对于进入生产中后期的油气井, 利用过套管测量地层电导率可以确定剩余油饱和度、识别漏失油气层和新的油气富集区、评价油层水淹程度^[1]以及优化开发方案, 旨在最大限度地提高油气产量。过套管地层电导率测量实施于套管中, 研究对象为套管和套管井的响应。

ALPIN^[2]利用套管上测量的差分电压估算泄露电流, 计算地层电导率。ENNIS^[3]和STEWART^[4]也提出了类似的测量方法。KAUFMAN^[5]和VAIL^[6]分别提出了过套管电阻率测井方法并研制了测量仪器, 考虑套管电导率变化和电极放置位置对测量信号的影响, 提出了信号补偿措施。KAUFMAN^[7]提出基于传输线方程的套管井近似理论模型, 并建立了套管电位的二次导数与地层电导率之间的关系。VAIL^[8]采用多频率的电流源供电, 为消除和校正套管不完整引起的信号畸变, 在提高静态测量方法的基础上, 提出动态测量方法。1995年, Schlumberger公司在顺磁测井公司PML的基础上研制了套管井地层电阻率测量仪器(cased hole formation resistivity, CHFR), 并于2000年在全球推广。2003年, 俄罗斯的过套管地层电阻率测井仪ECOS研制完成, 并于2005年推广使用。由于该测量方法易受电极与套管接触不良影响, 因此单点测量的工作方式存在工作效率低, 有用信号小, 信噪比低等不足; 此外, 该测量方法需要依靠推靠器实施, 存在难度大和风险大等不足^[9]。

感应测井^[10-11]采用过套管地层电导率测量方法, 基于电磁感应原理, 通过非接触式的测量方式, 避免了接触不良等问题。但是钢套管对感应测井信号具有很强的屏蔽作用, 只有当信号的频率足够低时, 穿透套管测量地层电导率才可行。AUGUSTIN等^[12]将低频电磁场信号应用于地-井测井方法的研究发现, 如果套管参数已知, 可以从测量到的电磁场信号中分离出地层响应。WILT等^[13]以及PRALAT等^[14]研究了井间测井方法, 同样证实了利用低频电磁场信号实现地层电导率测量的可行性。KIM等^[15]通过数值模拟, 证明了利用低频电磁信号过套管测量地层电导率的可行性(电磁信号非常微弱)。当电磁场频率足够低时(约100 Hz), VASIĆ等^[16]利用电磁信号的相位差识别地层电导率差异。VASIĆ等^[17]提出了一种套管校正方法。VASIĆ等^[18]利用非磁性套管进行了单井电导率测量的比例模型实验, 使用常规仪器观测了套管外低电导率介质。

宋汐瑾^[9]推导了轴对称层状导电介质中频域电磁响应的一般表达式, 采用G-S逆拉普拉斯变换方法得到了响应波形, 并进行了验证性实验, 证实了该方法在检测套管外电导率高的导电体和电导率差异方面的有效性。SHEN等^[19]利用井中横波(lateral waves)信号的相位差提取地层电导率, 计算结果证明了该方法测量套管外地层电导率的可行性。

本文采用实轴积分法对套管井瞬变电磁测井响应进行研究。首先探索了同一源距、不同地层电导率计算得到的响应波形差随着源距和地层电导率差值的变化规律; 进而确定其幅值与地层电导率的差值成正比, 得到了响应波形中地层电导率信号的分布方式; 然后将地层视为无数导电薄板的叠加, 利用导电薄板模型分析了涡流再次激发的响应; 接着给出了地层中的涡流再次激发的响应传播特征及其传播速度与地层电导率的关系; 最后利用上述结果对实际的瞬变电磁测井波形进行处理, 获得与裸眼井阵列感应电导率曲线高度一致的套管井地层视电导率曲线。

1 套管井瞬变电磁响应计算模型

径向多层介质的轴对称套管井模型如图 1所示。

模型中间是井内液体, 向外依次是套管、水泥环和地层。发射线圈T_x和接收线圈R_x(x=1, 2, 3, 4)均与套管井同轴置于井中。利用实轴积分法计算井中瞬变电磁响应^[20], 计算参数见表 1。井中瞬变电磁响应C_urve(L_RT, σ₄, t)随源距、地层电导率和时间改变, 其中L_RT表示接收线圈和发射线圈中心点之间的距离, σ₄表示地层电导率, t表示时间。

