引言

采用面积井网向储层注水可以有效保持油层压力，提高油藏采油速度和采收率，是开发低渗透油藏的重要手段^[1]。但低渗透油藏孔喉微细，比表面积大，注水过程中油水两相分别与岩石壁面发生物理化学作用而被束缚在孔喉表面形成吸附层，存在附加启动压力梯度^[2-6]。而目前油田注水开发设计中应用的油藏工程方法是建立在达西渗流理论基础之上的，低渗透油藏并不适用^[7-8]。因此，建立一套针对低渗透油藏注水开发设计的计算方法十分必要。

20世纪末以来，国内很多高校和科研机构都开始深入研究低渗透油藏油水两相渗流规律。西南石油大学，中国石油大学，中科院渗流所，中国石油，中国石化等都开展了相关室内实验和数值模拟研究，取得了一定成果^[9-13]。大庆油田的计秉玉等还运用流线积分法推导了单相渗流条件下的低渗透油藏面积井网产量计算公式^[14]，但基于该原理的油水两相渗流条件下的产量计算方法还未有见研究。本文在总结前人工作的基础上，建立了基于流线积分法的低渗透油藏面积井网注水开发产量数学模型，并运用该模型计算分析了启动压力梯度、井网形式、井距、生产压差对油井产量的影响，为低渗透油田注水开发设计提供了理论指导。

1 建模思路与基本假设

流体在地层中的流动可以看作是流体沿着无限根微小流管(图 1)从水井流向油井，油井的产量等于所有指向油井的流管产量之和。因此，本文的主要建模思路是以微观流管为计算单元，首先推导出单根流管的水驱产量计算公式；然后引入低渗透油藏油水两相渗流过程中启动角的计算方法；最终建立数值积分得到所有流管产量之和，即为油井产量。

假设地层等厚均质，渗流流体为油相和水相，地层与油水相均不可压缩。

2 单根流管产量 2.1 油井见水时间

取流管中轴线为x轴，修正Buckley-Leverett方程，可以得到流管内等含水饱和度面移动方程

$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\text{ }\frac{f_{w}^{'}\left( {{S}_{w}} \right)}{\phi }\frac{q\left( t \right)}{A\left( x \right)}$

(1)

取油水前缘含水饱和度为$S_{\rm{wf}}$，且从t=0时开始注水，流管内油水井距为L，井半径为$r_{\rm{w}}$，代入式(1)并积分，有

$\int_{{{r}_{\text{w}}}}^{L}{A\left( x \right)}\text{d}x=\frac{f_{w}^{'}\left( {{S}_{w}} \right)}{\phi }\int_{\text{0}}^{{{\text{t}}_{\text{f}}}}{\text{q}\left( \text{t} \right)\text{dt}}$

(2)

上式可以解出油井见水时间$t_{\rm{f}}$。

2.2 油井见水前产量

当$t\leqslant t_{\rm{f}}$时，油井未见水，流管可以油水前缘为界划分为油水两相渗流区和纯油相渗流区。设油水前缘位置为$\xi$，对式(1)积分，得到

$\int_{{{r}_{\text{w}}}}^{\xi }{A\left( x \right)}\text{d}x=\frac{f_{w}^{'}\left( {{S}_{w}} \right)}{\phi }\int_{\text{0}}^{\text{t}}{\text{q}\left( \text{t} \right)}\text{dt}$

(3)

可以解出$\xi$，$\xi$是时间t的函数。

(1) 当$r_{\rm w}＜x\leqslant \xi$时，油水两相渗流区 此时油相和水相的启动压力梯度均为含水饱和度的函数，分别设为$\lambda_{\rm o}^{(1)}$、$\lambda_{\rm w}^{(1)}$。

油相运动方程为

${q_{\rm{o}}} = - {{K{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}}A\left( x \right)\left[ {{{{\rm{d}}p} \over {{\rm{d}}x}} + \lambda _{\rm{o}}^{\left( 1 \right)}} \right]$

(4)

水相运动方程为

${q_{\rm{w}}} = - {{K{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}A\left( x \right)\left[ {{{{\rm{d}}p} \over {{\rm{d}}x}} + \lambda _{\rm{w}}^{\left( 1 \right)}} \right]$

