引言

隔水管系统是连接钻井平台与海底井口装置的桥梁，是海洋深水/超深水钻井作业中关键的设备之一。深水钻井隔水管的主要作用是隔离油井与外界海水、形成钻井液循环上返通道、连接水下防喷BOP系统、支撑节流管线、压井管线、钻井液补充管线、液压传输管线等，并且是钻井工作从钻台到海底井口装置的导向^[1]。

深水作业风险高、技术要求高，深水钻井作业过程中，隔水管处于深海环境，其力学性质与细长柔性管相近^{[2, 3]}。当其固有频率同海流产生的涡泄频率接近时，将产生涡激振动，这将使隔水管在横向上产生大幅振动并导致疲劳寿命显著降低，从而影响钻井施工安全。国内外相关学者对此进行了大量研究。1976年，Dareing D W^[4]利用牛顿法建立了隔水管受力模型；1988年，边若武^[5]分析了隔水管随机振动谱；1991年，Wu M C等^[6]提出了隔水管横向振动数学模型；2000 年，GUO H Y等^[7]利用伽辽金方法分析了海洋立管固有频率分布规律；2005年，畅元江等^[8]利用有限元法推导了隔水管固有频率简化计算公式；2012年，韩春杰等^[9] 采用微元法，得到了隔水管在各种载荷下横向振动固有频率的分布规律。但以上模型均没有考虑钻井工况下钻井液流动特性且较完善的模型均采用数值计算，模型求解困难、精度不高。

通过建立深水钻井工况下隔水管横向振动流固耦合模型，应用半解析的微分变换法(DTM)对该模型进行求解。找到了不同井况对隔水管的影响规律。为提高隔水管的安全可靠性，科学指导深水钻井参数选择和施工奠定了理论基础。

1 深水钻井隔水管横向振动模型 1.1 深水钻井隔水管横向振动物理模型

深水钻井过程中，隔水管上端与钻井平台相连，下端与水下BOP装置相连，如图 1a所示。隔水管顶部连接万向节，底部通过挠性接头与水下井口连接，顶部万向节下，张紧器通过提吊环对隔水管施加张紧力，如图 1b所示。

钻井过程中，钻柱在隔水管内部旋转钻进，钻井液通过隔水管和钻柱环空上返至平台。隔水管以及平台在海水作用下发生升沉平移，由于处于深水环境，隔水管有几百上千米，因此若对隔水管的横向振动分析，可忽略钻井平台升沉平移对隔水管的影响。整个隔水管物理模型可以简化为如图 1c所示的两端铰支的连接方式^[10-12]。

1.2 深水钻井隔水管横向振动数学模型

深水钻井作业中，钻井液从隔水管内部上返，张紧器对其施加巨大的张紧力，海水对其产生浮力，因此隔水管受力极其复杂，分别取管内流体微元段(图 2)以及隔水管微元段(图 3)进行分析，并作如下假设^{[13, 14]}：

(1) 管道为梁式模型，忽略轴向剪切力；

(2) 忽略海水阻尼影响；

(3) 管道材料为弹性材料，应力-应变关系符合胡克定律，满足式(1)

$ \sigma = E\varepsilon$

(1)

1.2.1 隔水管内钻井液微元段受力分析

设隔水管的变形转角为$\theta$，由于$\theta$很小，可以忽略高阶微量的影响，并利用近似算式：$\cos \theta = 1$ 与$\sin \theta \approx \theta = \dfrac{{\partial y}}{{\partial x}}$ 。根据流体单元受力图及其加速度图(图 2)，可分别列出x、y方向的力平衡方程^{[15, 16]}：

流体微元段x方向的力平衡方程

$ F\dfrac{{\partial y}}{{\partial x}} - M\dot U - A\dfrac{{\partial p}}{{\partial x}} + \hat qS + M{\rm g} = 0$

(2)

