引言

由于地层受到上覆岩层和地层侧向约束的作用，导致地层应力状态受垂向和水平原地应力的综合影响。在钻开井眼前，原地应力作用下的地层岩石处于平衡状态；而钻开井眼后，由于地层岩石被移除，打破了应力平衡，导致井壁地层应力二次分布，从而达到新的平衡状态，这使得井壁地层出现应力集中现象^[1]。如果支撑井壁的压力过低或过高，均有可能导致井壁地层破坏失效，即井壁失稳。井壁失稳问题是钻井工程中经常遇到的极复杂的问题，主要是指钻井过程中井壁坍塌、井眼缩径和地层破裂^[2-6]。钻井所遇的地层75%是由泥页岩组成的，且90%的井壁失稳发生在泥页岩段。而井壁坍塌一般都是由于地层发生剪切破坏所致，通过计算井周应力状态，并采用强度准则进行判别，即可预测井壁坍塌压力。因此，选择适合页岩的强度准则是页岩井壁坍塌压力分析的关键^[7]。

在页岩井壁稳定分析中，Mohr-Coulomb(M-C)准则的应用最为广泛^[7-8]，但M-C准则只考虑了最大主应力$\sigma _1$和最小主应力$\sigma _3$对岩石强度的影响，忽略了中间主应力$\sigma _2$对岩石强度的影响^[9-10]。这种假设只能在应力状态为$\sigma _2=\sigma _3$的特殊情况下才适用，在三轴应力状态下(即$\sigma _1>\sigma _2>\sigma _3$)，$\sigma _2$对岩石强度具有显著影响。大量的真三轴实验证实，真实三轴应力状态下($\sigma _2 > \sigma _3$)实际岩石强度比M-C准则预测结果更高^[11-13]。Al-Ajmi等开展的研究表明，由于M-C准则没有考虑$\sigma _2$对强度的影响，导致其存在明显的缺陷^[14-17]。为了考虑中间主应力$\sigma _2$影响，学者们已经建立了大量的三轴强度准则。比如，Drucker-Prager(D-P)准则，也称为扩展的Von Mises屈服准则，该准则又分为两种形式：外接准则和内切准则^[18]；此外，还有一些比较复杂的强度准则，但这些复杂的三轴强度准则，在实际使用中均比较困难，特别是井壁稳定分析，无法建立这些参数与测井数据间的关系，这便限制了这些强度准则在井壁稳定分析中的应用。

在页岩井壁稳定分析中，如果不考虑$\sigma _2$的影响，一般采用M-C准则；如果考虑$\sigma _2$的影响，一般采用D-P准则，研究表明D-P准则过高地估计了$\sigma _2$的影响，可能得到没有实用价值的井壁稳定分析结果^{[7, 14]}。为此，Al-Ajmi和Zimmerman^[14-16]推荐采用考虑$\sigma _2$影响的Mogi-Coulomb(MG-C)准则分析井壁稳定问题，MG-C准则是基于真实三轴实验，并考虑中间主应力$\sigma _2$的影响才建立的。因此，本文以Yuubari页岩真三轴实验数据为依据^[19]，分别分析和评价M-C、D-P和MG-C 3种准则对页岩破坏的适用性，分析MG-C准则中考虑$\sigma _2$影响预测岩石强度的准确性，并采用孔隙弹性井壁应力分布模型和这3种强度准则，对比3种强度准则所计算的页岩斜井相对坍塌风险，从而检验MG-C准则分析页岩井壁稳定的准确性。

1 强度准则及其评价 1.1 Mohr-Coulomb准则

M-C准则认为^[18]，岩石的强度等于岩石本身抗剪切摩擦的黏结力和剪切面上法向力作用下产生的摩擦力

$\tau {\rm{ = }}c + {\sigma _{\rm{n}}}\tan \varphi$

(1)

式中： $\tau$—剪切面上的剪应力，MPa；

$\sigma _{\rm{n}}$—剪切面上的正应力，MPa；

c—内聚力，MPa；

$\varphi$—内摩擦角，(°)。

剪切面上的正应力和剪应力可分别表示为

${\sigma _{\rm{n}}} = \dfrac{1}{2}({\sigma _1} + {\sigma _3}) + \dfrac{1}{2}({\sigma _1} - {\sigma _3})\cos 2\vartheta$

(2)

$\tau = \dfrac{1}{2}({\sigma _1} - {\sigma _3})\sin 2\vartheta$

(3)

