引言

有杆泵是煤层气排采的主要设备，作业时安装在井下油管柱的下部，沉没在井液中，通过抽油机、抽油杆传递的动力直接进行井内液体的抽汲^[1]。目前中国所投产的煤层气井主要采用有杆泵设备进行排采^[2-4]。煤层气井由于煤储层本身的特性在排采过程中易产生煤粉，在抽水泵的抽汲作用下，进入井筒中的煤粉颗粒随着地层液被吸入泵筒，煤粉颗粒进入泵内使泵阀、柱塞等发生磨损从而降低泵效；当煤粉颗粒在泵筒中过快地沉积将造成固定阀的堵死，造成卡泵，从而被迫进行关井修井作业^[5-6]。由于煤层气与常规油气开采工艺有很大区别，修井作业过于频繁，将造成煤层气井出气少甚至很长时间不出气，不利于煤层气井生产。因此，研究煤粉颗粒在抽油泵的沉降规律是解决埋泵和卡泵问题的关{键}。

目前对离心泵内固液两相流研究较多，敏政等^[7]对泥沙颗粒直径及体积分数对高比转速离心泵的影响进行了研究，李仁年等^[8]对小粒径固液两相流在螺旋离心泵内运动进行了数值分析，何伟强等^[9]对固相体积分数对离心泵性能影响进行了研究。朱祖超等^[10]分析了固液混合物对双流道输送泵性能的影响和对泵的磨损。在煤层气井有杆泵排采的过程中气体随着井液进入有杆泵内会影响泵的充满度，降低泵效，甚至会发生气锁、气蚀等现象，在抽液泵抽吸的过程中煤粉颗粒进入泵内造成埋泵卡泵等现象，故无论气体还是煤粉颗粒对泵的影响都会影响泵的正常工作，近年来研究气体对柱塞泵的影响的较多^{[11, 12]}，很少见对有杆泵内固体颗粒对泵的影响的分析。本文针对煤层气排采的实际，利用固液两相流理论分析在不同排液量，不同煤粉颗粒大小以及不同煤粉浓度下，煤粉在抽油泵内的沉降特性，以及煤粉颗粒对有杆泵使用寿命的影响，为煤层气井有杆泵排采提供依据。

1 有杆泵内固液两相流数学模型

上冲程时有杆泵在抽油杆的带动下游动阀关闭而固定阀打开泵吸入含煤粉地层液混合物，如图 1所示。由于泵腔压力和井底压力比较大，流体入泵处于湍流的状态，在近壁处流体处于层流的状态。

1.1 煤粉颗粒在泵筒内沉降数学模型

被吸入的煤粉颗粒在泵筒内所受力在泵轴向方向(y方向)平衡方程为

$\dfrac{{{\rm{d}}{u_{\rm{p}}}}}{{{\rm{d}}t}} = {F_{\rm{D}}}(u - {u_{\rm{p}}}) + \dfrac{{({\rho _{\rm{p}}} - \rho ) \cdot {g_y}}}{{{\rho _{\rm{p}}}}} + {F_y}$

(1)

式中：

$u_{rm p}$—煤粉颗粒的速度，m/s；

t—时间，s；

${F_{\rm{D}}}(u - {u_{\rm{p}}})$—煤粉颗粒在流体中所受到的拖曳力，N；

u—流体相的速度，m/s；

$\rho$—流体的密度，kg/m³；

$\rho_{\rm p}$—煤粉颗粒的密度，kg/m³；

$g_y$—重力加速度在y向的分量，m/s²；

$F_y$—煤粉颗粒所受重力，N。

拖曳力计算公式为

${F_{\rm{D}}} = \dfrac{{18\mu }}{{{\rho _{\rm{p}}}{d^2}}}\dfrac{{{C_{\rm{D}}}{{Re}}}}{{24}}$

(2)

式中：

$Re$—相对雷诺数，无因次，${{ Re}} = \dfrac{{\rho d|{u_{\rm{p}}} - u|}}{\mu }$；

d—煤粉颗粒的粒径，mm；

$\mu$—流体的黏度，Pa$\cdot$s；

${C_{\rm{D}}}$—流体的拖曳力系数，在一定的雷诺数下是常数，可通过相应实验获得或参考经验数^[13]。文献^[13]中给出了$Re$为0.1${\sim}$5.0$\times$10⁴范围内${C_{\rm{D}}}$的值，当$Re$=300时${C_{\rm{D}}}$=0.65。

