引言

油气上窜速度计算方法是井控作业关键技术，直接决定钻井液/完井液密度及性能参数设计、压井工艺及其参数确定，准确计算油气上窜速度可为钻井安全作业提供保障^[1-3]。当停泵后，钻井液处于静止状态，地层中油气不断侵入井筒并逐渐累积起来，轻则为游离天然气存在，严重时将形成气柱。开泵后，被油气侵入过的钻井液循环至地面时，会出现类似油气层的特征，这种停泵一段时间并在此开泵循环而出现的气测异常现象，均可以归纳为油气上窜现象。

目前，钻井行业通常利用相对时间法^[4]、泵冲法^[5]、迟到时间法（修改迟到时间法）^[6]、修改系数法^[7]、钻具排代法^[8]、全烃曲线法^[9]等计算油气上窜速度，这些方法在很大程度上为计算油气上窜速度提供便捷。然而，常规方法不考虑油相与气相滑脱，而以相同的上窜速度运移。由于气液密度差异较大，造成气体运移过程中滑脱现象较严重。基于此，笔者提出了离散滑脱滞后时间法计算油气上窜速度。

在钻井井控行业标准及诸多文献中^[10-13]，均统一用油气上窜速度的概念。当未考虑油气滑脱时，可以将油相及气相的上窜速度认为是相等，统一用油气上窜速度是合理的。当考虑油气滑脱后，油相及气相以不同的滑脱速度向井口运移，油相上窜速度与气相上窜速度应分开研究，文中着重研究气窜速度。由于不同井深，静止钻井液中气体上窜速度不相等，严格来说气体上窜速度应为平均气体上窜速度，为叙述方便，文中将静止钻井液中气体上窜平均速度统称为气窜速度。

1 模型建立

模型建立在以下假设条件下：（1）钻遇单一储层；（2）不考虑气液相间相互作用力；（3）假设开泵后，气相停止侵入井底。

图 1为气窜发展过程的3个时刻。图中$H_{\rm{Well}}$——井深，m；$H_{\rm{Oil}}$——油气储层深度，m；$H_{\rm{Mud}}$——单相钻井液段，m；$H_{\rm{Mix}}$——气—钻井液混合段，m。

图 1a为停泵时刻，此时气体开始侵入井筒中的静止钻井液。图 1b为开泵时刻，此时气体停止侵入井筒，部分井筒中混入气体。图 1c为井口监测到气体时刻，此时气—钻井液混合段沿井筒向井口运移，由于所受压力逐渐降低，气—钻井液混合段长度逐渐增大。

1.1 离散滑脱滞后时间模型

滑脱滞后时间定义为，当油气层中同井深气钻井液两相共同向井口运移过程中，由于气体滑脱现象，引发的钻井液相较气相滞后到达井口时间。模型建立在气体流动的两阶段中，第一阶段为停泵阶段，气体在静止钻井液中以浮游状态向井口运移。第二阶段为开泵阶段，气体以气钻井液两相流动形态向井口运移。

在第一阶段停泵中，气窜速度模型为

$ v = \frac{{{H_{{\rm{Oil}}}}-{H_{{\rm{Mud}}}}}}{{{T_{{\rm{Sta}}}}}} $

(1)

式中：$v$——气窜速度，m/s；

$T_{{\rm{Sta}}}$——停泵钻井液静止时间，s。

在第二阶段开泵中，假设钻井液相段长度为$H_{\rm{Mud}}$，将$H_{\rm{Mud}}$井段离散为$n$等份，每份井段长度为$H_{{\rm{Mud}, }i}$ ($i$=1，2…$n$)，则$H_{\rm{Mix}}$井段顶界气体从开泵时刻运移至井口的计算时间为

$ {T_{\rm{c}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{H_{{\rm{Mud}}, i}}}}{{({H_{{\rm{Bit}}}}/{T_{{\rm{Lat}}}}) + {v_{{\rm{s}}, i}}}}} $

(2)

式中：${T_{\rm{c}}}$——油气层顶界气体从开泵时刻运移至井口计算时间，s；

$ v_{{\rm{s}, }i}$——$i$井段气体滑脱速度，m/s；

$H_{{\rm{Bit}}}$——钻井液循环时钻头深度，m；

$T_{{\rm{Lat}}}$——钻头位置的钻井液迟到时间，s；

$H_{{\rm{Mud}, }i}$——$i$井段长度，m。

借助气体的显示时间，得到时间判断条件为

$ \left| {{T_{\rm{c}}}-{T_{\rm{s}}}} \right|<\Delta {T_{\rm{r}}} $

(3)

