引言

振动筛主要用于食品、煤炭、石油和化工等行业的物料分离^[1-4]。多年来，振动筛系统动力学研究中，都将振动筛系统简化为一个多刚体动力系统^[5-9]。虽然通过刚体动力学法能够计算系统运动特性，但是这种方法忽视了构成系统组件的材料弹性属性。继而，很多学者采用有限元方法来计算振动筛的关键构件力学特性，如结构强度和系统的固有频率等，其运用的主要方法有动静法分析和传统多体动力法分析。运用动静力法分析时，需要估算不同时刻筛框的惯性加速度，估算值与实际值误差较大。而运用一般的动力学方法分析，首先要确定系统的载荷时程^[6-9]，再将载荷时程载荷导入模型中，这种计算过程过于繁琐。此外，该方法载荷施加方式也存在问题，系统的载荷(激振力)直接施加到筛框上。然而，在实际工程中激振力是由交流电机驱动通过横梁传递至筛框上的。对这种有大变形、大位移和多变量耦合的系统动力学分析,虚拟样机技术较容易实现。目前虚拟样机技术广泛地应用于振动筛样机设计、动力特性分析和筛分效率评估等方面的研究^[10-12]。如果使用虚拟样机技术研究振动筛系统动力特性时，对系统中重要复杂结构的运动部件用有限元法处理为柔性体，刚度强的简单运动部件处理为刚性体(即刚柔耦合)，同时考虑电机转子的运动特性，则上述问题迎刃而解。目前，国内外刚柔耦合动力分析法普遍地利用于机器人系统、高精度机床和航天器系统等科学研究中^[13-16]。在振动筛系统的刚柔耦合动力学研究中，李增彬等^[17]将振动筛的横梁考虑为柔性体，对系统的刚柔耦合动力学分析作了初步尝试。

本文考虑激振电机转子的转动特性以及刚性构件与柔性构件的耦合特性，预测振动筛动力特性和结构强度。同时，运用动态测试实验对刚柔耦合法和传统的刚体动力学法所得的结果作了对比。

1 双频筛分机工作原理

筛分机工作原理如图 1所示，其激振源由两台相同的低频激振电机和一台高频激振电机组成。两台低频电机的偏心块以角速度$\omega_1$分别绕$o_1$、$o_2$同步等速反向转动，所产生的激振力驱动筛分机作与筛面夹角为$\theta$的低频往复直线振动。高频电机的偏心块以角速度$\omega_2$绕$o_3$转动，驱动筛分机作高频圆周振动。低频直线运动与高频圆周运动合成，实现双频筛分机的斜“8”字型运动^[4]。采用高低频复合振动，能够有效解决单频筛分机的“筛堵”、“筛糊”现象，提高筛分机的筛分效率。

2 系统刚柔耦合多体动力学模型 2.1 电机转子动力特性

将激振电机传动轴抽象为两质体相对转动系统如图 2所示。

由于非平稳过程中电机转子的转速是不断变化的，多自由度的机电耦合振动系统存在变量多、变量与变量之间耦合关系复杂等问题，因此建立机电耦合系统动力学方程时引入交流异步电动机的电磁能，与机械传动系统构成机电耦合系统，由电磁场理论交流异步电机气隙磁场能^[3]

$\begin{align} & {{E}_{\text{m}}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{l}{\int\limits_{0}^{{{\sigma }_{0}}}{\int\limits_{0}^{2\pi }{BH{{R}_{\text{r}}}}}}\text{d}\gamma \text{d}\rho \text{d}z=\frac{1}{2}{{L}_{\text{s}}}i_{\text{D}}^{2} \\ & +\frac{1}{2}{{L}_{\text{s}}}i_{\text{Q}}^{2}+\frac{1}{2}{{L}_{\text{r}}}i_{\alpha }^{2}+\frac{1}{2}{{L}_{\text{r}}}i_{\beta }^{2}+{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{D}}}{{i}_{\alpha }}\cos p{{\varphi }_{\text{1}}}- \\ & {{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{D}}}{{i}_{\beta }}\sin p{{\varphi }_{1}}+{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{Q}}}{{i}_{\alpha }}\sin p{{\varphi }_{1}}+ \\ & {{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{Q}}}{{i}_{\alpha }}\sin p{{\varphi }_{1}}+{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{Q}}}{{i}_{\beta }}\cos p{{\varphi }_{1}} \\ \end{align}$

