引言

中国的许多地区由于长期受到地质活动(如继承性断裂等)的影响，导致这些地区出现了很多的复杂断块油藏^[1]，如江汉、东部的渤海湾、苏北以及中原东濮，这些区域受到多级断层相互作用，使得形成的断块油藏彼此独立，每个断块油藏都有自己独立的温度、压力系统，进而使得断块油藏之间的油层物性、原油储量、PVT 属性等出现明显差异^[2]。因此加大了对于该类油藏开发的难度，并且大部分断块油藏的储层渗透率低，以至于达到低、特低渗透油藏的级别^[3]。其中江苏油田为一典型的断块油藏，该油藏多呈三角形、圆形、半圆形、条带状、不规则多边形等形状^[4]，且以条带状为主^[5]。 由此看出条带状油藏属于比较常见的油藏类型之一，针对于该类油藏的开发，目前主要集中在油田注水方案设计^[6]、步井方案设计^[7]，对于其压力传播规律的研究还很欠缺。

虽然前人在低渗透油藏的压力传播规律研究作出了很多研究，且取得了很大进展，但是目前主要是基于一维径向渗流^[8]和定产量生产^[9-11]。然而实际油田开发过程中，往往存在定压生产情况，且对于渗流室内实验及大型行列排状注水，经常存在一维单向流动。综合以上分析，有必要对条带状断块油藏进行有关压力传播规律的研究。

1 模型描述

将条带状断块油藏简化为一个水平、条带状等厚均质低渗透(特低渗透)油藏(图 1)，平均渗透率为K，地层流体微可压缩，油藏有效厚度为h，宽度为w，长度为L，油藏边界压力为$p_{\rm{e}}$，采油井井底压力为$p_{\rm{wf}}$，地面原油产量为q，地层压力下的原油体积系数为B，地层左端具有供给边缘，右端为一直线排液抗道，黏度为$\mu$的微可压缩流体发生平面不稳定渗流。

2 模型推导

根据低渗透油藏相关背景知识知：与中高渗透油藏不同，其存在启动压力梯度，不同模型^[12-15]对于启动压力梯度的描述是不一样的，其中的两参数非线性连续模型^[12]既反映出流体在低渗介质中渗流时存在最小启动压力梯度^[16]的现象，又可以很好地描述非线性段特征。但目前压力传播规律模型的建立大都基于拟启动压力梯度模型^[17]，但却不能精确地反映地下流体渗流特征。因此，为避免前人研究的缺陷，本文基于更符合低渗油藏渗流的两参数连续模型^[18-19]，结合物质平衡原理，并运用稳态逐次替换法^[20-21]，分别建立了定压、定产情况下的低渗油藏不稳定渗流压力传播规律的数学模型，并进行了模型的应用和分析。

低渗油藏非线性渗流的两参数模型表达式为

$v = \dfrac{K}{\mu }\nabla p\left( {1 - \dfrac{1}{{a + b\left| {\nabla p} \right|}}} \right)$

(1)

式中：K—油藏平均渗透率，D；

$\mu$—地层条件下原油黏度，mPa·s；

a,b—模型参数，取值与具体的实际油藏有关；

任意位置处的渗流速度为

$v = \dfrac{{Bq}}{A}$

(2)

$A = wh$

(3)

式中： w—油藏宽度，m；

h—油藏有效厚度，m；

B—地层压力下的原油体积系数，m³/m³；

q—地面原油产量，m³/d；

A—渗流面积，m²。

$\left| {\nabla p} \right|$可为正、为负，当$\left| {\nabla p} \right|$为正时，对应于采油井的生产；当$\left| {\nabla p} \right|$为负时，对应于注水井的生产，此处仅考虑$\left| {\nabla p} \right|$为正的情况，即油井的生产情况。

