引言

油藏渗透率具有方向性这一特征已经被广泛接受和认可，这种渗透率表现出方向性差异的油藏我们称之为各向异性油藏。各种岩芯实验^[1]和现场实践也都已经证实了各向异性的存在和各向异性对于油藏开发产生的重要影响。

五点井网是油藏开发中最常用的井网模式，对于均质油藏中五点井网的开发分析已经十分成熟，各向异性油藏中五点井网的开发也已经有相当一部分学者进行了研究，Mortada等^[2-4]通过坐标变换方法将各向异性多孔介质转化为等价的各向同性多孔介质，进而将均质油藏中计算方法推广到各向异性油藏中，并利用流管方法求解了各向异性油藏中井网的波及效率和见水时间公式；Villegas等^[5]利用数值模拟的方法分析了各向异性油藏中水平井压裂与直井压裂的开发效果，分析了各向异性的存在对水驱开发效果的影响，同时这也为压裂水平井技术的应用提供了理论基础；Mazo等^[6-7]研究了在水驱的条件下，压裂裂缝造成的渗透率各向异性对水驱波及系数和生产动态参数的影响。

Ji等^[8]根据流管法和单元分析法，推导出各向同性油藏中九点法面积井网的产量计算公式。刘月田等^[9-11]计算了各向异性油藏中水平井的产能公式，以及各向异性对五点井网等不同井网形式的渗流特征的影响，并首次提出了各向异性的存在可能会导致五点井网的破坏和重组；李传亮等^[12]通过坐标变换方法对各向异性油藏中的井距进行合理设计，李阳等^[13]在此基础之上建立了矢量井网的概念，并给出了各向异性油藏中五点井网的矢量井网的设计方法；单娴等^[14-15]针对渗透率各向异性问题，建立全渗透率张量的油水两相渗流数学模型，并利用数值模拟方法进行求解，分析了各向异性对注水开发效果的影响。刘峰等^[16]利用流管法和物质平衡公式，通过使井网中不同生产井见水时间相等从而达到均衡驱替，分别推导了各向异性油藏变形五点井网和菱形反九点井网的合理井排距计算公式。

尽管针对各向异性油藏的研究已经有很多了，但是可以发现对于各向异性油藏中的井网研究要么是基于井网中注采井连线方向平行或者垂直于各向异性油藏中的主轴方向这些极为特殊的情况，要么是利用数值模拟方法计算各向异性对油藏流体流动过程的影响，而利用解析方法计算任意布井方向的研究少之又少。在前人的研究基础上，基于任意的布井方向对五点井网进行分析研究，得到各向异性地层中五点井网的压力分布通用解析公式，并通过流线方法计算分析了各向异性的方向和大小对水驱开发效果的影响。

1 坐标变换

对于各向异性油藏的研究，通常可以通过坐标变换方法，将各向异性油藏转化为各向同性油藏，然后利用均质油藏的研究方法进行计算分析。

对于各向异性的多孔介质中，假设油藏渗透率与压力和位置等均不相关，得到多孔介质中的不可压缩流体的流动方程

${K_x}\dfrac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {x^2}}} + {K_y}\dfrac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {y^2}}} = - \mu \phi {C_{\rm{t}}}\dfrac{{\partial p}}{{\partial t}}$

(1)

将 $x$ ， $y$ 进行如下的坐标转换

$\left\{ \begin{array}{l} {a'_x} = \sqrt {\dfrac{\tilde K}{K_x}}, {\kern 10pt} \tilde x = x{a'_x} \\ {a'_y} = \sqrt {\dfrac{\tilde K}{K_y}}, {\kern 10pt} \tilde y = y{a'_y} \\ \tilde K = \sqrt {{K_x}{K_y}}, {\kern 10pt} {\beta} = \sqrt {\dfrac{K_x}{K_y}} \end{array} \right.$

(2)

坐标转换后，公式(1)化为式(3)

