层的横截面时，水相占整个产液量的百分数称为水的分流量或含水百分数，用${f_{\rm{w}}}$表示。在一维条件下，忽略毛管力和重力的作用，其公式为

$ {f_{\rm{w}}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{K_{{\rm{ro}}}}}}{{{K_{{\rm{rw}}}}}}\dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}}} $

(16)

将式(2)代入式(16)，得基于有理多项式的含水率计算新方法

$ {f_{\rm{w}}}\!=\!\dfrac{1}{{1\!+\!\dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{\rm{exp}}{\dfrac{{{p_1}{S_{\rm{w}}}^n\!+\! {p_2}{S_{\rm{w}}}^{n\!-\!1}\!+\! \cdots \!+\!{p_n}{S_{\rm{w}}}\!+\!{p_{n\!+\! 1}}}}{{{S_{\rm{w}}}^m\!+\!{q_1}{S_{\rm{w}}}^{m\!-\!1}\!+\!\cdots \!+\!{q_{m\!-\!1}}{S_{\rm{w}}}\!+\!{q_m}}}}}}} $

(17)

以榆树林油田东14区块数据为例，绘制含水率计算图(取$n=m=5$时，100%相关，残差平方和小于0.01)，图 8。

图8 榆树林油田东14区块含水率曲线 Fig. 8 Water cut curve of 14 block of Yushulin Oil Field

4.2 改进无因次采液指数

根据定义^[22]，无因次采液指数公式为

$ \overline {{J_{\rm{L}}}} {\rm{ = }}\dfrac{{\overline {{J_{\rm{o}}}} }}{{1 - {f_{\rm{w}}}}} $

(18)

将式(2)代入式(18)，得改进无因次采液指数计算方法

$ \overline {{J_{\rm{L}}}}\!\!=\!\!\dfrac{{\overline {{J_{\rm{o}}}} }}{{1\!-\!\dfrac{1}{{1\!\!+\!\!\dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{\rm{exp}}{\dfrac{{{p_1}{S_{\rm{w}}}^n\!\!+\!\! {p_2}{S_{\rm{w}}}^{n\!-\!1}\!+\! \cdots \!\!+\!\!{p_n}{S_{\rm{w}}}\!+\!{p_{n\!+\! 1}}}}{{{S_{\rm{w}}}^m\!+\!{q_1}{S_{\rm{w}}}^{m\!-\!1}\!+\! \cdots \!+\!{q_{m\!-\! 1}}{S_{\rm{w}}}\!+\!{q_m}}}}}}}}} $

(19)

4.3 改进含水上升率

根据定义^[22]，含水上升率公式为

$ \dfrac{{{\rm{d}}{f_{\rm{w}}}}}{{{\rm{d}}R}} = \dfrac{{b\left( {{f_{\rm{w}}} - {f_{\rm{w}}}^2} \right)}}{{{E_{\rm{v}}}}}(1 - {S_{{\rm{wi}}}}) $

(20)

将式(2)代入式(20)，得改进无因次采液指数计算方法

$ \dfrac{{{\rm{d}}{f_{\rm{w}}}}}{{{\rm{d}}R}} = \dfrac{{b(1 - {S_{{\rm{wi}}}})\left( {1 - \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{\rm{exp}}{\dfrac{{{p_1}{S_{\rm{w}}}^n + {p_2}{S_{\rm{w}}}^{n - 1} + \cdots + {p_n}{S_{\rm{w}}} + {p_{n + 1}}}}{{{S_{\rm{w}}}^m + {q_1}{S_{\rm{w}}}^{m - 1} + \cdots + {q_{m - 1}}{S_{\rm{w}}} + {q_m}}}}}}}} \right)}}{{{E_{\rm{v}}}\left( {1 + \dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{\rm{exp}}{\dfrac{{{p_1}{S_{\rm{w}}}^n + {p_2}{S_{\rm{w}}}^{n - 1} + \cdots + {p_n}{S_{\rm{w}}} + {p_{n + 1}}}}{{{S_{\rm{w}}}^m + {q_1}{S_{\rm{w}}}^{m - 1} + \cdots + {q_{m - 1}}{S_{\rm{w}}} + {q_m}}}}}} \right)}} $