(1)

双质体机电耦合系统的拉格朗日函数L和耗散函数F分别为

$L = {E_{\rm{m}}} \!+\! \dfrac{1}{2}{J_1}\dot \varphi _1^2 \!+\! \dfrac{1}{2}{J_2}\dot \varphi _2^2 \!+ \! {M_{\rm{d}}}{\varphi _2} \!-\! \dfrac{1}{2}k{\left( {{\varphi _1} \!-\! {\varphi _2}} \right)^2}$

(2)

$\begin{align} & F=\frac{1}{2}{{R}_{\text{s}}}i_{\text{D}}^{2}+\frac{1}{2}{{R}_{\text{s}}}i_{\text{Q}}^{2}+\frac{1}{2}{{R}_{\text{r}}}i_{\text{D}}^{2}+\frac{1}{2}{{R}_{\text{r}}}i_{\text{Q}}^{2}+ \\ & \frac{1}{2}c{{\left( {{{\dot{\varphi }}}_{1}}-{{{\dot{\varphi }}}_{2}} \right)}^{2}} \\ \end{align}$

(3)

定子与转子电路的电源电压为

$\left\{ \begin{array}{l} {Q_{\rm{D}}} = {U_{\rm{m}}}\cos (\omega t + {\alpha _0})\\ {Q_{\rm{Q}}} = {U_{\rm{m}}}\sin(\omega t + {\alpha _0})\\ {Q_{\rm{\alpha }}} = {Q_{\rm{\beta }}} = 0 \end{array} \right.$

(4)

取该系统广义坐标为${i_{\rm{D}}},{i_{\rm{Q}}},{i_{\rm{\alpha }}},{i_{\rm{\beta }}},{\varphi _1},{\varphi _2}$，将式(1)$\sim$式(4)代入Lagrange-Maxwell方程，得到多变量交叉的非线性周期系数微分方程组

$\left\{ \begin{align} & {{U}_{\text{m}}}\cos \left( \omega t+{{\alpha }_{0}} \right)={{R}_{\text{s}}}{{i}_{\text{D}}}+{{L}_{\text{s}}}\frac{\text{d}{{i}_{\text{D}}}}{\text{d}t}+{{L}_{\text{sr}}}\frac{\text{d}{{i}_{\alpha }}}{\text{d}t}\cos \left( p{{\varphi }_{1}} \right)-{{L}_{\text{sr}}}\frac{\text{d}{{i}_{\beta }}}{\text{d}t}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right)- \\ & p{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\alpha }}{{{\dot{\varphi }}}_{1}}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right)-p{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\beta }}{{{\dot{\varphi }}}_{1}}\cos \left( p{{\varphi }_{1}} \right) \\ & {{U}_{\text{m}}}\sin \left( \omega t+{{\alpha }_{0}} \right)={{R}_{\text{s}}}{{i}_{\text{Q}}}+{{L}_{\text{s}}}\frac{\text{d}{{i}_{\text{Q}}}}{\text{d}t}+{{L}_{\text{sr}}}\frac{\text{d}{{i}_{\alpha }}}{\text{d}t}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right)+{{L}_{\text{sr}}}\frac{\text{d}{{i}_{\beta }}}{\text{d}t}\cos \left( p{{\varphi }_{1}} \right)- \\ & p{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{d}}}{{{\dot{\varphi }}}_{1}}\cos \left( p{{\varphi }_{1}} \right)-p{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{q}}}{{{\dot{\varphi }}}_{1}}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right) \\ & 0={{R}_{\text{r}}}{{i}_{\alpha }}+{{L}_{\text{r}}}\frac{\text{d}{{i}_{\alpha }}}{\text{d}t}+{{L}_{\text{sr}}}\frac{\text{d}{{i}_{\text{D}}}}{\text{d}t}\cos \left( p{{\varphi }_{1}} \right)+{{L}_{\text{sr}}}\frac{\text{d}{{i}_{\text{Q}}}}{\text{d}t}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right)- \\ & p{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{D}}}{{{\dot{\varphi }}}_{1}}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right)+p{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{Q}}}{{{\dot{\varphi }}}_{1}}\cos \left( p{{\varphi }_{1}} \right) \\ & 0={{R}_{\text{r}}}{{i}_{\beta }}+{{L}_{\text{r}}}\frac{\text{d}{{i}_{\beta }}}{\text{d}t}-{{L}_{\text{sr}}}\frac{\text{d}{{i}_{\text{D}}}}{\text{d}t}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right)+{{L}_{\text{sr}}}\frac{\text{d}{{i}_{\text{Q}}}}{\text{d}t}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right)- \\ & p{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{D}}}{{{\dot{\varphi }}}_{1}}\cos \left( p{{\varphi }_{1}} \right)-p{{L}_{\text{sr}}}{{i}_{\text{Q}}}{{{\dot{\varphi }}}_{1}}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right) \\ & {{J}_{1}}{{{\ddot{\varphi }}}_{1}}+{{\mu }_{\varphi }}\left( {{{\dot{\varphi }}}_{1}}-{{{\dot{\varphi }}}_{2}} \right)+k\left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)=p{{L}_{\text{sr}}} \\ & \left\{ {{i}_{\text{Q}}}\left[ {{i}_{\alpha }}\cos \left( p{{\varphi }_{1}} \right)-{{i}_{\beta }}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right) \right]-{{i}_{\text{D}}}\left[ {{i}_{\alpha }}\sin \left( p{{\varphi }_{1}} \right)+{{i}_{\beta }}\cos \left( p{{\varphi }_{1}} \right) \right] \right\} \\ & {{J}_{2}}{{{\ddot{\varphi }}}_{2}}-{{\mu }_{\varphi }}\left( {{{\dot{\varphi }}}_{1}}-{{{\dot{\varphi }}}_{2}} \right)-k\left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)={{M}_{\text{e}}}-{{M}_{\text{d}}}. \\ \end{align} \right.$