$\dfrac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {{\tilde x}^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {{\tilde y}^2}}} = - \dfrac{{\mu \phi {C_{\rm t}}}}{{\tilde K}}\dfrac{{\partial p}}{{\partial t}}$

(3)

通过上述坐标转换，可以将各向异性多孔介质中的流动方程转化为各向同性多孔介质中的流动方程，并进行求解。对于稳态渗流的问题，则式(3)可以写作

$\dfrac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {{\tilde x}^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}p}}{{\partial {{\tilde y}^2}}} = 0$

(4)

以正方形五点井网为研究对象，分析井排方向和各向异性方向之间的变化对井网实际水驱开发效果的影响。

如图 1所示，对于五点井网来说，其主要构成参数包括井距 $a$ 、排距 $d$ 、采油井偏离注水井的位置 $e$ 以及井排方向与最大主渗透率方向之间的夹角 $\theta$ 。文章中提到的井排方向都指的是注水井-注水井连线方向，或者生产井-生产井连线方向。

设油藏中的最大主渗透率方向平行于 $x$ 轴方向，最小主渗透率方向平行于 $y$ 轴方向。研究各向异性方向对井网水驱开发效果的影响，其实质就是研究各向异性方向与井排方向之间相对角度 $\theta$ 的变化对水驱开发效果的影响，如果假设各向异性方向保持不变，而改变井排方向，其效果与保持井排方向不变，改变各向异性方向是相同的，因此，为了计算的方便，在下文的计算中，保持主渗透率方向不变，通过不断改变井排方向，进而分析井排方向与最大主渗透率方向之间的相对角度的变化对井网开发效果的影响。

正五点井网各个参数之间满足 $a = 2d = 2e$ ，通过式(2)将 $xy$ 坐标系转换为 $\tilde x\tilde y$ 坐标系后，五点井网发生变形，各个参数值也会发生相应改变。根据坐标变换公式，可以得到坐标变换前后正五点井网的井网参数间的转换关系

$\tilde \theta = {\tan ^{ - 1}}\left( {\beta \tan \theta } \right)$

(5)

$\dfrac{{\tilde a}}{a} = \sqrt {\dfrac{{{{\cos }^2}\theta }}{\beta } + \beta {{\sin }^2}\theta }$

(6)

$\dfrac{{\tilde d}}{a} = 0.5\sqrt {\dfrac{{{{\cos }^2}\theta }}{\beta } + \beta {{\sin }^2}\theta }$

(7)

$\dfrac{{\tilde e}}{a} = \dfrac{{\tilde a}}{{2a}}\left[{1 + \dfrac{{\left( {{\beta ^2}-1} \right)\tan \theta }}{{{\beta ^2}{{\tan }^2}\theta + 1}}} \right]$

(8)

2 井网的破坏和重组建模

由坐标变换方程可以看出，在数学中，坐标变换的实质就是对坐标轴的拉伸或收缩。在渗流物理中，如本文的坐标变换是将各向异性介质等效为各向同性介质。通过坐标变换，可以得到与渗透率各向异性介质等效的均匀介质中的改变了几何形状的“新”井网单元，其实它与原坐标系中的井网单元开发效果是相同的。

假定正五点井网中所有井工作制度都相同，以定流量 $q$ 进行生产，根据坐标变换方程可以很容易得到新坐标系 $\tilde x\tilde y$ 中的井网分布模式，然后根据压力叠加原理即可求得油藏的压力分布公式，如式(9)所示

