引言

国内外学者对断层封闭性的试井研究主要集中于封闭断层，而对非封闭断层尤其是有限导流断层的研究较少^[1-8]。一般的，常用于判别封闭断层的方法就是Horner半对数曲线法^[9]。1975年，Prasad和Tiab等^[10-12]将存在一条封闭断层边界的模型扩展到多条交叉或者平行的封闭断层模型。Bixel^[13]首次提出将断层视为非封闭边界，但他所建立模型仅仅考虑岩石和流体性质在平面上发生突然变化的情形，Kuchuk^[14]后来对该模型的求解方法进行了完善。1984年，Stewart和Streltsova^[15-16]在Bixel研究的基础上通过数值模拟研究了部分连通断层对干扰试井的影响。1987年，Yaxely^[17]推导了无限大均质油藏中含有部分连通断层模型的解析解。在此基础上，Ambastha^[18]进一步研究了复合油藏中存在部分连通断层边界的井底压力响应特征。Bixel、Yaxely、Ambastha他们所建立的模型仅仅考虑了流体横向通过断层面，并没有考虑断层内部的流动。当断层的渗透率大于其储层附近的渗透率时，断层内部是可能出现流体流动的，此时表现出有限导流断层的特征。1992年，Abbaszadeh^[19]利用点源函数方法建立了有限导流断层与储层的耦合模型，但计算过程非常复杂，计算精度也不能保证。因此，本文通过引入Everdingeen^[20]和Hurst^[21]提出的界面表皮的概念，建立了条带状油藏中存在有限导流断层的不稳定渗流模型，绘制了模型的井底压力响应特征曲线并对相关的影响因素进行了分析，在一定程度上解决了存在有限导流断层边界的试井资料的解释问题，具有较强的理论意义和实际应用价值。

1 渗流物理模型

两条平行不渗透边界的条带状油藏中存在有限导流断层的情形，其三维示意图和简化的平面示意图如图 1所示。

条带状油藏中存在有限导流断层渗流问题可简化为存在有限导流断层边界的半无限大地层中定产量生产的一口激动井的压降分布问题。模型包括断层内部区域、断层周围的变动区域以及断层两侧的储层区域，断层内部的渗透率大于两侧储层的渗透率，储层流体允许通过断层并沿断层流动，如图 2所示，模型的假设条件如下。

(1) 断层两侧的岩石特性、储层厚度及渗透率不同，但同一区域内为均质油藏且各向同性，各区内的孔隙度和渗透率等地层参数不随压力变化。

(2) 油藏流体为单向微可压缩液体，压缩系数及黏度保持不变，流动服从达西定律。

(3) 激动井为定产量线源。

(4) 考虑井筒储集效应和表皮效应。

(5) 引入界面表皮的概念考虑两个储层区域之间断面的传导率。

(6) 忽略重力和毛管力的影响。

2 数学模型的建立及求解 2.1 数学模型的建立

根据图 1所建立的坐标系和上述假设条件，以基本的渗流力学理论为依据，可推导出条带状地层中存在有限导流断层的无因次试井解释模型。

(1) 渗流微分方程

Ⅰ区

$ \dfrac{{{\partial }^{2}}{{p}_{\rm 1D}}}{\partial x_{\rm D}^{2}}+\dfrac{2{{\pi }^{2}}}{{{w}_{\rm D}}}\delta ({{x}_{\rm D}}-{{a}_{\rm D}})\delta ({{y}_{\rm D}}-{{b}_{\rm D}})+\\{\kern 40pt}{{\left( \dfrac{\pi }{{{w}_{\rm D}}} \right)}^{2}}\dfrac{{{\partial }^{2}}{{p}_{\rm 1D}}}{\partial y_{\rm D}^{2}}=\dfrac{\partial {{p}_{\rm 1D}}}{\partial {{t}_{\rm D}}}\quad \left( {{x}_{\rm D}}>0 \right) $

(1)

