引言

在含有裂缝和层理面等结构面的地层中，横波将分裂成两个偏振方向与速度皆不相同的波，其中SH波是质点平行裂缝走向偏振的横波；而SV波是质点垂直裂缝走向偏振的横波^[1-2]。横波分裂现象是波在各向异性介质中传播的一个特有属性^[3-6]。

偶极横波成像测井(DSI)用于评价裂缝性地层的各向异性有着其他测井手段无法比拟的优势^[8]。利用DSI测井资料研究横波分裂现象，求取纵波和快、慢横波的传播速度、计算地层各向异性系数与确定地应力方向，可为钻井工程和储层压裂改造等提供重要的基础参数^[9-10]。目前，利用DSI技术检测压裂缝大多是针对直井中的高角度压裂缝进行研究的，在水平井压裂缝检测方面所做的研究工作相对较少，缺乏对水平井压裂缝测井检测的规律性的理论认识和可行手段。

水平井压裂缝检测不同于直井压裂缝检测。本文通过三维TTI介质模型，针对直井和水平井不同情况，计算SH和SV波传播的相速度及横波各向异性系数，研究波的相速度和各向异性系数与井眼轨迹、裂缝走向的关系，并开展DSI测井检测水平井横向缝的模拟实验研究以及一口生产井QP52水平井的压裂缝检测应用分析，旨在为现场实施水平井检测压裂缝的DSI项目提供重要依据^[11-12]。

1 理论推导

对于压裂后的各向异性地层，可以通过横波分裂现象来检测各向异性，从而识别压开层段^[13-14]。一般性描述裂缝介质的基本模型(如VTI和HTI)为了计算方便，通常在观测坐标系中把斜井假设为垂直井模型进行研究^[15]，没有考虑过水平井或者斜井，也没有研究方位角的相关问题。本文通过三维TTI介质模型，模拟水平井压裂后的地层裂缝形态，从而研究横波分裂现象与井眼轨迹、压裂缝的走向及倾角的关系。

图 1中，$xyz$为坐标系，$xoy$为水平面，$z$轴沿铅垂深度方向，$x$轴为正北方向。ABCD为裂缝面，$\alpha$为裂缝倾角，$\beta$为裂缝面与$z$轴的夹角，且$\beta = 90 - \alpha$，$\varphi$为裂缝面的方位角。OM轴为井轴，与$z$轴的夹角为$\theta$(即井斜角)，$w$为井斜方位角，波的传播方向和井轴一致。

TTI介质模型可以看作是VTI介质的对称轴在$xyz$坐标系下偏转一定角度形成的^[16-17]，VTI弹性矩阵(刚度张量)$\mathit{\boldsymbol{C}}$如式(1)所示

$ \mathit{\boldsymbol{C}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{C_{11}}}&{{C_{12}}}&{{C_{13}}}&& \\ {{C_{12}}}&{{C_{22}}}&{{C_{13}}}&& \\ {{C_{13}}}&{{C_{13}}}&{{C_{33}}}&& \\ &&{{C_{44}}}&& \\ &&&{{C_{55}}}& \\ &&&&{{C_{66}}} \end{array}} \right] $

(1)

式中：

$C_{11}=C_{22}$；$C_{44}=C_{55}$；$C_{12}=C_{11} - 2C_{66}$，矩阵中的各个元素称为弹性常数，GPa。

根据吴国忱所研究的VTI介质和TTI介质的弹性波传播特征^[18]，得到$xyz$坐标系下三维横波的相速度计算公式为

$ E = - \sin \theta \left|{\sin( \varphi - \omega)} \right| \sin \alpha + \cos \theta \cos \alpha $

(2)

$ F = \left[\sin \theta \left|{\sin( \varphi-\omega)} \right| \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha \right]^{2} +\\ \;\;\;\;\;\; \sin^{2} \theta{\cos^{2}}( \varphi - \omega) $

(3)

$ D = [(C_{11}-C_{44})F-(C_{33}-C_{44}){E^{2}}]^{2} + \\ \;\;\;\;\;\; 4 (C_{13} + C_{44})^{2} {E}^{2}F $

(4)

