引言

在管道路线设计中，为防止开采沉陷引起埋地管道变形破坏，一般应避绕煤矿采空区^[1-3]。在实际情况中，由于输气管道的线状、网状分布特征以及管道线路总走向等客观原因，一些输气管线需要穿越采矿沉陷区^[4-7]。随着地下开采的推进，采空区引发的开采沉陷区不断形成并扩大，将对埋地管道产生严重的采动影响^[8-10]。因此，研究开采沉陷引起的埋地管道变形破坏问题具有重大现实意义。

在对埋地管道变形破坏的研究中，王晓霖等基于概率积分法预测开采沉陷区地表三维变形，建立了沉陷区任意位置埋地管道的力学模型和计算方法^[11]。练章富等建立了滑坡段埋地管道与土体相互作用的有限元力学模型，研究了埋地管道与土体的相互作用以及管道在不同工况和不同边界条件下的应力和变形^[12]。徐平等设计并研制了土体沉陷过程中管-土相互作用试验研究的系统，得到了沉陷过程中管-土下沉变形、管周土体变形及管周土压力的分布规律^[13]。周敏等利用自制的大型模型试验箱，通过下调控制模型箱底板的不同位移模式模拟地层沉陷的形成和发展，研究了埋地管道的受力变形特征^[14]。张杰等采用有限元软件分析地层塌陷量、管道壁厚、埋深及地层土体性质对管道应变响应的影响规律^[15]。

在开采引起埋地管道变形破坏的研究方面，现有研究仅仅关注埋地管道在最后状态下的变形位移，并未考虑开采过程中地面沉陷对管线变形的采动影响^[16-19]。由于采空塌陷是一个动态发育过程，稳定情况下地表移动盆地的变形规律并不能代表整个开采过程中开采沉陷对管道的影响规律，埋地管道有可能在开采沉陷演化过程中发生变形破坏^[20-22]。因此，必须对采动过程中埋地管道与土体耦合作用下的变形破坏机理进行深入研究。

1 地表移动盆地动态演化对管土耦合的影响

水平煤层开采条件下的地表移动盆地是随着开采工作面推进而逐渐形成的，在地表移动盆地动态演化的过程中，埋地管道的周边土体将产生移动变形，从而迫使埋地管道与之同步变形，可以视为管土处于协同变形，将管道变形分解为沿管道方向的轴向变形和垂直管道轴线方向的横向弯曲变形，如图 1所示(其中，$q$—埋地管道上覆土体的自重载荷，MPa)。

当土体的移动变形超过埋地管道所能容许的最大变形量时，埋地管道与周边土体的变形将不再同步，并使土体发生压缩直至产生剪切破坏。根据采空沉陷作用下埋地管道的受力特征，将开采沉陷区的管道与土体耦合作用划分为3个阶段：管土协同变形阶段、管土暗悬空阶段、管道明悬空阶段。

1.1 管土协同变形阶段

采空区上方地表移动盆地的直接表现特征是地表整体下沉，造成管道随地表沉降而产生整体向下的弯曲变形。当埋地管道与土体满足变形协调条件，埋地管道可以随管道周边土体发生同步下沉，管土处于协同变形阶段。管土相互作用方式如图 2a所示。

1.2 管土暗悬空阶段

随着开采的推进，地表移动盆地继续发育，当管道与土体不满足管土协同变形条件时，管道无法随地表沉降而同步沉降，管体与其下方土体逐渐发生分离，从而造成管体出现局部暗悬空状态，并且随着开采继续推进，管体暗悬空长度逐渐增加，管土处于暗悬空阶段。管土相互作用方式如见图 2b。

1.3 管道明悬空阶段

随着开采引发的地表沉陷继续扩大以及管体与土体非协同变形加剧，管体与下方土体暗悬空空间越来越大，当土体间剪切力达到抗剪强度时，处于暗悬空状态的管道上方土体发生剪切破坏，并全部塌陷至暗悬空管体下方，造成管道四周土体与管体完全分离，即进入管道明悬空阶段。管土相互作用方式如图 2c所示。

因此，在开采的过程中需要确定在不同推进长度下地表及管道的移动变形和应力状态，以便及时采取保护措施。由此可见，研究采动过程中埋地管道与土体耦合作用下的动态力学响应十分必要。