(5)

由于

$\eqalign{ & q\left( t \right) = {q_{\rm{o}}} + {q_{\rm{w}}} = - {{K{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}}A\left( x \right)\left[ {{{{\rm{d}}p} \over {{\rm{d}}x}} + \lambda _{\rm{o}}^{\left( 1 \right)}} \right] - \cr & {{K{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}A\left( x \right)\left[ {{{{\rm{d}}p} \over {{\rm{d}}x}} + \lambda _{\rm{w}}^{\left( 1 \right)}} \right] \cr} $

(6)

上式在($r_{\rm w}$，$\xi$\]区间内积分，得到

$\eqalign{ & {p_{\rm{e}}} - {p_\xi } = {{q\left( t \right)} \over K}\int \$ _{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)\left( {{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}} \right)}} + \cr & \int \$ _{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}}\lambda _{\rm{o}}^{\left( 1 \right)} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}\lambda _{\rm{w}}^{\left( 1 \right)}} \over {{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}}}{\rm{d}}x \cr} $

(7)

(2)当$\xi＜x\leqslant L$时，纯油相渗流区

设束缚水饱和度下的油相启动压力梯度为$\lambda^{(2)}$，有运动方程

$q\left( t \right) = - {K \over {{\mu _{\rm{o}}}}}A\left( x \right)\left[ {{{{\rm{d}}p} \over {{\rm{d}}x}} + {\lambda ^{\left( 2 \right)}}} \right]$

(8)

上式在($\xi$，L\]区间内积分变化，得到

${p_\xi } - {p_{\rm{w}}} = {{{\mu _{\rm{o}}}q\left( t \right)} \over K}\int_\xi ^L {{{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)}}} + {\lambda ^{\left( 2 \right)}}\left( {L - \xi } \right)$

(9)

由于

${p_{\rm{e}}} - {p_{\rm{w}}} = \left( {{p_{\rm{e}}} - {p_\xi }} \right) + \left( {{p_\xi } - {p_{\rm{w}}}} \right)$

(10)

并令油水综合启动压力梯度为$\lambda^{(1)}$，计算公式如下

${\lambda ^{\left( 1 \right)}} = {{{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}}\lambda _{\rm{o}}^{\left( 1 \right)} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}\lambda _{\rm{w}}^{\left( 1 \right)}} \over {{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}}}$

(11)

将式(7)、(9)、(11)代入式(10)，变化后可得

$q\left( t \right) = {{\left( {{p_{\rm{e}}} - {p_{\rm{w}}}} \right) - \int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{\lambda ^{\left( 1 \right)}}{\rm{d}}x} - {\lambda ^{\left( 2 \right)}}\left( {L - \xi } \right)} \over {{1 \over K}\left[ {\int \$ _{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)\left( {{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}} \right)}} + {\mu _{\rm{o}}}\int_\xi ^L {{{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)}}} } \right]}}$

(12)

上式中的两个积分$\int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)\left( {{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}} \right)}}} $、$\int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{\lambda ^{\left( 1 \right)}}{\rm{d}}x} $的被积函数均是含水饱和度$S_{\rm w}$的函数，将其转换成与坐标x的函数是求解积分的关键。

对于积分式$\int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)\left( {{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}} \right)}}} $，根据前苏联学者的研究成果，存在如下关系式^[15]

${{{\mu _{\rm{o}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}{\varpi _{\rm{o}}} = A + BZ + C{Z^2}$

(13)

其中

${\varpi _{\rm{o}}} = \dfrac{1}{{{K_{{\rm{ro}}}} + \dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}}}{{{\mu _{\rm{w}}}}}{K_{{\rm{rw}}}}}}$

(14)

$Z = 1 - {S_{{\rm{or}}}} - {S_{\rm{w}}}$

(15)

因此，有

$\eqalign{ & \int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)\left( {{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}} \right)}}} = \cr & \int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{{\mu _{\rm{w}}}} \over {A\left( x \right)}}\left( {A + BZ + C{Z^2}} \right){\rm{d}}x} \cr} $