$%\begin{array}{l} p(\tilde x, \tilde y) \cdot \dfrac{{4\pi h\sqrt {{K_x}{K_y}} }}{{\mu q}} =\\ \ln \left[{\cosh \dfrac{{2\pi \left( {\tilde y\cos \tilde \theta-\tilde x\sin \tilde \theta } \right)}}{{\tilde a}}-\cos \dfrac{{2\pi \left( {\tilde x\cos \tilde \theta + \tilde y\sin \tilde \theta } \right)}}{{\tilde a}}} \right] + \\ \sum\limits_{m=1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^m}} \\ \ln \left[{\cosh \dfrac{{2\pi \left( {\tilde y\cos \tilde \theta-\tilde x\sin \tilde \theta-m\tilde d} \right)}}{{\tilde a}}-\cos \dfrac{{2\pi \left( {\tilde x\cos \tilde \theta + \tilde y\sin \tilde \theta - m\tilde e} \right)}}{{\tilde a}}} \right] + \\ \sum\limits_{m=1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^m}} \\ \ln \left[{\cosh \dfrac{{2\pi \left( {\tilde y\cos \tilde \theta-\tilde x\sin \tilde \theta + m\tilde d} \right)}}{{\tilde a}}-\cos \dfrac{{2\pi \left( {\tilde x\cos \tilde \theta + \tilde y\sin \tilde \theta + m\tilde e} \right)}}{{\tilde a}}} \right] %\end{array}$

(9)

为了分析不同的井排布置方向下，各向异性程度对于正五点井网开发特征的影响，可以通过3个具有代表性的例子进行分析：(1)渗透率主轴方向平行于井排方向，以 $\theta=0$ 为例；(2)渗透率主轴方向既不平行又不垂直于井排方向和注采井连线方向，以 $\theta=22.5°$ 为例；(3)渗透率主轴方向平行于注采井连线方向，以 $\theta=45.0°$ 为例。

对于不同的井排布置方向，各向异性的大小对正五点井网的开发也会产生完全不同的影响。这里 $\beta$ 的值分别取2和5，绘制不同布井方向下各向异性大小对正五点井网流场的影响。绘制流场时，按照流线间流量变化幅度相同绘制。流线表征了注入流体运动的轨迹，流线疏密表征了注入流体运动路线的散落或集中，能够间接反映注入流体通量的大小。若流线分布均匀，则驱替流体近似均匀驱替，反之则流线集中之处为驱替流体主要流动地带。

2.1 渗透率主轴方向平行于井排方向

$\theta=0$ 时，五点井网中井排方向与渗透率主轴方向平行。从图 2中可以看出，此时，正五点井网中流线对称均匀分布，且对于同一井网单元中的4口生产井，它们的流场分布和生产特征完全相同，呈现出均匀驱替的特征。随着各向异性程度的不断增加，这种均匀驱替的特征也不会改变，但是，流场的流动特征将会发生改变，流场随着各向异性程度的增大不断地向最大主渗透率方向偏移。

总的来说，当井排方向与渗透率主轴方向平行时，无论各向异性的大小如何改变，五点井网中注入井和生产井对应的注采关系始终保持不变，改变的只是流体的流动轨迹。

2.2 渗透率主轴方向平行于注采井连线方向

$\theta=45.0°$ 时，正五点井网的注采井连线方向平行于主渗透率方向。

从图 3中可以看出，当注采井连线方向与渗透率主轴方向平行时，流体会沿着最大渗透率方向突进，位于最大主渗透率方向上的生产井见水时间早，水驱控制面积大，在图 3的流场图中表现出流向该种生产井的流线条数多、流线场面积大，而且随着各向异性程度的增强，这种流场优势会表现的更加明显。对于该种布井方式，最小主渗透率方向附近的区域很难被波及到，水驱开发效果差，表现为非均匀驱替的特征。一般而言，如果采用注采井连线方向平行于渗透率主值方向的井网形式进行开发，各向异性程度的变化也不会影响到五点井网中注入井和生产井对应的注采关系，但对于不同生产井的水驱生产特征来说，它们之间的差异会越来越大，进行有效的井网优化十分必要。

2.3 其他情况

以 $\theta=45.0°$ 为例，代表井网单元中任意两口井的连线都既不平行又不垂直于渗透率主轴方向的这一类情形。

从图 4中可以看出，当井网单元中任意两口井的连线都既不平行又不垂直于渗透率主轴方向时，各向异性程度的大小会严重影响到实际井网驱替单元的组成，当各向异性比值足够大时，甚至可能引起井网的破坏和重组作用。