Ⅱ区

$ \dfrac{{{\partial }^{2}}{{p}_{\rm 2D}}}{\partial x_{\rm D}^{2}}+{{\left( \dfrac{\pi }{{{w}_{\rm D}}} \right)}^{2}}\dfrac{{{\partial }^{2}}{{p}_{\rm 2D}}}{\partial y_{\rm D}^{2}}=\dfrac{1}{{{\eta }_{\rm D}}}\dfrac{\partial {{p}_{\rm 2D}}}{\partial {{t}_{\rm D}}}\quad \left( {{x}_{\rm D}}<0 \right) $

(2)

断层

$ {{\left( \dfrac{\pi }{{{w}_{\rm D}}} \right)}^{2}}\dfrac{{{\partial }^{2}}{{p}_{\rm fD}}}{\partial {{y}_{\rm D}}^{2}}+\dfrac{1}{{{F}_{\rm CD}}}{{\left( \dfrac{\partial {{p}_{\rm 1D}}}{\partial {{x}_{\rm D}}}-M{{h}_{\rm D}}\dfrac{\partial {{p}_{\rm 2D}}}{\partial {{x}_{\rm D}}} \right)}_{{{x}_{\rm D}}=0}}\\{\kern 40pt}=\dfrac{1}{{{\eta }_{\rm fD}}}\dfrac{\partial {{p}_{\rm fD}}}{\partial {{t}_{\rm D}}}\quad \left( {{x}_{\rm D}}=0 \right) $

(3)

式中：${{p}_{\rm 1D}}=\dfrac{2\pi {{K}_{1}}{{h}_{1}}}{{{\mu }_{1}}q}\left[{{p}_{\rm i}}-{{p}_{1}}(x, y, t) \right]$；

$ {{x}_{\rm D}}=\dfrac{x}{{{r}_{\rm w}}}；\\ {{w}_{\rm D}}=\dfrac{w}{{{r}_{\rm w}}}；\\ {{a}_{\rm D}}=\dfrac{a}{{{r}_{\rm w}}}；\\ {{y}_{\rm D}}=\dfrac{\pi }{{{w}_{\rm D}}}\dfrac{y}{{{r}_{\rm w}}}；\\ {{b}_{\rm D}}=\dfrac{\pi }{{{w}_{\rm D}}}\dfrac{b}{{{r}_{\rm w}}}；\\ {{t}_{\rm D}}={{\left( \dfrac{K}{\phi \mu {{C}_{\rm t}}} \right)}_{1}}\dfrac{t}{r_{\rm w}^{2}}；\\ {{p}_{\rm 2D}}=\dfrac{2\pi {{K}_{2}}{{h}_{2}}}{{{\mu }_{2}}q}\left[{{p}_{\rm i}}-{{p}_{2}}(x, y, t) \right]；\\ {{\eta }_{\rm D}}=\dfrac{{{\eta }_{2}}}{{{\eta }_{1}}}；\\ {{p}_{\rm fD}}=\dfrac{2\pi {{K}_{1}}{{h}_{1}}}{{{\mu }_{1}}q}\left[{{p}_{\rm i}}-{{p}_{\rm f}}(y, t) \right]；\\ {{F}_{\rm CD}}=\dfrac{{{K}_{\rm f}}{{w}_{\rm f}}}{{{K}_{1}}{{r}_{\rm w}}}；\\ M=\dfrac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}；\\ {{h}_{\rm D}}=\dfrac{{{h}_{2}}}{{{h}_{1}}}；\\ {{\eta }_{\rm fD}}=\dfrac{{{\eta }_{\rm f}}}{{{\eta }_{1}}} 。$

(2) 初始条件

$ {{p}_{\rm 1D}}({{x}_{\rm D}}, {{y}_{\rm D}}, 0)={{p}_{\rm 2D}}({{x}_{\rm D}}, {{y}_{\rm D}}, 0)=\\ {\kern 40pt}{{p}_{\rm fD}}({{y}_{\rm D}}, 0)=0 $

(4)

(3) 边界条件

x方向的边界条件

$ {{p}_{\rm 1D}}(+\infty, {{y}_{\rm D}}, {{t}_{\rm D}})={{p}_{\rm 2D}}(-\infty, {{y}_{\rm D}}, {{t}_{\rm D}})\rm{=}0 $

