引言

潜油电泵采油作为一种重要的采油方式，广泛应用于国内外各大油田。为了保证潜油电泵的质量，提高使用寿命，潜油电泵在下井前都要在实验井上进行性能检测。潜油电泵的检测指标主要包括扬程、排量和泵效等^[1]，但某些装配质量问题未必能在这些指标中体现出来。装配质量问题一般都会表现为运行过程中的振动异常，因此，可通过检测电泵的振动信息判别电泵的装配质量，从而防止劣质泵下井，并将优质泵用于高产井，提高生产效益和机组平均使用寿命，因而在实验井上检测电泵振动具有重大意义。

利用实验井检测技术^[2-3]研制了一套潜油电泵井下测振系统，实现了对每一节电泵的独立测振。振动采集器安装示意如图 1所示。由于潜油电泵的振动方向具有任意性，一维^[4]和二维测量方式^[5]不能获得完整的振动信息，所以本文采用三维测振方式^[6]，传感器采用三维微机电加速度传感器MMA7361。

振动分析常用于旋转机械的在线故障诊断，很多学者在故障诊断方面进行了研究，提出了多种方法^[7-11]，而在故障诊断和装配质量评判中，分类方法尤为重要^[12-15]。近几年，K-means聚类算法作为一种无监督的学习方法而被广泛应用于入侵检测^[16]、机械故障诊断与检测^[17]和风电场机群划分等领域。

作者在胜利油田的一口潜油电泵实验井进行了为期2年的井下振动检测，选取了239节电泵的有效振动数据，并对这些数据从不同角度进行了统计分析。因为尚未有潜油电泵井下单节测振的先例，没有针对潜油电泵质量的振动分类标准，所以需要对数据进行分类，从而建立一套初步的潜油电泵装配质量评价标准。本文应用K-means算法进行聚类分析，并根据振动数据的特点对K-means算法进行改进，取得了很好的聚类结果。同时对所测过的电泵进行了质量跟踪，结果表明电泵的振动强度与电泵的使用寿命是统计相关的。

1 潜油电泵振动信号的处理 1.1 潜油电泵的三维振动模型

潜油电泵在工作时，轴的转动会引起电泵径向水平方向的振动，电泵喷出井液和止推轴承转动都会引起轴向的振动。根据3个方向的振动构建振动模型，如图 2所示。

当潜油电泵稳定运转时，转轴的转动呈现周期性，其振动方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {x^{''}} + 2{\zeta _x}{\omega _x}{x^{'}} + {\omega _x}^2x = {B_x}{\omega _x}^2{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}}\\ {y^{''}} + 2{\zeta _y}{\omega _y}{y^{'}} + {\omega _y}^2y = {B_y}{\omega _y}^2{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}}\\ {z^{''}} + 2{\zeta _z}{\omega _z}{z^{'}} + {\omega _z}^2z = {B_z}{\omega _z}^2{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}} \end{array} \right. $

(1)

式中：

$x^{''}$ — $x$ 轴的加速度，m/s²；

$x^{'}$ — $x$ 轴的速度，m/s；

$x$ — $x$ 轴的位移，m；

$y^{''}$ — $y$ 轴的加速度，m/s²；

$y^{'}$ — $y$ 轴的速度，m/s；

$y$ — $y$ 轴的位移，m；

$z^{''}$ — $z$ 轴的加速度，m/s²；

$z^{'}$ — $z$ 轴的速度，m/s；

$z$ – $z$ 轴的位移，m；

$\zeta_x$ — $x$ 轴的阻尼比；

$\zeta_y$ — $y$ 轴的阻尼比；

$\zeta_z$ — $z$ 轴的阻尼比；

$\omega_x$ — $x$ 轴的无阻尼固有频率，Hz；

$\omega_y$ — $y$ 轴的无阻尼固有频率，Hz；

$\omega_z$ – $z$ 轴的无阻尼固有频率，Hz；

$B_x$ — $x$ 轴弹簧静变形，m；

$B_y$ — $y$ 轴弹簧静变形，m；

$B_z$ — $z$ 轴弹簧静变形，m；

$t$ —时间，s；

$\omega$ —激励频率，rad/s。

$x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的无阻尼固有频率分别为

$ {{\omega }_{x}}{\rm =}\sqrt{{{{k}}_{x}}{\rm /}m} $

(2)

$ {{\omega }_{y}}{\rm =}\sqrt{{{{ k}}_{y}}{\rm /}m} $

(3)

