引言

相对渗透率曲线是研究油层多相渗流的基础数据之一，其应用十分广泛^[1-7]。相渗关系表征主要研究油层各相流体相对渗透率与流体饱和度之间的关系^[1-3]。相渗关系表征是油田油水渗流规律研究工作中的一个重要内容，尤其是在油藏工程、水驱油理论以及油藏数值模拟计算等领域，应用十分广泛^[1-10]。目前，对于油水两相储层而言，其相渗关系表征主要是通过岩芯样品的室内油水相对渗透率实验数据拟合得到，认为油水相对渗透率之比与含水饱和度指数式呈线性关系^[1-11]。但是，由于拟合模型的精度所限，以往的拟合方法在特低含水饱和度和特高含水饱和度时相渗关系表征误差较大，因而造成在这两个阶段油藏工程计算分析、数值模拟历史拟合等方面出现较大误差等问题^[11-16]。本文通过重新分析实验数据，以水湿岩石油水两相渗流为例，基于Weibull模型提出了一种新的油水相渗与含水饱和度之间的函数表征关系，以期解决上述问题，提高油藏工程计算和数值模拟的预测精度。

1 传统油水相渗与含水饱和度关系

根据传统油层物理学认为，在半对数坐标系中，油水相对渗透率比值$K_{\rm{ro}}/K_{\rm{rw}}$与含水饱和度$S_{\rm{w}}$关系曲线如图 1所示，曲线中间主体段是直线，由于这一直线段正好是矿场实际中常用的范围，于是认为该直线段可以表示为

$ \dfrac{{\mathop K\nolimits_{{\rm{ro}}} }}{{\mathop K\nolimits_{{\rm{rw}}} }} = m{\rm{e}}^{ - nS_{\rm{w}}} $

(1)

式中：

$K_{\rm{ro}}$─原油相对渗透率，无因次；

$K_{\rm{rw}}$─地层水相对渗透率，无因次；

$S_{\rm{w}}$─含水饱和度，无因次；

m，n─系数，由直线段的截距、斜率求出。

这一直线关系在油田中─高含水阶段具有很好的适应性，但是特低含水期和特高含水期，实际的油水相渗比与含水饱和度的半对数函数关系已明显偏离直线，呈现出非线性关系特征(图 1)，传统的拟合计算公式已不再适用。

为了准确描述这种非线性关系，需要建立油水相渗与含水饱和度新的函数表征关系式，使其更符合特低含水饱和度和特高含水饱和度时油藏实际生产状况^[7]。

2 基于Weibull模型的相渗关系表征 2.1 Weibull模型

Weibull分布是瑞典科学家Weibull于1951年在研究链强度时提出的一种概率分布函数。它适用性广、覆盖性强，在疲劳可靠性分析、工程模拟评估等方面应用广泛^[17-18]。其两参数Weibull函数为

$ y = 1 - {\rm{e}}^{ - ax^b } $

(2)

式中：

y─两参数Weibull函数；

x─自变量；

a，b─大于零的待定常数。

该函数具有以下特征：当x趋向于0时，y亦趋向于0，当x趋向于正无穷时，y则趋向于1，即

$ \left. y \right|_{x \to 0} = 0 $

(3)

$ \left. y \right|_{x \to + \infty } = 1 $

(4)

同时，由式(2) 可得

$ \dfrac{1}{{1 - y}} = {\rm{e}}^{ax^b } $

(5)

对式(5) 两边取自然对数，可得

$ \ln \dfrac{1}{{1 - y}} = ax^b $

(6)

对式(6) 两边再取自然对数，可得

$ \ln \left( {\ln \dfrac{1}{{1 - y}}} \right) = \ln a + b\ln x $

(7)

由式(7) 可以看出，两参数Weibull函数y的双对数形式$\ln \left( {\ln \dfrac{1}{{1 - y}}} \right)$与lnx之间具有线性关系。

2.2 改进的相渗关系表征方法

对岩芯样品相渗实验数进行分析时，为了避免不同区块束缚水饱和度和残余油饱和度数值不同的影响，需对实验数据中的含水饱和度$S_{\rm{w}}$和含油饱和度$S_{\rm{o}}$进行标准化处理^[19-20]，即

$ \mathop S\nolimits_{{\rm{wn}}} = \dfrac{{S_{\rm{w}} - S_{{\rm{wc}}} }}{{1 - S_{{\rm{wc}}} - S_{{\rm{or}}} }} $

(8)

$ S_{{\rm{on}} } = \dfrac{{1 - S_{\rm{w}} - S_{{\rm{or}}} }}{{1 - S_{{\rm{wc}}} - S_{{\rm{or}}} }} $

