引言

煤层气水平井是一种成本不高但可以提高煤层气单井产量的有效技术措施^[1]，为确保煤层气水平井的有效钻遇率，对钻井施工过程实施地质导向，就需要对钻遇的地层进行随钻岩性判识。

目前，国外的地质导向钻井技术主要是通过近钻头测量工具来提高井下地质信息获取的准确率，同时结合地质模型随钻更新技术来提高对地层岩性和流体类型识别的精确度，以提高水平井对目的层的有效钻遇率。国内普遍是采用MWD+自然伽马+综合录井仪采集测井数据，对测井数据分析进行地层判识，进而实施地质导向^[2]。

对地层判识模型的研究较多，文献[3]提出了一种基于BP神经网络的煤层气钻井岩性识别方法；文献[4]使用了自然电位、自然伽马、声波时差、4米底部梯度电阻率和补偿中子共五种测井数据作为特征输入参数，提出了一种基于最小二乘支持向量机的地层识别方法；文献[5]使用了自然伽马，补偿中子，钍，地层电位，井口电位，补偿密度，声波时差，深侧向电阻率共八种测井数据作为特征输入参数，提出了一种基于向量机的地层岩性识别方法。现有的利用向量机进行地层判识的方法普遍存在的问题有：较多的特征参数，导致复杂的运算量和较长的运算时间；核函数的选取不准确，关键参数未进行优化导致判识结果与真实结果误差较大。

将井下测量工具的测量信息与随钻地层判识模型相结合，才能更加精确地实施地质导向，提高煤层气水平井的钻遇率。在满足较高判识精度的前提下，优选能明显表征地层岩性变化的特征输入参数。因此，本文选取了通过井下测量工具随钻获取的能明显表征不同岩石物理特征的自然伽马(GR)、声波时差(AC)、补偿密度(DEN)、补偿中子(CNL)4个测井参数作为特征输入参数，基于支持向量机(SVM)建立随钻地层判识模型，优选支持向量机的核函数并对关键参数进行优化，继而对以上测井参数进行分类，输出分类结果，从而实现煤层气水平井的随钻地层判识。

1 煤层气水平井随钻地层判识模型 1.1 支持向量机(SVM)算法

支持向量机算法(Support Vector Machine)以统计学高维理论和降维控制结构风险方法为基础，可以对给定的训练样本进行数据分析和模式识别^[6-7]，以其建立的高维空间对数据进行线性或非线性分类，引入相关的核函数获得有限训练样本的高维分类函数，获取较好的分类效果和识别能力^[8]。

SVM从本质上来看是一种建立算法函数进行线性优化分类的方法，通过不同的核函数定义与建立，实现如神经网络、贝叶斯分类等现有算法对训练样本数据进行分类与分析处理，以得到理论上的最优解，因此支持向量机算法不存在局部最优化问题。

在煤层气水平井随钻地层判识中采用支持向量机模型的主要优势有：

(1) 经典的(参数)统计估计方法，如模式识别、神经网络等，是对趋于无限大的样本数据进行统计估计，SVM的研究对象则是给定的有限样本数据，其目标是根据现有信息得到最优解，适用于在测井数据不全面的条件下进行聚类分析；

(2) SVM的求解实质上是把原始训练样本数据进行非线性变换以获得最优输出，有效地避免了一些统计方法产生的复杂极值问题，同时也避免了由于工程和其他因素产生的非正常数据对最终聚类结果的影响；

(3) SVM将作为原始训练样本的测井数据映射到高维空间中，构造线性变换的判别函数作为核函数，避免了高维空间带来的非线性判别函数复杂求解问题，因此，即使训练样本测井数据处在高维空间里，也可降低算法函数的复杂程度。

如图 1所示(其中，$\mathit{\boldsymbol{R}}^d$—原始测井训练样本数据空间；$\mathit{\boldsymbol{H}}$—将原始测井训练样本数据空间映射形成的高维特征空间；$\varphi$—原始测井训练样本数据空间到高维内积空间的特征映射；$K$—核函数)，定义一个由$\mathit{\boldsymbol{R}}^d$到$\mathit{\boldsymbol{H}}$的非线性映射$\varphi$，把原始低维空间$\mathit{\boldsymbol{R}}^d$的测井训练样本数据映射到高维空间$\mathit{\boldsymbol{H}}$中。