$ {{\omega }_{z}}{\rm =}\sqrt{{{{ k}}_{z}}{\rm /}m} $

(4)

式中： $k_x$ — $x$ 轴弹簧弹性系数，N/m；

$k_y$ — $y$ 轴弹簧弹性系数，N/m；

$k_z$ — $z$ 轴弹簧弹性系数，N/m；

$m$ —物体质量，kg。

$x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴的弹簧静变形分别为

$ {{B}_{x}}{\rm =}\dfrac{{{F}_{x}}}{{{{\rm k}}_{x}}} $

(5)

$ {{B}_{y}}{\rm =}\dfrac{{{F}_{y}}}{{{{\rm k}}_{y}}} $

(6)

$ {{B}_{z}}{\rm =}\dfrac{{{F}_{z}}}{{{{\rm k}}_{z}}} $

(7)

式中：$ F_x $— $x$ 轴向常值力，N；

$F_y$ — $y$ 轴向常值力，N；

$F_z$ — $z$ 轴向常值力，N。

由于阻尼比 $\zeta =c_r/\sqrt{{k_r}m}$ ( $r=x, y, z$ )，且 ${{{ c}}_{x}}{\rm =}{{{ c}}_{y}}\ne {{{ c}}_{z}}$ ，故 ${{\zeta }_{x}}={{\zeta }_{y}}\ne {{\zeta }_{z}}$ 。 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的阻尼比可分别表示为

$ {{\zeta }_{x}}{\rm =}{{{ c}}_{x}}{\rm /}\sqrt{{{{ k}}_{x}}m} $

(8)

$ {{\zeta }_{y}}{\rm =}{{{ c}}_{y}}{\rm /}\sqrt{{{{k}}_{y}}m} $

(9)

$ {{\zeta }_{z}}{\rm =}{{{ c}}_{z}}{\rm /}\sqrt{{{{k}}_{z}}m} $

(10)

式中：

$c_{x}$ — $x$ 轴阻尼系数，N/(m· s^-1)；

$c_{y}$ — $y$ 轴阻尼系数，N/(m· s^-1)；

$c_{z}$ — $z$ 轴阻尼系数，N/(m· s^-1)。

由潜油电泵振动模型知，其振动可以分解为3个方向上的分量，并求出3个方向上的加速度值，为潜油电泵三维振动加速度合成提供了理论依据。

由于一维和二维的振动信息不能完全代表被测目标的振动状况，且潜油电泵的振动方向不固定，故本文同时采集3个维度的振动加速度，利用几何原理，对三维加速度进行合成，其合成向量的大小代表实际的振动值，其方向代表振动的方向。三维振动加速度瞬时值向量合成示意图如图 3所示。

图 3中， $a_x$ 、 $a_y$ 、 $a_z$ 为传感器测得的3个维度的瞬时振动加速度；a为三维合成的振动加速度，简称合成加速度。在本文中，只讨论加速度的大小，不讨论其方向，用a代表合成加速度的值，其与测得的3个维度的加速度值之间的关系为

$ a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} $

(11)

式中：

$a_x$ — $x$ 轴的瞬时加速度，m/s²；

$a_y$ — $y$ 轴的瞬时加速度，m/s²；

$a_z$ — $z$ 轴的瞬时加速度，m/s²；

a—合成加速度，m/s²。

1.2 三维合成振动信号的均方根

振动信号的均方根表示振动的破坏能力，是衡量振动能量大小的量。ISO标准规定，振动信号的均方根可以用来衡量振动信号的强度，表示为

$ {{A}_{{\rm RMS}}}=\sqrt{\dfrac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{{M}}{a_{i}^{2}}} $

(12)

式中：a_i—第i个点的三维合成加速度值，m/s²；

A_RMS—合成振动加速度均方根，m/s²；

M—采样点数，个。

文中每5 s数据为一组，采样频率为5 kHz，故M=25 000。

利用电泵稳定运转时的三维合成加速度均方根A_RMS代表潜油电泵的振动强度，并作为判断潜油电泵装配质量等级的依据。

将式(11)代入式(12)，得

$ {{A}_{{\rm RMS}}}=\sqrt{\dfrac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{M}{\left (a_{xi}^{2}+a_{yi}^{2}+a_{zi}^{2}\right)}} \\{\kern 40pt} =\sqrt{A_{{x\rm RMS}}^{2}+A_{{y\rm RMS}}^{2}+A_{{z\rm RMS}}^{2}} $

