套管井连续电阻率测井对于剩余油评价非常重要, 是国内老油田挖潜急需的测井技术^[1-4]。但是, 目前只有基于直流电原理的接触式测井方法:将电极与套管内壁接触, 在套管内壁供电并进行测量, 获得单个点的电阻率值, 不能获得连续的电阻率曲线。测量结果受接触质量影响大, 对套管内壁要求高, 测井成功率低^[5-9]。电磁感应是一种非接触式测量方法, 利用电磁感应原理将瞬变电磁场施加到套管外的地层中, 在套管内测量瞬变电磁响应波形, 可以获得连续的电导率曲线。测量原理与感应测井的原理类似, 但是, 其激发的瞬变电磁场频率低、功率大, 能够穿过套管进入地层^[10-12]。感应测井测量的是单频率正弦波形的响应, 瞬变电磁测井则通过线圈电流的通、断形成阶跃激发波形, 测量瞬态电磁响应, 其频谱是连续的, 有一定的频率范围, 频率成分丰富^[13-19]。受套管的电导率、磁导率影响, 不同源距的瞬变电磁响应波形差异明显。从测量波形中去掉无用信号不能简单地像单个频率的感应测井那样, 采用不同源距的三线圈系结构, 通过其中的辅助线圈反绕的方式直接将无用信号抵消。而是用同一源距不同位置测量的响应波形相减, 去掉幅度比较大的直接响应等无用信号和井内液体、套管以及水泥环的二次场信号, 剩下不同位置所测量的地层有用信号的差^[20-24]。取其任意一点的幅度构成电导率曲线, 该曲线在套管节箍处幅度很大, 并且其形状与相邻位置的Doll几何因子相减以后所得到的形状一致。这是首次从实际测井资料中获得的Doll几何因子在半径比较小时所描述的特征(类似火山口)。Doll几何因子经过纵向拉伸和径向压缩以后成为套管井的几何因子。从线性系统的角度看, 节箍可近似为电导率输入的冲击函数, 其响应形状接近半径比较小时的Doll几何因子。因此, 本文先用实轴积分方法给出套管井的瞬变电磁响应及其有用信号波形; 然后取实际测量的有用信号波形的第一个峰值获得电导率曲线, 该曲线在套管节箍处幅度很大, 不同源距的形状差异大; 最后用Doll几何因子对该曲线进行分析, 获得套管井瞬变电磁测井的几何因子。

1 瞬变电磁测井方法 1.1 仪器结构与响应波形

套管井瞬变电磁测井仪器结构如图 1所示, 井轴上布置了一个发射线圈T和四个接收线圈R₁—R₄。用发射线圈电流的导通和关断激发瞬变电磁场, 测量套管井内的瞬变电磁响应。理想的阶跃函数频谱是1/f, 频率f越低, 激发和响应的幅度越大。不同源距所接收到的波形是瞬变电磁场的各个频率成分经过套管、水泥环和地层衰减、相移以后, 在接收线圈位置叠加的结果, 其形状各不相同。选择柱坐标系(r, θ, z), 用实轴积分方法计算套管井的响应(计算模型、方法和参数见附录A):

$ \begin{array}{l} {\mathit{\Psi }_1}(r,z) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {V(\omega )\left[ {{l_1}{K_1}\left( {{l_1}r} \right) + {C_1}{I_1}\left( {{l_1}r} \right)} \right]} } \cdot \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{k_z}z - \omega t} \right)}}{\rm{d}}{k_z}{\rm{d}}\omega \end{array} $

(1)