(16)

此外，含油率$f_{\rm o}(S_{\rm w})$与可动油饱和度Z有如下关系^[15]

${f_{\rm{o}}}\left( {{S_{\rm{w}}}} \right) = \dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}}}{{{\mu _{\rm{o}}}}} a {Z^b}$

(17)

因为

${f_{\rm{w}}}\left( {{S_{\rm{w}}}} \right) = 1 - {f_{\rm{o}}}\left( {{S_{\rm{w}}}} \right)$

(18)

有

$f_{w}^{'}\left( {{S}_{w}} \right)=-f_{0}^{'}\left( {{S}_{w}} \right)$

(19)

因此

$f_{w}^{'}\left( {{S}_{w}} \right)=\frac{{{\mu }_{\text{w}}}}{{{\mu }_{\text{o}}}}ab{{Z}^{b-1}}$

(20)

根据式(1)，对任意含水饱和度面有

$\int_{{{r}_{\text{w}}}}^{x}{A\left( x \right)}\text{d}x=\frac{f_{w}^{'}\left( {{S}_{w}} \right)}{\phi }\int_{0}^{t}{q\left( t \right)}\text{d}t$

(21)

将式(20)代入式(21)，可以得到

$Z = {\left[{\dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}\phi }}{{{\mu _{\rm{w}}}ab}} \dfrac{{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} }}{{\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]^{\frac{1}{{b - 1}}}}$

(22)

将式(22)代入式(16)，可以建立积分式与坐标x的关系如下

$\eqalign{ & \int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)\left( {{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}} \right)}}} = \int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{{\mu _{\rm{w}}}} \over {A\left( x \right)}}} \cr & \left\{ {A + B{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{1 \over {b - 1}}}} + C{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{2 \over {b - 1}}}}} \right\}{\rm{d}}x \cr} $

(23)

对于积分式$\int_{{r_{\rm{w}}}}^{\xi} {{\lambda ^{\left( 1 \right)}}{\rm{d}}x} $，由于

$Z = 1 - {S_{{\rm{or}}}} - {S_{\rm{w}}}$

(24)

因此

${S_{\rm{w}}} = 1 - {S_{{\rm{or}}}} - Z$

(25)

将式(22)代入式(25)，确定$S_{\rm w}$与x的关系

${S_{\rm{w}}} = 1 - {S_{{\rm{or}}}} - {\left[{\dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}\phi }}{{{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot \dfrac{{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} }}{{\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]^{\frac{1}{{b - 1}}}}$

(26)

通过室内实验或油田现场测试可以得到$\lambda^{(1)}$与$S_{\rm w}$的关系，并结合式(26)，可以确定$\lambda^{(1)}$与x的函数，记为$\lambda^{(1)}(x)$，具体的表达式与测试结果有关。

将式(23)和$\lambda^{(1)}(x)$代入式(12)，可以得到油井见水前流管产量为

$\begin{align} & {{q}_{\text{o}}}=q\left( t \right)= \\ & \frac{\left( {{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{w}}} \right)-\int_{{{r}_{\text{w}}}}^{\xi }{{{\lambda }^{\left( 1 \right)}}\left( x \right)}\text{d}x-{{\lambda }^{\left( 2 \right)}}\left( L-\xi \right)}{\frac{1}{K}\left\{ \int_{{{r}_{w}}}^{\xi }{\frac{{{\mu }_{\text{w}}}}{A\left( x \right)}}\left\{ A+B{{\left[ \frac{{{\mu }_{\text{o}}}\phi }{{{\mu }_{\text{w}}}ab}\cdot \frac{\int_{{{r}_{\text{w}}}}^{x}{A\left( x \right)\text{d}x}}{\int_{0}^{t}{q\left( t \right)\text{d}t}} \right]}^{\frac{1}{b-1}}}+C{{\left[ \frac{{{\mu }_{\text{o}}}\phi }{{{\mu }_{\text{w}}}ab}\cdot \frac{\int_{{{r}_{\text{w}}}}^{x}{A\left( x \right)\text{d}x}}{\int_{0}^{t}{q\left( t \right)\text{d}t}} \right]}^{\frac{2}{b-1}}} \right\}\text{d}x+{{\mu }_{\text{o}}}\int_{\xi }^{L}{\frac{\text{d}x}{A\left( x \right)}} \right\}} \\ \end{align}$