2 采动条件下管土耦合作用分析

由于埋地管道和土体力学参数以及开采工作面参数的差异，并非每一次的管土相互作用都会经历上述3个阶段，有可能只经历其中一种或两种阶段。因此，针对管土相互作用的各个阶段，分别建立反映采动影响下管土相互作用的力学模型，分析处于各阶段极限状态下管土相互作用的临界判据，开展各阶段下管土动态变化过程研究。

2.1 管土协同变形阶段 2.1.1 管土协同变形力学模型

在地表移动盆地的走向主断面上，设埋地管道在沉陷区与非沉陷区交界处为$B$点，埋地管道的最大下沉位置为$A$点。以管道变形前的轴线为$x$轴，以通过$B$点竖直向下为$y$轴，建立管土协同变形阶段下埋地管道变形分析图(图 3，其中，$l_0$—点$AB$间距离，m)，对处于管土协同变形阶段下的埋地管道进行力学分析。

(1) 非沉陷区的埋地管道力学

由于非沉陷区的埋地管道处于小变形状态，满足弹性地基梁模型的基本条件，因此可以采用半无限长连续弹性地基梁模型进行力学分析。在非沉陷区域内，由于埋地管道与周围土体长期处于静态平衡，管道上覆载荷与管道受到的下方支承力始终处于平衡状态。因此，非沉陷区埋地管道变形的控制微分方程为

$ E_{\rm I}\dfrac{{{\rm d}^{4}}y}{{\rm d}{{x}^{4}}}+ky=0, \quad -\infty < x \leqslant 0 $

(1)

式中：$E_{\rm I}$—管道的弯曲刚度，N/m$^2$；

    $x$—管道距离$B$点的水平距离，m；

    $y$—管道弯曲变形挠度，m；

    $k$—弹性地基系数，N/m。

令$\lambda ={\left(\dfrac{k}{4E_{\rm I}}\right)^{\frac{1}{4}}}$，方程通解形式为

$ y = {{\rm{e}}^{\lambda x}}\left[{{c_1}\cos \left( {\lambda x} \right) + {c_2}\sin \left( {\lambda x} \right)} \right] +\\ \;\;\;\;\;\; {{\rm{e}}^{ - \lambda x}}\left[{{c_3}\cos \left( {\lambda x} \right) + {c_4}\sin \left( {\lambda x} \right)} \right] $

(2)

式中：$c_1$，$c_2$，$c_3$，$c_4$—待定系数。

将边界条件$y\left| _{x} \right. = 0$，${y \left|_{x = - \infty }\right .} = 0$代入通解中，可以得到$y = {c_2}{{\rm{e}}^{\lambda x}}\sin \left( {\lambda x} \right)$。

设坐标原点$B$处($x$=0)的弯矩为$M_{B}$，可求得方程的解

$ y=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}{{\lambda }^{2}}}{{\rm e}^{\lambda x}}\sin \left (\lambda x\right ) $

(3)

式中：$M_B$—点$B$处的弯矩，N$\cdot$m。

根据挠度与转角、弯矩、剪力的关系

$ \left\{ \begin{array}{l} \theta ={y}' \\ M=-E_{\rm I}{y}'' \\ Q=-E_{\rm I}{y}''' \end{array} \right. $

(4)

式中：$\theta$—转角，(°)；

    $M$—弯矩，N$\cdot$m；

    $Q$—剪力，N。

可以求得$B$处的挠度、转角、剪力分别为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{y}_{B}}=y{{(x)}\left |_{x=0}\right .}=0 \\ {{\theta }_{B}}={y}'{{(x)}\left | _{x=0}\right .}=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}\lambda } \\ {{Q}_{B}}=-E_{\rm I}{y}'''{\left | {(x)}_{x=0}\right .}=\lambda {{M}_{B}} \\ \end{array} \right. $

(5)

式中：$y _B$—点$B$处的挠度，m；

$\theta _B$—点$B$处的转角，(°)；

$Q_B$—点$B$处的剪力，N。

对于管道弯曲应变，设$D$为管道外径，可以根据各点的曲率确定

$ \varepsilon (x)=\dfrac{D{y}''(x)}{2}, \quad -\infty <x \leqslant 0 %=-\dfrac{D{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}}e_{{}}^{\lambda x}\cos \left( \lambda x \right) $

(6)