2 计算结果与分析 2.1 瞬变电磁响应和响应差随源距的变化

如表 1所示, 根据1 S/m, 5 S/m和10 S/m的地层电导率和0.32 m和0.64 m的源距, 分别计算套管井瞬变电磁响应波形C_urve(L_RT, σ₄=1 S/m, t), C_urve(L_RT, σ₄=5 S/m, t)和C_urve(L_RT, σ₄=10 S/m, t), 结果如图 2和图 3所示, 其中红色虚线表示缩小200倍的激发信号, 横坐标表示时间, 单位为ms, 纵坐标表示波形幅值, 单位为mV。实线分别是σ₄=1, 5, 10 S/m时的响应波形, 可以看出3条不同颜色的响应波形重叠在一起(黄线将其它两条波形遮盖)。

取地层电导率σ₄=1 S/m时计算的响应作为“参考响应”, 分别将地层电导率σ₄=5 S/m和σ₄=10 S/m时的响应波形与“参考响应”波形相减, 得到响应差波形, 分别如图 2和图 3中的不同样式的蓝线所示。其中, 蓝色点线由地层电导率σ₄=5 S/m时的响应波形与“参考响应”相减得到, 蓝色点划线由地层电导率σ₄=10 S/m时的响应波形与“参考响应”相减得到, 即:

$ \begin{gathered} \Delta C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=4 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)=C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=\right. \\ 5 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t)-C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right) \end{gathered} $

(1)

$ \begin{gathered} \Delta C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=9 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)=C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=\right. \\ 10 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t)-C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right) \end{gathered} $

(2)

式中: ΔC_urve(L_RT, σ₄=4 S/m, t)和C_urve(L_RT, σ₄=9 S/m, t)表示不同电导率下的响应差波形。图中响应差波形均为放大1 000倍后的显示结果。

由图 2和图 3可以看出, 响应差在激发时刻的值为0, 因此响应中第一个脉冲与套管外地层的电导率无关, 地层电导率变化引起的响应差异只出现在第二个脉冲中; 因为响应差波形幅值很小(相对于响应波形幅值而言), 所以响应波形随地层电导率变化很小; 但是响应差波形与地层电导率差成正比, 因此地层电导率差异越大, 响应差波形的幅值越大, 这说明不同地层电导率计算的响应与“参考响应”相减后去除了与地层电导率无关的信号, 仅剩下与地层电导率有关的信号。响应差波形展现了地层电导率信息在井内瞬变电磁响应波形中的分布规律。图 2和图 3中的两条响应差波形均存在一个波峰和一个波谷, 其横坐标所在位置分别对应响应波形中第二个脉冲的上升沿和下降沿。波峰和波谷随着地层电导率差值变化而变化, 地层电导率差值越大, 波峰和波谷的绝对值越大。

将所有源距的响应差波形绘制在一起得到如图 4所示的二维显示结果, 反映了响应差波形随源距(0~2.4 m)和时间(0~200 ms)的变化特征。从图 2和图 3可以看出, 源距不同, 井中瞬变电磁响应波形的形状和幅值均发生明显的变化。综合图 2、图 3和图 4可以看出, 随着源距增大, 响应差波形的形状不变, 幅值缓慢减小, 均只包含一个波峰和一个波谷, 其波峰是地层中涡流较大且上升速度最快时在接收线圈再次激发的响应, 波谷是地层中涡流减小最快时再次激发的响应。地层中的响应随时间变化, 其涡流会再次激发响应, 井内接收线圈中的涡流再次激发响应是所有地层涡流再次激发响应的叠加。图 2和图 3的响应差波形幅值与地层电导率差成正比。响应差波形能够反映套管外地层电导率的变化。

套管井中套管的电导率和磁导率都很高, 井中激发的电磁场被套管吸收, 电流线和磁力线都被吸入套管固体内, 因此沿井轴方向磁场的幅值随源距增加快速减小。因此, 图 2和图 3中随着源距的增大, 位于阶跃激发时刻的第一个响应峰幅值迅速减小并消失。该峰值与地层电导率无关, 与地层电导率有关的响应分布在响应差波形幅值不为0的区域中。响应差波形幅值越大, 说明其对地层电导率越灵敏。