流体微元段y方向的力平衡方程

$\begin{align} & M{{\left( \frac{\partial }{\partial t}+U\frac{\partial }{\partial x} \right)}^{2}}y-\hat{q}S\frac{\partial y}{\partial x}+M\dot{U}\frac{\partial y}{\partial x}+Ap\frac{{{\partial }^{2}}y}{\partial {{x}^{2}}}+ \\ & A\frac{\partial p}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial x}+F=0 \\ \end{align}$

(3)

1.2.2 隔水管微元段受力分析

根据隔水管微元段受力、加速度图(图 3)，可分别列出x、y方向的力平衡方程

$\dfrac{{\partial T}}{{\partial x}} - F\dfrac{{\partial y}}{{\partial x}} - \hat qS + m{\rm{g}} = 0$

(4)

$F + \dfrac{{\partial Q}}{{\partial x}} \!+\! T\dfrac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}} \!+\! \dfrac{{\partial T}}{{\partial x}} \dfrac{{\partial y}}{{\partial x}} \!-\! \hat qS\dfrac{{\partial y}}{{\partial x}} - m\dfrac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {t^2}}} \!=\! 0$

(5)

由力矩平衡关系式

$Q = \dfrac{{\partial {M^{*}}}}{{\partial x}}$

(6)

由${M^ {*} } = EI\dfrac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}}$，根据材料力学，结合应力-应变关系，可得到

$Q = EI\dfrac{{{\partial ^3}y}}{{\partial {x^3}}}$

(7)

$\begin{align} & EI\frac{{{\partial }^{4}}y}{\partial {{x}^{4}}}+\frac{(M+m){{\partial }^{2}}y}{\partial {{t}^{2}}}+\frac{(M{{U}^{2}}-T+Ap){{\partial }^{2}}y}{\partial {{x}^{2}}}+ \\ & \frac{A\partial p}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial T}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{M\dot{U}\partial y}{\partial x}+\frac{2MU{{\partial }^{2}}y}{\partial x\partial t}=0 \\ \end{align}$

(8)

由式(3)和式(4)，有

$ \dfrac{\partial }{{\partial x}}(T - Ap) = M\dot U - (M + m){\rm{g}}$

(9)

对式(9)在区间[x，L]上积分，有

$ \left( {T - Ap} \right)\left| {_{x = L}} \right. = \left( {T - Ap} \right) +\\ {\kern 40pt} \left[{M\dot U - \left( {M + m} \right){\rm g}} \right]\left( {L - x} \right)$

(10)

设在隔水管的最下端$x=L$处 ，$T = \bar T$，钻井流体所受的压力$pA = \bar pA(1 - 2\nu \delta )$，由于隔水管下端运动受到限制，因此$\delta = 1$，有^[17]

$ \left( {T - Ap} \right) = \bar T - A\bar p\left( {1 - 2\nu \delta } \right) +\\ {\kern 40pt} \left[{M\dot U - \left( {M + m} \right){\rm{g}}} \right]\left( {L - x} \right)$

(11)

根据泰勒级数的展开式得到整个隔水管道的伸长量为$ \int_0^L {{y^{'2}}} {\rm d}x$ ，从而轴向附加力为

$ {T^{*}} = \dfrac{{EA}}{{2L}}\int_0^L {{y^{'2}}} {\rm d}x$

(12)

考虑轴向附加力后，式(11)变为

$ \left (T - Ap\right ) = \bar T - A\bar p\left (1 - 2\nu \delta \right ) +\\ {\kern 40pt} \left [M\dot U \!-\! \left (M \!+\! m\right ){\rm g}\right]\left (L \!-\! x\right ) \!+\! \dfrac{{EA}}{{2L}}\int_0^L {{y^{'2}}} {\rm d}x$

(13)