(13)

式中：

$a_{xi}$ — $x$ 轴第i个点的瞬时加速度值，m/s²；

$a_{yi}$ — $y$ 轴第i个点的瞬时加速度值，m/s²；

$a_{zi}$ — $z$ 轴第i个点的瞬时加速度值，m/s²；

A_xRMS— $x$ 轴的振动加速度均方根，m/s²；

A_yRMS— $y$ 轴的振动加速度均方根，m/s²；

A_zRMS— $z$ 轴的振动加速度均方根，m/s²。

可见，三维合成加速度的均方根等于各维加速度均方根的三维合成。

以上的讨论是基于三维同步采集的，即采用并行A/D模块同时采集3个维度的加速度值。显然单片机内置A/D不能满足要求，需外接并行A/D芯片，但由于采集器的空间太过宝贵，这会增加电路设计难度。

当电泵稳定运转时，其振动也是平稳的，图 4是采集的潜油电泵的三维振动加速度原始数据，可见其振动是周期的。对电泵振动进行了统计分析，结论为：当电泵稳定运转时(约在上电半小时后)，同一电泵同一位置同一维度的振动加速度均方根是基本不变的，也就是说，当电泵稳定运转时，式(13)中的A_xRMS、A_yRMS、A_zRMS的获得时间是否相同并不影响三维合成加速度均方根A_RMS的结果，即分时采集加速度值不会影响测量加过，这样不必采用并行A/D芯片而用单片机内置的A/D就足够了，从而降低电路设计难度。

2 潜油电泵装配质量等级判定 2.1 K-means算法

K-means聚类算法是统计学研究分类问题的一种无监督学习方法。而这种无监督的聚类算法根据样本自身的特征属性，自动实现了具有相似特征属性的样本聚类。假设原始数据集合(文中为潜油电泵的三维合成加速度均方根)为 ${B}=({b}_{1}，{b}_{2}，…，{b}_{n}$ )，其中， $b_i(i=1，2，…，{n})$ (这里n=239)为d维(文中d=1)的向量。K-means聚类的目标就是在给定分类组数k( $k \leqslant n$ )值(文中 $k=4$ )的条件下，将原始数据分成 $k$ 类： $S_1，S_2，\cdots，S_k$ ，在数值模型中，即对式(14)求最小值

$ \min \sum\limits_{j=1}^{k}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{r}_{ij}}}}{{\left\| {{b}_{i}}-{{u}_{j}} \right\|}^{2}} $

(14)

式中： $k$ —分类组数；

$n$ —数据长度；

$b_i$ —加速度均方根，m/s²；

$\mu_j$ — $S_j$ 的平均值，m/s²；

$r_{ij}$ —条件系数，当 $b_i$ 被归类到簇 $j$ 的时候 $r_{ij}$ 为1，否则为0。

其算法实现步骤为：

(1) 从 $B$ 中随机选取 $k$ 个元素，作为 $k$ 个簇的各自中心。

(2) 分别计算剩下的元素到 $k$ 个簇中心的距离，并将这些元素分别划归到距离最短的簇。

(3) 根据步骤(1)的分类结果，采用算术平均的方法重新确定 $k$ 个簇各自的中心，即取每个簇中所有元素各自维度的算术平均值，并将其作为新的簇中心。

(4) 将B中全部元素按照新的中心重新进行计算和划分，判断分类结果是否收敛。

(5) 若未收敛，则重复步骤(2)~(4)；如果迭代一定次数后，还不收敛，则聚类失败，输出结果。

(6) 若收敛，则聚类完成，输出结果。

在潜油电泵装配质量等级分类中，根据工程实践需要将质量划分为4个档次，故将 $k$ 设置成4，即所有的数据将被聚类到4个簇；用239节潜油电泵稳定运转时的三维合成加速度均方根代表其各自的振动强度，通过K-means算法进行分类。为了实现正确分类，K-means要做的就是实现目标函数值L最小化

$ L=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{l=1}^{4}{{{r}_{il}}{{\left\| {{b}_{i}}-{{u}_{l}} \right\|}^{2}}}} $

(15)