(21)

此处取：$m=n=5$。

4.4 改进水驱特征曲线

根据稳定渗流条件下水油比定义，知

$ W_{\rm{OR}} = \dfrac{{{Q_{\rm{w}}}}}{{{Q_{\rm{o}}}}} = \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}{B_{\rm{o}}}{\gamma _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}{B_{\rm{w}}}{\gamma _{\rm{o}}}}}\dfrac{{{K_{{\rm{rw}}}}}}{{{K_{{\rm{ro}}}}}} $

(22)

将式(2)代入式(22)，得

$ W_{\rm{OR}} = \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}{B_{\rm{o}}}{\gamma _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}{B_{\rm{w}}}{\gamma _{\rm{o}}}}}{{\rm{exp}}{{\dfrac{{{p_1}{S_{\rm{w}}}^n + {p_2}{S_{\rm{w}}}^{n - 1} + \cdots + {p_n}{S_{\rm{w}}} + {p_{n + 1}}}}{{{S_{\rm{w}}}^m + {q_1}{S_{\rm{w}}}^{m - 1} + \cdots + {q_{m - 1}}{S_{\rm{w}}} + {q_m}}}}}} $

(23)

选取$n = 2, m = 0$，两边取对数，化简得

$ \lg W_{\rm{OR}} = \dfrac{{{p_1}}}{2}{S_{\rm{w}}}^2 + \dfrac{{{p_2}}}{2}{S_{\rm{w}}} + {{p_3} + \lg \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}{B_{\rm{o}}}{\gamma _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}{B_{\rm{w}}}{\gamma _{\rm{o}}}}}} $

(24)

由于

$ {S_{\rm{w}}} = \dfrac{{{N_{\rm{p}}}}}{{{N_{{\rm{om}}}}}} $

(25)

结合有理函数的性质，将式(25)代入式(24)，化简，得

$ \lg W_{\rm{OR}} = {u_1}{N_{\rm{p}}}^2 + {u_2}{N_{\rm{p}}} + {u_3} $

(26)

其中：${u_1} = \dfrac{{{p_1}}}{{2{N_{{\rm{om}}}}^2}}$；

${u_2} = \dfrac{{{p_2}}}{{2{N_{{\rm{om}}}}}}$；

${u_3} = {{p_3} + \lg \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}{B_{\rm{o}}}{\gamma _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}{B_{\rm{w}}}{\gamma _{\rm{o}}}}}} $。

方程式(26)即为基于有理结构的乙型水驱特征曲线方程。

同理，由于含水率满足方程

$ {f_{\rm{w}}} = \dfrac{{{Q_{\rm{w}}}}}{{{Q_{\rm{w}}} + {Q_{\rm{o}}}}} $

(27)

结合式(26)和式(27)，得

$ \ln \dfrac{{{f_{\rm{w}}}}}{{1 - {f_{\rm{w}}}}} = {u_1}{N_{\rm{p}}}^2 + {u_2}{N_{\rm{p}}} + {u_3} $

(28)

对于式(26)及式(28)结合本文第二部分所提局部平滑估计法可以很容易拟合相关参数，且拟合精度高，残差平方和小，置信区间长度大。

以羊二庄油田实际数据为例^[22]，对比分析传统的乙型水驱特征曲线、基于数据变形的水驱特征曲线及新型水驱特征曲线，拟合结果见图 9。

图9 利用不同方法拟合乙型水驱特征曲线 Fig. 9 Fitting of water cut characteristic curve with different methods

图 9拟合结果表明：新方法较传统方法及基于数据变化的拟合方法预测精度更高，相关性更强。应用乙型水驱特征曲线拟合含水率92.3%$\sim$96.6%的生产数据，预测含水率97%时的累积产油量$739 \times {10^4}$ t，预测相对误差3.5%；利用基于数据变形的水驱特征曲线拟合含水率92.3%$\sim$97%的生产数据^[22]，预测含水率97%时的累积产油量670$\times {10^4}$ t，预测误差1.4%；利用新方法拟合含水率92.3%$\sim$96.6%的生产数据，预测含水率97%时的累积产油量668$\times {10^4}$ t，预测误差0.99%(相关性100%)。