式中： ${\sigma _{\rm{1}}}$—最大主应力，MPa；

${\sigma _{\rm{2}}}$—中间主应力，MPa；

${\sigma _{\rm{3}}}$—最小主应力，MPa；

$\vartheta$—岩石破断角，$\vartheta=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi}{2}$，(°)。

式(2)代入式(1)，得${\sigma _{\rm{1}}}$和${\sigma _{\rm{3}}}$表示的强度准则

${\sigma _1} = \dfrac{{2c\cos \varphi }}{{1 - \sin \varphi }} + \dfrac{{1 + \sin \varphi }}{{1 - \sin \varphi }}{\sigma _3}$

(4)

1.2 Drucker-Prager准则

D-P准则也被称为扩展Von Mises屈服准则，最早是为土力学提出来的^[18]，通过对塑性土应用极限定理，D-P准则的屈服函数为

$J_2^{1/2} = k + \alpha '{J_1}$

(5)

${J_1} = \dfrac{1}{3}({\sigma _1} + {\sigma _2} + {\sigma _3})$

(6)

${J_2} = \dfrac{1}{6}[{({\sigma _1} - {\sigma _2})^2} + {({\sigma _2} - {\sigma _3})^2} + {({\sigma _3} - {\sigma _1})^2}]$

(7)

$\alpha ' = \dfrac{{ - 2\sin \varphi }}{{3\sqrt 3 \left( {3 - \sin \varphi } \right)}}$

(8)

$k = \dfrac{{6c\cos \varphi }}{{\sqrt {3\left( {3 - \sin \varphi } \right)} }}$

(9)

式中： ${J_1}$—平均有效应力，MPa；

${J_2}$—应力偏量第二不变量；

$\alpha '{，}k$—内摩擦角和内聚力相关的材料系数，无因次。

1.3 Mogi-Coulomb准则

1967年，Mogi通过分析大量的真三轴压缩实验数据发现，$\sigma _2$对岩石强度具有显著影响^[11]，随着$\sigma _2$增加，岩石强度增加，当$\sigma _2$进一步增加，岩石强度略微下降。而且，脆性岩石剪切破坏面走向总是沿着中间主应力$\sigma _2$方向，因此Mogi推断：作用在剪切破坏面上的应力应该是平均正应力$\sigma _{\rm m,2}$，而非八面体正应力$\sigma _{\rm oct}$。于是提出了考虑中间主应力$\sigma _2$影响的Mogi准则^[14-16]

${\tau _{{\rm{oct}}}} = f({\sigma _{{\rm{m}},2}})$

(10)

${\tau _{{\rm{oct}}}} \!=\!\dfrac{1}{3}\sqrt {{{({\sigma _1} \!-\! {\sigma _2})}^2} \!+\! {{({\sigma _2} \!-\! {\sigma _3})}^2} \!+\! {{({\sigma _3} \!-\! {\sigma _1})}^2}}$

(11)

${\sigma _{{\rm{m}},2}} = \dfrac{1}{2}\left( {{\sigma _1} + {\sigma _3}} \right)$

(12)

式中： $\sigma _{\rm m,2}$—平均正应力，MPa；

$\tau _{\rm oct}$—八面体正应力，MPa。

Mogi准则可以是线性、幂律和抛物线多种，但Haimson和Chang等^[13]证实，Mogi幂律模型中系数不能与标准Coulomb准则参数建立关系，即不能采用内聚力和内摩擦角表示该系数，这样便增加了实际使用的难度。为此，推荐采用线性Mogi准则，即MG-C准则，为

${\tau _{{\rm{oct}}}} = a + b{\sigma _{{\rm{m}},2}}$

(13)

式中： $a{，}b$—与材料相关的系数。

在MG-C准则中，系数$a{，}b$可通过常规三轴实验($\sigma _2$=$\sigma _3$)获取，则八面体剪应力简化为

${\tau _{{\rm{oct}}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}({\sigma _1} - {\sigma _3})$

(14)

式(14)代入式(13)，得到常规三轴MG-C准则

${\sigma _1} = \dfrac{{6a}}{{2\sqrt 2 - 3b}} + \dfrac{{2\sqrt 2 + 3b}}{{2\sqrt 2 - 3b}}{\sigma _3}$

(15)