式中:Ψ₁是井内液体中的磁矢势函数在圆周方向的分量; V(ω)是激发波形的频谱; l₁²=k_z²-γ₁², γ₁=iωμ₁(σ₁+iε₁ω), σ₁、ε₁、μ₁分别为井内液体的电导率、介电常数和磁导率, k_z是深度z方向的角波数; ω是角频率; K₁(l₁r), I₁(l₁r)分别是虚宗量Bessel函数; C₁是广义反射系数, 描述线圈激发的电磁场l₁K₁(l₁r)在井壁反射后产生的响应, 包含套管、水泥环和地层的信息。套管、水泥环和地层中的势函数与(1)式相似, 均是圆周方向的分量。在井内液体与套管内壁、套管外壁与水泥环内壁、水泥环外壁与地层的边界上, 由电场强度和磁场强度切向连续, 得到6个代数方程。解方程求出反射系数C₁, 由

$ {E_\theta } = - \frac{{\partial {\mathit{\Psi }_1}}}{{\partial t}} = - {\rm{i}}\omega {\mathit{\Psi }_1} $

(2)

得到接收线圈的电场强度, 将其乘以圈数和周长得到感应电动势。计算结果显示:靠近发射线圈的响应复杂, 源距大于0.3m以后波形形态基本固定, 如图 2所示(源距0.4m), 幅度开始变化快, 达到极值以后慢速变化。图 2中, 长虚线是激发波形, 短虚线是响应波形, 实线和点划线是地层电导率分别为5S/m和10S/m时计算的响应与地层电导率为1S/m时计算的响应相减以后的波形。以此为基础, 设计了测井仪器的接收线圈源距L(共4个), 在5.5in(1in≈2.54cm, 下同)的套管井中测量得到的响应波形如图 3所示。其激发波形是:延迟60ms以后正向导通60ms、正向关断60ms、反向导通60ms、反向关断160ms。

由于套管的磁导率和电导率都很大, 对激发波形中频率比较高的电磁能量衰减大, 因此源距较长时, 套管内所接收到的波形主要由衰减比较小的低频成分的响应所构成。

1.2 有用信号与测井曲线

低频瞬变电磁的集肤深度大, 能够径向穿过厚度较薄的套管(9mm)进入地层, 并在地层中激发出涡流, 该涡流同样能够穿过套管在接收线圈中激发出二次响应。由于地层中涡流的幅度与电导率成正比, 因此获得地层的二次响应即可获得地层的电导率^[25]。但是, 因为瞬变电磁的频率低, 所以二次响应的幅度很小(过套管电阻率测井是小信号测量)。

对于单个频率激发方式, 可以基于线圈在无限大均匀介质中激发的磁场, 通过磁通量计算得到二次响应及几何因子^[25]。套管的磁导率大, 套管内的线圈激发的磁力线经过套管时改变了方向, 主要沿套管长度方向集中在套管内部, 穿过套管到达地层中的磁场能量减少, 分布也发生了明显的变化。但是, 套管确定, 穿过套管到达地层的磁场也确定, 因此涡流电场确定。套管外地层电导率不同时, 地层涡流不同, 在接收线圈上激发的二次响应不同。用不同地层电导率计算的响应相减可以得到地层电导率不同所引起的二次响应, 如图 2中的实线和点划线所示。其形状与套管有关, 但是, 每一点的幅度均与地层的电导率成正比。瞬变电磁测井用不同深度测量的响应相减去掉套管井的影响, 获得地层的电导率。

1.3 几何因子

从不同深度测量的响应相减以后的波形中任取一点可得到一条电导率曲线。该曲线与感应测井一样可以用几何因子描述。本文借用测井网络^[26-27]的概念来获得几何因子。将地层电导率作为测井网络的输入, 测井响应曲线作为测井网络的输出, 用单位冲击响应刻画测井网络。对于感应测井, 单位冲击响应即Doll几何因子。对于瞬变电磁测井, 地层电导率为单位冲击函数δ(z, r)时, 其响应σ等于几何因子g:

$ \begin{array}{l} \sigma \left( {{z_0},{r_0}} \right) = \int\limits_0^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {g(z,r)\delta \left( {z - {z_0},r - {r_0}} \right){\rm{d}}r{\rm{d}}z} } = \\ \;\;\;\;\;\;g\left( {{z_0},{r_0}} \right) \end{array} $