电磁转矩${M_{\rm{e}}}$计算公式为

$ {M_{\rm{e}}} = \dfrac{3}{2}p{L_{\rm{m}}}({i_{\rm{D}}}{i_{\rm{\beta }}} - {i_{\rm{\alpha }}}{i_{\rm{Q}}})$

(5)

若两低频电机(三相鼠笼式电机)的参数相同，设系统激振电机的参数为：额定功率1.8 kW，额定电压220 V，额定频率50 Hz，极数4，定子电阻3.56 $\Omega$，转子电阻3.54 $\Omega$，定子电感1.10 H，转子电感1.12 H，互感0.13 H，电机轴阻尼系数0.04~N$\cdot$m/($rad\cdot {{s}^{-1}}$)}；高频电机(三相鼠笼式电机)的参数为：额定功率0.75 kW，额定电压220 V，额定频率50 Hz，极数2，定子电阻1.20 Ω，转子电阻1.30Ω，定子电感0.50 H，转子电感 0.40 H，互感0.30~~H，电机轴阻尼系数0.03 N⋅m/($rad\cdot {{s}^{-1}}$)。

依据式(5)和式(6)建立激振电机的数学模型。利用激振电机的参数，可以模拟电机转子输出转速，如图 3所示。

从图 3可见，高频电机的转子稳定输出转速约为314 rad/s，低频电机的转子稳定输出转速约为157 rad/s。高低频电机的输出转速呈2倍的关系^[8]，此系统称之为双倍频振动系统或复频振动系统。

2.2 筛分机刚柔耦合模型

筛分机的刚柔耦合模型主要结构参数见表 1。

筛分机系统中刚性体和柔性体之间采用刚柔耦合节点耦合，整个系统中耦合节点共10个，每个激振电机的两个轴承分别设为两个节点，在4个弹簧支座与弹簧接触处各有一个节点(弹簧一端接地，另一端接弹簧支座的刚柔耦合节点)。指定刚柔耦合节点后，利用有限元法生成包含应力信息的模态中性文件(筛分机柔性体结构)，再将模态中性文件导入ADAMS生成柔性体，如图 4a所示。在筛分机工作过程中，激振电机轴和偏心块中弹性形变量非常小，因此在建模过程中可将偏心块考虑为刚体。在电机轴与电机壳的耦合节点处添加转动副，共6个转动副；在3台电机上分别选取一个转动副施加旋转驱动，系统共3个旋转驱动；再将电机输出特性曲线(图 3)导入旋转驱动，就建立了考虑电机特性的筛分机的刚柔耦合模型(图 4b)。