(5)

y方向的边界条件

$ {{\left. \dfrac{\partial {{p}_{\rm 1D}}}{\partial {{y}_{\rm D}}} \right|}_{{{y}_{\rm D}}=\pi }}={{\left. \dfrac{\partial {{p}_{\rm 1D}}}{\partial {{y}_{\rm D}}} \right|}_{{{y}_{\rm D}}=0}}={{\left. \dfrac{\partial {{p}_{\rm 2D}}}{\partial {{y}_{\rm D}}} \right|}_{{{y}_{\rm D}}=\pi }}=\\[6pt] {\kern 40pt}{{\left. \dfrac{\partial {{p}_{\rm 2D}}}{\partial {{y}_{\rm D}}} \right|}_{{{y}_{\rm D}}=0}}{{\left. =\dfrac{\partial {{p}_{\rm fD}}}{\partial {{y}_{\rm D}}} \right|}_{{{y}_{\rm D}}=\pi }}={{\left. \dfrac{\partial {{p}_{\rm fD}}}{\partial {{y}_{\rm D}}} \right|}_{{{y}_{\rm D}}=0}}=0 $

(6)

(4) 连接条件

$ {{\left( {{p}_{\rm 1D}}-{{p}_{\rm fD}} \right)}_{{{x}_{\rm D}}=0}}=S{{\left. \dfrac{\partial {{p}_{\rm 1D}}}{\partial {{x}_{\rm D}}} \right|}_{{{x}_{\rm D}}=0}} $

(7)

$ {{\left( {{p}_{\rm fD}}-{{p}_{\rm 2D}} \right)}_{{{x}_{\rm D}}=0}}=M{{h}_{\rm D}}S{{\left. \dfrac{\partial {{p}_{\rm 2D}}}{\partial {{x}_{\rm D}}} \right|}_{{{x}_{\rm D}}=0}} $

(8)

2.2 数学模型的求解

对无因次试井模型式(1)~式(8) 采用基于${{y}_{\rm D}}$的有限Fourier余弦变换和基于${{t}_{\rm D}}$的Laplace变换并化简，求解可得

$ {{\hat{\bar{p}}}_{\rm 1D}}\left( {{x}_{\rm D}}, m, z \right)=-\dfrac{{{\alpha }_{3}}}{2\sqrt{{{\alpha }_{1}}}}\left[{{\rm e}^{-\sqrt{{{\alpha }_{1}}}\left| {{x}_{\rm D}}-{{a}_{\rm D}} \right|}}+\dfrac{{{C}_{\rm p}}\sqrt{{{\alpha }_{1}}}-C_{\rm p}^{'}}{{{C}_{\rm p}}\sqrt{{{\alpha }_{1}}}+C_{\rm p}^{'}}{{\rm e}^{-\sqrt{{{\alpha }_{1}}}\left( {{x}_{\rm D}}+{{a}_{\rm D}} \right)}} \right]\quad \ \\ \left( {{x}_{\rm D}}>0 \right) $

(9)

$ {{\hat{\bar{p}}}_{\rm 2D}}\left( {{x}_{\rm D}}, m, z \right)=-\dfrac{{{\alpha }_{3}}{{\rm e}^{\sqrt{{{\alpha }_{2}}}{{x}_{\rm D}}-\sqrt{{{\alpha }_{1}}}{{a}_{\rm D}}}}}{{{C}_{\rm p}}\sqrt{{{\alpha }_{1}}}+C_{\rm p}^{'}}\ \ \ \left( {{x}_{\rm D}}<0 \right) $

(10)