$ v_{\text{SH}} = \sqrt{\dfrac{1}{\rho}(C_{66}F + C_{44}{E^{2}})} $

(5)

$ v_{\text{SV}} = \sqrt{\dfrac{1}{2 \rho}(C_{44} + C_{11}F + C_{33}{E^{2}} - \sqrt D)} $

(6)

$ C_{\text{ANIS}} = \dfrac{2(v_{\text{SH}} - v_{\text{SV}})}{v_{\text{SH}} + v_{\text{SV}}} \times 100 $

(7)

式中：

$\rho$—介质的密度，kg/m$^{3}$；

$v_{\text{SH}}$、$v_{\text{SV}}$—准SH波和准SV波的相速度，m/s，加上“准”字，表示波的传播方向和介质对称轴既不平行也不垂直，如果满足平行或垂直条件，就称为纯SV波或纯SH波；

$C_{\text{ANIS}}$—横波各向异性系数，%。

1.1 直井

对直井而言，井斜角$\theta=0$，井轴和$z$轴平行或重合，当裂缝倾角$\alpha=0$时，井轴垂直于水平裂缝面，符合VTI介质模型，将$\theta=0$与$\alpha=0$代入式(2)~式(7)，得

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{*{20}{l}} {E=1}\\ {F=0}\\ v_{\text{SV}}=v_{\text{SH}}=\sqrt{ C_{44}/\rho }\\ {C_{\text{ANIS}}=0} \end{array}\right. \end{equation} $

(8)

快、慢横波的速度相同，意味着没有横波分裂现象，符合通常在直井中用偶极横波测井无法检测到水平压裂缝的实际情况。若裂缝倾角($\alpha$)为$90^{\circ}$，裂缝面平行于井轴，将$\theta=0$与$\alpha =90^{\circ}$代入式(2)~式(6)，可得

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{*{20}{l}} {E=0}\\ {F=1}\\ v_{\text{SV}}=\sqrt{C_{44}/\rho}\\ v_{\text{SH}}=\sqrt{C_{66}/\rho} \end{array}\right. \end{equation} $

(9)

快、慢横波的速度不同，说明发生了横波分裂现象，符合通常在直井中可以利用偶极横波测井的各向异性特征来检测高角度压裂缝或垂直压裂缝的实际情况。

1.2 水平井

对水平井而言，井斜角($\theta$)为$90^{\circ}$，若裂缝倾角为0，裂缝面平行于井轴，不必考虑方位角大小，将$\theta =90^{\circ}$、$\alpha=0$代入式(2)~式(6)，计算结果与式(9)相同。此时无论裂缝面方位角和井斜方位角如何变化，必然有明显的横波分裂现象发生，符合水平井中可以检测到纵向压裂缝的实际情况。

当裂缝倾角为$90^{\circ}$时，是否发生横波分裂现象取决于裂缝面方位角和井斜方位角之差，若$\omega - \varphi =0$，水平井的井轴与裂缝面平行，代入式(2)~式(7)，计算结果与式(9)相同，说明有明显的横波分裂现象发生，符合水平井中可以检测到纵向压裂缝的实际情况。

若裂缝倾角为$90^{\circ}$，$\omega - \varphi =90 ^{\circ}$，水平井的井轴垂直于裂缝面，符合HTI介质模型，代入式(2)~式(7)，可得

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{*{20}{l}} {E= - 1}\\ {F=0}\\ v_{\text{SV}}=v_{\text{SH}}=\sqrt{C_{44}/\rho}\\ {C_{\text{ANIS}}=0} \end{array}\right. \end{equation} $

(10)

此时无横波分裂现象发生，说明水平井中检测不到横向压裂缝。

从上述理论推导可以看出，水平井压裂后形成的纵向缝、斜交缝和横向缝等造成地层具有明显各向异性，可以此来检测纵向缝和斜交缝，但对于单纯的横向缝，则无法检测到横波分裂和各向异性。