3 实验方案

为了验证本文所提出的研究方法的正确性，对筛分机的样机作了动态测试实验。实验方案及测试仪器如图 5所示。试验设备主要由试验样机、压电式加速度传感器、数据导线、信号放大器、数据采集接收器、变频器和电脑组成。传感器安装在筛分机箱体的入料口、中部和出料口；变频器主要用途是调整电机电流频率；放大器用于输入电压信号的放大；数据采集接收器用于输入信号的采集；电脑用于处理和分析信号。该测试系统能对筛分机的振动工作信号进行实时采集。对采集的加速度信号通过一、二次积分可以得到系统的速度和位移信号。

4 系统动力特性分析 4.1 双频振动筛模态分析

振动筛模态分析是计算出系统各阶次的固有频率及其相应的振型，在振动筛设计之前可以预先避免可能引起的共振。由于低阶共振在振动机械系统工作过程中经常出现，所以研究振动筛系统固有频率只需关心低频率范围内的共振。采用有限元法对筛分机前12阶次模态作了计算，表 2给出了振动筛系统的固有频率及模态振型。振动筛前6阶次的固有频率分别是2.81，2.92，3.11，5.57，8.78和13.05 Hz。本文研究的振动筛的高、低频激振电机的激振频率为47.0 Hz 和23.5 Hz，均避开了振动系统各阶次的固有频率，保证了振动筛结构在平稳状态工作时不会因为系统的共振而被破环。图 6所示为振动筛1$\sim$6阶次的固有振型。从筛分机的固有振型上来说，1$\sim$6阶次固有振型是刚体的平动和转动，高于6阶次的固有振型是弹性振动。

4.2 加速度响应

为了验证刚柔耦合法对振动筛动力特性分析的准确性，分别运用刚体动力学法、刚柔耦合动力学法、动态测试法(实验法)获得振动筛的箱体水平加速度响应时程曲线。图 7所示为振动筛出料口、中部、进料口的水平加速度响应时程曲线。对比研究发现，在出料口，刚体动力学法、刚柔耦合动力学法和动态测试法获得的平均加速度单幅值分别为50.3，52.2，46.2 m/s²；在箱体中部，刚体动力学法、刚柔耦合动力学法和动态测试法获得的平均加速度单幅值分别为55.1，54.7，50.9 m/s²；在进料口，刚体动力学法、刚柔耦合动力学法和动态测试法获得的平均加速度单幅值分别为52.6，51.8和49.7 m/s²。刚柔耦合法所得的结果与实验测试的较接近，而刚体法所计算的加速度响应幅值小于实验法和刚柔耦合法。在实际工程运用中，振动筛在激振力作用下，它的构件会发生弹性振动。而刚体法将振动筛所有的构件全部考虑为刚性，忽略了材料固有的弹性属性，因此比刚柔耦合法刚体法所得的结果误差较大。由此可见，采用刚柔耦合法能准确地预测新型振动筛的动态特性，这恰恰是刚柔耦合法研究振动机械动力特性的优势之一。

4.3 振动筛结构动应力

通过系统刚柔耦合模型可以计算振动筛柔性部件的动应力。表 3所示是振动筛节点较大应力值。由表 3可知：整个运动过程中，激振电机筋板承受最大的米塞斯应力，其值是27.49 MPa；但远小于振动筛材料的强服极限355.00 MPa，所以振动筛工作过程中其结构强度可靠。

图 8所示是振动筛瞬间动态应力分布，依次给出了第0.4，第0.8，第1.2，第1.6，第2.0，第2.4 s振动筛应力云图的分布。对比各个时刻点振动筛的应力分布规律，不同时刻振动筛的应力分布是不同的。在振动筛工作过程中，振动筛的横梁、弹簧支座和电机筋板承受较大的米塞斯应力，在长时间激振力作用下，振动筛这些部件容易出现疲劳破坏。最后，刚柔耦合法能准确计算振动筛的结构动态强度，这恰恰是刚柔耦合法的另一优势。