1.2.3 内流作用下隔水管振动微分方程

将式(13)代入式(8)得到弹性材料下隔水管振动微分方程

$ EI\dfrac{{{\partial ^4}y}}{{\partial {x^4}}} + \left[{M{U^2} - 1 - \bar T + A\bar p(1 - 2\nu \delta ) - \left( {M{\rm{g}} - m{\rm{g}} - MU} \right)\left( {L - x} \right)} \right]\dfrac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {x^2}}} + \\{\kern 40pt}(M + m)\dfrac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {t^2}}} + 2MU\dfrac{{{\partial ^2}y}}{{\partial x\partial t}} + (M + m){\rm{g}}\dfrac{{\partial y}}{{\partial x}} = 0$

(14)

1.2.4 深水钻井隔水管横向振动模型边界条件

隔水管上端与万向节相连，下端通过挠性接头与水下井口连接。深水/超深水钻井中，隔水管长达千米，可忽略钻井平台升沉平移的影响。因此，可将隔水管上下两端连接方式简化为铰支连接(图 1)，因此其边界条件满足

上端边界

$ y(0,t) = y''(0,t) = 0$

(15)

下端边界

$ y(L,t) = y''(L,t) = 0$

(16)

2 深水钻井隔水管横向振动模型求解

由方程(13)可以看出，该模型涉及的参数众多，为使方程方便求解，消除单位换算的影响，有必要对方程进行无因次处理。

2.1 模型的无因次化

将无因次参数： $\eta = \dfrac{y}{L}$，$\xi = \dfrac{x}{L}$，${\rm{\bar g}} = \dfrac{{M + m}}{{EI}}{L^3}{\rm{g}}$，$\eqalign{ & \tau = {\left( {{{EI} \over {M + m}}} \right)^{{1 \over 2}}}{t \over {{L^2}}}u = {\left( {{M \over {EI}}} \right)^{{1 \over 2}}}LU, \cr & {M_{\rm{r}}} = {\left( {{M \over {M + m}}} \right)^{{1 \over 2}}},\Gamma = {{\bar T{L^2}} \over {EI}},\Pi = {{\bar pA{L^2}} \over {EI}}, \cr & \gamma = {{\tilde A{L^2}} \over {2I}},n = {\left( {{{M + m} \over {EI}}} \right)^{{1 \over 2}}}\varpi L,d = {D \over L} \cr} $ 代入式(14)以及边界条件(15)、(16)可化简得到

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \left[ {{u}^{2}}-\Gamma +\Pi (1-2\nu \delta )+({{M}_{r}}\dot{u}-\overline{\text{g}})(1-\xi ) \right]{\eta }''+{{\eta }^{(4)}}+\ddot{\eta }+2{{M}_{\text{r}}}u{\dot{\eta }}'+\overline{\text{g}}{\eta }'=\text{d}{{n}^{2}} \\ \begin{align} & \eta (0,\tau )={\eta }''(0,\tau )=0 \\ & \eta (1,\tau )={\eta }''(1,\tau )=0 \\ \end{align} \\ \end{array} \right.$

(17)

2.2 模型求解

对复杂振动问题求解常用的方法有Galerkin法、复模态法。但Galerkin法是一种近似算法，无法得到精确解而复模态法计算复杂，运算量巨大。微分变换法(DTM)是一种新型半解析计算方法，可精确而简单地对高阶偏微分方程进行求解^[18]。

微分变换法(DTM)是一种泰勒级数展开的半解析计算方法，通过微分变换可以将微分方程变换成代数方程组^{[19, 20, 21]}。

待求函数$w(x)$的第k阶微分变换可写作

$W\left( k \right) = \dfrac{1}{{k!}}{\left[{\dfrac{{{{\rm d}^k}w\left( x \right)}}{{{\rm d}{x^k}}}} \right]_{x = {x_0}}}$

(18)

其微分逆变换为

$w\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( {x - {x_0}} \right)}^k}W\left( k \right)}$

(19)