式中：$\varepsilon$—管道弯曲应变，m；

     $D$—管道外径，m。

(2) 沉陷区的埋地管道力学

设地表下沉盆地走向主断面的长度为2$l_{{\rm 0}}$，对于处于沉陷区的埋地管道，土体和管道均发生下沉变形，并且土体和管道均发生较大变形，因此弹性地基梁力学模型并不适用。在管土处于协同变形状态下，埋地管道上覆土体载荷可以视为均匀分布，将$BA$段管道视为受到均布荷载作用的弹性梁力学模型，由于横向荷载为挠度的四阶导数，因此梁的挠度方程可以表示为四次多项式

$ y={{a}_{4}}{{x}^{4}}\!+\!{{a}_{3}}{{x}^{3}}\!+\!{{a}_{2}}{{x}^{2}}\!+\!{{a}_{1}}x\!+\!{{a}_{0}}, \quad 0<x\leqslant {{l}_{0}} $

(7)

式中：$a_0$，$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$—多项式待定系数。

连续性条件为$B$处($x$=0)管道的挠度、转角、弯矩和剪力均连续，有

$ \left\{ \begin{array}{l} {{y}_{x=0}}=0\\ {{{y}'}\left | _{x=0}\right. }=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}\lambda }\\[6pt] {{{y}''}\left | _{x=0} \right .}=-\dfrac{{{M}_{B}}}{E_{\rm I}}\\[6pt] {{{y}'''}\left | _{x=0} \right .}=-\dfrac{\lambda {{M}_{B}}}{E_{\rm I}} \end{array} \right. $

(8)

边界条件为对称点$A$($x$=$ l_{{\rm 0}}$)的管道挠度为地表下沉最大值$y_{{\rm max}}$，转角为零。地表下沉最大值$y_{{\rm max}}$根据概率积分法求得

$ \left\{ \begin{array}{l} {{{y}'}\left |_{x={{l}_{0}}}\right .}=0 \\ {{y}\left |_{x={{l}_{0}}}\right .}={{y}_{\max }}=W\left|_{x={{l}_{0}}+r}\right. -W\left|_ {x={{l}_{0}}+r-l}\right . \end{array} \right. $

(9)

式中：

$y_{{\rm max}}$—地表下沉最大值，m；

$W$—地表下沉量，m；

$r$—主要影响半径，m。

结合式(7)和式(8)，可以得到${{M}_{B}}$、${{a}_{0}}$、${{a}_{1}}$、${{a}_{2}}$、${{a}_{3}}$和${{a}_{4}}$的表达式

$ \left \{ \begin{array}{l} {{M}_{B}}=-\dfrac{W\left|_{x={{l}_{0}}+r}\right. -W\left|_ {x={{l}_{0}}+r-l}\right .}{\dfrac{l}{2E_{\rm I}}\left(\dfrac{7}{12}\lambda {{l}^{2}}+\dfrac{3}{2}l+\dfrac{5}{4\lambda }\right)} \\ {{a}_{0}}=0 \\ {{a}_{1}}=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}\lambda }\\[5pt] {{a}_{2}}=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}} \\[5pt] {{a}_{3}}=-\dfrac{\lambda {{M}_{B}}}{6E_{\rm I}} \\[5pt] {{a}_{4}}=-\dfrac{{{M}_{B}}}{8E_{\rm I}{{l}^{3}}}\left(\lambda {{l}^{2}}+2l+\dfrac{1}{\lambda }\right) \end{array} \right . $

(10)

在定义域$(0<x\leqslant {{l}_{0}})$内，管道挠度$y$的表达式为

$ y=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}}\left[\left( \dfrac{\lambda }{4l}+\dfrac{1}{2{{l}^{2}}}+\dfrac{1}{4\lambda {{l}^{3}}} \right){{x}^{4}}+\dfrac{\lambda }{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+\dfrac{1}{\lambda }x \right] $

(11)

管道弯曲应变可根据各点的曲率确定，为

$ \varepsilon (x)=\dfrac{D{y}''(x)}{2}= -\dfrac{D{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}}\left[3x_{{}}^{2}\left( \dfrac{\lambda }{2l}+\dfrac{1}{{{l}^{2}}}+\dfrac{1}{2\lambda {{l}^{3}}} \right)+\lambda x+1 \right], \\{\kern 40pt} 0< x \leqslant {{l}_{0}} $

(12)