不难看出，在($\sigma _2$=$\sigma _3$)时，MG-C准则将退化为M-C准则，M-C准则只是MG-C准则的一种特殊情况，采用常规三轴实验确定出材料系数a、b分别为

$a = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}c\cos \varphi$

(16)

$b = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\sin \varphi$

(17)

将八面体剪应力采用应力不变量表示，有

${\tau _{{\rm{oct}}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\sqrt {I_1^2 - 3{I_2}}$

(18)

${I_1} = {\sigma _1} + {\sigma _2} + {\sigma _3}$

(19)

${I_2} = {\sigma _1}{\sigma _2} + {\sigma _2}{\sigma _3} + {\sigma _3}{\sigma _1}$

(20)

式中： $I_1$—应力张量第一不变量，MPa；

$I_2$—应力张量第二不变量，MPa²。

联合式(12)，式(13)，式(18)$\sim$式(20)中，可得MG-C准则的另外一种形式

$\sqrt {I_1^2 - 3{I_2}} = a' + b'\left( {{I_1} - {\sigma _2}} \right)$

(21)

$a' = 2c\cos \varphi$

(22)

$b' = \sin \varphi$

(23)

式中： $a'{，}b'$—材料系数。

由此便得出了真三轴剪切破坏的MG-C准则，MG-C准则中考虑了$\sigma _2$影响，而且，该准则的材料系数(a，b)或($a'$，$b'$)也可通过常规三轴实验参数(内聚力、内摩擦角)获得。因此，MG-C准则使用起来比较简便，其输入的参数少，这样便于采用测井资料分析井壁稳定问题，获得连续的坍塌压力剖面。

1.4 强度准则评价

为分析和评价M-C、D-P和MG-C 3种强度准则的适用性，以Takahashi^[19]开展的Yuubari页岩真三轴测试数据为依据，如表 1所示。分别采用M-C、D-P和MG-C准则在($\sigma _2$,$\sigma _1$)坐标下进行拟合，从而分析$\sigma _2$ 对页岩岩石强度的影响，评价强度准则在页岩真三轴条件下的适用性。根据表中数据拟合得到的结果如图 1$\sim$图 3所示。由此不难看出：

(1) M-C准则拟合结果在($\sigma _2$,$\sigma _1$)坐标下为一水平直线，不受$\sigma _2$的影响，该拟合结果不能反映实际页岩强度的变化规律，其平均偏差为9.3 MPa。

(2) D-P准则拟合结果在($\sigma _2$,$\sigma _1$)坐标下为一曲线，随着$\sigma _2$的增加，页岩强度先增加后下降，说明$\sigma _2$作用下页岩强度有可能强化，拟合的页岩强度普遍比实测岩石强度高，说明D-P准则过多考虑了$\sigma _2$的影响，其平均偏差为17.2 MPa。

(3) MG-C准则拟合结果在($\sigma _2$,$\sigma _1$)坐标下为曲线，随着$\sigma _2$增加，其变化规律与D-P准则结果基本相同，说明$\sigma _2$ 作用下页岩强度有可能强化，而且MG-C准则拟合结果比D-P准则拟合结果更好，另外，其平均偏差也最小，仅5.4 MPa。这些说明，采用MG-C准则拟合Yuubari页岩真三轴实验数据得到的结果比M-C和D-P准则拟合结果要好。另外，将其按式(13)所述MG-C准则进行拟合，其结果如图 4。

2 井壁应力分布模型

为了计算页岩坍塌压力，需要分析井周应力分布，这需要相应的本构模型。文献报道了大量的本构模型，Westergaard建立了早期的井周应力分布模型^[1]，该模型基于弹塑性本构模型而建立，此后，许多学者都采用弹塑性模型开展研究。也有一些学者采用孔隙弹性本构模型开展研究，比如Aadnoy和金衍等^[1]，这主要是由于孔隙弹性模型需要输入的参数数量比其他复杂模型少，使用比较方便，实践证明，孔隙弹性模型计算结果能够满足现场需求。