以高维空间$\mathit{\boldsymbol{H}}$为最优超平面，SVM在特征空间中的求解实质上是一种$\varphi \left( {{{x}_{i}}} \right)\cdot \varphi \left( {{{{x}}}_{j}} \right)$形式的点积运算，而没有出现各单独的数据点，故而通过选择相关的核函数$K$使其满足$K({{{x}_{i}}}, {{{x}_{j}}})=\varphi \left( {{{x}_{i}}} \right)\cdot \varphi \left( {{{{x}}}_{j}} \right)$，由于该点积运算的训练样本数据点来自原空间，因此无需知道非线性变换$\varphi$，一般通过选择合适的核函数$K$来进行求解，输出结果即为所需判别的不同地层岩性。

把原始训练样本数据映射到特征空间中，则对偶形式为

$ \left\{ \begin{array}{l} \underset{a}{\mathop{{\rm max}}}\, \left\{ \sum\limits_{i=1}^{l}{{{a}_{i}}}-\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{l}{\sum\limits_{j=1}^{l}{{{a}_{i}}{{y}_{i}}{{a}_{j}}{{y}_{j}}\left[\phi \left( {{x}_{i}} \right), \phi \left( {{x}_{j}} \right) \right]}} \right\} \\ \sum\limits_{i=1}^{l}{{{a}_{i}}{{y}_{i}}}=0, {\kern 8pt}0\leqslant {{a}_{i}}\leqslant C;i=1, \cdots, l \end{array} \right. $

(1)

式中：${{x}_{i}}$，${{x}_{j}}$—特征输入参数；

    ${{y}_{i}}$，${{y}_{j}}$—输出参数；

    ${{a}_{i}}$—待定系数；

    $C$—惩罚系数；

    $l$—支持向量的个数。

分离超平面，有

$ \sum\limits_{{{x}_{i}}=l}{{{a}_{i}}{{y}_{i}}\left\{ \phi \left( {{x}_{i}} \right), \phi \left( x \right) \right\}}+b=0 $

(2)

式中：$b$—支持向量的分类变量。

核函数定义式为^[9]

$ \phi \left( {{x}_{i}} \right), \phi \left( {{x}_{j}} \right) =K\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right) $

(3)

把核函数代入对偶，有

$ \left\{ \begin{array}{l} \underset{a}{\mathop{\max }}\, \sum\limits_{i=1}^{l}{{{a}_{i}}}-\dfrac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{l}{\sum\limits_{j=1}^{l}{{{a}_{i}}{{y}_{i}}{{a}_{j}}{{y}_{j}}k\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right)}} \\ \sum\limits_{i=1}^{l}{{{a}_{i}}{{y}_{i}}}=0, {\kern 8pt}0\leqslant {{a}_{i}}\leqslant C; i=1, \cdots, l \\ \end{array} \right. $

分离面的方程，有

$ \sum\limits_{{{x}_{i}}=l}{{{a}_{i}}{{y}_{i}}k\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right)}+b=0 $

SVM的判别函数形式为

$ y={\rm sgn} \left[\sum\limits_{{{x}_{i}}\in S_{\rm V}}{{{a}_{i}}{{y}_{i}}k\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right)+b} \right] $

(4)

$ b=-\dfrac{1}{2} \mathop {\max }\limits_{l:{y_i} = - 1} \, \left[\sum\limits_{{{x}_{j}}\in S_{\rm V}}^{l}{{{a}_{j}}{{y}_{j}}k\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right)} \right]-\\{\kern 40pt}\dfrac{1}{2}\mathop {\max }\limits_{l:{y_i} = + 1} \, \left[\sum\limits_{{{x}_{j}}\in S_{\rm V}}^{l}{{{a}_{j}}{{y}_{j}}k\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right)} \right] $

(5)

式中：$S_{\rm V}$—支持向量；

${\rm sgn}$—符号函数。

1.2 输入和输出参数的确定

对支持向量机而言，欲得到准确的分类数据和输出结果，需要确定正确的训练样本输入参数，只有确定合理的输入参数，才能凭借输出结果对煤层气水平井随钻地层进行有效的判识。

调研发现，自然伽马^[10-11]、声波时差、补偿密度以及补偿中子能较好地表征不同地层的岩性情况^[12-13]，若地层岩性发生变化，这四种测井参数的变化趋势较为显著^[14-15]。因此，本文选择由井下工具随钻获取的自然伽马、声波时差、补偿密度以及补偿中子作为煤层气水平井地层判识模型的输入参数^[5]。

这4种参数的原始测井数据映射到高维空间$\mathit{\boldsymbol{H}}$中，代入最适合地层判识的核函数，与权重相乘后再进行求和运算。由于煤层气水平井不同地层种类较多，本文选取泥岩、含煤地层和砂岩这3种不同地层进行分析，求和结果经过符号函数判断后分类输出结果。