表达式为

$ \lg W_{\rm{OR}} = 65.44{N_{\rm{p}}}^2 - 85.29{N_{\rm{p}}} + 28.88 $

(29)

基于有理结构的相渗方差改进新型水驱特征曲线，预测精度更高，且能适用于全局拟合及变化幅度大的数据拟合，可以采用新型水驱特征曲线预测可采储量和最终采收率。

5 结论

(1) 特高含水期相渗半对数关系不再呈线性，而是明显的上、下弯曲特征。

(2) 传统的线性拟合方法难以适应高含水及特高含水相渗标准拟合。

(3) 传统的线性方法、多项式拟合方法、指数拟合方法及基于数据变形的线性拟合方法，相关性均低于有理拟合新方法，残差平方和均普遍高于新方法，适应性及预测精度均低于新拟合方法。

(4) 五次有理多项式拟合能稳定实现不同特高含水期油田(贝尔、榆树林、西峰、羊二庄)相渗表征100%相关拟合，预测精度达99.9%以上，在参数显著水平99.9%的置信区间长度较其他方法更大，同时还能动态反应末端弯曲特性。

(5) 新方法能发展和完善(特)高含水期水驱评价工程方法：含水率、无因此采液指数、含水上升率、驱油效率、水驱特征曲线等。

符号说明

$y$—函数(因变量)；

$p_1$，$p_2$，$p_{n+1}$，$q_1$，$q_2$，$q_m$—回归系数；

$x$—自变量；

$m_0$，$n_0$—自由度；

$\mathop {\mathit{\boldsymbol{\beta}}} \limits^ \wedge $—系数解向量；

${\mathit{\boldsymbol{\beta}}} $—系数向量；

$K_{\rm{ro}}$，$K_{\rm{rw}}$—油、水的相对渗透率，无因次；

$S_{\rm{w}}$—含水饱和度，无因次；

$S_0$—含水饱和度数据点，无因次；

${K_{\rm{h}}}\left[ {{{\left( {{S_{\rm{w}}}} \right)}_i} - {S_0}} \right]$—权值函数；

$h$—平滑度，无因次；

$\mathop {{{\mathit{\boldsymbol{S}}}_{\rm{w}}}}\limits^ \wedge $—含水饱和度数据值向量；

$W = diag()$—主对角元素向量；

$S_{\rm{SE}}$—残差平方和(和方差)；

$R_{\rm{SS}}$—残差平方和；

$k$—自由度变量；

$a$，$b$，$c$—回归系数；

$f_{\rm{w}}$—含水率，无因次；

$\mu_{\rm{w}}$，$\mu_{\rm{o}}$—地层原油、地层水黏度，mPa$\cdot$s；

$\overline {{J_{\rm{L}}}}$—无因次采液指数；

$\overline {{J_{\rm{o}}}}$—无因次采油指数；

$R$—采出程度，%；

$E_{\rm{v}}$—体积波及系数，无因次；

$W_{\rm{OR}}$—水油比，无因次；

$B_{\rm{o}}$，$B_{\rm{w}}$—地层原油、地层水的体积系数，m$^3\cdot$m$^{-3}$；

$\gamma_{\rm{o}}$，$\gamma_{\rm{w}}$—地层原油、地层水的相对密度，无因次；

$N_{\rm{p}}$—累计产油量，$\times$10$^4$ t；

$N_{\rm{om}}$—可动油储量，$\times$10$^4$ t；

$Q_{\rm{o}}$—产油量，t/d；

$Q_{\rm{w}}$—产水量，t/d；

$\alpha$—显著水平，无因次；

${F_\alpha }(k, n - k - 1)$—维数为$k, n-k-1$的$F$分布检验值，无因次；

$E{\rm{(}}{p_1}, {p_2}, \cdots , {p_{n + 1}}, {q_1}, {q_2}, \cdots , {q_m}{\rm{)}}$—加权残差平方和；

$S_{{\rm{wi}}}$—束缚水饱和度，无因次。

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西南石油大学学报(自然科学版) 2019, Vol. 41 Issue (2): 127-136