引言

地震定量解释中一个很重要的问题是研究不同孔隙流体引起的地球物理响应，建立不同地球物理响应特征与储层参数之间的联系，进而识别储层或预测储层的含流体性质^[1-2]，该研究对储层预测和烃类检测至关重要，其中，Biot-Gassmann方程扮演着极其重要的角色。利用该方程可进行流体/岩性替换，建立不同岩性、含流体性与地球物理响应的关系，在这过程中，需要对背景岩石进行刻画，岩石基质压缩系数是描述背景岩石特征的重要参数，是必要的输入量^[1]。

岩石基质压缩系数反映的是岩石矿物组分、胶结物、填隙物等固体成分的综合性质，但由于基质类型复杂多变，且受地层压力、温度等因素影响，容易造成岩石基质压缩系数在不同地区差异较大，因此，求取岩石基质压缩系数十分困难。如何快速准确地求取岩石基质压缩系数成为研究重点^[2]。

目前，求取岩石基质压缩系数常见的有3类方法：等效介质理论方法、经验公式和线性回归方法^[1-3]。

等效介质理论方法主要适用于非单一矿物类型，该方法需要岩石矿物成分及其对应的体积含量，再结合Voigt或Reuss关系，进而求取岩石基质等效压缩系数^[1]。岩石矿物成分及对应体积含量的求取常借助岩石薄片或矿物扫描分析技术，这两种方法较为耗时、昂贵，并且受薄片尺寸及岩石各向异性的影响，矿物成分及其含量是一种小尺寸的统计近似，并不精确，且常受地区沉积、成岩作用的影响，计算结果往往具有较大误差。

经验公式主要是利用干岩石压缩系数、岩石基质压缩系数与Biot系数的关系求取，其中Biot系数是准确求取岩石基质压缩系数的关键。通常，有3种经验方法求取Biot系数^[3-5]：Geertsma & Smit公式、Krief公式及Nur公式等^[1]。这3种方法在应用中都有一定的限制，如：Geertsma & Smit公式要求岩石孔隙度小于30%；Krief经验公式对所选数据集有较强的依赖关系，地域差异性较强，其公式的普适性面临挑战。同时，这些关系式都需要知道干燥岩石的压缩系数，干燥岩石的压缩系数常通过岩石物理实验测量得到，较为费时，因此，该方法的精度受限于经验关系式对研究区的适用程度。

为方便、快捷、可靠地求取岩石基质压缩系数，贺锡雷等提出了线性回归方法^{[2, 6]}。该方法利用Biot-Gassmann方程推导了岩石有效压缩系数和孔隙度的线性关系，利用其斜率和截距的比值求取岩石基质的压缩系数。其优点为简便易行，且适用于多种类型的数据(测井、实验室等)；但不足是刻画干岩石孔隙采用椭球包裹体的高频近似解，高频解一般适用于超声高频情况，虽然干岩石频散现象不明显^[7]，但把高频解带入零频率Biot-Gassmann方程中进行推导，这或许影响了该方法的精确性；且Biot-Gassmann方程中并未对孔隙形状进行假设^[8]，这或许限制了该方法的应用。另外，由于含流体岩石具有频散和衰减特征^[9-12]，该方法以零频率的Biot-Gassmann方程为基础，需要低频实验数据的进一步验证。如，Tutuncu等发现一块完全饱和盐水的致密砂岩(孔隙度11.9%，渗透率2.496 mD)，频率从10 Hz到1 MHz，纵波速度增加了33%，横波速度增加了20%^[13]，具有较强的速度频散现象。

根据文献调研情况，基于均匀线性弹性固体等效压缩性的表达式，利用Biot-Gassmann方程，通过一个合理假设，推导出一种计算岩石基质压缩系数的方法，该方法简单、应用方便，并且利用干燥、流体饱和岩石的高、低频实验数据对本方法的正确性进行验证。结果证明该方法有效可靠。

1 方法原理

Biot-Gassmann理论描述了零频率下地震波在流体饱和孔隙介质中的传播规律。它建立起了岩石基质体积压缩系数、流体饱和岩石压缩系数，干岩石压缩系数和孔隙度之间的联系。利用Biot-Gassmann方程可研究某一参量变化对岩石弹性参数的影响，进而促进对地下储层弹性参数的理解，在储层预测及流体检测中发挥了巨大作用。Biot-Gassmann方程可以写成如下形式