求生产井的井底压力时，令${{x}_{\rm D}}={{a}_{\rm D}}-1$，${{y}_{\rm D}}={{b}_{\rm D}}$，可得

$ {{\hat{\bar{p}}}_{\rm wD}}\left( {{x}_{\rm D}}, m, z \right)=-\dfrac{{{\alpha }_{3}}}{2\sqrt{{{\alpha }_{1}}}}\left[{{\rm e}^{-\sqrt{{{\alpha }_{1}}}}}+\dfrac{{{C}_{\rm p}}\sqrt{{{\alpha }_{1}}}-C_{\rm p}^{'}}{{{C}_{\rm p}}\sqrt{{{\alpha }_{1}}}+C_{\rm p}^{'}}{{\rm e}^{-\sqrt{{{\alpha }_{1}}}\left( 2{{a}_{\rm D}}-1 \right)}} \right]\quad \ \left( {{x}_{\rm D}}>0 \right) $

(11)

式中：$C_{\rm p}^{'}=M{{h}_{\rm D}}\sqrt{{{\alpha }_{2}}}+{{F}_{\rm CD}}\sqrt{{{\alpha }_{4}}}\left( 1+M{{h}_{\rm D}}S\sqrt{{{\alpha }_{2}}} \right)$；   ${{C}_{\rm p}}=1+S\left( C_{\rm p}^{'}+M{{h}_{\rm D}}\sqrt{{{\alpha }_{2}}} \right)$；

$ {{\alpha }_{1}}=\left[{{\left( \dfrac{m\pi }{{{w}_{\rm D}}} \right)}^{2}}+z \right]；\\ {{\alpha }_{2}}=\left[{{\left( \dfrac{\pi m}{{{w}_{\rm D}}} \right)}^{2}}+\dfrac{z}{{{\eta }_{\rm D}}} \right]；\\ {{\alpha }_{3}}=-\dfrac{2{{\pi }^{2}}}{z{{w}_{\rm D}}}\cos \left( m{{b}_{\rm D}} \right)；\\ {{\alpha }_{4}}=\left[{{\left( \dfrac{\pi m}{{{w}_{\rm D}}} \right)}^{2}}+\dfrac{z}{{{\eta }_{\rm fD}}} \right] 。$

3 典型曲线的绘制及特征分析

对${{\hat{\bar{p}}}_{\rm wD}}\left( {{x}_{\rm D}}, m, z \right)$进行Fourier、Laplace逆变换，通过计算，可绘制条带状油藏中存在有限导流断层边界的井底压力响应典型曲线图版(图 3)。

从图 3中可以看出，条带状油藏中存在有限导流断层边界的井底压力响应典型曲线可以划分为7个流动阶段：第Ⅰ段是纯井筒储集阶段，压力和压力导数重合，反映的是井储阶段的压力响应特征；第Ⅱ段是过渡段，描述纯井筒储集阶段到Ⅰ区径向流阶段的压力响应特征；第Ⅲ段是Ⅰ区径向流阶段，压力导数曲线表现为0.5水平线；第Ⅳ段是流体从Ⅰ区向有限导流断层交界面的流动阶段，曲线上翘幅度反映了交界面处界面表皮大小；第Ⅴ段是有限导流断层边界内部线性流阶段，压力导数曲线表现为1/2斜率的直线；第Ⅵ段是流体从有限导流断层向Ⅱ区地层渗流阶段；第Ⅶ段是整个系统的线性流阶段，压力导数曲线表现为1/2斜率的直线。

3.1 无因次断层导流能力的影响

图 4表示当井位于条带状地层中央并且靠近有限导流断层界面($a_{\rm D} < b_{\rm D} $)时，无因次断层导流能力$F_{\rm CD}$对井底压力动态曲线的影响。

从图 4中可以看出，压力波在传播到两平行断层边界之前会先传播到有限导流断层界面处。在压力波传播到有限导流断层界面之前，井底压降只取决于Ⅰ区岩石、流体性质，与导流能力$F_{\rm CD}$、界面表皮$S$无关。当压力波传播到区域交界面，先是由于交界面处界面表皮系数的存在，流体流动性变差，压力导数曲线先出现上升，在此之后，由于交界面处断层内部的渗透率高于两区地层的渗透率，地层流动性能变好，流体流动所消耗的压降也变小，无因次压力及压力导数曲线位置就会降低，且导流能力$F_{\rm CD}$越大，压力及压力导数曲线越靠下。当压力波到达两平行断层边界时，压力导数曲线表现为1/2斜率的直线，且该直线出现时间的早晚与导流能力$F_{\rm CD}$有关，$F_{\rm CD}$越大，该直线出现的时间越晚。