2 DSI检测水平井横向缝实验研究

基于上述水平井压裂缝横波分裂与各向异性检测的理论推导，在实验室开展了模拟水平井正交横向缝的DSI检测实验，并利用MAAS模块对实验所测的横波四分量数据进行各向异性解释处理，分析水平井横向压裂缝的DSI测井响应特征。

如图 2所示，模型井用9块砂岩圆柱体拼接而成，井口和井底的两块砂岩圆柱体高度为1.00 m，中间7块砂岩圆柱体高度为0.15 m。每两块砂岩之间保留一定宽度的缝隙(图中编号1~8)，以此来模拟水平井压裂后产生的理想横向缝(正交压裂缝)。

工区实际水平井的裸眼井眼尺寸为22.2 cm，常用的偶极子声波测井仪源距为7~12 ft，中心频率为1~4 kHz。根据相似性原理，实验缩小比例为2:1，实验模型的裸眼井眼尺寸为10.5 cm，下入外径8.5 cm的套管后固井，第一界面和第二界面均胶结良好；实验用的偶极子声波测井仪源距调整为65 cm，中心频率提高一倍，为6 kHz。

实验时，模型井全部浸入水槽中，发射探头放置于井底，接收探头距离发射探头65 cm(即源距)。调整发射探头和接收探头使二者偏振方向一致，此时测量可得同向分量$xx$信号，等到波形稳定后，记录波形数据和图像，然后把发射探头和接收探头同时向井口方向移动5 cm，再次记录数据和图像，不断重复上述过程，直到接收探头到达井口时为止。保持发射探头的偏振方向不变，接收探头的偏振方向旋转$90^{\circ}$，重复上述步骤，可以测量得到正交分量$xy$信号。同理，使发射探头的偏振方向旋转$90^{\circ}$，测量可得$yx$信号和$yy$信号。

将测得的波形数据绘制成变密度图和波形图，如图 3所示。距离井口位置90~105 cm，探头处于非裂缝段，波形幅度没有明显变化；在距离井口位置115~215 cm，探头处于裂缝段，横波波形幅度明显减小，随着探头间裂缝数量的增加，波幅进一步减小；距离井口位置205~265 cm时，接收探头逐渐移出裂缝段，横波波形幅度开始增大；距离井口位置265~300 cm时，两个探头都已经移出裂缝段，此时的波形图像趋于稳定，几乎没有变化，和距离井口位置90~105 cm时的波形图像类似。

综合对比波形图和变密度图，从同一幅图但不同方向的四分量波形数据来看，同向分量$xx$和$yy$的幅度明显较大，而正交分量$xy$和$yx$的幅度相对较小。在非裂缝段，四分量数据的幅度均较大，变密度图的图像较为清晰；在裂缝段，四分量波形幅度随着裂缝数目的增加而逐渐减小，变密度图的竖线变得细直色浅。这说明，通过横波幅度的衰减变化可以检测水平井压裂缝。

利用MAAS模块对波形数据进行横波各向异性的分析处理，结果如图 4所示。波形数据计算得出的快、慢横波速度相同、无各向异性特征显示，其快、慢横波能量比为1，各向异性系数趋近于0。这说明横波在经过与井轴夹角为$90^{\circ}$的横向压裂缝时，不会发生横波分裂现象，因此，DSI测井仪器无法检测这种正交横向缝，这与前文理论推导的式(10)是相符的。

在此偶极横波实验中，假设了最理想的裂缝延伸状态，即井筒沿最小水平主应力方向，裂缝垂直于井筒起裂与延伸，形成裂缝面垂直于井筒的正交横向缝。但在实际水平井分段压裂作业过程中，受重复压裂、应力阴影、射孔方位角等因素影响，近井地带发育的压裂缝并非是完全垂直于井筒的横向缝。

3 应用实例与效果分析

根据鄂尔多斯盆地QP52井(水平井)的实际情况，以水平段长$_6^3$致密砂岩油层的压裂段为研究对象，其孔隙度$\phi <10$%，渗透率$K<1$ mD，是典型的低孔低渗油藏，只有通过压裂改造才能获得工业产能^[19]。水平段井眼主方位为NE 345$^{\circ}$，由南向北钻进，地层为快速地层，参数见表 1。