1.2 泵内固液两相流流动数学模型

双流体模型是目前研究固体颗粒与流体的两相流最为广泛的一种方法，能够较完整地考虑颗粒相的输运过程，并通过颗粒压力和黏度考察颗粒间的相互作用^[14]，考虑含煤粉井液固液两相的相互作用，用两相流双流体模型，每相独自地满足连续性方程和动量守恒定律。

泵筒内井液混合物满足连续方程

$\dfrac{\partial }{{\partial t}}{\rho _{\rm{m}}} + \nabla \cdot \left( {{\rho _{\rm{m}}}{{\overline v }_{\rm{m}}}} \right) = \dot m$

(3)

${\overline v _{\rm{m}}} = \dfrac{{\sum\nolimits_{k = 1}^n {{\alpha _k}{\rho _k}{{\overline v }_k}} }}{{{\rho _{\rm{m}}}}}$

(4)

${\rho _{\rm{m}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {{\alpha _k}{\rho _k}}$

(5)

其中：

$\rho _{\rm m}$—混合密度，kg/m³；

${{\overline v }_k}$—第k相的平均速度，m/s；

$\overline v _{\rm{m}}$—平均速度，m/s；

${\alpha _k}$—第k相的体积分数，$\%$；

${\rho _k}$—第k相的密度，kg/m³； $\dot m$—质量源的质量传递；

n—相数。

井液混合物的动量方程可以通过对所有相各自的动量方程来求得，通过所有相各自的动量方程求和得到。可表示为

$\dfrac{\partial }{{\partial t}}\left( {{\rho _{\rm{m}}}{{\bar v}_{\rm{m}}}} \right) + \nabla \cdot\left( {{\rho _{\rm{m}}}{{\bar v}_{\rm{m}}}{{\bar v}_{\rm{m}}}} \right) =- \nabla p + \\{\kern 42pt}\nabla \cdot\left[{{\mu _{\rm{m}}}\left( {\nabla {{\bar v}_{\rm{m}}} + \nabla {{\bar v}_{\rm{m}}}^{\rm{T}}} \right)} \right] + {\rho _{\rm{m}}}{\rm{g}} + \\{\kern 42pt}F + \nabla \cdot\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{\alpha _k}{\rho _k}} {v_{{\rm{dr}},k}}{v_{{\rm{dr}},k}}} \right)$

(6)

式中：

p—压力，Pa；

F—体积力，N；

$\bar v_{\rm{m}}^{\rm T}$—切向平均流速，m/s；

$\mu_{\rm m}$—混合黏度，Pa$\cdot$s；

g—重力加速度，g = 9.8 m/s²；

$v_{{\rm{dr}},k}$—第k相的漂移速度，m/s。

定义滑移速度${{v_{qp}}}$为第二相p相对于主相q的速度

${{v_{qp}}} = v_p -v_q$

(7)

式中：${v_p}$—第二相p相的速度，m/s； ${v _q}$—主相q相的速度，m/s。

由第二相p的连续性方程，可得到第二相的体积分数方程为

$\dfrac{\partial }{{\partial t}}\left( {{\rho _p}{\alpha _p}} \right) + \nabla \cdot \left( {{\alpha _k}{\rho _p}{v_{\rm{m}}}} \right) = - \nabla \left( {{\rho _p}{\alpha _p}{v_{{\rm{dr}},p}}} \right)$

(8)

式中：

${\rho _p}$—p相的密度，kg/m³；

${\alpha _p}$—p相的体积分数，$\%$；

$v_{{\rm{dr}},p}$—p相的漂移速度，m/s。

1.3 井液液相湍流模型

将单相流的标准$K-\varepsilon$模型扩展到两相流湍流模型，将单相流的压力速度耦合SIMPLEC算法扩展至两相流动中，对井液两相流较为合适。该模型以固液混合相为研究对象，综合考虑了液体相和颗粒相的湍动作用对流动过程的影响。其模型见式(9)$\sim$式(11)。

$K-\varepsilon$模型湍流模型

$ {v_{\rm{t}}} = {c_u }\dfrac{{{K^2}}}{\varepsilon }$

(9)