5 结论

(1) 振动筛的低阶次固有振型是低频刚体平动和转动，振动筛的高阶次固有振型是高频弹性振动。振动筛系统各阶次的固有频率不与系统的固有频率重叠，保证了振动筛在正常工作时不会发生共振。

(2) 实验测试表明，采用刚柔耦合法能准确地预测新型振动筛的动态特性。

(3) 采用刚柔耦合法能准确地计算振动筛的结构动态强度。所计算的动应力为后续振动筛疲劳分析奠定了基础，也为其他机械系统的刚柔耦合多体动力学分析提供了可借鉴的方法。

符号说明

${\omega_1}$—低频电机旋转角速度，rad/s；

${o_1}{，}{o_2}$—低频电机旋转中心；

$\theta$—低频电机合力与筛面夹角，rad；

${\omega_2}$—旋转角速度，rad/s；

${o_3}$—高频电机旋转中心；

$o,x,y$—箱体固定坐标系；

$m_1$—低频电机偏心块的质量，kg；

$r_1$—低频电机偏心块的偏心距，m；

$\alpha$—低频电机相位初始相位角，rad；

$m_2$—高频电机偏心块的质量，kg；

$r_2$—高频电机偏心块的偏心距，m；

$\beta$—高频电机相位初始相位角，rad；

$k_x$—弹簧x方向的刚度系数，N/m；

$k_y$—弹簧y方向的刚度系数，N/m；

$M_{\rm e}$—电机转子系统的力矩，N$\cdot$m；

$J_1$—电机转子的转动惯量，kg⋅m²；

k—联轴器的扭转刚度，(N $\cdot$ m)/rad；

f—联轴器摩擦阻尼系数，(N $\cdot$ m)/(rad/s)；

$\psi$—机体绕$\psi$方向的摆动位移，rad；

$\varphi_1$—转子相对定子转动的转角，rad；

$M_{\rm d}$—负载力矩，N$\cdot$m；

$J_2$—机械偏心转子的转动惯量，kg⋅m²；

$E_{\rm m}$—异步电机磁场能，J；

l—磁场在z轴方向的长度，m；

$\delta _0$—定、转子间的气隙为均匀气隙系数，无因次；

B—磁感应强度，T；

H—磁场强度，A/m；

$R_{\rm r}$—转子的电阻，$\Omega$；

$\gamma$—电机气隙圆周角，rad；

$\rho$—磁场极径，m；

z—坐标z轴，m；

$L_{\rm s}$—定子电感，H；

$i_{\rm D}$—定子的D轴电流，A；

$L_{\rm r}$—转子电感，H；

$L_{\rm sr}$—定子与转子互感，H；

$i_{\rm Q}$—定子的Q轴电流，A；

$i_{\alpha},i_{\beta}$—转子的${\alpha}$轴与${\beta}$轴电流，A；

p—电机的极对数；

$\varphi_2$—机械偏心转子的转角，rad；

${\dot \varphi _1}$—电机转子的角速度，rad/s；

${\dot \varphi _2}$—机械偏心转子的角速度，rad/s；

c—扭振阻尼系数，${\rm{N}} \cdot {\rm{m/(rad/s)}}$；

$R_{\rm s}$—定子的电阻，$\Omega$；

$Q_{\rm D}$—定子的D电源电压，V；

$U_{\rm m}$—电源电压幅值，V；

$\omega$—电网角频率，rad/s；

t—时间，s；

$Q_{\rm Q}$—定子的Q电源电压，V；

$Q_{\rm\alpha}$，$Q_{\rm \beta}$—转子$\rm \alpha$，$\rm \beta$轴的电源电压，V；

$\alpha_0$—初相位角，rad；

${\mu _\varphi }$—联轴器扭振阻尼系数，(N $\cdot$ m)/(rad/s)；

${L_{\rm{m}}}$—电机等效定子与转子互感，H。