2.2 响应波形差与地层电导率

响应波形差与地层电导率有关。保持表 1其它参数不变, 只改变地层电导率(依次为0.1, 1, 5, 10, 15, 20 S/m), 计算接收线圈中的瞬变电磁响应波形C_urve(L_RT, σ₄, t); 然后, 将σ₄=1, 5, 10, 15, 20 S/m时的响应波形与σ₄=0.1 S/m时的响应波形相减, 得到响应差波形, 即:

$ \begin{gathered} \Delta C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}-0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)=C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}},\right. \\ \left.\sigma_{4}=1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)-C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right) \end{gathered} $

(3)

$ \begin{gathered} \Delta C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=5 \mathrm{~S} / \mathrm{m}-0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)=C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}},\right. \\ \left.\sigma_{4}=5 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)-C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right) \end{gathered} $

(4)

$ \begin{gathered} \Delta C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=10 \mathrm{~S} / \mathrm{m}-0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)=C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}},\right. \\ \left.\sigma_{4}=10 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)-C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right) \end{gathered} $

(5)

$ \begin{gathered} \Delta C_{\mathrm{urve}}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=15 \mathrm{~S} / \mathrm{m}-0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)=C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}},\right. \\ \left.\sigma_{4}=15 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)-C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right) \end{gathered} $

(6)

$ \begin{gathered} \Delta C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=20 \mathrm{~S} / \mathrm{m}-0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)=C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}},\right. \\ \left.\sigma_{4}=20 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right)-C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, \sigma_{4}=0.1 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, t\right) \end{gathered} $

(7)

最后, 对于给定源距L_RT=0.64 m, 取4个时刻(t=66, 80, 90, 104 ms)的响应差波形值, 将其与地层电导率的差绘制在一起得到图 5。响应差波形幅值与地层电导率差呈线性关系, 响应差波形幅值越大, 斜率越大, 则对地层电导率变化越灵敏。

套管井瞬变电磁响应波形差的幅值与地层电导率差呈线性关系表明: 在任一源距的瞬变电磁响应波形中, 与地层电导率无关的响应(无用信号)波形形状是确定的, 类似感应测井中的直接耦合响应, 是直接耦合到接收线圈中的响应。因为套管的磁导率大, 改变了磁场的空间分布, 故使得套管井响应中的无用信号也随之改变(还包括套管的影响)。改变地层电导率, 并不改变无用信号的波形形状, 只改变响应波形中与地层电导率有关的响应(有用信号)波形形状, 其幅值与地层电导率成正比, 且在不同的时刻幅值不同。上述认识有助于过套管地层电导率的实际测量。在实际套管井测井时, 每个井内深度均对应一个确定的地层电导率, 不同井内深度具有不同的地层电导率, 每个井内深度位置均能测量到一个响应波形。由于地层电导率不同在响应波形中导致的幅度和相位差异很小, 地层电导率对波形的影响很小, 但同一源距的响应波形中无用信号是一样的, 将任意两个井内不同深度测得的响应波形相减可以去除无用信号, 剩下的有用信号幅值与地层电导率差成正比, 能够直接反映地层电导率的差。

将一个已知地层电导率的厚层作为标准层, 将所有测井波形减去该厚层的测井波形得到响应差波形幅值, 该幅值反映了地层电导率与该标准层电导率的差, 刻度平移后即可得到地层电导率曲线。值得注意的是, 响应波形差是通过井内两个不同深度同一源距的响应波形相减获得的, 反映了这两个深度位置(周围)地层电导率的差。

2.3 套管井实测数据的响应差波形与地层视电导率

在4个不同源距进行接收, 并在5.5 in(1 in≈2.54 cm)的套管井中测得的波形如图 6a和图 6b所示, 图 6a是瞬变电磁测井仪器激发的波形, 图 6b是套管井中实测的瞬变电磁响应波形, 0.275 m源距下的波形存在振荡, 与其它波形差异明显。图 6c展示了两个不同深度点同一源距的瞬变电磁响应波形相减得到的响应差波形幅值(3个不同源距下), 其在关断时刻的响应波形形态与图 2和图 3的响应差波形形状一致, 响应差波形幅值反映了两个不同深度地层电导率的差异, 在峰值时刻灵敏度最高。