式中：

$v_{\rm t}$—流体的湍流运动黏性系数，m²/s；

$c_{\rm u}$—待定经验系数，无因次；

K—湍流脉动动能，J；

$\varepsilon$—湍流耗散率，$\%$，$\varepsilon={c_{\rm D}}\dfrac{{{K^2}}}{l}$；

$c_{\rm D}$— 待定系数，无因次；

l—湍流脉动的长度标尺，m。

K方程

$\rho \dfrac{{\partial K}}{{\partial t}} + \rho {u_j}\dfrac{{\partial K}}{{\partial {x_j}}} = \dfrac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left[{\left( {\mu + \dfrac{\mu }{{{\sigma _{\rm{k}}}}}} \right)\dfrac{{\partial K}}{{\partial {x_j}}}} \right] + \\{\kern 40pt}{u_i}\dfrac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}}\left( {\dfrac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} + \dfrac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) - \rho \varepsilon$

(10)

式中：

$\rho$—流体密度，kg/m³；

$\mu$—流体黏度，Pa$\cdot$s；

$\mu_i$—i方向流体黏度，Pa$\cdot$s；

$\mu_j$—j方向流体黏度，Pa$\cdot$s；

$x_i$—i方向位移，m；

$x_j$—j方向位移，m；

x—x坐标，m；

$\sigma _{\rm k}$—经验系数，无因次；

下标i，j—i向，j向。

$\varepsilon$方程

$\rho \dfrac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} + \rho {u_j}\dfrac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {x_j}}} = \dfrac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left[{\left( {\mu + \dfrac{\mu }{{{\sigma _{\rm{k}}}}}} \right)\dfrac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {x_j}}}} \right] + \\{\kern 40pt} \dfrac{{{c_1}}}{K}{u_i}\dfrac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_k}}}\left( {\dfrac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_{{k}}}}} + \dfrac{{\partial {u_k}}}{{\partial {x_i}}}} \right) - \dfrac{{{c_2}}}{K}\rho \varepsilon$

(11)

式中：

$c_1$，$c_2$—经验系数，无因次；

$x_k$—k方向位移，m。

模型中，经验系数$c_{\rm u}$，$c_1$，$c_2$，${{\sigma _{\rm{k}}}}$分别推荐取值为0.09，1.44，1.92，1.00^[15]。

通过连续性方程、两相动量方程、两相体积系数方程以及K方程和$\varepsilon$方程，得到封闭方程组。

2 实例计算与分析

为便于对比分析，设定几种工况进行分析，见表 1。其中1组分析抽油泵在上冲程过程中泵腔内煤粉运动规律，2、3、4组分别分析颗粒粒径、入口速度、煤粉浓度对煤粉沉积的影响。泵在工作过程中有段余隙即防冲距^[16]重点研究余隙内煤粉沉积，以及泵筒和柱塞间的煤粉。

2.1 泵腔内煤粉运动规律

利用三交区块SJP02-2井现场参数：冲程1.50 m，泵径38 mm，泵效70%，体积比含煤粉量1.0%，煤粒密度1 490 kg/m³。假设泵筒截面上煤粉颗粒均匀分布，依据井液流动和煤粉运移分析，可以求得不同排液量时，粒径40目煤粉在泵筒截面上运移速度的具体分布情况，见图 2。

可以看出，泵筒中煤粉颗粒伴随井液流动进行运移，且煤粉的运移速度接近于井液流速，二者的运动规律相近。在体积比含煤粉量较低的情况下，煤粉运移速度分布在泵筒截面中心部位出现一个很高的峰值。给定泵径后，煤层气井的排液量低于某一临界值，本例中1 m³时，煤粉颗粒在泵筒任一截面各点上的运移速度均小于零，表明此时煤粉颗粒在泵筒中完全沉降的状态，井液根本无法携带煤粉颗粒向上运动，排出泵筒；在排液量高于此临界值后，煤粉运移速度在泵筒截面的中间部位为正，该部分煤粉向上运动，可以被井液携带出泵，而泵筒壁附近的煤粉运移速度为负；煤粉颗粒运移速度正负的分界点随排液量的增大而逐渐扩大，由此使得排出泵筒的煤粉量不断提升，图中排液量分别为5 m³/d、7 m³/d和10 m³/d时，泵筒截面上煤粉运移速度正负分界点依次为$\pm$16.5，$\pm$17.3，$\pm$17.8 mm，被井液携带出泵的煤粉量则由77.4%增大到83.8%和88.7%，这为给定粒径煤粉进入泵筒顺利排出所需要排液量大小和泵筒截面尺寸的参数设计提供了重要依据。