式中：$T_{\rm{s}}$——从开泵到监测到气体时间，s；

$\Delta {T_{\rm{r}}}$——计算精度，s。

当不考虑气体滑脱时，$v_{\rm{s}}$=0，则式 (1) 及式 (2) 变为常规的迟到时间模型^[6]

$ v = \dfrac{{{H_{{\rm{Oil}}}}-({H_{{\rm{Bit}}}}/{T_{{\rm{Lat}}}}) {T_{\rm{s}}}}}{{{T_{{\rm{Sta}}}}}} $

(4)

1.2 气液流动模型

欲求解式（2）中气体滑脱速度，需建立气/钻井液连续方程、气/钻井液运动方程。

气/钻井液相连续方程为

$ \dfrac{\partial }{{\partial t}}\iiint\limits_{{\Omega _{\rm{m}}}} {{\rho _{\rm{m}}}{\rm{d}}\Omega } + \iint\limits_{{A_{\rm{m}}}} {{\rho _{\rm{m}}}{v_{\rm{m}}}{n_{\rm{m}}}{\rm{d}}A} = 0 $

(5)

式中：$\Omega_{\rm{m}}$——气/钻井液相控制体；

$\rho_{\rm{m}}$——气/钻井液相密度，kg/m$^3$；

$v_{\rm{m}}$——气/钻井液相速度，m/s；

${\boldsymbol{n}_m}$——钻井液相法向；

$A_{\rm{m}}$——气/钻井液相占控制体有效横截面积，m$^2$。

气/钻井液相运动方程为

$ \dfrac{\partial }{{\partial t}}\iiint\limits_{{\Omega _{\rm{m}}}} {{\rho _{\rm{m}}}{v_{\rm{m}}}{\rm{d}}\Omega } + \iint\limits_{{A_{\rm{m}}}} {\rho _{\rm{m}}}v_{\rm{m}}^2{\boldsymbol{n}_{\rm{m}}}{\rm{d}}A =\\ \iint\limits_{{A_{\rm{m}}}} p{\boldsymbol{n}_{\rm{g}}}{\rm{d}}A-\iiint\limits_{{\Omega _{\rm{m}}}} {{\rho _{\rm{m}}}{\rm{g}}{\rm{d}}\Omega }-{\tau _{{\rm{m}}0}}{S_{{\rm{m}}0}}-{\tau _{{\rm{m}}1}}{S_{{\rm{m}}1}} $

(6)

式中：$\tau_{\rm{m0}}$——气/钻井液相与裸眼井壁的摩擦力，N/m$^2$；

${\boldsymbol{n}_{\rm{g}}}$——气相法向量，无因次；

$S_{\rm{m0}}$——气/钻井液相与裸眼井壁的接触面积，m$^2$；

$\tau_{\rm{m1}}$——气/钻井液相与套管的摩擦应力，Pa；

$S_{\rm{m1}}$——气/钻井液相与套管壁的接触面积，m$^2$；

$p$——压力，N/m$^2$；

g——重力加速度，g=9.8 m/s$^2$。

1.3 辅助模型

气体状态方程符合Redlich-Kwong^[14]方程为

$ p = \dfrac{{{\rm{R}}{T_{\rm{e}}}}}{{V-b}}-\dfrac{a}{{{T^{0.5}}V(V + b)}} $

(7)

混相气体组分参数

$ a = {(\sum {{y_i}a_i^{0.5}})^2}, b = \sum {{y_i}{b_i}} $

(8)

其中

$ {a_i} = {\Omega _{\rm{a}}}{{\rm{R}}^2}T_{\rm{c}}^{2.5}/{p_{\rm{c}}}, {b_i} = {\Omega _{\rm{b}}}{\rm{R}}{T_{\rm{ct}}}/{p_{\rm{c}}} $

(9)