3.2 界面表皮$S$的影响

图 5表示的是当井位于条带状地层中央并且靠近有限导流断层界面($a_{\rm D} < b_{\rm D} $)时，断层的界面表皮$S$对井底压力动态曲线的影响。

由图 5可知，经过井储和Ⅰ区径向流阶段，压力波首先传播到区域交界面，由于界面表皮系数$S$的存在，流体流动的阻力增加，流动所消耗的压降增加，无因次压力及压力导数曲线位置就会升高，且界面表皮$S$值越大，压力及压力导数曲线越靠上，如图当$S=10^{5}$时，压力导数曲线表现出值为1的水平线，此时表现出封闭断层的特征。在此之后，由于界面处断层的渗透率高于两区地层的渗透率，流体流动性变好，当$S$值较小时，压力导数曲线直接表现出下凹的特征，当$S$值较大时，界面表皮的影响结束后，表现出断层内部流体的线性流，压力导数曲线为1/2斜率的直线，之后再表现出下凹的特征。最后当压力波传播到两平行断层界面时，压力导数曲线为1/2斜率的直线，该直线出现时间的早晚取决于$S$值的大小，$S$越大，该直线出现越晚。

3.3 无因次断层导压系数的影响

图 6表示的是当井位于条带状地层中央并且靠近有限导流断层界面($a_{\rm D} < b_{\rm D} $)时，无因次断层导压系数${\eta _{\rm fD}}$对井底压力动态曲线的影响。

如图 6所示，在井储阶段和Ⅰ区径向流阶段，压力波首先传播到区域交界面，但由于界面界面表皮$S$的存在，流体流动的阻力增加，流动所消耗的压降增加，在无因次压力及压力导数曲线上表现为对应的位置相应升高；在此之后，由于界面处断层的渗透率高于两区地层的渗透率，流体流动性变好，压力导数曲线在相应的位置表现出了下降的特征，曲线下降的幅度取决于${\eta _{\rm fD}}$值的大小：${\eta _{\rm fD}}$值越小，断层内部的储集能力越大，相应压力导数曲线越靠下。当压力波传播到两平行断层界面时，压力导数曲线趋近于斜率为1/2的直线，该直线出现时间的早晚取决于${\eta _{\rm fD}}$值的大小，${\eta _{\rm fD}}$越大，该直线出现越早。

3.4 流度比、厚度比、导压系数比的影响

图 7~图 9为是当井处于油藏中央且靠近有限导流断层界面($a_{\rm D} < b_{\rm D} $)时，流度比$M$对井底压力动态曲线的影响。对比这3个图可以看出，流度比对典型曲线的影响在导流能力$F_{\rm CD}$值较小时表现较为明显，如图 7所示，在导流能力很小时，由于流度比小于1，Ⅱ区的流动性变差，流体流动所消耗的压降增加，压力导数曲线的位置就会上升，表现出近似于封闭断层的特征。如图 9所示，在导流能力很小时，由于流度比大于1，Ⅱ区的流动性变好，流体流动所消耗的压降也变小，无因次压力及压力导数曲线位置会降低。但无论是流度比大于或者小于1，当$F_{\rm CD}$值较大时，流度比的影响不明显。

厚度比与导压系数比对典型曲线的影响与流度比对典型曲线的影响类似，就不再赘述。

4 结论

(1) 无因次断层导流能力越大，断层内部的渗透率越高于两区地层的渗透率，流体流动性能越好，流体流动所消耗的压降也越小，无因次压力及压力导数曲线位置就越靠下。

(2) 界面表皮系数越大，流体在地层中流动的阻力越大，压力损失就越大，无因次压力及压力导数曲线位置就越靠上。

(3) 无因次断层导压系数值越小，断层内部的储集能力越大，为流体流动所提供能量越大，相应压力导数曲线下降越多。

(4) 流度比对典型曲线的影响在导流能力值较小时表现较为明显，流度比增大，流体流动性变好，压降减小，无因次压力及压力导数曲线下降，当导流能力数值较大时，流度比对典型曲线的影响不明显，厚度比与导压系数比对典型曲线的影响与流度比类似。