(27)

2.3 油井见水后产量

当$t>t_{\rm f}$时，油井已见水，整根流管成为一个油水两相渗流区。此时，流管产油量为流管油水总流量与油井井壁含油率的乘积

${q_{\rm{o}}} = q\left( t \right) \times f_{\rm{o}}^{\left( {{\rm{oil - well}}} \right)}\left( {{S_{\rm{w}}}} \right)$

(28)

由前面的推导过程可知，两相渗流区的总流量计算公式为

$\eqalign{ & q\left( t \right) = {q_{\rm{o}}} + {q_{\rm{w}}} = - {{K{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}}A\left( x \right) \cr & \left[ {{{{\rm{d}}p} \over {{\rm{d}}x}} + \lambda _{\rm{o}}^{\left( 1 \right)}} \right] - {{K{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}A\left( x \right)\left[ {{{{\rm{d}}p} \over {{\rm{d}}x}} + \lambda _{\rm{w}}^{\left( 1 \right)}} \right] \cr} $

(29)

上式在$r_{\rm w}$，L区间内积分变化后可以得到

$q\left( t \right) = {{\left( {{p_{\rm{e}}} - {p_{\rm{w}}}} \right) - \int_{{r_{\rm{w}}}}^L {{\lambda ^{\left( 1 \right)}}{\rm{d}}x} } \over {{1 \over K}\int_{{r_{\rm{w}}}}^L {{{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)\left( {{{{K_{{\rm{ro}}}}} \over {{\mu _{\rm{o}}}}} + {{{K_{{\rm{rw}}}}} \over {{\mu _{\rm{w}}}}}} \right)}}} }}$

(30)

根据前面的推导，上式可以变成

$q\left( t \right) = {{\left( {{p_{\rm{e}}} - {p_{\rm{w}}}} \right) - \int_{{r_{\rm{w}}}}^L {{\lambda ^{\left( 1 \right)}}\left( x \right)} {\rm{d}}x} \over {{1 \over K}\int_{{r_{\rm{w}}}}^L {{{{\mu _{\rm{w}}}} \over {A\left( x \right)}}} \left\{ {A + B{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{1 \over {b - 1}}}} + C{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{2 \over {b - 1}}}}} \right\}{\rm{d}}x}}$

(31)

将式(22)代入式(17)，并取$x=L$，可以计算得到油井井壁处的含油率$f_{\rm o}^{(\rm{oil-well})}(S_{\rm w})$，表达式如下

$f_{\rm{o}}^{\left( {{\rm{oil - well}}} \right)}\left( {{S_{\rm{w}}}} \right) = \dfrac{{{\mu _{\rm{w}}}a}}{{{\mu _{\rm{o}}}}}{\left[{\dfrac{{{\mu _{\rm{o}}}\phi }}{{{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot \dfrac{{\int_{{r_{\rm{w}}}}^L {A\left( x \right){\rm{d}}x} }}{{\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]^{\frac{b}{{b - 1}}}}$

(32)

将式(31)和式(32)代入式(28)，可以得到油井见水后的流管产量为

${q_{\rm{o}}} = {{\left[ {\left( {{p_{\rm{e}}} - {p_{\rm{w}}}} \right) - \int_{{r_{\rm{w}}}}^L {{\lambda ^{\left( 1 \right)}}\left( x \right)} {\rm{d}}x} \right] \times {{{\mu _{\rm{w}}}a} \over {{\mu _{\rm{o}}}}}{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^L {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{b \over {b - 1}}}}} \over {{1 \over K}\int_{{r_{\rm{w}}}}^L {{{{\mu _{\rm{w}}}} \over {A\left( x \right)}}} \left\{ {A + B{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{1 \over {b - 1}}}} + C{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{2 \over {b - 1}}}}} \right\}{\rm{d}}x}}$

(33)