3.1 实际水平井情况

井轴和$z$轴的夹角$\theta=90^{\circ}$，井斜方位角$\omega=345^{\circ}$，从式(2)和式(3)可以得出，横波分裂速度取决于裂缝倾角($\alpha$)及井斜方位角与裂缝面方位角之差($\omega - \varphi$)。为了计算方便，设裂缝倾角$\alpha$分别为0、$15^{\circ}$、$30^{\circ}$、$40^{\circ}$、$45^{\circ}$、$50^{\circ}$、$60^{\circ}$和$90^{\circ}$，设方位角之差分别为0、$10^{\circ}$、$20^{\circ}$、$30^{\circ}$、$45^{\circ}$、$60^{\circ}$、$70^{\circ}$、$80^{\circ}$及$90^{\circ}$，研究水平井的横波分裂与裂缝倾角、方位角之差的关系，如图 5所示。

从图 5a可以看出，$v_{\text{SH}}$的数值随裂缝倾角的增大而减小，随方位角之差的增大而减小；但是当裂缝倾角为0时，$v_{\text{SH}}$不随方位角之差的变化而变化；当方位角之差为0时，$v_{\text{SH}}$也不随裂缝倾角的变化而变化。从图 5b可以看出，当方位角之差为0~45$^{\circ}$时，$v_{\text{SV}}$随裂缝倾角的增大而增大；方位角之差为$45^{\circ}$~$90^{\circ}$时，$v_{\text{SV}}$的数值随着裂缝倾角的变化先增大后减小；当方位角之差为0时，$v_{\text{SV}}$的数值不因裂缝倾角的改变而改变。

从表 2可以看出，一般情况下，各向异性系数随裂缝倾角的增大而减小，随方位角之差的增大而减小；当裂缝倾角为0或方位角之差为$90^{\circ}$时，各向异性系数为最大值16.02%。

综合对比图 5和表 2，存在两个特殊角度：0和$90^{\circ}$。若裂缝倾角为0，裂缝面平行于水平井井轴，无论方位角如何变化，必会发生横波分裂现象，各向异性系数为最大值，与前文理论推导的式(9)吻合；当方位角之差为0时，井轴方位角和裂缝面方位角的大小相同，裂缝面平行于井轴，必然发生横波分裂现象，各向异性系数为最大值，与前文理论推导的式(9)吻合；当裂缝倾角为$90^{\circ}$时，是否发生横波分裂现象取决于方位角之差，若方位角之差为$90^{\circ}$，不会发生横波分裂，各向异性系数为0，与前文理论推导的式(10)吻合；若方位角之差不为$90^{\circ}$，则会发生横波分裂。

3.2 假设为斜井情况

结合TTI的介质模型图 1，假设斜井井轴的垂直投影和$x$轴重合，方位角之差为$90^{\circ}$，设裂缝倾角($\alpha$)分别为0、$15^{\circ}$、$30^{\circ}$、$40^{\circ}$、$45^{\circ}$、$50^{\circ}$、$60^{\circ}$和$90^{\circ}$，井斜角($\theta$)分别为0、$10^{\circ}$、$20^{\circ}$、$30^{\circ}$、$45^{\circ}$、$60^{\circ}$、$70^{\circ}$、$80^{\circ}$及$90^{\circ}$，研究井斜角、裂缝倾角和横波分裂的关系。

从图 6可以看出，随着井斜角的增大，$v_{\text{SH}}$和$v_{\text{SV}}$曲线逐渐向左移动；井斜角减小，曲线向右移动。但无论左移或右移，曲线的形态和峰值不变，说明各向异性系数取决于地层参数和井轴与裂缝面的夹角，井斜角的改变并不影响横波分裂速度和各向异性系数的检测和计算，如图 6c所示，横坐标为井轴与裂缝面的倾角，8条不同颜色的$v_{\text{SH}}$(或$v_{\text{SV}}$)曲线将重合成一条曲线。从表 3来看，不同井斜角下的横波各向异性系数最大值为16.02%、最小值为0，和实际水平井情况下得到的最大、最小值相同。