$\dfrac{1}{{{\beta _{\rm{sat}}} - {\beta _0}}} = \dfrac{1}{{{\beta _{\rm{dry}}} - {\beta _0}}} + \dfrac{1}{{\eta ({\beta _{\rm{f1}}} - {\beta _0})}}$

(1)

式中：

$\beta _{\rm{sat}}$—流体饱和岩石压缩系数，GPa$^{-1}$；

$\beta _0$—岩石基质压缩系数，GPa$^{-1}$；

$\beta _{\rm{dry}}$—干岩石压缩系数，GPa$^{-1}$；

$\eta$—岩石孔隙度，无因次；

$\beta _{\rm{f1}}$—孔隙流体压缩系数，GPa$^{-1}$；

地下储层流体一般为油、气和水或者三者的混合物，典型的油、气和石英矿物的压缩系数为0.77、0.44和0.027。由于地下油气水的压缩系数远远大于岩石基质压缩系数，即${\beta _{\rm f1}} - {\beta _0} \approx {\beta _{\rm f1}}$。此时，有

$\dfrac{1}{{{\beta _{\rm{sat}}} - {\beta _0}}} = \dfrac{1}{{{\beta _{\rm{dry}}} - {\beta _0}}} + \dfrac{1}{{({\beta _{\rm{f1}}})\eta }} $

(2)

可变形为

$\eta = \dfrac{{ - ({\beta _{\rm{sat}}} - {\beta _0})({\beta _{\rm{dry}}} - {\beta _0})}}{{{\beta _{\rm{f1}}}({\beta _{\rm{sat}}} - {\beta _{\rm{dry}}})}} $

(3)

为了进一步简化，考虑一个均匀线性弹性固体，内部有一个任意形状的孔隙空间，如图 1所示。

则有孔固体在干燥情况下的等效压缩性可以写成^[1]

${\beta _{\rm{dry}}} = {\beta _0}\left (1 + \dfrac{\eta }{{{\beta _0}/{\beta _\eta }}}\right ) $

(4)

式中：

$\beta _{\eta}$—岩石骨架孔隙空间压缩系数。

此方程在不存在非弹性效果(如摩擦或液体粘稠造成的损耗)的情况下严格成立，即在低频完全弹性情况下严格成立。

由于孔隙是由岩石骨架支撑形成，岩石骨架孔隙空间压缩系数必然和岩石基质的缩系数相关联，假设岩石骨架孔隙空间压缩系数和岩石基质压缩系数成线性关系，有

${\beta _\eta } = n{\beta _0} $

(5)

式中：

$n$—与岩石基质弹性参数相关的无量纲系数。

此外，流体饱和岩石压缩系数与岩石纵横波速度的关系如下

${\beta _{\rm{sat}}} = \dfrac{1}{{\rho \left (v_{\rm{P}}^2 - {4}v_{\rm{S}}^2/{3}\right )}} $

(6)

式中：

$v_{\rm{P}}$—岩石的纵波速度，m/s；

$v_{\rm{S}}$—岩石的横波速度，m/s；

$\rho$—岩石的密度，g/cm³。

结合式(3)~式(6)，可以推导出孔隙度与岩石基质压缩系数、流体饱和岩石压缩系数、干岩石压缩系数、孔隙流体压缩系数间的简化关系，如下

$\eta = \left ({\beta _{\rm sat}} - {\beta _0}\right )\left (\dfrac{1}{{{\beta _{\rm f1}}}} + \dfrac{1}{{n{\beta _0}}}\right ) = a\dfrac{1}{{\rho \left(V_{\rm p}^2 - V_{\rm s}^2\right )}} - c $

(7)

式中：$a = \dfrac{1}{{{\beta _{\rm f1}}}} + \dfrac{1}{{n{\beta _0}}}$，$c = {\beta _0}(\dfrac{1}{{{\beta _{\rm f1}}}} + \dfrac{1}{{n{\beta _0}}}$，${\beta _0} = \dfrac{a}{c}$。