因此，假设地层为弹性各向同性岩石，对任意斜井井眼(图 5)，井周应力分布受井眼空间状态和地应力状态综合控制，则井壁应力分布模型为^{[1, 15, 17]}

$\left\{ \begin{array}{l} {\sigma _r} = {p_{\rm{m}}} - \delta \phi \left[{{p_{\rm{m}}} - p\left( {r,t} \right)} \right]\\ {\sigma _\theta } = A{\sigma _{\rm{h}}} + B{\sigma _{\rm{H}}} + C{\sigma _{\rm{v}}} + {K_1}\left[{{p_{\rm{m}}} - p\left( {r,t} \right)} \right] - {p_{\rm{m}}}\\ {\sigma _z} = D{\sigma _{\rm{h}}} + E{\sigma _{\rm{H}}} + F{\sigma _{\rm v}} + {K_1}\left[{{p_{\rm{m}}} - p\left( {r,t} \right)} \right]\\ {\tau _{\theta z}} = G{\sigma _{\rm{h}}} + H{\sigma _{\rm{H}}} + J{\sigma _{\rm{v}}} \end{array} \right.$

(24)

$\left\{ \begin{array}{l} A = \cos i\left [\cos i\left (1 - 2\cos 2\theta \right ){\sin ^2}\alpha + 2\sin 2\alpha \sin 2\theta \right] + \left (1 + 2\cos 2\theta \right ){\cos ^2}\alpha \\ B = \cos i\left [\cos i\left (1 - 2\cos 2\theta \right ){\cos ^2}\alpha - 2\sin 2\alpha \sin 2\theta \right] + \left (1 + 2\cos 2\theta \right ){\sin ^2}\alpha \\ C = \left (1 - 2\cos 2\theta \right ){\sin ^2}i\\ D = {\sin ^2}\alpha {\sin ^2}i + 2\nu \sin 2\alpha \cos i\sin 2\theta + 2\nu \cos 2\theta \left ({\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}i\right )\\ E = {\cos ^2}\alpha {\sin ^2}\alpha - 2\nu \sin 2\alpha \cos i\sin 2\theta + 2\nu \cos 2\theta \left ({\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha {\cos ^2}i\right )\\ F = {\cos ^2}\alpha - 2\nu {\sin ^2}i\cos 2\theta \\ G = - \left (\sin 2\alpha \sin i\cos \theta + {\sin ^2}\alpha \sin 2i\sin \theta \right )\\ H = \sin 2\alpha \sin \alpha \cos \theta - {\cos ^2}\alpha \sin 2i\sin \theta \\ J = \sin 2i\sin \theta \\ {K_1} = \delta \left [\dfrac{{\zeta \left (1 - 2\nu \right )}}{{1 - \nu }} - \phi \right] \end{array} \right.$

(25)

式中： $\sigma _r$—径向正应力，MPa；

$p_{\rm m}$—钻井液液柱压力，MPa；

$\delta$—渗透系数，无因次，当井壁不可渗透时，$\delta = 0$，当井壁渗透时，$\delta =1$；

$\phi$—孔隙度，%；

$p(r,t)$—地层r处，t时刻的孔隙压力，MPa；

$\sigma _\theta$—切向正应力，MPa；

$\sigma _z$—轴向正应力，MPa；

$K_1$—渗流效应系数，无因次；

$\sigma _{\rm h}$—最小水平地应力，MPa；

$\sigma _{\rm H}$—最大水平地应力，MPa；

$\sigma _{\rm v}$—垂向地应力，MPa；

$\tau _{\theta z}$—轴向与切向剪切应力，MPa；

i—井斜角，(°)；

$\theta$—井周角，(°)；

$\alpha$—井斜方位与最大水平地应力夹角，(°)；

$\nu $—泊松比，无因次；

$\zeta $—有效应力系数，无因次；

$A\sim J$—坐标变换系数。

任意斜井井壁处主应力为

$\left\{ \begin{array}{l} {\sigma _i} = {\sigma _r} = {p_{\rm{m}}} - \delta \phi \left[{{p_{\rm{m}}} - p\left( {r,t} \right)} \right]\\ {\sigma _{j,k}} = \dfrac{{{\sigma _\theta } + {\sigma _z}}}{2} \pm \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {{\sigma _\theta } - {\sigma _z}} \right)}^2} + 4\tau _{\theta z}^2} \end{array} \right.$

(26)

式中： $\sigma _i{，}\sigma _j{，}\sigma _k$—井壁处的3个主应力，MPa。

式(26)中的3个井壁主应力大小在具体计算中排序，即得到斜井井壁最大、最小主应力模型，结合强度准则，求解非线性方程，即可求得坍塌压力，对其进行处理即得到坍塌压力密度。