式中：$l$—工作面开采长度，m。

2.1.2 管土协同变形极限状态

管土协同变形极限状态是指沉陷区内埋地管道中间位置下方管土即将出现分离，即管土协同变形极限状态是管土协同变形阶段进入管土暗悬空阶段的过渡状态。

(1) 管道失效判据

采用最大应变判定准则对埋地管道进行失效分析。最大应变判定准则为：当管道最大应变值大于屈服应变时，埋地管道发生失效。管道的弯曲应变可以根据式(5)和式(11)确定。

(2) 管土协同变形极限判据

当管土相互作用关系满足管土协同变形条件时，管道完全承载地表的下沉和横移位移，埋地管道的弯曲变形与地表移动完全匹配^[9]，有

$ {{y}_{\max }}=\dfrac{q{{r}^{4}}}{40{\rm{\pi }} E_{\rm I}} $

(13)

因此，当管土相互作用处于管土协同变形极限状态时，若管道失效判据尚未成立，管道仍处于安全状态，则管土相互作用将进入管土暗悬空阶段。

2.2 管土暗悬空阶段 2.2.1 管土暗悬空力学模型

当管土相互作用不满足变形协调条件时，下沉盆地中央处的埋地管道与下部土体发生分离，管道处于局部暗悬空状态。建立如图 4所示的管土暗悬空阶段下埋地管道变形分析图(其中，$x_{\rm co}$—点$BD$间的距离，m；$l_1$—管道的暗悬空长度，m；$x_1$，$y_1$—以点$D$为原点的平面直角坐标，m)，设埋地管道处于临界暗悬空状态的坐标为$C$($x_{\rm co}, y_{\max}$)。

(1) 沉陷区内协调状态下埋地管道的力学

在管土暗悬空阶段下，非沉陷区内的埋地管道受力特征与管土协同变形阶段时相同，分析方法可以遵照式(1)确定。将沉陷区内处于协调状态下埋地管道视为均布载荷作用的弹性梁力学模型，由于横向荷载等于挠度的四阶导数，因此，梁的变形方程可以表示为四次多项式形式

$ y\!=\!{{b}_{4}}{{x}^{4}}\!+\!{{b}_{3}}{{x}^{3}}\!+\!{{b}_{2}}{{x}^{2}}\!+\!{{b}_{1}}x\!+\!{{b}_{0}}, {\kern 4pt} 0 < x \leqslant {{x}_{\rm co}} $

(14)

式中：$b_0$，$b_1$，$b_2$，$b_3$，$b_4$—待定系数。

连续性条件为$B $处($x$=0)管道的挠度、转角、弯矩和剪力均连续

$ \left\{ \begin{array}{l} {{y}\left |_{x=0} \right .}=0 \\ {{{y}'}\left |_{x=0} \right .}=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}\lambda } \\[5pt] {{{y}''}\left |_{x=0} \right .}=-\dfrac{{{M}_{B}}}{E_{\rm I}} \\[5pt] {{{y}'''}\left |_{x=0} \right .}=-\dfrac{\lambda {{M}_{B}}}{E_{\rm I}} \end{array} \right. $

(15)

边界条件为点$C $($x$=$x_{\rm co}$处)的管道挠度为地表下沉最大值$y_{\max}$，$C$点处埋地管道与土体处于协同变形状态，因此，转角与地表倾斜量$i\left |x=x_{\rm co}\right .$相同

$ \left \{ \begin{array}{l} {{y}\left |_{x={{x}_{\rm co}}}\right .}\!=\!{{y}_{\max }}\!=W\left|_{x={{l}_{0}}+r}\right. -W\left|_ {x={{l}_{0}}+r-l}\right . \\[4pt] {{{{y}'}}\left |_{x={{x}_{\rm co}}}\right .}\!=\!{{i}}\left|_{x={{x}_{\rm co}}}\right . \!=\!i\left ({{x}_{\rm co}}\!+\!r\right )\!-\!i\left ({{x}_{\rm co}}\!+\!r\!-\!l\right ) \end{array} \right. $

(16)

式中：$i$—地表倾斜量，(°)。

根据连续性条件和边界条件确定${{M}_{B}}$、${{b}_{0}}$、${{b}_{1}}$、${{b}_{2}}$、${{b}_{3}}$和${{b}_{4}}$的表达式