最后得到的单根流管的产量计算公式为

$\eqalign{ & {q_{\rm{o}}} = \cr & \left\{ \matrix{ {{\left( {{p_{\rm{e}}} - {p_{\rm{w}}}} \right) - {\mu _{\rm{w}}}\int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{\lambda ^{\left( 1 \right)}}\left( x \right)} {\rm{d}}x - {\lambda ^{\left( 2 \right)}}\left( {L - \xi } \right)} \over {{1 \over K}\left\{ {\int_{{r_{\rm{w}}}}^\xi {{{{\mu _{\rm{w}}}} \over {A\left( x \right)}}} \left\{ {A + B{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{1 \over {b - 1}}}} + C{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{2 \over {b - 1}}}}} \right\}{\rm{d}}x + {\mu _{\rm{o}}}\int_\xi ^L {{{{\rm{d}}x} \over {A\left( x \right)}}} } \right\}}}\left( {t \le {t_f}} \right) \hfill \cr {{\left[ {\left( {{p_{\rm{e}}} - {p_{\rm{w}}}} \right) - {\mu _{\rm{w}}}\int_{{r_{\rm{w}}}}^L {{\lambda ^{\left( 1 \right)}}\left( x \right)} {\rm{d}}x} \right] \times {{{\mu _{\rm{w}}}a} \over {{\mu _{\rm{o}}}}}{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^L {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{b \over {b - 1}}}}} \over {{1 \over K}\int_{{r_{\rm{w}}}}^L {{{{\mu _{\rm{w}}}} \over {A\left( x \right)}}} \left\{ {A + B{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{1 \over {b - 1}}}} + C{{\left[ {{{{\mu _{\rm{o}}}\phi } \over {{\mu _{\rm{w}}}ab}} \cdot {{\int_{{r_{\rm{w}}}}^x {A\left( x \right){\rm{d}}x} } \over {\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t} }}} \right]}^{{2 \over {b - 1}}}}} \right\}{\rm{d}}x}}\left( {t > {t_f}} \right) \hfill \cr} \right. \cr} $

(34)

3 启动角计算

低渗透油藏普遍存在启动压力梯度，在一定井网井距和生产压差下，单元内的流体不一定都能流动，表现为存在启动角(图 2)。

根据图 2建立几何关系如下

${L_1} \sin {\alpha _0} = {L_2} \sin {\beta _0}$

(35)

${L_1}\cos {\alpha _0} + {L_2}\cos {\beta _0} = l$

(36)

由式(35)和式(36)可以得到

${L_1} + {L_2} = \dfrac{{\sin {\alpha _0} + \sin {\beta _0}}}{{\sin \left( {{\alpha _0} + {\beta _0}} \right)}} l$

(37)

且波及外边界$ABC$处于临界状态，流速v=0，于是有

${p_{\rm{e}}} - {p_{\rm{w}}} - {\lambda ^{\left( 2 \right)}}\left( {{L_1} + {L_2}} \right) = 0$

(38)

最后得到

${p_{\rm{e}}} - {p_{\rm{w}}} - {\lambda ^{\left( 2 \right)}} \dfrac{{\sin {\alpha _0} + \sin {\beta _0}}}{{\sin \left( {{\alpha _0} + {\beta _0}} \right)}} l = 0$

(39)

且

${\beta _0} = \dfrac{{{\beta _1}}}{{{\alpha _1}}}{\alpha _0}$

(40)

$\alpha_1$、$\beta_1$的值随不同井网形式而变化，将式(40)代入式(39)并解三角函数方程，可以得到启动角$\alpha_0$。

4 油井产量计算

综上所有计算过程，单根流管产量计算得到了微元，启动角计算确定了区间，这样可以通过建立数值积分得到不同面积井网注水开发方式下的非稳态产量。主要计算过程如下：

(1) 根据油田现场及室内实验测试资料确定参数$p_{\rm e}$、$p_{\rm w}$、$r_{\rm w}$、K、$\phi$、$\mu_{\rm w}$、$\mu_{\rm o}$、$\lambda^{(2)}$。