套管井地层电导率随深度改变, 井内实测的瞬变电磁响应波形记为C_urve(L_RT, z, t), 其中, z表示井内深度。取一厚层作为标准层, 其电导率已知, 测井波形与在厚层中间h₀处的波形相减得到的响应差波形可表示为:

$ \begin{gathered} \Delta C_{\text {urve }}\left(L_{\mathrm{RT}}, z, t\right)=C_{\mathrm{urve}}\left(L_{\mathrm{RT}}, z, t\right)- \\ C_{\mathrm{urve}}\left(L_{\mathrm{RT}}, z=h_{0}, t\right) \end{gathered} $

(8)

取5个时刻t=251, 252, 253, 254, 255 ms的响应差波形幅值, 利用不同的平移量, 按照时深绘出了图 7中的5条蓝色的视电导率曲线, 其变化趋势一致, 图中红色曲线是裸眼井阵列感应电导率测井曲线。因为套管的影响很大, 故图 7中蓝色曲线有向下的峰值。受套管节箍的影响, 有些深度与裸眼井测井曲线有明显的差异, 因此需要进行校正。但是5条蓝色曲线与1条红色曲线随深度的变化总体趋势基本一致, 表明套管井响应差波形幅值能够反映套管井地层电导率。

3 讨论

将不同地层电导率的套管井响应波形相减得到响应差波形, 其具有两个主要特征: ①套管影响被去除, 并且无用信号被压制, 因此响应差波形在每个时刻的值均与地层电导率差成线性关系; ②在0~2.4 m的源距内, 响应差波形的形态保持不变, 幅值随源距增加逐渐减小。利用电薄板模型^[21]结合安培环路定理对该结果进行解释, 这个推导过程类似于感应测井的Doll几何因子的推导过程, DOLL采用空气中的地层环模型, 没有考虑实际地层中各个地层环之间的相互作用即集肤效应, 故推导结果是感应测井的一阶近似解。本文中的导电薄板位于空气中, 没有考虑实际地层中各个薄板之间的相互作用即集肤效应。

首先采用无限大均匀导电介质, 如图 8所示的圆柱坐标系(r, φ, z), T是置于无限大均匀导电介质中的激发线圈, 其轴线与z轴重合, 中心点坐标为(0, 0, 0)。定义磁矢势A, 使得B =▽× A和规范化条件▽A=0。由于线圈电流沿圆周方向, 因此势函数A也只有圆周方向的分量A_φ, 即:

$ \boldsymbol{A}=A_{\mathtt{φ}} \boldsymbol{\varphi} $

(9)

在无限大均匀导电介质中, A_φ满足如下方程^[22]:

$ \nabla^{2} A_{\mathtt{φ}}={\rm j} \omega \sigma \mu A_{\mathtt{φ}} $

(10)

(10) 式是一个二阶微分方程, 有两个特征根γ=±$\sqrt {{\rm{i}}\omega \sigma \mu } $, 对应的解可表示为:

$ A_{\mathtt{φ}}=C_{1} \mathrm{e}^{-\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} \rho-\mathrm{i} \sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} \rho}+C_{2} \mathrm{e}^{\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} \rho+\mathrm{i} \sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} \rho} $

(11)

式中: ρ= $\sqrt {{r^2} + {z^2}} $, C₁和C₂为不同的待求系数。(11)式等号右边的两项分别描述了电磁信号沿球半径方向正、反两个方向的衰减和传播特征, 它们遇到界面会发生反射和透射。考虑时间因子的影响, (11)式等号右边第1项可表示为:

$ \begin{gathered} C_{1} \mathrm{e}^{-\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} r-\mathrm{i} \sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} r+ \mathrm{i} \omega t=C_{1} \mathrm{e}^{-\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} r-\mathrm{i} \omega}\left(\frac{\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu}}{\omega} r-t\right)}= \\ C_{1} \mathrm{e}^{-\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} r-\mathrm{i} \omega\left(\frac{r}{v}-t\right)} \end{gathered} $

(12)

第2项可表示为:

$ \begin{gathered} C_{2} \mathrm{e}^{\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} r+\mathrm{i} \sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} r+ \mathrm{i} \omega t=C_{2} \mathrm{e}^{\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} r+\mathrm{i} \omega}\left(\frac{\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu}}{\omega} r+t\right)}= \\ C_{2} \mathrm{e}^{\sqrt{f {\rm{ \mathsf{ π} }} \sigma \mu} r+\mathrm{i} \omega\left(\frac{r}{v}+t\right)} \end{gathered} $