(3)

式中, 节箍等效为半径r₀处电导率输入的冲击函数δ(r₀), 其响应形状便是套管井的几何因子形状:

$ \sigma \left( {z,{r_0}} \right) = \mathop \smallint \limits_0^\infty g(z,r)\delta \left( {z,r - {r_0}} \right){\rm{d}}r = g\left( {z,{r_0}} \right) $

(4)

研究发现, 该几何因子与Doll几何因子的特征相似。因此, 依据节箍处的测井曲线将Doll几何因子纵向拉伸、径向压缩后, 便得到套管井的几何因子。

2 节箍处瞬变电磁响应分析

在套管井内, 瞬变电磁测井仪器的4个接收线圈分别接收到4个不同源距的瞬变电磁响应波形(图 3)。源距不同, 测量波形的形状存在差异, 极大值随着源距的增加向后移动。在激发波形的两个关断时刻(120ms和240ms), 可以看到一个尖脉冲, 该脉冲随着源距的增加幅度减小并消失。这些波形在测井过程中除了在节箍处有明显变化外, 在正常的地层中基本保持不变。

图 4是0.275m和0.430m源距激发的波形在节箍处3个不同深度位置(1101.6, 1102.0, 1102.5m)测量的原始响应波形重叠的结果, 可见差异明显。1102.5m和1101.6m深度的波形(红线和浅蓝)基本重合, 1102.0m深度的波形(蓝线)峰值向后移动。

根据Doll电磁感应原理, 测量的波形由有用信号和无用信号组成。从测量波形中提取地层的电导率时, 首先必须去掉与地层电导率无关的无用信号。瞬变电磁测井不同源距的波形形态不一样(图 3、图 4), 不能像感应测井那样(单频交流电, 其响应是正弦波)用三线圈系结构直接去掉无用信号。为了最大限度地减小套管变形和腐蚀等影响, 本文采用相邻深度点测量波形相减的方法, 得到了两个相邻深度点测量的有用信号。该信号在节箍处幅度很大, 与原始测量的波形属于同一个数量级。

图 5是节箍处相邻深度的测量波形以及相减以后的结果(中间幅度小的蓝线)。可以看到:相减以后的波形有4个峰值, 位于测量波形变化比较快的位置附近, 在原始波形峰值之前, 形状类似于图 2中的实线, 分别对应于正向导通、正向关断、反向导通和反向关断这四次不同的瞬变激发所产生的有用信号。以下选择第一个峰值进行研究。

将每个源距相邻深度点的测量波形相减以后, 取其中第一个峰值(随深度变化)得到如图 6所示的测井曲线。这4个随深度变化的曲线均在套管节箍处幅度大, 但是形状有明显差别。0.275m源距的曲线只有正、负两个峰值(图 6a); 0.430m源距则在正负两个峰值之间出现了一个小的峰值(图 6b); 0.600、0.770m源距则有两个正峰、两个负峰(图 6c, 图 6d)。每个源距的测井曲线均有3个节箍, 每个节箍的形状均相同, 节箍之间的部分是相邻两个深度点所测量的不同地层电导率引起的。

将同一源距的波形相减后的4个峰值(图 5)(分别对应于正向导通、正向关断、反向导通和反向关断4个瞬变激发的响应)重叠并横向放大, 仅比较其中一个节箍的曲线, 如图 7所示, 可见其形状基本相同。该结果说明, 不同激发极性(正、反向)、不同激发方式(关断和导通)所得到的峰值曲线形状在节箍处一致, 均对地层电导率进行了测量。其它源距是0.275m、0.430m和0.770m的响应也有相同的结果, 与图 7 0.600m源距的结果相似。