此公式为求取岩石基质压缩系数的线性公式，只需知道岩石孔隙度和含流体岩石压缩系数，利用斜率和截距便可求得岩石基质的压缩系数。

该方程可利用测井资料或实验室岩石物理测量数据对岩石基质压缩系数进行求解，数据基础较易满足。同时，饱和流体压缩系数与孔隙度的线性关系可用于地震定量解释中孔隙度的预测。本公式是利用岩石骨架孔隙空间压缩系数、岩石基质压缩系数和干岩石压缩系数的基本关系，通过假设岩石骨架孔隙空间压缩系数和岩石基质压缩系数呈线性关系推导得到的。虽然该公式与线性回归方法在形式上一致，但其理论基础有本质差异，普适性更高。

为了进一步验证该方法的可行性，利用10块砂岩样品的高低频实验数据进行验证。

2 岩石物理实验 2.1 样品特征

实验取芯样品来自某含气砂岩储层。为保证样品与测量换能器良好的耦合关系，样品被加工成直径2.54 cm或3.81 cm、高为3.0~8.0 cm不等的标准圆柱体。样品加工完成后，首先进行标准洗盐处理，由于储层是气层砂岩，因此未进行洗油处理；然后，测量孔隙度、渗透率等参数。孔隙度由测量岩石孔隙体积和骨架体积求取，渗透率由脉冲衰减法测量得到，该组岩石样品的物性参数如表 1所示。该组样品孔隙度为0.03%~8.87%，平均孔隙度约为4.00%；渗透率为0.000~1~0.058~0 mD，平均渗透率约为0.032~6 mD，该组样品渗透率低于0.100~0 mD，属于典型的致密砂岩储层。

利用矿物定量分析成像仪(Quantitative Evaluation of Minerals Scanner)分析了选自该组样品的大小约1.5 cm$\times$2.0 cm的岩芯进行矿物学分析，如图 2所示。矿物学统计结果显示，该样品中大部分矿物是石英(79.48%)，其他矿物是白云母和黑云母(12.72%)，少量的伊利石(2.47%)，绿泥石(2.45%)和高岭石(0.17%)。

2.2 实验步骤

实验采取2种实验方法测量岩石的声学参数：一种是超声脉冲透射法；另一种是差分共振声谱法(Differential Acoustic Resonance Spectroscopy，也称为DARS系统)。超声脉冲透射法能得到岩石的纵横波速度，结合岩石密度利用式(6)即可得到岩石的压缩系数。差分共振声谱法是利用共振技术测量体积小且不规则样品的低频测量方法，测量频率可达600 Hz，接近声学测井频带。王尚旭等详细阐述了该系统的测量原理、测量方法，赵建国等学者对该测量方法和技术进行了持续改进，DARS可以同时反演出岩石的密度和压缩系数，具有较高的实验精度^[14-15]。

实验步骤为首先把样品烘干，一般把岩石样品放置在温度约70℃的真空烘箱内烘烤48 h，期间要检测烘箱的真空度。其次，烘干后样品需室内放置48小时以避免岩石的过分干燥，使其达到实验室所谓的“干燥”条件。最后，用一层超薄的密封胶对岩石样品进行密封。至此完成样品的制备。尔后利用超声脉冲法和DARS方法分别测量岩石1 MHz和600 Hz频率下的声学性质。再完成干岩石的测量工作后，需将岩样一端密封胶除去，利用真空加压饱和装置对岩样进行饱和，饱和过程一般为72 h，最终得到饱水情况的岩石样品。仿照干岩石的测量过程对饱水岩样进行测量得到最终实验数据。

其中，样品1、2、3和4的DARS测量数据已用于讨论低频情况下含流体性对岩石弹性性质的影响^{[9, 16]}，而本文是利用样品1、2、3和4的测量数据讨论岩石固体基质弹性性质，两者的目的与意义具有本质区别。同时，为了避免孔隙流体对岩石基质压缩系数的影响，实验测量了样品5-10在干燥情况下的纵波速度，利用实验测量数据讨论基于Biot-Gassmann方程推导的计算岩石基质压缩系数方法的可行性。

3 结果分析与讨论

利用实验测量岩石的压缩系数、物性参数做交汇分析并应用到本方法中。图 3为不同频率下，致密砂岩孔隙度与岩石压缩系数的关系，测量频率为600 Hz和1 MHz。

实验测量结果分为4组，并分别对4组数据进行线性拟合，第1组数据是1 MHz干燥岩石孔隙度—压缩系数的线性拟合，拟合关系为

$y = 120.47x - 2.6923 $

(8)