将位于坐标系原点处的注水井w0和它周围距离最近的四口生产井w1、w2、w3、w4组成的井网单元记做原始井网单元a，如图 4所示。从图 4b的流场图中可以看出，原始井网单元a中的生产井w2、w4并没有接收到任何来自注水井w0的流线，而本来不属于井网单元a的采油井w5、w7此时却接收到来自于w0的流线，也就是说w0与w5、w7之间形成了新的注采关系，这破坏了原始的井网单元，注水井w0与采出井w1、w5、w3、w7组成了图 4b虚线所示的新的井网单元，最初的注采关系被破坏，新的注采关系形成，实现了井网的破坏和重组。

通过对3种情况的对比分析，可以发现：从流场分布方面进行分析，各向异性油藏中流体的流动会向最大渗透率主轴的方向偏移，靠近该方向的流线分布比较密集，远离该方向的流线分布则较为稀疏。且流向位于最大渗透率主轴附近的生产井的流线较多、流量较大，也就是说流体主要是沿着最大主渗透率方向向生产井汇聚；从井网单元结构方面进行分析，当井网单元中任意两口井的连线平行或者垂直于渗透率的主轴方向时，各向异性并没有影响到井网单元的组成，只是影响了井网单元中注入井与采出井的相对距离，反之，各向异性的改变可能导致井网单元的破坏，改变井网的注采关系。因此，在进行井网设计时，采取井网单元中任意两口井的连线平行或者垂直于渗透率主轴方向的布井方式能够有效避免五点井网破坏和重组作用的发生。

3 水驱开发指标计算

沿着流线的质量守恒方程为

$\phi \dfrac{\partial {{S}_{{\rm w}}}}{\partial t}+v\dfrac{\partial {{f}_{{\rm w}}}}{\partial s}=0$

(10)

沿着流线求解饱和度方程时，通过引进传播时间的函数 $\tau $ ，将方程(10)化为

$\dfrac{\partial {{S}_{{\rm w}}}}{\partial t}+\dfrac{\partial {{f}_{{\rm w}}}}{\partial \tau }=0$

(11)

式(10)中， ${\rm d}\tau =\phi \dfrac{{\rm d}s}{v}=\phi \dfrac{\sqrt{{\rm d}{{{\tilde{x}}}^{2}}+{\rm d}{{{\tilde{y}}}^{2}}}}{\sqrt{v_{{\tilde{x}}}^{2}+v_{{\tilde{y}}}^{2}}}$ 。

利用特征线方法求解式(11)，将偏微分方程化为常微分方程组，为

$\dfrac{{\rm d}\tau }{{\rm d}t}=\dfrac{{\rm d}{{f}_{{\rm w}}}}{{\rm d}{{S}_{{\rm w}}}}=f_{\rm w}^{'}({{S}_{{\rm w}}})$

(12)

$\dfrac{{\rm d}{{S}_{{\rm w}}}}{{\rm d}t}=0$

(13)

由式(13)可以看出沿着特征线饱和度为常数，因此，沿着特征线含水率导数也为常数，那么对于式(12)，特征线的传播速度也为常数。对于任意含水饱和度S_w，通过对式(12)积分很容易求得任意时刻S_w在流线上的位置。沿着不同流线求解饱和度方程，并对所有流线的计算结果进行汇总，最终可以得到面积井网的饱和度分布、波及系数、含水率和采出程度等开发指标。

3.1 面积波及系数

各向异性对五点井网见水时的波及效率的影响曲线见图 5。

由图 5可见，五点井网井排方向不同，各向异性的变化对其波及系数的影响也不同。当井排方向与渗透率主轴方向一致时，随着各向异性程度的增加，五点井网的见水时间变晚，见水时的波及效率增加；当注采井方向与渗透率主轴方向平行或者垂直时(也就是井排方向为45°时)，随着各向异性程度增加，五点井网的见水时间变早，见水时刻的波及效率降低，这是由于各向异性程度的增大会导致注入水沿着最大渗透率方向率先突破而造成的。