式中：L—所有属于$ {S}_{{l}} $类的元素$ {b}_{i} $到 $\mu _l$ 的均方差之和，m/s²。

采取迭代算法反复调节r_il和 $\mu_l$ 的数值使得L最小化。先保持 $\mu_l$ 不变，选取最优的r_il，由于r_il等于1或者0，因此只要将数据点归类到距其最近的那个中心就能保证L最小。然后保持r_il不变，再求最优的 $\mu_l$ ，即将L对 $\mu_l$ 求导并令导数等于零，得到当L最小时 $\mu_l$ 为

$ {{\mu }_{l}}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{il}}{{b}_{i}}}}{\sum\limits_{i=1}^{N}{{{r}_{il}}}} $

(16)

每一次迭代都使得目标函数L单调递减，因此目标函数L值只会不断地减小或者保持不变，这就保证K-means最终会使L到达一个极小值，从而求出 $\mu_l$ 的最优解，实现元素的最优分类。

2.2 初始聚类中心点的优化

K-means聚类算法是一种广泛应用的经典聚类算法，但由于初始聚类中心是随机的，在迭代过程中容易陷入局部最小，所以存在聚类结果不稳定的情况。为了克服K-means算法对初始值的依赖和聚类结果局部最优的缺点，使得聚类效果更佳，本文对初始聚类中心点的选取方法进行了优化。

将潜油电泵的三维振动信息进行合成，并将一段时间内的振动用均方根表示，每一节泵的振动强度用一个合成均方根数值A_RMS作为代表，所以数据类型为一维。K-means算法是根据数据密度进行分类的，数据密度即数据之间的关联程度。如果将A_RMS按由小到大的顺序排列并以其电泵序号为横坐标，如图 5所示，则数据密度就转化成了曲线斜率，且数据密度与曲线斜率成反比。为此，对离散点进行多项式拟合，用拟合曲线近似代表待分类数据，以便确定最优的初始聚类中心。

根据K-means算法的分类依据，聚类的边界就是数据密度发生明显变化处，也就是斜率明显变化处，也就是曲线的拐点。根据数据的特征以及装配质量划分成4个等级的要求，拟合曲线f( $x$ )为五次函数。经计算可知曲线f( $x$ )拟合精度可达95%，拟合曲线f( $x$ )如图 5的红色实线所示。因为曲线拐点处的二阶导数为0，所以对f( $x$ )函数求二阶导数，如图 6所示，3个过零点 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $x_3$ 即为拐点，也就是分类的近似分界点，依据3个拐点将数据划成4个区间。由于上述分类思想与K-means算法相一致，所以可将上述过程称之为预分类。初始中心点取自4个预分类区间，即完成了初始聚类中心点的优化。因为这时的初值是从宏观上根据数据的总体特征得到的，所以可以避免在聚类迭代过程中因不合适的初始值而陷入局部最优的问题。

优化初始值后的聚类结果如图 7所示，其中优、良、合格、差4类分别占总体的28.0%，41.8%，23.5%，6.7%。

对K-means聚类算法初始值的选取进行优化，不仅有效保证选取初始中心点的质量、克服了K-means算法对初始值的依赖和聚类结果局部最优，而且这使得聚类计算量减小、聚类结果更加稳定，提高算法的精确度。

2.3 聚类结果对比

分别采用传统的K-means算法和改进的算法进行了各100次聚类分析，在分析前都先将数据按由小到大进行了排序。传统K-means聚类算法的初始聚类中心点为随机值，所以100次的聚类分析初始值都是不同的。聚类结果和聚类平均时间见表 1。

如表 1所示，采用传统K-means聚类算法时，出现了3种不同的聚类结果，且聚类所需平均时间也有差异，即所需的迭代次数也是各不相同的。

然后采用改进的K-means算法进行分类。先采取曲线拟合二次求导的方法进行预分类，再进行100次K-means聚类分析。聚类结果如表 2所示。

由表 2可见，100次的聚类结果完全相同，而且每次聚类分析所用的时间也都在0.16 s左右，结果非常稳定而且比传统聚类所用时间大大缩短。

对比表 1和表 2可知，表 2的聚类结果相对更加稳定、聚类时间短。由此表明经过优化初始中心点的改进K-means算法与随机选取初始中心点的传统K-means算法相比较，具有聚类计算量减小、聚类结果稳定的优点。聚类结果稳定使得簇与簇之间不会出现重叠区域，从而使得潜油电泵装配质量的标准界线更加明确。