符号说明

$F_{\rm CD}$—无因次导流能力；

${{\eta }_{\rm fD}}$—无因次断层导压系数；

$q_{\rm fL}$—从断层左侧油藏流入断层的流量，m$^3$/d；

$q_{\rm fR}$—从断层右侧油藏流入断层的流量，m$^3$/d；

$q_{\rm f}$—断层内部的流量，m$^3$/d；

${{h}_{1}}$、${{h}_{2}}$—Ⅰ区、Ⅱ区地层厚度，m；

$w$—断层宽度，m；

$x$、$y$—直角坐标系，m；

${{p}_{1}}$、${{p}_{2}}$—Ⅰ区、Ⅱ区压力，MPa；

${{K}_{1}}$、${{K}_{2}}$—Ⅰ区、Ⅱ区地层渗透率，mD；

${{\mu }_{1}}$、${{\mu }_{2}}$—Ⅰ区、Ⅱ区流体黏度，mPa$\cdot$s；

${{\phi }_{1}}$、${{\phi }_{2}}$—Ⅰ区、Ⅱ区孔隙度，%；

${{C}_{\rm t1}}$、${{C}_{\rm t2}}$—Ⅰ区、Ⅱ区地层综合压缩系数，MPa$^{-1}$；

$a$、$b$—井点横、纵坐标，m；

$S$—表皮系数，无因次；

${{p}_{\rm L}}$、${{p}_{\rm R}}$—断层左侧、右侧压力，MPa；

${{p}_{\rm f}}$—断层内部的压力，MPa；

${{K}_{\rm f}}$—断层内部的渗透率，mD；

${{w}_{\rm f}}$—断层的宽度，m；

$M$—流度比，无因次；

$\delta $—$\delta $函数，无因次；

${{p}_{\rm 1D}}$、${{p}_{\rm 2D}}$、${{p}_{\rm fD}}$—Ⅰ区、Ⅱ区、断层系统的无因次压力；

${{x}_{\rm D}}$、${{y}_{\rm D}}$—无因次横、纵坐标；

${{w}_{\rm D}}$—无因次宽度；

${{a}_{\rm D}}$、${{b}_{\rm D}}$—无因次井点横、纵坐标；

${{t}_{\rm D}}$—无因次时间；

${{\eta }_{\rm D}}$—导压系数比，无因次；

${{h}_{\rm D}}$—厚度比，无因次；

$\mu$—黏度，mPa$\cdot$s；

$q$—产量，m$^3$/d；

$t$—时间，d；

$p_{\rm i}$—底层原始压力，MPa；

$r_{\rm w}$—井眼半径，m；

$K$—渗透率，mD；

$\phi$—孔隙度，$\%$；

$C_{\rm t}$—综合压缩系数，MPa$^{-1}$；

${{\lambda}_{1}}$、${{\lambda}_{2}}$—Ⅰ区、Ⅱ流度，D$\cdot$m/(Pa$\cdot$s)；

${{\eta}_{1}}$、${{\eta}_{2}}$—Ⅰ区、Ⅱ导压系数，$\times$10$^{-4}$ m$^{2}$/s；

${{\eta }_{\rm f}}$—断层的导压系数，$\times$10$^{-4}$ m$^{2}$/s；

${{\hat{\bar{p}}}_{\rm 1D}}$，${{\hat{\bar{p}}}_{\rm 2D}}$，${{\hat{\bar{p}}}_{\rm wD}}$—变换后的无因次Ⅰ区、Ⅱ区压力和无因次井底压力；

$m$—傅氏变量；

$z$—拉氏变量；

${{p}_{\rm wD}}$—无因次井底压力；

${{p'}_{\rm wD}}$—无因次井底压力导数；

$S_{\rm F}$—裂缝表皮系数，无因次。