联立式(1)、式(2)、式(3)，解得

$\nabla p\!=\!\dfrac{{1 - a}}{{2b}}\!+\!\dfrac{{q\mu }}{{2Kwh}} + \dfrac{{\sqrt {\left( {a - 1 - \dfrac{{q\mu b}}{{Kwh}}} \right)^2 \!+\!\dfrac{{4q\mu ba}}{{Kwh}}} }}{{2b}} $

(4)

即

$\dfrac{{{\rm{d}}p}}{{{\rm{d}}x}}\!=\!\dfrac{{1 - a}}{{2b}}\!+\!\dfrac{{q\mu }}{{2Kwh}}\!+\! \dfrac{{\sqrt {\left( {a - 1 - \dfrac{{q\mu b}}{{Kwh}}} \right)^2 \!+\!\dfrac{{4q\mu ba}}{{Kwh}}} }}{{2b}} $

(5)

稳态逐次替换法指出：在非稳态渗流中，某时刻的压力分布可近似作稳态渗流处理，但压力传播边界半径为时间t的函数，在此用$x(t)$表示。对式(5)进行积分，可得任意时刻的井底压力和压力分布

$p - p_{\rm{e}} = \varepsilon (q)[x(t) - L]$

(6)

$p - p_{{\rm{wf}}} = \varepsilon (q)[x(t) - r_{\rm{w}}]$

(7)

式中：

$ p_{\rm{e}}$—油藏边界压力，MPa；

$p_{{\rm{wf}}}$—采油井井底压力，MPa；

p—距离井轴中心半径为x处的地层压力，MPa；

$x(t)$—压力传播半径，m；

x—距离井轴中心半径，m；

$r_{\rm{w}}$—井筒半径，m；

t—时间，h。

$\varepsilon (q)\!=\!\dfrac{{1 - a}}{{2b}}\!+\!\dfrac{{q\mu }}{{2Kwh}}\!+\!\dfrac{{\sqrt {\left( {a - 1 - \dfrac{{q\mu b}}{{Kwh}}} \right)^2 \!+\!\dfrac{{4q\mu ba}}{{Kwh}}} }}{{2b}} $

(8)

2.1 定产生产模型

以地面定产量Q生产，累计生产时间为t，累计原油产量为$N_{\rm{p}}$，原油平均密度为$\rho_0$，则有

$N_{\rm{p}} = B\rho _0 Qt$

(9)

由质量守恒原理可得：采出的原油包括两部分：$r<r_{\rm{w}}$内由于井筒储能而产出的原油$N_{\rm{p1}}$；$r_{\rm{w}}<r<R(r)$压力激动区产出的原油$N_{\rm{p2}}$，即

$N_{\rm{p}} = N_{{\rm{p}}1} + N_{{\rm{p}}2}$

(10)

而

$N_{{\rm{p}}1} = whr_{\rm{w}} [(\rho \phi )_{\rm{e}} - (\rho \phi )_{\rm{w}}]$

(11)

$N_{{\rm{p2}}} = \int_{r_{\rm{w}} }^{x(t)} {wh[(\rho \phi )_{\rm{e}} - (\rho \phi )_x]} {\rm{d}}r$

(12)

式中：

$(\rho \phi )_{\rm{w}} $—井底压力下单位体积岩石中的含原油质量，g/cm³；

$(\rho \phi )_x$—距井中心x处、地层压力为p条件下，单位体积岩石所含原油质量，g/cm³；

$(\rho \phi )_{\rm{e}}$— 原始地层压力下单位体积岩石中的含原油质量，g/cm³。

由渗流力学知，岩石的状态方程^[22]可近似为

$\phi = \phi _0 [1 + c_{\rm{f}} (p - p_0 )]$

(13)

微可压缩流体^[22]则为

$\rho = \rho _0 [1 + c_{\rm{l}} (p - p_0 )]$

(14)

式(13)、式(14)相乘，并忽略极小项得

$\rho \phi = \rho _0 \phi _0 [1 + c_{\rm{t}} (p - p_0 )]$

(15)