图 3是泵腔底部煤粉颗粒浓度分布图。当上冲程结束时，泵下端煤粉浓度较大，分布非常不均匀，煤粉颗粒速度分布不均匀，湍流现象比较严重。在固定阀入口两侧，煤粉颗粒在泵下端轴向速度已经为负值，煤粉颗粒在此处沉积。这种情况是由于在固定阀两侧出现了涡流现象。在固定阀入口两侧，煤粉浓度最大。

泵上端煤粉浓度非常小，而且分布比较均匀，泵腔上部煤粉颗粒轴向速度较小且以层流分布。

综上所述，随着煤粉等固相颗粒在泵阀处的不断沉积，最终导致固定阀堵死即抽油泵无法正常工作，煤层气井必须进行修井作业。

2.2 颗粒直径对煤粉沉积的影响

图 4为煤粉颗粒直径分别为0.1 mm和0.5 mm时，泵腔内煤粉体积分数分布。在其他相同条件下，无论煤粉颗粒直径大小，煤粉在泵底部都有所沉积。煤粉沉积的位置集中在泵入口两侧。当煤粉颗粒为0.5 mm时，沉积的煤粉体积分数最高达到0.60。相比较煤粉颗粒直径为0.1 mm时，沉积的煤粉浓度最高不超过0.24。

在泵余隙内3处(泵固定阀上端10，30，50 mm处) 沉积煤粉体积分数见图 4。当煤粉颗粒直径为0.1 mm时，在泵阀上端10，30，50 mm处煤粉平均体积分数分别增加4.6%，8.2%，11%。当煤粉颗粒直径为0.5 mm时，在泵阀上端10，30，50 mm处煤粉平均体积分数分别是入口处的1.96，1.65，1.64倍。图 4a和图 4b对比表明，泵下端有煤粉沉积，煤粉颗粒直径越大，煤粉沉积越多。较大煤粉颗粒不能有效地携带出，而较小直径煤粉则能被有效携带出泵。

煤粉粒径的大小对颗粒沉积的影响较大，在井液进泵速度稳定的情况下，随着煤粉粒径的增大，泵入口附近的煤粉逐渐发生沉积，较大煤粉颗粒不能有效地携带出，为此需要在泵下端采用防煤粉筛管等必要措施，防止大颗粒煤粉进泵。

2.3 井液入泵速度对煤粉沉积的影响

在泵余隙内3处(泵固定阀上端10，30，50 mm处)煤粉体积分数和煤粉轴向运动速度分别如图 5和图 6所示。

对比分析表明，当煤粉颗粒为0.1 mm时，液体入泵速度为0.15 m/s，沉积的煤粉体积分数最高接近0.32。相比较液体入泵速度为0.4 m/s，沉积的煤粉体积分数约为0.24。对比图 6a、图 6b表明，煤粉颗粒速度大大减小甚至出现负值，表明泵低端开始有煤粉聚集和下沉。

从图 6比较发现泵入口处初始速度越小时，煤粉聚集越多。当泵入口处初始速度为0.15 m/s时，在泵阀上端10，30，50 mm处煤粉平均体积分数分别是入口处3.3，2.66，1.90倍。当泵入口处初始速度为0.40 m/s时，在泵阀上端10，30，50 mm处煤粉平均体积分数分别是入口处的1.96，1.65，1.64倍。从数据可以得出，随着入口处初始速度减小，泵下端煤粉积聚明显增加。故提高地层混合液的入泵速度可以减少泵内的煤粉沉积。

2.4 井液中颗粒浓度对煤粉沉积的影响

计算分析表明，当0.1 mm颗粒煤粉浓度为5.0%时，沉积的煤粉浓度最高达到5.04%。而浓度为10%时，沉积的煤粉浓度最高达到10.1%。在煤粉浓度增大时，泵下端沉积煤粉平均浓度有所减小，泵阀两侧都有所增加。

煤粉体积分数越多，煤粉聚集越多，泵下端有煤粉沉积，但变化并不明显。当煤粉浓度为5%时，在泵阀上端10，30，50 mm处煤粉平均体积分数分别增加5.8%，5.0%，4.8%。当煤粉浓度为10%时，在泵阀上端10，30，50 mm处煤粉平均体积分数分别增加6.6%，6.2%，6.0%。可以看出，在煤粉颗粒直径为0.1 mm时，随着煤粉煤粉浓度的增加，泵下端煤粉沉积有所增加，但变化不太明显。