(2) 根据公式(2)确定油井见水时间$t_{\rm f}$。

(3) 根据式(3)确定油水前缘位置$\xi$。

(4) 根据油田现场或室内启动压力梯度测试结果确定$\lambda^{(1)}$与$S_{\rm w}$的关系，结合式(26)最后得到$\lambda^{(1)}(x)$。

(5) 根据式(13)$\sim$式(15)，以油水相渗曲线为基础，拟合得到${\varpi _{\rm{o}}}$与Z的二次多项式，可以确定常数A、B、C。

(6) 根据式(17)，以油水相渗曲线为基础，拟合得到$f_{\rm o}(S_{\rm w})$与Z的幂函数关系式，确定常数a、b。

(7) 根据表 1确定不同井网的$A(x)$与L。

(8) $\int_0^t {q\left( t \right){\rm{d}}t}$的处理方法：油井见水前，$\int_{0}^{t}{q\left( t \right)\text{d}t}=\sum\limits_{\begin{matrix} t=1 \\ t\le {{t}_{f}} \\ \end{matrix}}^{t}{{{q}_{\text{o}}}\left( t \right)}$ ；油井见水后，$\int_{0}^{t}{q\left( t \right)\text{d}t}=\sum\limits_{\begin{matrix} t=1 \\ t\le {{t}_{f}} \\ \end{matrix}}^{t}{{{q}_{\text{o}}}\left( t \right)}+\sum\limits_{\begin{matrix} t-{{t}_{f}} \\ t>{{t}_{f}} \\ \end{matrix}}^{t}{{{q}_{\text{o}}}\left( t \right)}/{{f}_{\text{o}}}\left( {{S}_{\text{w}}} \right)$。

(9) 将步骤(1)$\sim$(8)得到的参数代入公式(34)中，可以得到单根流管产量。

(10) 建立数值积分，得到不同面积注水井网非稳态产量 ${Q_{\rm{o}}} = m\sum\limits_{i = 1}^n {q_0^{\left( {\Delta {\alpha _i}} \right)}} $。

常见井网关键参数见表 1。四点法井组：m=6；五点法井组：m=8；反九点法井组：m=4(边井)，m=8(角井)；平面线性流：m=1；平面径向流：m=1。

5 计算与分析

以研究区某区块为例进行计算，该区块基本参数见表 2。对该区块进行取芯，并在室内测试了其相渗曲线和综合启动压力梯度曲线，结果分别见图 3和图 4。

5.1 模型误差分析

筛选了该区块资料齐全、可对比分析的油水井组，采用非稳态产量模型进行了计算(定压生产)，并将计算结果与实际生产动态进行了归一化处理，对比结果见表 3。

由以上结果可以看出，采用基于流线积分法的非稳态模型计算得到的油水两相非达西渗流条件下的产油量结果与实际生产结果的误差是变化的，低含水期的计算误差低于中高含水期，这说明接近单相渗流时该模型的计算结果更精确。但模型计算结果与实际生产结果的误差平均值仅为1.11%，完全能够满足现场产量预测的要求。

5.2 启动压力梯度对产量的影响

假设油水井距为200 m，生产压差为25 MPa，计算并绘制了四点法、五点法井网油井生产动态曲线，并取$\lambda^{(1)}$=0，$\lambda^{(2)}$=0为计算特例，对比分析了启动压力梯度对油井日产油量的影响，计算结果见图 5、图 6。

由以上结果可以看出：在低渗透油藏中，不考虑启动压力梯度的计算结果明显大于考虑启动压力梯度的计算结果；且考虑启动压力梯度后，油井产量递减更快。这说明启动压力梯度对生产动态的影响大，低渗透油藏在进行开发指标预测及开发方案制定时必须考虑启动压力梯度的影响。

5.3 井网对产量的影响

假设油水井距为200 m，生产压差25 MPa，计算对比了四点井网、五点井网、反九点井网边井与角井的生产动态(图 7)，探讨了井网形式对产量的影响。由图 7可以看出，在相同的生产条件下，五点井网产量最高。因此，对于新区井网部署和注水开发设计时，如果条件允许，则应首先考虑采用五点井网。