$ \left \{ \begin{array}{l} {{M}_{B}}=-\dfrac{2E_{\rm I}\left (4{{y}_{\max }}/{{x}_{\rm co}}^{4}-{{i}}\left|_{x={{x}_{\rm co}}}\right. \right )}{\dfrac{\lambda }{3}\left (\dfrac{4}{{{x}_{\rm co}}}-3{{x}_{\rm co}}^{2}\right )+\left (\dfrac{4}{{{x}_{\rm co}}^{2}}-2{{x}_{\rm co}}\right )+\dfrac{1}{\lambda }\left (\dfrac{4}{{{x}_{\rm co}}^{3}-1}\right )} \\[15pt] {{b}_{0}}=0; {{b}_{1}}=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}\lambda }; {{b}_{2}}=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}}; {{b}_{3}}=-\dfrac{\lambda {{M}_{B}}}{6E_{\rm I}};\\ {{b}_{4}}=\dfrac{{{y}_{\max }}}{{{x}_{\rm co}}^{4}}+\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}}\left (\dfrac{\lambda }{3{{x}_{\rm co}}}+\dfrac{1}{{{x}_{\rm co}}^{2}}+\dfrac{1}{\lambda {{x}_{\rm co}}^{3}}\right ) \end{array} \right . $

(17)

在定义域$\left (0<x\leqslant {{x}_{\rm co}}\right )$内，挠度$y$的表达式为

$ y=\left [\dfrac{{{y}_{\max }}}{{{x}_{\rm co}}^{4}}+\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}}\left (\dfrac{\lambda }{3{{x}_{\rm co}}}+\dfrac{1}{{{x}_{\rm co}}^{2}}+\dfrac{1}{\lambda {{x}_{\rm co}}^{3}}\right )\right]{{x}^{4}}- \\\;\;\;\;\;\;\dfrac{\lambda {{M}_{B}}}{6E_{\rm I}}{{x}^{3}}-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}}{{x}^{2}}-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}\lambda }x $

(18)

对于管道弯曲应变，可以根据各点的曲率由式(5)确定。

(2) 沉陷区内暗悬空状态下埋地管道的力学

设暗悬空管道段的长度为$l_{{\rm 1}}$，则$l_{{\rm 1}}$=2($l_{{\rm 0}}-x_{\rm co}$)。管土暗悬空阶段下处于暗悬空状态的埋地管道力学见图 5(其中，$f$—管道最大下沉量，m；$y_{\rm co}$—点$DC$间的距离，m；$M_{\rm co}$—点($x_{\rm co}$，0)处的弯矩，N$\cdot$m；$N_{\rm co}$—点($x_{\rm co}$，0)处的轴力，N；$Q_{\rm co}$—点($x_{\rm co}$，0)处的剪力，N)。

对全局坐标系向右平移$x_{\rm co}$，以点($x_{\rm co}$，0)为坐标原点，建立局部坐标系。认为处于暗悬空状态下埋地管道的上覆载荷$q$沿暗悬空管道长度$l_{{\rm 1}}$均匀分布，同时，暗悬空管道受轴向力$N_{{\rm co}}$作用。

采用纵横弯曲弹性梁模型对暗悬空管道进行力学分析。暗悬空管道的弯曲微分方程为

$ E_{\rm I}\dfrac{{{\rm d}^{2}}{{y}_{1}}}{{\rm d}{{x}_{1}}^{2}}\!=\!{{N}_{\rm co}}\left ({{y}_{1}}\!-\!{{y}_{\rm co}}\right )\!+\!\dfrac{1}{2}q{{x}_{1}}^{2}\!-\!{{M}_{\rm co}}\!-\!\dfrac{1}{2}q{{l}_{1}}{{x}_{1}} $

(19)

上覆载荷包括上覆土体、管道的自重载荷以及土体之间的剪切力，表示暗悬空管道的轴向力。根据对称性条件和边界条件，可得方程的解

$ {{y}_{1}}=\dfrac{1}{{{N}_{\rm co}}}\left (\dfrac{qE_{\rm I}}{{{N}_{\rm co}}}-{{M}_{\rm co}}\right )\left [\cosh\left (\sqrt{\dfrac{{{N}_{\rm co}}}{E_{\rm I}}}{{x}_{1}}\right )-\\ \tanh\left (\dfrac{{{l}_{1}}}{2}\sqrt{\dfrac{{{N}_{\rm co}}}{E_{\rm I}}}\right )\sinh\left (\sqrt{\dfrac{{{N}_{\rm co}}}{E_{\rm I}}}{{x}_{1}}\right )-1\right]-\dfrac{q{{x}_{1}}}{2{{N}_{\rm co}}}\left ({{x}_{1}}-{{l}_{1}}\right )+{{y}_{\rm co}} $