除了上述两种情况外，井网单元中任意两口井的连线方向都既不平行又不垂直于渗透率主轴方向时，各向异性程度的增加与见水时的波及效率之间并没有呈现出单调递增或者单调递减的特征，不能观察到明显的规律性，原因在于各向异性的存在导致该类布井方式下五点井网的破坏和重组作用的发生，井网单元的结构和组成也不断发生变化。

3.2 采出程度{\twodash

含水率}不同各向异性条件下五点井网的采出程度-含水率曲线如图 6所示。

当生产井含水率相等时，由于井排方向与渗透率主轴方向一致情况下(井排方向为0°)，井网生产井同时见水，水驱前缘均匀推进，故其采出程度最高，而注采井方向与渗透率主轴方向平行或者垂直的情况下(井排方向为45°)，由于注入水沿着最大渗透率方向快速推进，位于最大渗透率方向上生产井迅速见水，故其采出程度最低。

4 结论

(1) 各向异性油藏中五点井网的布井方向对水驱开发效果有着不可忽视的影响。当五点井网中任意两口井的连线平行或者垂直于渗透率的主轴方向时，五点井网的注采关系不会随着各向异性程度的改变发生变化，若非此类情况，五点井网可能发生破坏和重组作用，原始注采关系被破坏，新的注采关系重新形成。

(2) 当五点井网中任意两口井的连线平行或者垂直于渗透率的主轴方向时，井网见水时的面积波及效率与各向异性程度的大小呈现出单调递增或者单调递减的关系，其他情况下，由于井网破坏和重组现象的存在，则不存在这种单调关系。

(3) 井网的破坏和重组作用是由各向异性的方向和大小两者共同决定，为了有效避免这种现象的发生，井网设计时最好选择使五点井网中任意两口井的连线平行或者垂直于渗透率的主轴方向。

符号说明

$x$ ， $y$ —原始直角坐标，m；

$K$ —渗透率，mD；

$p$ —油藏压力，MPa；

$\mu$ —流体黏度，mPa $\cdot$ s；

$\phi$ —孔隙度，%；

$C_{\rm t}$ —油藏压缩系数，MPa $^{-1}$ ；

$a'$ —坐标变换系数，无因次；

$\tilde K$ —坐标变换后的等效渗透率，mD；

$\beta$ —各向异性程度，无因次；

$\tilde x$ ， $\tilde y$ —进行坐标变换后的新坐标，m；

$a$ —井距，m；

$d$ —排距，m；

$e$ —采油井偏离注水井的位置，m；

$\theta$ —井排方向与最大主渗透率方向之间的夹角，(°)；

$\tilde \theta$ — $\tilde x\tilde y$ 坐标轴下井排方向与最大主渗透率方向之间的夹角，(°)；

$\tilde a$ — $\tilde x\tilde y$ 坐标轴下的井距，m；

$\tilde d$ — $\tilde x\tilde y$ 坐标轴下的排距，m；

$\tilde e$ — $\tilde x\tilde y$ 坐标轴下的采油井偏离注水井的位置，m；

$q$ —井口流量，m³/s；

$h$ —油藏厚度，m；

$s$ —沿着流线的运移距离，m；

$v_{\tilde x}$ — ${\tilde x}$ 向渗流速度，m/s；

$v_{\tilde y}$ — ${\tilde y}$ 向渗流速度，m/s；

$\tau $ —沿着流线的传播时间，s；

t—注水时间，s；

S_w—含水饱和度，无因次；

f_w—含水率，无因次；

$f_{\rm w}'$ —含水率导数，无因次；

下标 $x$ ， $y$ — $x$ 向、 $y$ 向；

下标 $\tilde x$ ， $\tilde y$ — $\tilde x$ 向、 $\tilde y$ 向。