(13)

式中: v是瞬变电磁信号沿球半径方向的等效传播速度, v=2$\sqrt {{\rm{ \mathsf{ π} }}f/\sigma \mu } $, 它是频率f的函数, 频率越高, 速度越快; 电导率越大, 速度越慢。在瞬变电磁激发的频率成分中, 高频成分速度快, 先到达, 因此上升沿中高频成分较多, 变化较陡; 下降沿中低频成分较多, 到达晚, 响应变化缓慢。套管的电导率和磁导率高, 瞬变电磁在其中的等效传播速度慢, 地层的电导率低, 等效传播速度快。不同源距的响应波形是上述相移和衰减以后的各种频率成分的叠加, 因为速度随频率改变, 故不同源距的响应波形形状不同, 恒定速度的信号在传播过程中形状不变。

在rOφ平面取一厚度趋近于0的无限大薄板(微分), 设其电导率为σ_s, 磁导率为μ_s。当h的取值范围为(-∞, +∞)时, 无限大均匀导电介质可以看作无数这样的薄板, 如图 9所示。在导电薄板模型中, 当激发电流变化时, 发射线圈T在真空和导电薄板中均激发瞬变电磁场。磁场强度为r和z方向的分量H_r和H_z, 电场强度为φ方向的分量E_φ。在导电薄板中, 电场强度会激发涡旋电流j_φ(r):

$ j_{\mathtt{φ}}(r)=\sigma_{\mathrm{s}} E_{\mathtt{φ}} $

(14)

线圈在导电薄板中激发的涡流: I_φ(r)=$\int_{\rm{r}}^\infty {{j_\varphi }\left( \alpha \right)} {\rm{d}}\alpha $, 根据安培环路定理: I_φ(r)=$\oint_{\rm{L}} {\boldsymbol{H}{\rm{d}}\boldsymbol{l}} $, 首先在薄板上界面沿径向从r积分到+∞, 再从下界面沿径向从+∞积分到r。由j_φ(r)=[∂I_φ(r)]/∂r可以得到:

$ \begin{gathered} \mu_{\text {sheet }} j_{\mathtt{φ}}(r)=\mu_{\mathrm{s}} \frac{\partial\left(\oint_{\mathrm{L}} \boldsymbol{H} \mathrm{d} \boldsymbol{l}\right)}{\partial r}=\mu_{\mathrm{s}} \frac{\partial\left(\int_{\mathrm{r}}^{\infty} 2 H_{\mathrm{r}} \mathrm{d} \alpha\right)}{\partial r}= \\ 2 \mu_{\mathrm{s}} H_{\mathrm{r}}=2 B_{\mathrm{r}} \end{gathered} $

(15)

式中: B_r为半径r处的导电薄板上、下表面的电磁感应强度在半径方向的分量, μ_sheet表示导电薄板的磁导率。由(15)式可得:

$ j_{\mathtt{φ}}(r)=\frac{2 B_{\mathrm{r}}}{\mu_{\mathrm{s}}} $

(16)

在导电薄板内, 将(16)式代入(14)式可以得到:

$ E_{\mathtt{φ}}=\frac{2 B_{\mathrm{r}}}{\sigma_{\mathrm{s}} \mu_{\mathrm{s}}} $

(17)

在导电薄板上, 由电磁感应定律▽× E =－∂B /∂t, 代入磁矢势B =▽× A可得:

$ \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} $

(18)

将(18)式代入柱坐标下的旋度计算公式^[23]并考虑轴对称性得:

$ B_{\mathrm{r}}=-\frac{\partial A_{\mathtt{φ}}}{\partial z} $

(19)

$ E_{\mathtt{φ}}=-\frac{\partial A_{\mathtt{φ}}}{\partial t} $

(20)

将(19)式和(20)式代入(16)式, 最终得导电薄板内涡流的势函数所满足的微分方程:

$ \frac{\partial A_{\mathtt{φ}}}{\partial t}=\frac{2}{\sigma_{\mathrm{s}} \mu_{\mathrm{s}}} \frac{\partial A_{\mathtt{φ}}}{\partial z} $