在水平井压裂层段，快横波的方向指示了裂缝走向，在非压裂层段，快横波指示了最大水平主应力的方向^[20-21]。当井眼轨迹与$\sigma_{\text{H}_{\max}}$方向平行时，压裂缝以纵向缝为主，很容易通过DSI测井的横波各向异性特征识别出来；当井眼轨迹与$\sigma_{\text{H}_{\min}}$方向平行时，压裂缝以横向缝为主，只有微弱的横波各向异性特征，DSI测井很难识别出来；当井眼轨迹处于$\sigma_{\text{H}_{\max}}$与$\sigma_{\text{H}_{\min}}$方向之间，压裂会在井筒附近形成平行多裂缝(斜交缝)、转向裂缝和复杂“T”型裂缝。为此，在利用偶极横波测井等手段检测水平井压裂缝时，首先要搞清井眼轨迹与最大、最小水平地应力方向的关系及其压裂缝类型。

QP地区三叠系$\sigma_{\text{H}_{\max}}$方向在NE$70^{\circ}$~NE$90^{\circ}$，且$\sigma_{\text{V}}>{\sigma_{\text{H}_{\max}}}>{\sigma_{\text{H}_{\min}}}$，而QP52井轨迹方位与$\sigma_{\text{H}_{\min}}$方向为平行关系(或夹角小于$30^{\circ}$)，其近井地带发育的压裂缝具有以横向压裂缝为主的树枝状(闪电状)特征，而远井地带为单一的横向缝^[19]。

图 7为QP52井第2射孔压裂段(2 732~ 2 742 m)的横波各向异性处理成果图，该段位于长$_6^3$砂岩油层内，其快、慢横波时差各向异性与能量各向异性较大，监控曲线S$_{\text{1, IS}}$与S$_{\text{1, S2}}$数值较大，表明地层有较强的横波各向异性，地层明显被压开。由反演的横波各向异性方位可知，压裂缝与井眼方位夹角为$75^{\circ}$。经计算，其横向压裂缝的平均宽度为4.3 mm。

总体来看，QP52井水平段的近井地带各种压裂缝发育、横波分裂显示的各向异性特征突出，压裂缝走向与井眼轨迹的夹角为50$^{\circ}$~90$^{\circ}$，这也验证了水平井近井地带发育的压裂缝具有以横向缝为主、伴生纵向缝、斜交缝和转向缝等复杂缝网的特征。对于远井地带的横向缝，即使采用远探测偶极横波测井(DSWI)手段也无能为力，因为横向压裂缝与井轴垂直切割，不会产生横波偏振分裂现象，这已得到前文理论推导和实验效果的印证。

4 结论

(1) 模拟水平井正交横向缝的DSI检测实验结果表明，横波经过与井轴夹角为90$^{\circ}$的横向缝时不发生横波分裂现象，横波各向异性微弱，DSI无法检测到这种正交横向压裂缝。

(2) 一般情况下，横波各向异性系数随裂缝倾角的增大而减小，随井斜方位角和裂缝面方位角之差的增大而减小；井斜角增大(或减小)，相速度曲线左移(或右移)，但曲线的形态和峰值不变。说明横波各向异性系数只取决于地层参数和裂缝与井轴的夹角，井斜角的大小并不影响横波分裂速度和各向异性系数的检测和计算。

(3) 对于水平井，当裂缝倾角为0或井斜方位角与裂缝面方位角之差为0时，必会发生横波分裂现象，在水平井中可以检测到纵向压裂缝，此时各向异性系数最大；当裂缝倾角为$90^{\circ}$时，若方位角之差为$90^{\circ}$，相当于水平井的正交横向压裂缝，不会发生横波分裂现象；当裂缝倾角为$90^{\circ}$，且方位角之差不为$90^{\circ}$时，相当于水平井的纵向压裂缝，可以检测到横波分裂现象。