式中：

$c_{\rm{l}}$—地层条件下液相压缩系数，MPa$^{-1}$；

$c_{\rm{f}}$—地层条件下岩石压缩系数，MPa$^{-1}$；

$c_{\rm{t}}$—总的有效压缩系数，MPa$^{-1}$；且$c_{\rm{t}} = c_{\rm{f}} + c_{\rm{l}} $；

$\rho$—压力为p下的原油密度，g/cm³；

$\rho_0$—初始压力下的原油密度，g/cm³；

$\phi$—压力为p下的原油孔隙度，无因次；

$\phi_0$—初始压力下的原油孔隙度，无因次。

由式(15)可得不同地层压力下的单位体积岩石所含原油质量。

$(\rho \phi )_{\rm{e}} = \rho _0 \phi _0 [1 + c_{\rm{t}} (p_{\rm{e}} - p_0 )]$

(16)

$(\rho \phi )_x = \rho _0 \phi _0 [1 + c_{\rm{t}} (p - p_0 )]$

(17)

$(\rho \phi )_{\rm{w}} = \rho _0 \phi _0 [1 + c_{\rm{t}} (p_{{\rm{wf}}} - p_0 )]$

(18)

联立式(10)$\sim$式(12)、式(16)$\sim$式(18)，整理得

$N_{\rm{p}} = \int_{r_{\rm{w}} }^{x(t)} {wh\rho _0 \phi _0 c_{\rm{t}} (p_{\rm{e}} - p){\rm{d}}x + }\\ whr_{\rm{w}} \rho _0 \phi _0 c_{\rm{t}} (p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} )$

(19)

将式(6)$\sim$式(9)代入式(19)，并积分得

$t = \delta \varepsilon (q)[x(t)^2 - r_{\rm{w}}^2]$

(20)

式中

$\delta = \dfrac{{whc_{\rm{t}} \phi _0 }}{{2BQ}}$

(21)

由于$x(t)$远大于$r_{\rm{w}}$，故式(20)可简化为

$t = \delta \varepsilon (q)x(t)^2$

(22)

式(22)即为定产条件下，时间与压力传播距离关系式。

2.1.1 模型应用

计算参数^[11]如表 1所示。将表 1数据代入式(22)，并与文献^[17](拟压力梯度模型)作对比，结果如图 2所示。

由图 2得，当压力传播距离相同时，本文模型所用时间比文献模型的小，这是因为在低渗透油藏中，当压力达到最小启动压力梯度时，地层中的流体就开始流动，而文献模型中，只有当压力克服拟启动压力梯度时，流体才可以流动，故在传播相同距离时，所用时间要长。

依据式(6)和(7)可确定地层中任意一点压力随时间的变化关系，之后便可以得知在任意时刻地层中各点的压力分布情况。分别取x=0，50，100，150，200 m，观察其压力随时间的变化规律，如图 3所示。再取t=60，70，80，90 d，观察各时间地层中的压力分布规律，如图 4所示。

由图 3知，在压力未波及区内，压力保持地层原始压力；在压力激动区，则压力随时间的增加而减小。由图 4知，同一时刻，在压力未波及区内，压力随距离井轴中心距离的增大而升高；在波及区之外，则一直保持地层原始压力。

2.1.2 单因素分析

实际油田开采过程中，影响低渗透油藏压力传播快慢的因素很多，如地层物性、温度压力系统等，但是针对于条带状断块油藏简化模型，从式(22)可得，影响其压力传播快慢的主要因素是产量和导压系数，由于导压系数在很大程度上受控于低渗透油藏储层物性，本文仅考虑产量对压力传播快慢的影响。分别取Q=0.5，1.0，1.5，2.0 m³/d观察压力与时间的关系，如图 5所示。