相关系数${R^2} = 0.8558$；第2组数据是1 MHz饱水岩石孔隙度—压缩系数的线性拟合，拟合关系为

$y = 183.33x - 3.7743 $

(9)

相关系数${R^2} = 0.9689$；第3组数据是600 Hz干燥岩石孔隙度—压缩系数的线性拟合，拟合关系为

$y = 118.66x - 2.7281 $

(10)

相关系数${R^2} = 0.8664$；第4组数据是600 Hz饱水岩石孔隙度—压缩系数的线性拟合，拟合关系为

$y = 135.16x - 2.9456 $

(11)

相关系数${R^2} = 0.9707$。

为便于分析，把4组拟合公式的拟合系数列成图表，如表 2所示。

图 3和表 2均表明4组数据线性拟合相关系数都非常高，饱水后相关系数更高；岩石基质压缩系数在相同的流体饱和状态下基本一致，如，干燥岩石1 MHz和600 Hz压缩系数仅差1.3%，但是饱水后岩石基质压缩系数存在差异，如，饱水岩石1 MHz和600 Hz压缩系数相差5.0%，这部分的差距由测量频率引起。而1 MHz频率下干燥、饱水岩石压缩系数相差7%，600 Hz频率下干燥、饱水岩石相差4.8%，这部分差异由孔隙流体引起。相比于频率，孔隙流体对于岩石基质压缩系数的影响更大些。究其原因，这或许和致密砂岩微观孔隙结构或亲水矿物成分相关^[9]。致密砂岩饱水后，狭窄的孔喉被流体充填，岩石变硬，岩石弹性模量变大，压缩系数变小。

为进一步验证相同流体状态下岩石基质压缩系数的一致性，利用表 1中致密砂岩样品的弹性参数做同样分析，结果如图 4。图 4为1 MHz频率下干燥致密砂岩的孔隙度与岩石压缩系数的拟合关系。其线性拟合公式为$y = 122x - 2.7065$，${R^2} = 0.9513$；岩石基质压缩系数为0.022~1，与图 3和表 2结果中1 MHz下岩石基质压缩系数相差0.8%，基本相同。这表明在相同流体状态下岩石基质压缩系数的一致性，进而证实了该方法的正确性。

从Biot-Gassmann理论上讲，岩石基质压缩系数不受孔隙流体的影响，然而实际岩石矿物组分不尽相同，孔隙结构千差万别，微孔、微裂缝极易受到孔隙流体的影响，进而导致岩石弹性参数的改变(变硬或变软)。因此，在求取岩石基质压缩系数时需进行适当考虑孔隙流体对岩石基质的影响。同时，由于频散的影响，不同频率下测量的实验数据存在差异，进而求取的岩石基质压缩系数也存在差异，这点也需要适当考虑。

4 实例

在某砂岩层测井曲线如图 5所示。曲线表现为高纵横波速度、低伽马、高密度特征，且测井解释该层为较好砂层，且存在一定物性变化。按照本理论方法把该层段测井解释的孔隙度与岩石压缩系数进行交会，结果如图 6所示。

数据显示，该层段具有较一致的岩石背景信息，且线性拟合的相关系数也较高，求取的背景岩石基质压缩系数较为可靠。

利用建立的饱和流体压缩系数与孔隙度间的关系预测了样品的孔隙度。图 7为利用本理论方法预测样品W-4、W-5、W-6和W-7的孔隙度与实际测量孔隙度的比较。从图 7可知，理论预测与实际测量孔隙度具有较好的一致性，但由于致密砂岩样品的微观孔隙结构变化多样，较为复杂^[17]，个别样本点理论预测与实际测量孔隙度间存在差别。

该方法对孔隙度预测较为简单，具有实际应用前景，对储层定量解释具有一定借鉴意义。但是受样本数量偏少的影响，该方法外推仍需要实验室数据或者测井数据的验证。

5 结论

(1) 假设岩石骨架孔隙空间压缩系数和岩石基质压缩系数呈线性关系，推导出了一种计算岩石基质压缩系数的公式。

(2) 相同的饱和流体状态下岩石具有较一致的压缩系数，该方法有效可靠。受岩石微观孔隙结构和亲水矿物的影响，在应用时中需要考虑频率和孔隙流体的影响。