3 不同强度准则下页岩斜井坍塌风险

为了分析不同强度准则下页岩中斜井相对坍塌风险，并进行对比分析，以表 2所示地层(深度2 300 m)为例进行分析。为了采用比较简便方式描述页岩斜井眼的相对稳定性，采用Peška和Zoback提出的下半球投影法^[20]，其原理如图 6所示，从而可以简便地表示不同井斜角(圆圈)和方位角(放射线)下的相对坍塌风险分布规律。

采用M-C、D-P和MG-C的3种强度准则计算出的页岩斜井相对坍塌风险分布规律分别如图 7$\sim$图 9所示，不难看出：

(1) 3种强度准则计算结果均表明，沿着最大水平主应力方向钻水平井井眼的坍塌压力密度最高，即相对坍塌风险最高；钻进直井井眼或者沿着最小水平主应力方向钻斜井井眼的坍塌压力密度相对较低，即相对坍塌风险较低。因此，应尽可能沿着最小水平主应力方向设计井眼轨迹。

(2) 采用M-C、D-P和MG-C强度准则计算的坍塌压力密度存在一定的差异。其中，采用M-C准则计算的坍塌密度最高，其坍塌密度范围为1.20$\sim$1.41 g/cm³，沿最大水平主应力方向的水平井坍塌密度为1.41 g/cm³，沿最小水平主应力方向斜井或直井的坍塌密度为1.20$\sim$1.25 g/cm³；采用D-P准则计算的坍塌密度坍塌密度最低，其坍塌密度范围为1.01$\sim$1.23 g/cm³，沿最大水平主应力方向的水平井坍塌密度为1.23 g/cm³，沿最小水平主应力方向斜井或直井的坍塌密度为1.01$\sim$1.12 g/cm³；采用MG-C准则计算的坍塌密度在前两者之间，其坍塌密度范围为1.08$\sim$1.26 g/cm³，沿最大水平主应力方向的水平井坍塌密度为1.26 g/cm³，沿最小水平主应力方向斜井或直井的坍塌密度为1.08$\sim$1.20 g/cm³。

(3) 采用M-C准则计算结果最高，这主要是由于M-C准则忽略了中间主应力$\sigma _2$对岩石强度的影响，即低估了页岩地层岩石强度；采用D-P准则计算结果最低，这主要是由于D-P准则过多地考虑了中间主应力$\sigma _2$对页岩强度的影响，即高估了页岩地层岩石强度；采用MG-C准则计算结果相对适宜，居于M-C和D-P准则之间，这说明MG-C准则比较合适地考虑了中间主应力$\sigma _2$对页岩强度的影响。这与强度准则拟合结果也是一致的。因此，这3种强度准则中，MG-C准则最适合用于页岩井壁稳定性分析，MG-C准则的优势在于：MG-C准则中的材料常数可以通过常规三轴岩石力学实验计算，即可以通过岩石的内聚力和内摩擦角参数计算得到，在井壁稳定分析中可以比较方便地采用测井数据进行分析，以便于得到连续的井眼坍塌压力剖面，使用比较方便，这样才有利于指导钻井施工。

4 结语

(1) 真三轴的MG-C准则考虑了中间主应力$\sigma _2$影响，基于Yuubari页岩真三轴实验数据，采用强度准则拟合方法，对M-C、D-P和MG-C 3种强度准则在页岩真三轴条件下的适用性进行了评价，其中，MG-C准则拟合结果最好，即随着$\sigma _2$的增加，岩石强度先增加后下降，说明MG-C准则能够比较准则地反映$\sigma _2$对岩石强度的影响。

(2) 采用M-C、D-P和MG-C的3种强度准则进行了页岩斜井相对坍塌风险分析。分析结果表明，3种强度准则计算的页岩斜井相对坍塌风险分布规律基本一致；但3种强度准则计算的坍塌压力密度存在一定的差异，其中，M-C准则计算结果最高，MG-C准则次之，D-P准则最低。说明，M-C准则忽略$\sigma _2$影响，低估了岩石强度；D-P准则过多考虑了$\sigma _2$ 影响，高估了岩石强度；而MG-C准则比较适中地考虑了$\sigma _2$影响，比较适合用于井壁稳定性分析。

(3) MG-C准则中的材料常数可以通过岩石内聚力和内摩擦角计算，即可以通过常规三轴岩石力学实验得到，因此，MG-C准则使用比较方便，可以比较方便地采用测井数据进行井壁稳定性分析，得到连续的井眼坍塌压力剖面，这样才有利于指导钻井施工。