(20)

将局部坐标系转换为全局坐标系，定义域$({{x}_{\rm co}}<x\leqslant {{l}_{0}})$中管道挠度$y$的表达式为

$ \begin{array}{l} y = \frac{1}{{{N_{{\rm{co}}}}}}\left( {\frac{{q{E_{\rm{I}}}}}{{{N_{{\rm{co}}}}}} - {M_{{\rm{co}}}}} \right)\left\{ {{\rm{cosh}}\left[ {\sqrt {\frac{{{N_{{\rm{co}}}}}}{{{E_{\rm{I}}}}}} \left( {x + {x_{{\rm{co}}}}} \right)} \right] - \\{\rm{tanh}}\left( {\frac{{{l_1}}}{2}\sqrt {\frac{{{N_{{\rm{co}}}}}}{{{E_{\rm{I}}}}}} } \right){\rm{sinh}}\left[ {\sqrt {\frac{{{N_{{\rm{co}}}}}}{{{E_{\rm{I}}}}}} \left( {x + {x_{{\rm{co}}}}} \right)} \right] - 1} \right\} - \frac{{q\left( {x + {x_{{\rm{co}}}}} \right)}}{{2{N_{{\rm{co}}}}}}\left( {x + {x_{{\rm{co}}}} - {l_1}} \right) + {y_{{\rm{co}}}} \end{array} $

(21)

沉陷区内暗悬空状态下，相应的管道弯曲应变可以按式(5)计算。

2.2.2 管土暗悬空极限状态

管土暗悬空极限状态是管土暗悬空阶段进入管道明悬空阶段的过渡状态。因此，在管土暗悬空极限状态下管体承受的上覆荷载，包括管道上方土体和管体的自重荷载以及管道两旁土体剪切破坏下的剪切力。

(1) 管道失效准则

对于沉陷区内处于协同变形的埋地管道$(0<x\leqslant {{x}_{\rm co}})$，其分析方法与管土协同变形阶段下埋地管道相同，管道失效判定方法遵照式(11)确定。对于管道的弯曲应变，可以根据式(18)和式(22)确定。当管道最大应变值大于屈服应变时，埋地管道失效。

(2) 管道暗悬空极限判据

在管土暗悬空阶段下，地表的最大下沉量为

$ y_{{\rm max}} = W\left|_{x={{l}_{0}}}\right.=W\left|_{x={{l}_{0}}+r}\right. -W\left|_ {x={{l}_{0}}+r-l}\right . $

(22)

同时，埋地管道的最大下沉量为

$ f= - \dfrac{1}{{{N_{\rm co}}}} \left( {\dfrac{{qE_{\rm I}}}{{{N_{\rm co}}}} - {M_{\rm co}}} \right) {\dfrac{{\cosh\left(\dfrac{{{l_1}}}{2}\sqrt {\dfrac{{{N_{\rm co}}}}{{E_{\rm I}}}}\right) - 1}}{{\cosh\left(\dfrac{{{l_1}}}{2}\sqrt {\dfrac{{{N_{\rm co}}}}{{E_{\rm I}}}}\right) }}} + \\\;\;\;\;\;\;{y_{\rm co}} + \dfrac{{ql_1^2}}{{8{N_{\rm co}}}} $

(23)

埋地管道处于管土暗悬空极限状态时，可认为埋地管道的最大下沉量与地表最大下沉量相等，因此，有

$ W\left|_{x={{l}_{0}}}\right. = f %\dfrac{{ql_1^2}}{{8{N_{\rm co}}}} - \dfrac{1}{{{N_{\rm co}}}} \\ \cdot {\kern 40pt} \left( {\dfrac{{qE_{\rm I}}}{{{N_{\rm co}}}} - {M_{\rm co}}} \right)\left( {\dfrac{{\cosh\dfrac{{{l_1}}}{2}\sqrt {\dfrac{{{N_{\rm co}}}}{{E_{\rm I}}}} - 1}}{{\cosh\dfrac{{{l_1}}}{2}\sqrt {\dfrac{{{N_{\rm co}}}}{{E_{\rm I}}}} }}} \right) + {y_{\rm co}} $