为了建立煤层气水平井随钻地层判识模型并进行模型测试，从某区块的两口煤层气水平井采集上述4种所选测井参数，一号井的数据作为模型训练样本，共采集450组测井数据；二号井的数据作为模型测试样本。训练样本数据需通过训练学习和参数优选等过程，用以对地层岩性进行判识；测试样本数据用以检验所建立模型的判识能力。

训练样本和测试样本均由输入参数和输出结果两部分构成，将自然伽马、声波时差、补偿密度、补偿中子作为模型的输入参数；地层岩性信息作为模型的输出结果。

1.3 输入参数的归一化处理

由于各原始测井数据的单位量级存在差异，物理意义也有所不同，为了避免将原始测井数据直接作为输入参数而导致较大的结果数据误差，需要对原始测井数据进行处理。采用线性归一化的处理方法将原始数据转化为到[0, 1]区间

$ {{\bar{x}}_{i}}=\dfrac{{{x}_{i}}-{{x}_{\min }}}{{{x}_{\max }}-{{x}_{\min }}} $

(6)

式中：${{\bar{x}}_{i}}$—归一化结果；

    ${{x}_{i}}$—原始测井数据；

    ${{x}_{\max }}$—原始测井数据最大值；

    ${{x}_{\min }}$—原始测井数据最小值。

通过上式将原始测井数据进行线性归一化处理后作为输入参数，输入参数可以用以下向量来表示

$ X=({{x}_{1}}, {{x}_{2}}, \cdots, {{x}_{i}}) $

(7)

式中：$X$—输入参数，$i=1, 2, \cdots, l$。

1.4 核函数的选择

支持向量机中在特征空间的求解是以点积的形式完成的，根据不同的分类需求，选择合适的核函数可以有效提高分类的准确率，常用的核函数有

(1) 多项式核函数

$ K\left( {{x}_{i}}_{.}, {{x}_{j}} \right)={{\left( \left\langle {{x}_{i}}_{.}, {{x}_{j}} \right\rangle +1 \right)}^{d}} $

(8)

多项式核函数对应的支持向量机是一个$d$阶多项式分类器。

(2) 高斯径向基核函数

$ K\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right)={{\rm e}^{-\dfrac{{{\left| {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right|}^{2}}}{2{{\sigma }^{2}}}}} $

(9)

式中：${\sigma }$—高斯径向基核函数的宽度，无因次。

对应的支持向量机是一个径向基函数分类器。

(3) Sigmoid核函数

$ K\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right)={\rm tanh}~\left[b\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right)+c\right] $

(10)

式中：$b, c$—系数，其对应的支持向量机是一个包含隐层的分类器。

为提升地层判识结果的准确性，使用一号井的450组训练样本数据对核函数进行选择，将训练样本数据归一化处理后，使用上述3种常规核函数的支持向量机模型输出地层判识结果，并与理想输出结果(真实地层信息)对比，优选出最适合地层判识的核函数。结果如表 1所示。

由表 1可见，高斯径向基核的平均判识正确率为90.2%，Sigmoid核的平均判识正确率为77.2%，多项式核的平均判识正确率为68.4%。高斯径向基核作为地层判识模型核函数的输出结果正确率远高于其他两种核函数，同时，鉴于本文中所涉及的分类问题属于非线性问题，高斯径向基核函数能够适应任意分布样本，特别是样本有限或缺少先验分布时，高斯径向基核函数也能取得较好的分类效果。此外，高斯径向基核函数的参数选择较容易，当参数在有效范围内改变时，空间复杂度变化较小，易于实现^[17-18]。因此，选择高斯径向基核函数作为煤层气水平井随钻地层判识模型的核函数。

高斯径向基核函数中，随着参数$\sigma $的增加，核函数的泛化能力将被削弱，为了取得良好分类效果，必须将其控制在合理范围内。

1.5 相关参数的优选

本文建立的基于SVM的随钻地层判识模型，其核参数$\sigma $和惩罚系数$C$的选取合理性决定着最终的地层判识结果的准确性。为了得到最优参数，本文使用控制变量法对核参数$\sigma $和惩罚系数$C$进行优选。

当寻求$\sigma $的最优值时，保持$C$值不变，观察训练精度和支持向量的数量；当寻求$C$的最优值时，运用同样的方法进行观察。图 2和图 3反映了使用控制变量法进行参数优选时训练精度和支持向量的变化趋势。