由图 5知，对于同一时间，随着采油量的增加，压力传播的越远，即压力传播的越快。因为在相同时间内，增加采油量，就必须提高地层流体的流速，则就需要提高压力梯度，但是对于定边界压力的低渗透油藏，相同距离的压力梯度是一样的，为达到压力梯度在时间上的不一致，就必须使得压力的传播更快，才能满足油井油量增加，即表现出，压力传播相同时间时，随着油井产量的提高，压力传播的越远。

2.2 定压生产模型

当油井定压力生产时，生产t时间后，累计原油总量为

$N_{\rm{p}} = \rho _0 \int_0^t {BQ{\rm{d}}t}$

(23)

联立式(19)、(23)得

$B\int_0^t {Q{\rm{d}}t} = \int_{r_{\rm{w}} }^{x(t)} {wh\phi _0 c_{\rm{t}} (p_{\rm{e}} - p){\rm{d}}x + } whr_{\rm{w}} \phi _0 c_{\rm{t}} (p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} )$

(24)

由式(7)、(8)解得Q为

$Q = \dfrac{{\left[{\dfrac{{p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} }}{{x(t) - r_{\rm{w}} }}} \right]^2 - \dfrac{{1 - a}}{b}\dfrac{{p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} }}{{x(t) - r_{\rm{w}} }}}}{{\dfrac{\mu }{{wKh}}\dfrac{{p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} }}{{x(t) - r_{\rm{w}} }} + \dfrac{{\mu a}}{{bwKh}}}}$

(25)

由式(6)、式(7)相比得

$\dfrac{{p_{\rm{e}} - p}}{{p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} }} = \dfrac{{x(t) - x}}{{x(t) - r_{\rm{w}} }}$

(26)

联立式(24)、式(25)、式(26)整理得

$B\int_{0}^{t}{\frac{{{\left[ \frac{{{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{wf}}}}{x(t)-{{r}_{\text{w}}}} \right]}^{2}}-\frac{1-a}{b}\frac{{{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{wf}}}}{x(t)-{{r}_{\text{w}}}}}{\frac{\mu }{K}\frac{{{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{wf}}}}{x(t)-{{r}_{\text{w}}}}+\frac{\mu a}{bK}}\text{d}t=\frac{{{\phi }_{0}}{{c}_{\text{t}}}({{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{wf}}})}{2}\left[ x(t)+\frac{r_{\text{w}}^{2}}{x(t)} \right]}$

(27)

由于$x(t)$远大于$r_{\rm{w}}$，式(27)可简化为

$B\int_{0}^{t}{\frac{{{\left[ \frac{{{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{wf}}}}{x(t)} \right]}^{2}}-\frac{1-a}{b}\frac{{{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{wf}}}}{x(t)}}{\frac{\mu }{K}\frac{{{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{wf}}}}{x(t)}+\frac{\mu a}{bK}}\text{d}t=\frac{{{\phi }_{0}}{{c}_{\text{t}}}({{p}_{\text{e}}}-{{p}_{\text{wf}}})}{2}x(t)}$

(28)

将式(28)两边对t求导，再分离变量得

${\rm{d}}t = \dfrac{{\phi _0 c_{\rm{t}} (p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} )}}{{2B}}\dfrac{{\dfrac{\mu }{K}\dfrac{{p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} }}{{x(t)}} + \dfrac{{\mu a}}{{bK}}}}{{\left[{\dfrac{{p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} }}{{x(t)}}} \right]^2 - \dfrac{{1 - a}}{b}\dfrac{{p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} }}{{x(t)}}}}{\rm{d}}x(t)$

(29)

对式(29)积分得

$t = F[Cx(t)^2 + Dx(t) + E]$

(30)

式中：

$C = \dfrac{1}{2}\left[{1 + \left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2 \dfrac{{b(p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} )}}{{(1 - a)^2 }}} \right]$

(31)

$D = \dfrac{b}{a}\dfrac{{b(p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} )}}{{(1 - a)^2 }} - \dfrac{1}{{1 - a}}$

(32)