可得到

$w\left( k \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\dfrac{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^k}}}{{k!}}{{\left[{\dfrac{{{{\rm d}^k}w\left( x \right)}}{{{\rm d}{x^k}}}} \right]}_{x = {x_0}}}}$

(20)

在实际应用中，当N足够大时，可以忽略高阶小量$\sum\nolimits_{k = N}^\infty {{{\left( {x - {x_0}} \right)}^k}} W\left( k \right)$，式(20)可以用有限级数来表示

$w\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^N {{{\left( {x - {x_0}} \right)}^k}W\left( k \right)}$

(21)

根据文献^[17]中微分变换法基本运算法则，$w\left( x \right) = \dfrac{{{\rm{d''}}y\left( x \right)}}{{{\rm{d}}x''}}$对应微分变换表达式为

$W\left( k \right) = \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) \cdots \left( {k + n} \right)Y\left( {k + n} \right)$

(22)

方程(17)的解可以写成以下形式

$\eta (\xi ,\tau ) = \bar w(x){{\rm{e}}^{\omega \tau }}$

(23)

将式(23)代入方程式(16)，只取线性部分，并作微分变换，可以得到化简后的方程组

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & W\left( k+4 \right)=-\frac{\left[ ({{u}^{2}}-\Gamma +\Pi (1-2\nu \delta )+\overline{\text{g}}) \right]}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)\left( k+4 \right)}\left[ -\frac{\left[ \left( k+1 \right)\left( k+2 \right)W\left( k+2 \right) \right]}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)\left( k+4 \right)} \right]+ \\ & \frac{(2u\omega Mr+\overline{\text{g}})\left( k+1 \right)W\left( k+1 \right)+{{\omega }^{2}}W\left( k \right)}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)\left( k+4 \right)} \\ \end{align} \\ W(0)=W(2)=0 \\ \sum\limits_{k=0}^{\infty }{W(k)=0} \\ \sum\limits_{k=0}^{\infty }{k(k-1)W(k)=0} \\ \end{array} \right.$

(24)

求解式(24)可得到特征值$\omega$，$\omega$的复数部分即为隔水管横向振动固有频率。

3 钻井隔水管横向振动影响因素分析

选取南海某口井的基础数据：隔水管长度2 000 m，外径0.533 4 m，内径0.520 7 m，壁厚0.012 7 m，弹性模量206 GPa，钢材密度7 850 kg/m³，钻井液密度1 200 kg/m³，钻井液排量85 L/s，海水密度1 025 kg/m³，张力比1.1，钻杆外径0.127 m。

代入以上数据到模型进行计算得到该口井隔水管横向振动前4阶固有频率，由于模型考虑了隔水管内钻井液，同时计算无钻井液的情况，以便对比分析，计算结果见图 4。

从图 4可见，钻井液的存在会减小隔水管横向振动固有频率，计算时不能忽略。

3.1 钻井液对隔水管横向振动固有频率影响分析 3.1.1 钻井液密度对隔水管横向振动固有频率影响

钻井液从隔水管与钻柱环空上返，其密度将影响到作用在隔水管上的内压，进而影响隔水管横向振动。选取文中实例井所用的3种密度1.1，1.2，1.3 g/cm³进行分析，计算结果见图 5。从图 5可以看出，随着钻井液密度的增加隔水管横向振动固有频率将降低，但降低幅度不大。

3.1.2 钻井液排量对隔水管横向振动固有频率影响

深水钻井作业中，技术套管最大尺寸一般为558.8 mm，对应的井眼尺寸为660.4 mm，因此钻井排量一般低于100 L/s。因此本文选择0，25，50，75，100，150 L/s的钻井排量进行分析，计算结果见表 1。

从表 1可以看出，排量为0，25，50，75，100 L/s，隔水管横向振动固有频率没有变化，当排量增加大150 L/s时，只有3阶、4阶频率有略微降低。这是因为深水钻井有隔水管段钻井排量范围一般低于100 L/s且当水深为2 000 m时隔水管张紧力将达到数百吨以上，隔水管张紧力在较大时，钻井流速项几乎可忽略。因此，深水钻井工况下，钻井液排量对隔水管的横向振动的影响较小，可忽略。