(9)

式中：

$S_{\rm{wc}}$─束缚水饱和度，无因次；

$S_{\rm{or}}$─残余油饱和度，无因次；

$S_{\rm{wn}}$─标准化后的含水饱和度，无因次；

$S_{\rm{on}}$─标准化后的含油饱和度，无因次。

通过大量的岩芯样品相渗实验数据的分析，发现将两参数Weibull函数中x换为地层水相对渗透率与原油相对渗透率的比值$K_{\rm{rw}}$/$K_{\rm{ro}}$，y换为标准化后的含水饱和度$S_{\rm{wn}}$的双重自然对数形式与ln($K_{\rm{rw}}$/$K_{\rm{ro}}$)存在明显的线性关系(图 2)。以此为基础，基于Weibull模型提出了新的相渗关系表征函数，其表达式为

$ {S_{{\rm{wn}}}} = 1-{{\rm{e}}^{-a{{\left( {{K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{ro}}}}} \right)}^b}}} $

(10)

该相渗关系表征函数具有以下特点：当$K_{\rm{rw}}$/$K_{\rm{ro}}$趋向于0时，$S_{\rm{wn}}$亦趋向于0，当$K_{\rm{rw}}$/$K_{\rm{ro}}$趋向于正无穷时，$S_{\rm{wn}}$则趋向于1，即

$ {S_{{\rm{wn}}}}\left| {_{{K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{ro}}}} \to 0}} \right. = 0 $

(11)

$ {S_{{\rm{wn}}}}\left| {_{{K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{ro}}}} \to + \infty }} \right. = 1 $

(12)

式(11) 和式(12) 符合相渗关系表征函数的极限条件，可通过该模型对相渗关系进行表征。

由图 2可见，不同区块的水、油相对渗透率比值的自然对数ln($K_{\rm{rw}}$/$K_{\rm{ro}}$)与标准化后的含水饱和度$S_{\rm{wn}}$的双重自然对数表达式$\ln \left( {\ln \dfrac{1}{{1 - S_{{\rm{wn}}} }}} \right) $具有良好的线性关系，其表达式如下。

孤岛油田中二中Ng3油层

$ \ln \left( {\ln \dfrac{1}{{1 - S_{{\rm{wn}}} }}} \right) = 0.3326\ln \bigg(\dfrac{{K_{{\rm{rw}}} }}{{K_{{\rm{ro}}} }}\bigg) - 0.0995 $

(13)

即

$ {S_{{\rm{wn}}}} = 1-{{\rm{e}}^{-0.9053{{({K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{ro}}}})}^{0.3326}}}} $

(14)

$R^2$=0.996 6。

乐安油田草109块Es3油层

$ \ln \left( {\ln \dfrac{1}{{1 - S_{{\rm{wn}}} }}} \right) = 0.3827\ln \left( {\dfrac{{K_{{\rm{rw}}} }}{{K_{{\rm{ro}}} }}} \right) - 0.1208 $

(15)

即

$ {S_{{\rm{wn}}}} = 1-{{\rm{e}}^{-0.8862{{({K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{ro}}}})}^{0.3827}}}} $

(16)

$R^2$=0.998 3。

孤东油田九区Ng5油层

$ \ln \left( {\ln \dfrac{1}{{1 - S_{{\rm{wn}}} }}} \right) = 0.3852\ln \left( {\dfrac{{K_{{\rm{rw}}} }}{{K_{{\rm{ro}}} }}} \right) - 0.3546 $

(17)

即

$ {S_{{\rm{wn}}}} = 1-{{\rm{e}}^{-0.7015{{({K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{ro}}}})}^{0.3852}}}} $

(18)

$R^2$=0.999 1。

其相关系数$R^2$均大于0.990 0，相关性良好，说明了两参数Weibull函数能较好地表征相对渗透率与含水饱和度之间的关系。通过改进的基于Weibull模型的相渗关系新的表征方法，不仅在中─高含水阶段具有很好的适应性，而且在特低含水期和特高含水期，仍具有相当高的预测精度，更符合油藏实际生产状况。

3 改进的水相分流率曲线公式

由前文可知，基于Weibull模型的油、水相对渗透率比值$K_{\rm{ro}}/K_{\rm{rw}}$与标准化后的含水饱和度$S_{{\rm{wn}}}$之间的关系式可以通过式(10) 解出，其表达式为

$ \dfrac{{K_{{\rm{ro}}} }}{{K_{{\rm{rw}}} }} = A\left( {\ln \dfrac{1}{{1 - S_{{\rm{wn}}} }}} \right)^{ - B} $

(19)

