引言

随着钻井技术的不断进步，水平井在油气田开发中得到广泛应用，尤其是在低渗透、页岩油气藏开发中发挥了较大作用^[1-4]。很多学者研究水平井时，重点研究水平井产量问题。Joshi通过垂直及水平面内的二维渗流问题，推导出均质油藏水平井稳态产能方程^[5]。也有学者对水平井二维渗流进行了深入研究：李晓军等通过保角变换研究断块油藏水平井与直井组合井网渗流场^[6]，张强等按照椭球体模型分析稳定渗流场^[7]，袁淋等重点研究水平井及其酸化措施后的产能问题^[8-10]。总体来看，目前，国内外的研究成果公式极其复杂，难以推广应用。在薄层油藏开发中，为提高开发效果，应用水平井开发是一种常用方法^[11-12]，这种情况可简化为水平井二维渗流，因此，研究水平井二维稳定渗流具有重要意义。本次研究通过儒可夫斯基变换，把水平井二维稳定渗流转换为直井径向二维稳定渗流，开展水平井二维稳定渗流场中等势线、流线以及渗流速度研究，并据此开展水平段长度优化、水平段方向优化、水平井垂直注水井一注一采井网优化，并给出油气田开发过程中部署水平井的具体应用方法。

1 水平井二维稳定渗流场分析

水平井二维稳定渗流场是渗流力学分析中的重要内容，研究水平井二维稳定渗流场具有重要意义。由于水平井渗流场较复杂，因此应用保角变换分析。保角变换是一种化难为易的方法，将边界形状比较复杂的渗流场转换为较为简单的渗流场。根据儒可夫斯基公式变换

$ \frac{w}{c}=\frac{1}{2}\left( z+\frac{1}{z} \right) $

(1)

式中：$w$—保角变换后变量，m；

$c$—椭圆簇半焦距，m；

$z$—保角变换前变量，m。

$z$平面内的同心圆簇变换为$w$平面内以(-$c$，0)、($c$，0)为焦点的椭圆簇，特别地，当$z$平面内的同心圆半径逼近$c$时，$w$平面内的椭圆逼近从(-$c$，0)到($c$，0)的一条割线，由于水平井可视为无限导流管，因此这条割线视为二维渗流场中的水平井，那么，渗流场中的等势线为共焦点的椭圆簇

$ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 $

(2)

式中：${x}$—横坐标，m；

${y}$—纵坐标，m；

$a$—椭圆半长轴，m；

$b$—椭圆半短轴，m。

相应地，$z$平面内通过圆心的射线簇变换为$w$平面内以(-$c$，0)、($c$，0)为焦点的双曲线簇，即水平井渗流场中的流线簇

$ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{'2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{'2}}}=1 $

(3)

式中：${{a}^{'}}$—双曲线半实轴，m；

${{b}^{'}}$—双曲线半虚轴，m。

根据保角变换，求得水平井产量公式

$ Q=\frac{{\rm 2 }\pi Kh\left( {{p}_{{\rm e}}}-{{p}_{{\rm c}}} \right)}{\mu {\rm ln}{\frac{{{a}_{{\rm e}}}+{{b}_{{\rm e}}}}{c}}} $

(4)

式中：$Q$—水平井产量，m$^{{\rm 3}}$/s；

${{p}_{{\rm e}}}$—油藏边界压力，Pa；

${{p}_{{\rm c}}}$—井底压力，Pa；

${\mu}$—流体黏度，mPa·s；

$K$—渗透率，D；

$h$—油藏厚度，m；

${{a}_{{\rm e}}}$—油藏边界椭圆半长轴，m；

${{b}_{{\rm e}}}$—油藏边界椭圆半短轴，m。

在$z$平面内，任一点渗流速度为

$ {{v}_{{ z}}}=\frac{Q\frac{{\rm d}\theta }{{\rm 2 }\pi {\rm }}}{h{\rm d}{{l}_{z}}}=\frac{Q\frac{{\rm d}\theta }{{\rm 2 } \pi {\rm }}}{hr{\rm d}\theta }=\frac{Q}{{\rm 2 } \pi {\rm }rh} $

(5)

式中：${{v}_{z}}$—$z$平面内渗流速度，m/s；

${\theta}$—流线夹角，rad；

$r$—半径，m；

d${{l}_{z}}$—$z$平面内等势线上两点$r{{\rm e}^{{\rm i}\theta }}$、$r{{{\rm e}}^{{\rm i}\left( \theta +{\rm d}\theta \right)}}$的距离，m。

在$w$平面内，任一点渗流速度为

$ {{v}_{{w}}}=\frac{Q\frac{{\rm d}\theta }{{\rm 2 } \pi}}{h{\rm d}{{l}_{{ w}}}}=\frac{Q}{{\rm }\pi{\rm }hc}\frac{{\rm 1}}{\sqrt{{{r}^{{\rm 2}}}+\frac{{\rm 1}}{{{r}^{{\rm 2}}}}-{\rm 2cos2 }\theta }} $

(6)

式中：${{v}_{{w}}}$—$w$平面内渗流速度，m/s；

${\rm d}{{l}_{{w}}}$—${\rm d}{{l}_{z}}$在$w$平面内的变换，m。

由渗流速度公式可以看出，当$r$等于1时，代表水平井井壁上的渗流速度，即流体流入水平井时，在水平井中点($\theta ={\pi }/{2}\;$或$\theta ={3\pi }/{2}\;$)渗流速度最小，愈靠近水平井两端($\theta =0$或${\theta =\pi}$)渗流速度愈大(图 1)。