根据表 2的聚类结果，潜油电泵装配质量的标准可暂定为： $A_{\rm{RMS}}$ < 1.30 m/s²为“优”，1.30 m/s² $\leqslant$ $A_{\rm{RMS}}$ < 1.72 m/s²为“良”，1.72 m/s² $\leqslant$ $A_{\rm{RMS}}$ < 2.35 m/s²为“合格”， $A_{\rm{RMS}}$ $\geqslant$ 2.35 m/s²为“差”。用户可依据此标准自行决定电泵是否下井以及哪些泵应该用于高产油井等，从而最大程度地提高生产效益、减小经济损失。

3 质量跟踪结果

对于本文所涉及的239节潜油电泵的使用情况进行了质量跟踪。为了验证振动与寿命的关系，在配泵时每套泵(一般由2~4节组成)尽量由振动均方根值大小相近的电泵组成。截至到2016-6-30，对所涉及电泵的运行情况进行了统计。

3.1 非电泵质量原因躺井

潜油电机故障、电缆故障、供液不足、出砂以及电泵密封失效等属于非电泵质量原因躺井，其统计结果见表 3。

因电机故障、电缆故障、供液不足、井出砂等原因引起的躺井，与电泵质量无关，这些泵在提出后进行了清洗、修理、维护等操作后再次投入使用，因运行时间长短不一，故不参与振动与寿命的统计分析。又因为电泵密封失效故障与振动无关，故该3节“优”泵不参与统计分析。

3.2 因电泵质量原因躺井

因电泵偏磨、断轴、电泵磨损、部件失效等电泵质量原因躺井，其统计结果见表 4。

因电泵偏磨故障而躺井，共10节电泵。其中6节电泵出现故障，4节电泵经返厂检测无重大问题，进行例行维护后继续使用，但不做统计分析。

因断轴而躺井，共5节电泵。其中2节电泵出现故障，3节电泵经例行维护后继续使用，但不做统计分析。

因电泵磨损、部件失效等原因的躺井涉及51节电泵。其中17节电泵确认发生故障，而另34节泵经检测无明显故障，维护检查后再投入使用，这34节泵不参与统计分析。

3.3 仍在正常使用

31口井共98节电泵仍在使用中，运行时间因下井时间不同而各有差异，从120 d到720 d不等。其中包括“优”泵43节，“良”泵47节，“合格”泵8节，“差”泵0节。

统计潜油电泵运转出现故障时的平均工作天数、正在运转的电泵的平均工作天数，结果见表 5。

其中，电泵平均工作寿命为电泵出现故障的工作天数与正在运转电泵的工作天数的平均值。统计结果为，“优”等级标准的泵还有43节仍在运转，“优”级泵平均工作寿命大于601 d；“良”等级标准的泵还有47节仍在运转，平均工作寿命也大于435 d；“合格”等级标准的泵还有8节仍在运转，平均工作寿命也大于267 d；“差”等级标准的泵已经全部停止运转，平均工作寿命只要73 d。可见，质量等级越高，平均工作寿命越长，质量等级的分类标准是合理的。

4 结论

(1) 建立了三维振动模型，提出了三维合成加速度的概念，并利用合成加速度的均方根值表示潜油电泵的振动强度，并指出三维非同步采样也可以得到正确的三维合成加速度均方根值。

(2) 提出了拐点法优化K-means算法初始点的选取，改进的K-means算法克服了传统K-means算法对初始值的依赖，解决了聚类结果易出现局部最优的问题，减小了计算量，避免了聚类结果的不稳定；使用改进K-means算法对实验得到的电泵合成加速度均方根进行了分类，初步建立了潜油电泵装配质量等级分类标准。

(3) 合成振动加速度均方根小于1.30 m/s²的潜油电泵为优质电泵，使用寿命最长，宜用于高产井；处于1.30~1.72 m/s²的为质量良好电泵，使用寿命较长，可正常使用；处于1.72~2.35 m/s²的为质量合格电泵，使用寿命一般，应谨慎使用；大于2.35m/s²为质量较差电泵，使用寿命较短，应维修后再使用。

(4) 电泵的质量等级与电泵的使用寿命呈现统计相关，质量等级越低，电泵的工作天数越少，故障率越高；而质量等级越高，电泵的工作天数越长，故障率越低。因此，基于振动检测的质量分类标准为合理评价电泵装配质量、防止劣质泵下井、提高电泵寿命提供了理论依据。同时，质量跟踪结果验证了本文分类的合理性、准确性。