以五点井网为例，假设生产压差为25 MPa，计算对比了50，100，150，200及300 m井距条件下的油井日产量(图 8)，分析了井距对产量的影响。由图 8可以看出，井距越小，油井产量越高，但递减越快，生产成本越高。因此，油田现场不能仅靠减小井距来提高产量，应该综合考虑油井产能、井控储量及经济界限等因素的影响，才能确定合理的井距。

5.4 生产压差对产量的影响

仍然以五点井网为例，假设井距为200 m，计算对比了10，15，20及25 MPa生产压差条件下的油井日产量(图 9)，研究了生产压差对产量的影响。由图 9可以看出，生产压差越大，油井产量越大，提高生产压差可以提高采油速度，缩短油田开发周期，因此，合理提高生产压差是油田增产的有效措施。

6 结论

(1) 根据流线积分法基本原理推导了面积井网注水开发非稳态产量计算模型，并通过与现场实际生产数据进行对比分析，证明了模型的可靠性，能够满足油田现场产量预测的要求。

(2) 通过计算分析了启动压力梯度对生产动态的影响，指出在低渗透油藏开发指标预测及开发方案制定的过程中必须考虑启动压力梯度。

(3) 探讨了井网形式及井距对生产动态的影响，指出在条件允许的情况下应该尽量采用五点井网，但合理井距需要综合考虑多种因素的影响才能确定。

(4) 研究了生产压差与油井日产量的关系，指出合理提高生产压差能够提高采油速度，缩短油田开发周期，取得较好的开发效果。

符号说明

K—地层渗透率，mD；

$K_{\rm {ro}}$—油相相对渗透率，无因次；

$K_{\rm {rw}}$—水相相对渗透率，无因次；

$\phi$—孔隙度，无因次；

$p_{\rm e}$—注水井井底流压，MPa；

$p_{\rm w}$—采油井井底流压，MPa；

$pξ$—油水前缘压力，MPa；

$\mu_{\rm o}$—油黏度，mPa$\cdot$s；

$\mu_{\rm w}$—水黏度，mPa$\cdot$s；

$\lambda_{\rm o}^{(1)}$—两相渗流区油相启动压力梯度，Pa/m；

$\lambda_{\rm w}^{(1)}$—两相渗流区水相启动压力梯度，Pa/m；

$\lambda^{(1)}$—两相渗流区综合启动压力梯度，Pa/m；

$\lambda^{(2)}$—单相渗流区启动压力梯度，Pa/m；

$S_{\rm w}$—含水饱和度，无因次；

$S_{\rm {wf}}$—前缘含水饱和度，无因次；

$S_{\rm {or}}$—残余油饱和度，无因次；

Z—可动油饱和度，无因次；

$A(x)$—流管截面积，m²；

t—流动时间，s；

$f_{\rm w}(S_{\rm w})$—含水率，无因次；

$f_{\rm o}(S_{\rm w})$—含油率，无因次；

$f_{\rm o}^{(\rm{oil}-\rm{well})}(S_{\rm w})$—油井井壁含油率，无因次；

$f_{\rm w}^{' }(S_{\rm w})$—含水率导数，无因次；

$f_{\rm o}^{' }(S_{\rm w})$—含油率导数，无因次；

$f_{\rm w}^{' }(S_{\rm{wf}})$—油水前缘含水率导数，无因次；

$r_{\rm w}$—井半径，m；

L—流管中轴线长度，m；

l—油水井距，m；

$\xi$—油水前缘位置，m；

$t_{\rm f}$—油井见水时间，s；

$q_{\rm w}$—流管内水流量，m³/s；

$q_{\rm o}$—流管内油流量，m³/s；

$q(t)$—流管内总流量，m³/s；

h—地层厚度，m；

d—平面线性流井排长度，m；

m—井网系数，无因次；

a、b、A、B、C—相渗常数，无因次；

$\alpha_0$、$\beta_0$—启动区域夹角，rad；

$\alpha_1$、$\beta_1$—计算单元夹角，rad；

$\alpha$、$\beta$—流管中轴线与油水井连线夹角，rad；

$\Delta\alpha$—流管夹角，rad；

$Q_{\rm o}$—油井产量，m³/s。