式中：$\Omega_{\rm{a}}$=0.42748；

$\Omega_{\rm{b}}$=0.08664；

$a_i$——组分$i$的$a$值；

$b_i$——组分$i$的$b$值；

R——气体常数，R=8.314 J/(kg$ \cdot $K)；

$V$——酸性气体体积，m$^3$；

$T_{\rm{e}}$——温度，K；

$T_{\rm{ct}}$——临界温度，K；

$p_{\rm{c}}$——临界压力，MPa；

$y_i$——组分的摩尔分数。

2 模型求解

需用试算法求解气窜速度模型，分别将$ i$=1，2，…，$ n$代入式（2），如果满足式（3），则跳出试算循环，气窜速度具体求解流程见图 2，具体求解过程为：

（1）将环空划分为$ n$个网格，每个网格长度为$ {L_i}$；

（2）气体从网格i移动至网格$i$+1，所需用的时间为${T_{i}}= ({H}_{\rm{Oil}}/{n}) /{V_{{\rm{g}}_i}}$。

（3）利用漂移模型可求出空隙率，利用动量守恒可求出压力。

（4）假设上网格的压力与空隙率，利用式（3）中计算结果与漂移模型中的假设参数验证，可求出压力与空隙率，如收敛跳出循环，不收敛继续迭代。

这里，$T_i$——气体通过第$i$个滑移网格时间，s；$V_{{\rm{g}}_i}$——第$i$网格处气体运移速度，m/s。

求解式（5）及式（6）需用差分方法。将式（5）气 相连续方程差分为

$ \begin{array}{l} \frac{{(A{\rho _{\rm{g}}}{v_{{\rm{sg}}}})_{i + 1}^{n + 1} - (A{\rho _{\rm{g}}}{v_{{\rm{sg}}}})_i^{n + 1}}}{{\Delta s}} = \\ \frac{{(A{\rho _{\rm{g}}}{\phi _{\rm{g}}})_i^n}}{{2\Delta t}} + \frac{{(A{\rho _{\rm{g}}}{\phi _{\rm{g}}})_{i + 1}^n}}{{2\Delta t}} - \\ \frac{{(A{\rho _{\rm{g}}}{\phi _{\rm{g}}})_i^{n + 1} - (A{\rho _{\rm{g}}}{\phi _{\rm{g}}})_{i + 1}^{n + 1}}}{{2\Delta t}} \end{array} $

(10)

式（5）钻井液相连续方程差分为

$ \dfrac{{(Av_{{\rm{sl}}} )_{i + 1}^{n + 1} - (Av_{{\rm{sl}}} )_i^{n + 1} }}{{\Delta s}} =\dfrac{{(A\phi _{\rm{l}} )_i^n + (A\phi _{\rm{l}} )_{i + 1}^n - (A\phi _{\rm{l}} )_i^{n + 1} - (A\phi _{\rm{l}} )_{i + 1}^{n + 1} }}{{2\Delta t}} $

(11)

式（6）气/钻井液相运动方程差分为

$ (Ap)_{i + 1}^{n + 1}-(Ap)_i^{n + 1} = {K_1} + {K_2} + {K_3} + {K_4} $

(12)

其中

$ \begin{array}{l} {K_1} = \frac{{\Delta s}}{{2\Delta t}}\left\{ {\left[ {A({\rho _{\rm{l}}}{v_{{\rm{sl}}}} + {\rho _{\rm{g}}}{v_{{\rm{sg}}}})} \right]_i^n + \left[ {A({\rho _{\rm{l}}}{v_{{\rm{sl}}}} + {\rho _{\rm{g}}}{v_{{\rm{sg}}}})} \right]_{i + 1}^n} \right.\\ \left. { - \left[ {A({\rho _{\rm{l}}}{v_{{\rm{sl}}}} + {\rho _{\rm{g}}}{v_{{\rm{sg}}}})} \right]_i^{n + 1} - \left[ {A({\rho _{\rm{l}}}{v_{{\rm{sl}}}} + {\rho _{\rm{g}}}{v_{{\rm{sg}}}})} \right]_{i + 1}^{n + 1}} \right\} \end{array} $

(13)

$ K_2 = \left[{A\left( {\dfrac{{\rho _{\rm{l}} v_{{\rm{sl}}}^2 }}{{\phi _{\rm{l}} }} + \dfrac{{\rho _{\rm{g}} v_{{\rm{sg}}}^2 }}{{\phi _{\rm{g}} }}} \right)} \right]_i^{n + 1} - \left[{A\left( {\dfrac{{\rho _{\rm{l}} v_{{\rm{sl}}}^2 }}{{\phi _{\rm{l}} }} + \dfrac{{\rho _{\rm{g}} v_{{\rm{sg}}}^2 }}{{\phi _{\rm{g}} }}} \right)} \right]_{i + 1}^{n + 1} $

(14)

$ K_3 = - \dfrac{{{\rm{g}}\Delta s}}{2}[(A\rho _{\rm{l}} )_i^{n + 1} + (A\rho _{\rm{l}} )_{i + 1}^{n + 1}] $