3 煤粉对有杆泵的影响

当泵内的煤粉进入泵筒和柱塞的间隙时，对泵筒和柱塞将产生磨损，其泵筒和柱塞任意处x点的磨损间隙增量可分别表示为

$ {\delta _{\rm{T}}} = {A_{\rm{T}}}{(2N{x_{\rm{}}}t)^{{\alpha _{\rm{}}}}}$

(12)

${\delta _{\rm{Z}}} = {A_{\rm{Z}}}{(2N{x_{\rm{}}}t)^{{\alpha _{\rm{}}}}}$

(13)

式中：

$ {\delta _{\rm{T}}}$，$ {\delta _{\rm{Z}}}$—泵筒和柱塞的磨损间隙增量，mm；

${A_{\rm{T}}}$，${A_{\rm{Z}}}$—泵筒和柱塞的磨损系数，无因次；

N—冲次，min$^{-1}$；

${\alpha}$—系数，无因次。

系数$\alpha$与摩擦副的性质，工作条件等因素有关，可以通过实验求得。当含煤粉浓度增加时，$\alpha$增大，其关系可拟合求得^[17]

$\alpha = 0.0059C+0.4$

(14)

式中：

C—煤粉的体积浓度，$\%$。

泵在使用的过程中，泵筒的磨损要比柱塞的严重，泵筒从功能和造价上是泵的关键零件，因此，目前确定泵的使用寿命是以泵筒的使用时间来确定。故当泵筒磨损间隙增量大于泵筒的极限磨损量时泵达到使用寿命。煤粉颗粒进入有杆泵中使泵的使用寿命降低，其受煤粉颗粒影响后泵泵的寿命可表示为

$T = \dfrac{{{{\left( {\left[{{\delta _{\rm T}}} \right]/{A_{\rm{T}}}} \right)}^{\frac{1}{{0.059C + 0.4}}}}}}{{2N{x}}}$

(15)

式中：

T—泵的寿命，d；

$[\delta _{\rm T}]$—泵筒的极限磨损量，mm。

%$x_{\rm T}$—磨损量，mm。

一般而言，经过碳氮共渗或镀铬、碳氮共渗的泵筒，淬硬度一般为0.38 mm，使用中允许最小硬层厚度为0.25 mm，泵筒的极限磨损量为0.13 mm。

根据三交使用的有杆泵参数和排采参数，泵的使用寿命随进入泵的煤粉浓度的关系如图 8所示，分析可知随着煤粉浓度的增加，泵的使用寿命降低，在相同煤粉浓度下，抽液泵的冲次越大泵的使用寿命越低。当泵内的煤粉浓度为1%时，冲次为5，4，3 min$^{-1}$其泵的使用寿命分别为193，241，321 d。煤粉对泵的影响不仅表现在对泵的使用寿命上，还易造成卡泵，造成频繁的修井作业。

分析结果表明，为了防止泵内煤粉大量沉积导致的煤层气井修井过于频繁，结合煤层气井排采可采取以下措施：

(1) 排采时，平稳地降压，尽量减少由于压力波动产生的煤粉。减少煤粉的产出。

(2) 在抽油泵低端接筛管，能够过滤较大的煤粉或其他固相颗粒；尽量减少进入泵内煤粉的含量。

(3) 合理调节排采系统的冲程、冲次，通过改变泵的排量提高泵入口的流速，减小煤粉沉积量。使进入泵中的煤粉尽量排出泵外进入抽油杆和油管环空。

4 结论

(1) 煤粉浓度的变化对煤层气井有杆泵内煤粉沉积的影响相对较小；固液两相入泵初始速度和煤粉直径的变化对煤层气井有杆泵内煤粉沉积的影响相对较大。

(2) 合理调节排采系统的冲程、冲次，通过改变泵的排量提高泵入口的流速，可以减小泵内煤粉沉积量，延长检泵周期和泵的使用寿命。

(3) 根据煤粉在有杆泵内沉积的影响因素分析，对煤层气井排采提出几项改进措施，以减少有杆泵内煤粉的沉积，为煤层气井有杆泵排采设备的正常运行提供保证。