(21)

(21) 式是一个一阶波动方程, 描述导电薄板内涡流再次激发的二次场沿z方向单向传播的规律。该二次场信号遇到界面时不会发生反射, 其传播速度为2/(σ_sμ_s), 该速度与导电薄板的电导率和磁导率有关, 而与信号频率无关。由(21)式可知, 在导电薄板内部, 描述涡流场的势函数可表示为:

$ A_{\mathtt{φ}}=f\left(z+\frac{2}{\mu \sigma} t\right) $

(22)

以上推导过程是从导电介质中任取一个薄板, 且不考虑薄板之间相互作用的条件下得到的, 该公式近似刻画了整个导电介质中涡流场的传播特征。当径向存在多个介质层时, 即对应如图 1所示的轴对称径向多层介质的套管井模型, 同样地, 推导可得到与(21)式形式类似的、描述第i层介质中涡流激发的二次场传播特征的方程, 该二次场沿z方向的传播速度为2/(μ_iσ_i)(μ_i, σ_i分别为第i层介质的磁导率和电导率), 因此套管井轴线上的接收线圈可以接收到在径向各层介质中涡流激发的、以不同速度沿z方向传播的二次场响应。由于套管的电导率比地层电导率高7~10个数量级, 所以套管中涡流传播速度比地层中涡流传播速度小7~10个数量级。

套管井瞬变电磁响应包含井内液体、套管、水泥环和地层涡流再次激发的响应。采用不同地层电导率计算得到的响应波形相减, 进而得到响应差波形, 它是地层涡流激发的二次场的差, 从图 4可以看出, 其整个波形随着z的增加而后移(沿z方向有传播速度)。根据反映涡流传播特征的(22)式, 该速度应该与地层电导率和磁导率有关(不同于电磁波速度)。

在电导率为1 S/m的导电介质中, 当信号频率为1 Hz时, 激发线圈在导电介质中激发的电磁信号等效传播速度为v₁=2$\sqrt {{\rm{ \mathsf{ π} }}f/\sigma \mu } $=3 162.0 m/s, 而涡流沿z方向的传播速度为v₂=2/(μσ)=1 591.5 m/s, v₂/v₁≈503.32。上述计算结果说明: 在导电介质中, 涡流激发的二次场沿z方向的传播速度比瞬变电磁场快500多倍。因此研究涡流在z方向激发的二次场响应时可以不考虑从地层涡流到接收线圈的传播时间, 直接将涡流产生时刻作为二次场响应激发时刻, 从实际测量波形中提取地层电导率信息, 还可以利用不同源距的响应波形相位差求地层的电导率。

在导电介质中, 线圈激发的感应电场会产生涡流, 它伴随着瞬变电磁场而存在。但是, 涡流再次激发响应的传播特征与瞬变电磁场差异很大。瞬变电磁场在导电介质中既衰减又相移, 衰减系数和相位移动均随频率改变, 相移等效的传播速度也随频率改变, 因此, 不同源距的响应波形形状差异大; 而感应电场产生涡流, 涡流再次激发的响应沿z方向单向传播, 在介质电导率和磁导率确定的条件下, 其传播速度为常数, 响应波形形状不随源距改变。

4 结论

本文采用实轴积分方法试算了套管井模型的瞬变电磁响应波形和不同地层电导率时的响应差波形。响应波形形状随源距改变, 响应差波形形状不随源距改变。每个时刻响应差波形幅值与地层电导率差均成正比。响应差波形幅值越大, 对地层电导率差的测量越灵敏。在实际测量波形中, 不同深度的响应波形变化很小, 取厚层的响应波形作为标准波形(其对应的电导率作为背景电导率), 响应差波形生成的视电导率曲线与裸眼井阵列感应测井曲线形状一致。利用导电薄板模型对地层中涡流再次激发的二次场响应分析后发现: 涡流再次激发的响应满足一阶偏微分方程, 其传播速度与地层电导率成反比, 遇到界面不会发生反射和透射, 其传播速度超过瞬变电磁场等效传播速度的500倍。分析涡流再次激发的响应时可以不考虑其在地层中的传播时间, 只考虑瞬变电磁场穿越套管进入地层的时间。上述研究成果为利用二次场响应的传播速度过套管测量地层电导率提供了理论支撑。