由图 2可知，在一定范围内，训练精度随着$\sigma $的增加而降低，支持向量数量随着$\sigma $的增加而增加。随着$\sigma $的继续增大，训练精度和支持向量数量最终都基本保持不变。$C$增加导致的训练精度和支持向量数量的变化趋势不同。随着$C$的增大，训练精度在一定范围内持续增大，增大到最大值后基本保持不变；相反，$C$的增大导致了支持向量数量的持续减少。

为了使基于支持向量机的地层判识模型获得最优判识性能，在确定最优的$\sigma $和$C$的值时应该寻求支持向量数量和训练精度之间的折衷，即选择最高训练精度和最少支持向量数量情况下对应的$\sigma $和$C$的数值。基于该原则，最终确定了核参数$\sigma $的最优值为0.89，惩罚系数$C$的最优值为11.8。

1.6 基于SVM的随钻地层判识流程

基于SVM的煤层气水平井地层判识模型对地层的判识流程如图 4所示，判识的主要步骤为：(1)确定支持向量机的输入参数和输出参数，采集所需的输入参数，完成训练样本和测试样本的制作；(2)将输入参数进行归一化处理；(3)选择符合分析要求的核函数$K\left( {{x}_{i}}, {{x}_{j}} \right)$并使用控制变量法对相关参数进行优选，包括核参数$\sigma $和惩罚系数$C$；(4)使用样本数据对模型进行训练与测试，若地层岩性判识结果与真实结果之间存在较大误差，则对相关参数进行优化，优化完成后继续进行地层岩性的判识，当判识结果符合真实情况时，保存该判识模型，并可将该模型用于地层岩性判识。

2 应用实例与效果分析

基于上述分类方法建立煤层气水平井随钻地层判识模型，%开发了一套煤层气水平井随钻地层判识系统，并针对研究区块内的各井普遍采用的随钻测井工具组合模式和采集数据种类，选取了自然伽马、声波时差、补偿密度，以及补偿中子4条曲线进行随钻地层判识分析^{[19-20, 21]}。

该系统对研究区块内多口水平井进行了随钻地层判识，应用效果良好。以某水平井的部分测井数据作为测试样本进行说明。该井为一口开发井，其所在的区块总体构造形态为马蹄形斜坡，东、西、南三个方向为隆起区，区域内的地层平缓，其地层倾角处于2°$\sim$10°。区域内局部有小规模的褶皱，且没有明显的断层发育。该井的部分测井数据如表 2所示。

于1 890.000$\sim$1 918.750 m井段相关测井数据进行处理与分析，其结果如图 5所示。

图 5中，自然伽马曲线有明显波动，但高低值并无明显呈现，地层泥质含量并没有明显层状沉积，再结合区块沉积有明显的沼泽相沉积特征，又由于该区块内存在地层平行不整合的现象，泥盆系和志留系的缺失也在一定程度上造成了自然伽马测量曲线的较大波动；此外，在煤层沉积过程中可能还形成了较多的泥岩条状带，这也会引起煤层段自然伽马测量值的升高。而补偿密度曲线在1 895.000$\sim$1 900.000 m及1 915.000$\sim$1 917.000 m井段的测量值较低，在已知大致区块地层剖面的基础上可以初步判断该井段可能为煤层。

采用基于SVM的煤层气水平井随钻地层判识模型对1 890.000$\sim$1 918.000 m地层的自然伽马、声波时差、补偿密度和补偿中子参数进行聚类分析，其分析结果如图 6，图 7所示。

SVM模型聚类分析表明，1 894.750 m处钻具进入煤层，现场气测录井全烃显示高值；在井深1899.875 m处离开煤层，现场气测录井全烃显示低值；在1 915.250$\sim$1 916.750 m井段再次钻遇煤层，现场气测录井有气显示。

基于SVM的随钻地层判识模型在该井1 890.000$\sim$1 918.00 m井段中判识出了泥岩、含煤地层、砂岩，判识正确率达到了90%左右，与测井曲线解释结果基本相吻合，总体判识结果较为理想，能够满足现场应用的要求。

3 结论

(1) 煤层气水平井随钻地层判识模型仅使用自然伽马、声波时差、补偿密度，补偿中子4个测井参数进行运算，该模型运算量小，运算速度快，在判识准确度较高的前提下实现了对地层岩性的随钻判识。

(2) 将判识模型的输入参数进行归一化处理，根据训练样本数据优选了核函数并对核参数$\sigma $和惩罚系数进行了优化，使模型具有更好的判识能力。

(3) 建立的煤层气水平井随钻地层判识模型现场应用表明，随钻地层判识结果正确率较高，能够满足地层判识的要求。