3.2 钻柱结构对固有频率的影响

钻柱结构对隔水管横向振动固有频率的影响主要体现为钻柱结构大小影响管内部流体的通流截面积，暂未考虑钻柱与隔水管的接触受力。深水钻井作业中，隔水管内有钻柱。常用的钻杆尺寸有127，149，163 mm，选取这3种钻杆和管内无钻柱情况分析钻柱尺寸对隔水管横向振动的影响规律，计算结果见表 2。

从表 2可以看出钻柱尺寸的改变对隔水管横向振动固有频率无影响。这是因为，钻柱尺寸的改变只影响钻井液的排量，而钻井液排量对隔水管横向振动固有频率影响甚微，因此，深水钻井工况下，钻柱结构对隔水管横向振动固有频率的影响可忽略。

3.3 隔水管张力比对固有频率的影响

深水钻井过程中要保证隔水管处于受拉状态，因此，需要在隔水管顶部施加张紧力，根据隔水管的浮重等来确定，一般用张力比来表示。选取常用3种张力比1.1，1.2，1.3进行分析，计算结果见图 6。

从图 6可以看出，随着张力比的增加隔水管横向振动的固有频率在增大。因此，当涡泄频率与隔水管横向振动固有频率接近时，可以通过调节张力比来改变隔水管的固有频率，防止涡激振动的发生。

4 结论

(1) 钻井液的存在会减小隔水管横向振动固有频率；隔水管横向振动固有频率随钻井液密度的增加而降低；钻井液排量对隔水管的横向振动固有频率影响不大。

(2) 钻柱结构对隔水管横向振动固有频率的影响不大。

(3) 隔水管横向振动固有频率随张力比的增加而增大，可通过调节张力比来改变隔水管的固有频率，防止涡激振动的发生。

符号说明

M—单位长度流体质量，kg；

U—流体速度，m/s；

A—通流截面面积，m²；

p—单位面积流体压力，Pa；

$\hat q$—管壁对流体切向力，N；

S—通流截面周长，m；

g—重力加速度，g=9.8 m/s²；

x、y—平面横坐标、纵坐标，m；

t—时间，s；

T—管道单元截面所承受的张力，N；

m—单位长度管道质量，kg；

${M^{*}}$—管道单元截面所承受的弯矩，N$\cdot$m；

$a_u$—流体单元沿管壁的加速度，与$M\dot U{\rm d}x$相对应，m/s²；

$a_y$—y方向的加速度，与$M\dfrac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {t^2}}}$相对应，m/s²；

$a_k$—科氏加速度，与$2MU\dfrac{{{\partial ^2}y}}{{\partial x\partial t}}$相对应，m/s²；

$\sigma $—应力，MPa；

E—弹性模量，MPa；

$\varepsilon$—应变，无因次；

F—受力，N；%单位长度管壁对流体法向力，N；

I— 隔水管的惯性矩，m⁴；

L—长度，m；

$\bar p$— 端点处单位面积流体所受压力，Pa； %为内压引起的附加张力，

$\nu $—钻井液的泊松比，无因次；

$\delta$—系数，无因次；

${T^{*}}$— 轴向附加力，N；

$\bar w(x)$—振幅函数；

$\eta$—无因次纵坐标；

$\xi$—无因次横坐标；

${\rm{\bar g}}$—无因次加速度；

$\tau$—无因次时间；

u—无因次速度；

${M_{\rm{r}}}$—无因次质量；

$\Gamma$—无因次张力；

$\Pi$—无因次压力；

$\gamma$—无因次面积；

n—无因次角速度；

d—无因次长度；

$\varpi$—角速度，rad/s；

$\omega$—横向振动无因次化模型方程的特征值，一般情况下为复数。