$E = \dfrac{{b(p_{\rm{e}} - p_{{\rm{wf}}} )}}{{(1 - a)^2 }}\ln a$

(33)

$F = \dfrac{{\phi _0 c_{\rm{t}} K}}{{2\mu B}}$

(34)

式(30)定压条件下，时间与压力传播距离关系式。

2.2.1 模型应用

由式(30)知：时间与压力传播距离为二次三项式，若井底流压为14 MPa时，将表 1相关数据代入式(30)得到定压生产时的压力传播规律，如图 6所示。

由图 6知：图形斜率越大，压力传播得越慢，主要是因为传播距离越远，耗散的能量越大，若得不到外界能量的及时补给，则地层流体无法克服启动压力梯度，从而使得油井产量下降，这也是诸多低渗透油藏采用注水开发，补给地层能量的原因。对比式(22)和式(30)，发现定产量模型和定压模型的压力传播规律，时间均是传播距离的二次多项式关系，即无论是定产还是定压模型，压力传播均遵循同样的规律。

2.2.2 单因素分析

实际油田开采过程中，影响低渗透油藏压力传播快慢的因素很多，如地层物性、温度压力系统等，但是针对于条带状断块油藏简化模型，从式(30)可得，影响其压力传播快慢的主要因素是井底流压和导压系数，由于导压系数在很大程度上受控于低渗透油藏储层物性，因此本文仅考虑井底流压对压力传播快慢的影响。分别取$p_{\rm{wf}}$ =12，14，16，18 MPa观察压力与时间的关系，如图 7所示。

由图 7知：当传播距离不大时，井底流压的影响较小，随着距离的增大，井底流压的影响增大。对于同一时间，随着井底流压的增加，压力传播的越短，即压力传播的越慢。因为在相同时间内，井底流压增加，生产压差减小，油井产量下降，就必须减小地层流体的流速，则就需要降低压力梯度，但是对于定边界压力的低渗透油藏，相同距离的压力梯度是一样的，为达到压力梯度在时间上的不一致，就必须使得压力的传播变慢，才能使得油井产量降低，即表现出，压力传播相同时间时，随着井底流压的降低，压力传播的越远。

由于井底流压增加导致产量下降，则井底流压和产量两者必然存在一对最优解，使得在合适的井底流压下，油井的产量达到最大。利用式(30)反解出$x(t)$，再代入式(26)，然后将Q写为：$Q = f(p_{{\rm{wf}}} ,t)$，利用多元函数求极值知识，得出最佳井底压力，表达式为

$p_{{\rm{wf}}} = p_{\rm{e}} - \dfrac{{(a^2 - a)^2 }}{b}\left[{\left( {\dfrac{{bs}}{a} - 1} \right) + \sqrt {\left( {\dfrac{{bs}}{a} - 1} \right)^2 + 8\dfrac{{b^2 }}{{a^2 }}\dfrac{{\mu Bs}}{{K\phi _0 c_{\rm{t}} (1 - a)}}} } \right]$

(35)

式中

$s = (1 - a)^2 [a + \sqrt {ab - (b - 1)a^2 }]$

(36)

将表 1相关数据代入式(35)得到定压模型的最佳井底压力为11.07 MPa，即油井按照井底压力为11.07 MPa生产时，能获得最大产油量，为2.73 m³/d。

3 结 论

（1） 针对目前条带状油藏研究的不足，从建立的简化条带状油藏模型出发，结合物质平衡原理，运用两参数连续模型和稳态逐次替换法，建立了定产和定压条件下的压力传播数学模型。

（2） 定产模型中，压力传播距离与时间呈抛物线性关系，且在压力传播速度上，两参数连续模型比拟启动压力梯度模型要快，与产量呈正相关。

（3） 定压模型中，压力传播距离与时间亦呈抛物线性关系，但压力传播速度与井底流压呈负相关。此外，得出了获得最大产量所对应的最佳井底流压模型。