(24)

据此，可确定管土暗悬空极限状态下的工作面开采长度。当管土相互作用处于管土暗悬空极限状态时，若管道失效判据未成立，管道仍处于安全状态，则管土相互作用将进入管道明悬空阶段。

2.3 管道明悬空阶段 2.3.1 管道明悬空力学模型

当管土相互作用达到暗悬空极限状态时，随着地下开采的推进，暗悬空管道上方土体出现剪切破坏并塌陷，处于暗悬空状态下的管道全部转变为明悬空状态，设明悬空管道段的长度为$l_{{\rm 2}}$。管土相互作用进入管道明悬空阶段。管道明悬空阶段下埋地管道变形如图 6所示。

在管道明悬空阶段，对于非沉陷区内的埋地管道，其受力特征与管土协同变形阶段下埋地管道相同，因此，非沉陷区埋地管道的变形方程为

$ y=-\dfrac{{{M}_{B}}}{2E_{\rm I}{{\lambda }^{2}}}{{\rm e}^{\lambda x}}\sin \left( \lambda x \right ) $

(25)

管道弯曲应变可根据各点的曲率按式(5)计算。

对于沉陷区内处于管土协调状态的埋地管道，其受力特征与在暗悬空阶段下处于沉陷区管土协调状态的埋地管道相同。因此，梁的变形方程为

管道弯曲应变可根据各点的曲率按式(5)计算。

对于处于明悬空状态下的埋地管道，其管道变形的控制微分方程见式(27)。式(27)中，上覆载荷$q$只有管道的自重载荷，从而求解得到挠度表达式(式(28))，其相应的管道弯曲应变可以按式(5)进行计算。

$ E_{\rm I}\dfrac{{{\rm d}^{2}}{{y}_{1}}}{{\rm d}{{x}_{1}}^{2}}={{N}_{\rm co}}({{y}_{1}}-{{y}_{\rm co}})+\dfrac{1}{2}q{{x}_{1}}^{2}-{{M}_{\rm co}}-\dfrac{1}{2}q{{l}_{1}}{{x}_{1}} $

(27)

$ y \!=\! \dfrac{{\dfrac{{qE_{\rm I}}}{{{N_{\rm co}}}} \!-\! {M_{\rm co}}}}{{{N_{\rm co}}}}\left\{ {\cosh\left[\sqrt {\dfrac{{{N_{\rm co}}}}{{E_{\rm I}}}} \left( {x \!+\! {x_{\rm co}}} \right)\right] \!-\! \tanh\left(\dfrac{{{l_1}}}{2}\sqrt {\dfrac{{{N_{\rm co}}}}{{E_{\rm I}}}}\right) \\\sinh\left[\sqrt {\dfrac{{{N_{\rm co}}}}{{E_{\rm I}}}} (x \!+\! {x_{\rm co}})\right] \!-\! 1} \right\} - \dfrac{{q(x \!+\! {x_{\rm co}})}}{{2{N_{\rm co}}}}(x \!+\! {x_{\rm co}} \!-\! {l_1}) $

(28)

2.3.2 管道明悬空极限状态

管道明悬空极限状态是指处于明悬空状态下管道的最大应变值达到屈服应变值，对于沉陷区内处于明悬空状态的埋地管道，其失效分析方法可以按式(28)、式(5)进行计算，从而得到管道明悬空阶段下管道失效时的工作面开采长度。

3 结论

(1) 根据采动过程中埋地管道与土体作用的基本力学特征，采动影响下管土相互作用可划分为管土协同变形、管土暗悬空和管道明悬空3个阶段。

(2) 采用弹性地基梁、均布载荷作用下弹性梁和纵横弯曲弹性梁力学模型分析非沉陷区内管道、沉陷区内处于协同变形状态的管道和沉陷区内处于悬空状态的管道的受力变形，建立反映采动影响下管土相互作用的分段弹性梁力学模型。

(3) 通过分析各阶段管土相互作用极限状态下埋地管道的力学响应，建立各阶段下埋地管道的极限判据和失效判据，认为当埋地管道达到极限判据，并且管道尚未发生失效时，管土相互作用关系将进入下一阶段，否则，管道将发生失效破坏。