2 应用算例 2.1 水平段长度优化

某常规薄层圆形油藏面积约3.1 km$^{{\rm 2}}$(半径1 km)，具有恒定边界压力20 MPa，厚度3.0 m，单储系数15.0$\times$10$^{{\rm 4}}$ t/(km$^{{\rm 2}}\cdot$m)，渗透率0.3 D，地下原油黏度5.0 mPa$\cdot$s。在油藏中心部署一口水平井，生产压差2.0 MPa，水平井产量根据水平井二维稳定渗流公式计算得到。水平井日产油量和日产油量增长率随水平段长度变化情况见图 2。从图 2可见，当水平段生产井段(如：射孔完井时的射孔井段)小于100 m时，水平井日产油量增长率较大，当水平段生产井段(射孔井段)超过100 m后，水平井日产油量增长率小于0.5%。当油藏半径不同(2，4，8 km)，油藏其他参数均相同时，水平井日产油量增长率与半径为1 km的油藏一致，即当水平段生产井段(射孔井段)超过100 m后，水平井日产油量增长率小于0.5%，因此该类油藏部署水平井时，建议水平段生产井段(射孔井段)不宜超过100 m。

2.2 水平段方向优化

油气田开发过程中部署水平井时通常根据数值模拟及油藏工程方法优化水平段方向^[13-14]，而根据水平井二维稳定渗流场优化水平段方向也同样是一种重要的方法。根据水平井二维稳定渗流速度公式计算得到水平井二维稳定渗流场中的等势线和流线分布(图 3)。渗流场中任意$r$处，在水平段的延伸方向($\theta =0$、${\theta =\pi}$)渗流速度最大，渗流速度可简化为

$ {{v}_{{ w}}}=\frac{Q}{{\rm }\pi hc}\frac{{\rm 1}}{r-\frac{{\rm 1}}{r}} $

(7)

在水平段的中垂线方向($\theta ={\pi }/{2}\;$、$\theta ={3\pi }/{2}\;$)渗流速度最小，渗流速度可简化为

$ {{v}_{{\rm w}}}=\frac{Q}{{\rm }\pi hc}\frac{{\rm 1}}{r+\frac{{\rm 1}}{r}} $

(8)

因此，水平井二维稳定渗流场中，当$r$相等时，水平段延伸方向的渗流速度始终大于中垂线上的渗流速度，因此，与一口直井的二维径向稳定渗流不同，在水平井二维稳定渗流场中存在主流线，且主流线为水平段延伸方向($\theta =0$、${\theta =\pi}$)的直线，因此在部署水平井时需要考虑水平段的方向。

垦71块东营组油藏是具有气顶和较强边水能量的构造油藏，地质储量642.0$\times$10$^{{\rm 4}}$ t，含油面积4.8 km$^{{\rm 2}}$。开发初期，气窜和边水锥进现象较为普遍，为减缓开发过程中的气窜和边水锥进，计划在该油藏腰部部署水平井开发，那么气窜方向和边水锥进方向必须避开水平井渗流场中的主流线。由于构造油藏中的油气界面、油水界面平行于构造线，因此部署水平井时，水平段方向应与构造线平行，才能实现该类油藏水平井开发的最佳效果。201 6年，垦71块东营组油藏在腰部部署6口水平井，方案实施后，综合含水由96.2%降至81.7%，开发效果较好。

2.3 水平井垂直注水井一注一采井网优化

水平井采油、垂直注水井注水是常见的一注一采井网，在开发方案设计中常遇到井位优化问题，很多学者的研究较为复杂^[15-20]，使用不便。笔者在水平井二维稳定渗流场分析基础上，通过平移、旋转及儒可夫斯基变换，得到垂直注水井水平井形成的一注一采二维稳定渗流场流线分布图(图 4)。

图 4中，垂直注水井的位置不同，则流线分布不同，但主流线均在以(-$c$，0)、($c$，0)为焦点的双曲线上，对判断水平井来水方向和见水位置具有一定指导意义。特别地，当垂直注水井在水平井中垂线上时($\theta ={\pi }/{2}\;$或$\theta ={3\pi }/{2}\;$)，主流线即为中垂线；当垂直注水井在水平井延伸方向上时($\theta =0$或${\theta =\pi}$)，主流线与水平井方向一致，当垂直注水井在任一位置时($\theta ={{\theta }_{0}}$)，主流线在双曲线上。根据推导的水平井渗流场渗流速度公式，结合水平井垂直注水井不同方位组合形成的一注一采流线分布图，得出水平井中垂线上是部署垂直注水井的最优位置。当垂直注水井部署在中垂线上时，与其它位置的垂直注水井相比，水驱波及面积相对较大，主流线渗流速度相对较小，水驱前缘推进相对较慢，能够延长水平井无水采油时间，提高经济效益。

3 结语

(1) 在水平井二维稳定渗流场分析基础上，得到水平井二维稳定渗流过程中渗流速度参数公式。特别地，在水平井井壁上，水平井中点处渗流速度最小，愈靠近水平井两端渗流速度愈大。

(2) 常规油藏水平井生产井段(射孔井段)不宜超过100 m，实际应用中，应当根据油藏的具体参数优化得到最佳的水平段长度；水平段方向应于构造线平行。

(3) 水平井与垂直注水井形成的一注一采二维稳定渗流场中的流线分布图，主流线在共焦点的双曲线上，对判断水平井来水方向和见水位置具有一定指导意义。分析得出垂直注水井在水平井的中垂线上时，水驱波及面积相对较大，开发效果较好，是最佳部署位置。