式中：

$A = a^{{\textstyle{1 \over b}}}$，$B = \dfrac{1}{b}$。

在一维条件下，忽略毛管压力和重力的作用，根据达西定律可以得到水相分流量曲线表达式

$ f_{\rm{w}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{\mu _{\rm{w}} }}{{\mu _{\rm{o}} }}\dfrac{{K_{{\rm{ro}}} }}{{K_{{\rm{rw}}} }}}} $

(20)

式中：

$f_{\rm{w}}$─含水率，无因次；

$\mu _{\rm{o}}$─原油黏度，mPa·s；

$\mu _{\rm{w}}$─地层水黏度，mPa·s。

将式(19) 代入式(20)，可以得出基于Weibull模型的分流量方程含水率$f_{\rm{w}}$新的表达式

$ f_{\rm{w}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{\mu _{\rm{w}} }}{{\mu _{\rm{o}} }}\dfrac{{K_{{\rm{ro}}} }}{{K_{{\rm{rw}}} }}}} = \dfrac{1}{{1 + A\dfrac{{\mu _{\rm{w}} }}{{\mu _{\rm{o}} }}\left( {\ln \dfrac{1}{{1 - S_{{\rm{wn}}} }}} \right)^{ - B} }} $

(21)

已知$\mu _{\rm{o}}$，$\mu _{\rm{w}}$，A和B，利用式(21)，即可求出含水率$f_{\rm{w}}$，进而提高其预测精度，指导油田开发实践。

4 应用效果分析

以上文提到的孤岛油田中二中Ng3油层中3-检18井的岩芯相对渗透率实验数据为例，应用基于Weibull模型推导的相渗分流量方程计算含水率$f_{\rm{w}}$，与传统油层物理学相渗分流量方程计算的含水率$f_{\rm{w}}$做比较，二者计算结果与实际实验数据对比分析如下。

中3-检18井取芯目的层位为上第三系馆陶组油层，其相渗实验用原油黏度$\mu _{\rm{o}}$=57.76 mPa·s，地层水黏度$\mu _{\rm{w}}$=0.582 0 mPa·s。某样品相渗实验数据如表 1所示。

根据上述实验数据，利用Weibull函数模型，通过线性拟合回归，可得到式(13) 待定系数a=0.905 3，b=0.332 6，可计算A=0.741 4，B=3.007，最终得到基于Weibull模型的相渗关系新的表征方法推导的相渗分流量方程为

$ f_{\rm{w}} = \dfrac{1}{{1 + 0.7414 \times \dfrac{{\mu _{\rm{w}} }}{{\mu _{\rm{o}} }}\left( {\ln \dfrac{1}{{1 - S_{{\rm{wn}}} }}} \right)^{ - 3.007} }} $

(22)

其中

$S_{{\rm{wn}}} = \dfrac{{S_{\rm{w}} - S_{{\rm{wc}}} }}{{1 - S_{{\rm{wc}}} - S_{\rm{or}} }} = 1.845S_{\rm{w}} - 0.3192$

而依据传统油层物理方法，可得出的相渗分流量方程为

$ f_{\rm{w}} = \dfrac{1}{{1 + 4239.9214 \times \dfrac{{\mu _{\rm{w}} }}{{\mu _{\rm{o}} }}{\rm{e}}^{ - 16.7143 \times S_{\rm{w}} } }} $

(23)

将两种方法计算的分流率曲线与实际实验结果(图 3)比较可以看出，基于Weibull模型的相渗关系新的表征方法推导的相渗分流量方程较传统油层物理学计算的分流量方程在特低─中含水饱和度范围内能大幅度提高产水率拟合精度，能为油藏开发动态分析，油藏数值模拟精度的提高提供基础。

5 结论

（1）在特低含水期和特高含水期，实际的油、水相对渗透率之比与含水饱和度指数式函数关系已明显偏离直线，呈现出非线性关系，传统的拟合计算公式已不再适用。

（2）大量的岩芯样品相渗实验数据的分析表明，水油相对渗透率比值的自然对数ln(${K_{{\rm{rw}}}}/{K_{{\rm{ro}}}}$)与标准化后的含水饱和度$S_{\rm{wn}}$的双重自然对数表达式$\ln \left( {\ln \dfrac{1}{{1 - S_{{\rm{wn}}} }}} \right)$之间具有良好的线性关系，两者之间符合Weibull函数关系。

（3）基于Weibull模型的相渗关系新的表征方法推导的相渗分流量方程，与传统油层物理学计算的分流量方程相比，能在特低-中含水期内能大幅度提高产水率拟合精度，进而提高油藏开发动态分析和油藏数值模拟准确性，具有极大的推广应用价值。