(15)

$ K_4 = - \dfrac{{\Delta s}}{2}\left\{ {\left[{A\left( {\dfrac{{\partial p}}{{\partial s}}} \right)} \right]_{{\rm{fr}}i}^{n + 1} + \left[{A\left( {\dfrac{{\partial p}}{{\partial s}}} \right)} \right]_{{\rm{fr}}i + 1}^{n + 1} } \right\} $

(16)

式中：$v_{\rm{sl}}$——钻井液相的表观速度，m/s；

$v_{\rm{sg}}$——地层气相的表观速度，m/s；

${\phi _{\rm{l}}}$——持液率；

${\phi _{\rm{g}}}$——空隙率；

$\Delta s$——控制体长度，m；

$\Delta t$——微元时间，s；

${\rho _{\rm{g}}}$——气相密度，kg/m$^3$

${\rho _{\rm{l}}}$——液相密度，kg/m$^3$。

3 现场后效测试及应用

以四川元坝某井为例，2014-11-21T07：16该井停泵，此时钻至5 008 m，钻头下至4 999 m。2014 11 21T22：24该井开泵，排量为39.15 L/s，钻井液密度为2.19 g/cm$^3$，测得钻头下深迟到时间为128 min，油气层位置为4 559 m，全烃、${{\rm{C}}_1}$及${{\rm{C}}_2}$的监测数据如图 3所示。

不考虑气相滑脱，利用迟到时间法计算的气窜速度为56.21 m/h，考虑气相滑脱，利用本文模型计算的气窜速度为13.29 m/h。本模型计算的气窜速度应用于元坝205–2深井，在停泵过程中无钻井复杂事故出现。

4 模型分析

下文模型分析均以四川元坝某井为依托，分析各参数对气窜速度影响。

4.1 井深对气体滑脱速度影响

图 4给出了井深对气体滑脱速度影响。随静止时间增大，气体滑脱速度减小。在井口监测到气体总量是一定的，随静止时间增长，气体侵入速度减小，滑脱速度随之减小。在井底处，由于气体处于高压状态，气体处于超临界状态，气体滑脱现象不明显。当气体运移至井口时，气体体积急剧膨胀，气相与液相密度差异增大，气体所受合外力增大，气体加速度增大，因此气体滑脱速度明显增大，在4 999 m井底处气体滑脱速度为0.21 m/s，井口处高达6.13 m/s，气体滑脱速度迅猛增大29.1倍。

4.2 油气层顶界位置对气窜速度影响

图 5给出了油气层顶界位置对气窜速度影响。随油气层顶界位置上移，根据式（1）计算可得到，气体上窜速度减小。当气体显示时间、停泵时间等参数一定时，油气层顶界位置上移，使静止钻井液中有效气体上窜高度减小，从而气体上窜速度减小。当${T_{{\rm{Lat}}}}$为128 min时，油气层顶界位置${H_{{\rm{Oil}}}}$从4 350 m下移至4 950 m，气窜速度从0.046 m/h增至42.810 m/h。

4.3 静止时间对气窜速度影响

图 6给出了停泵钻井液静止时间对气窜速度影响。随静止时间延长，气体上窜速度减小。当静止时间延长，单位时间内气窜高度减小，从而使气窜速度减小。当${T_{{\rm{Lat}}}}$为128 min时，停泵钻井液静止时间从7.5 h延长至15.0 h，气窜速度从32.49 m/h减至13.29 m/h。

4.4 迟到时间对气窜速度影响

图 7给出了迟到时间对气窜速度影响。随迟到时间延长，钻井液速度减小，从而使气体在两相流动中滑脱速度减小，由于监测到气体时间一定，钻井液相段为${H_{{\rm{Mud}}}}$相应减小，从而气体上窜速度增大。当${T_{{\rm{Sta}}}}$为900 min时，迟到时间从128 min延长至288 min，气窜速度从13.29 m/h增至119.65 m/h。

5 结论

（1）由于油相、气相密度差异较大，油相上窜速度与气相上窜速度应分开研究。

（2）气体滑脱速度较大，对计算气窜速度影响较大，不可忽略。不考虑气体滑脱的影响，计算的气窜速度较考虑气体滑脱计算的气窜速度偏大。

（3）无论采用任何模型预测气窜速度，在钻井停泵作业中应预留一定的安全作业时间。以确保停泵过程中气体不能上窜至井口，避免钻井事故发生。