相邻深度的波形相减的结果仍然是瞬态波形, 每个时刻的幅度均随深度改变。图 8是0.600m源距的波形相减以后在3个时刻的幅度随深度变化的曲线(只取一个节箍处的曲线进行对比), 可见其形状完全一致。该结果说明瞬变电磁测井响应波形相减以后由每一时刻的值构成的曲线在节箍处均一致, 都反映了地层的电导率, 其幅度不同, 对电导率测量的灵敏度不同。图 5b中相减后的波形的4个峰是地层电阻率最灵敏的测量位置。

将图 6所示的曲线局部放大, 如图 9所示。从图 9可以看到:随着源距的增加, 节箍处的曲线由最初的一个波峰、波谷变成两个波峰、波谷, 0.275m源距与0.430、0.600、0.770m源距的差异比较明显, 0.600m距和0.770m源距的差异比较小。

3 相邻深度测量波形相减后的几何因子

采用线性系统的冲击响应分析图 9所示的曲线。根据Doll电磁感应原理, 测井波形中地层电导率对有用信号的贡献是Doll几何因子与地层电导率的卷积^[25]。瞬变电磁测井是一个线性系统, 其输入是地层的真电导率(随深度变化), 输出是电导率测井曲线^[26-27]。电导率测井曲线是地层的电导率与线性系统的单位冲击响应的卷积, 其中, 单位冲击响应在感应测井中对应于Doll几何因子(图 10a)的纵向微分几何因子^[25-27]。

当地层电导率为冲击函数时, 其曲线形状与几何因子形态相同。对于瞬变电磁测井, 相邻两个深度点的测量波形相减得到两个深度点测量的有用信号之差, 其所对应的几何因子可以看成是两个相邻深度位置的几何因子(图 10a是Doll几何因子)相减所得到的几何因子, 如图 10b(相邻两个Doll几何因子相减的结果)所示。

节箍位置有两层套管, 丝扣的长度10cm左右, 套管的厚度只有1cm。这样一个几何尺寸相对于地层的深度来讲可以近似为一个点, 相对于测井径向探测深度来讲相当于一定的半径r₀。套管材料是导体, 其电导率很大(10⁸S/m), 节箍等效的电导率输入函数可以近似为一个冲击函数(位于节箍位置, 径向半径为r₀)。当瞬变电磁测井仪器经过套管节箍时, 测井曲线就显示为线性测井系统的冲击函数响应, 其形状与一定径向深度r₀处的几何因子形状相同。

当两个相邻深度点的测量波形相减时, 相当于两个相邻位置的几何因子进行了相减, 节箍处的曲线形状便是套管井两个相邻位置的几何因子相减以后, 在半径等于r₀(套管半径加套管厚度)处的形状(随深度z变化)。下面我们利用Doll几何因子进行具体分析。

图 11是源距为0.430m, 半径r分别为0.05、0.10、0.15和0.20m时相邻两个Doll几何因子相减以后(图 10b)随深度z的变化规律。将图 11与图 9b(图 9是固定径向半径r₀时多个源距的响应, 采用实际测井深度)对比(图 11是几何因子纵向深度, 与图 9b的横向刻度一致)可见, 半径r小时, 几何因子变化大, 正负均有两个峰值; 半径r增加以后, 中间的峰值减小; 随着半径r继续增加, 中间的峰值消失, 仅仅剩下一个正峰和一个负峰。这些特征与过套管测量的瞬变电磁测井曲线在节箍处的形状一致。

套管井条件下, 源距越短探测深度越浅, 节箍厚度在径向上相当于半径r比较大的情况, 峰值曲线与半径r比较大时的几何因子相减以后的形状一致, 只有正、负各一个峰; 随着源距增加, 几何因子向半径增加的方向移动, 同样的节箍厚度在径向上相当于半径r比较小时几何因子相减以后的形状, 中间的峰值开始出现; 当源距进一步增加以后, 节箍相当于半径r小的情况, 峰值曲线出现两个正峰、两个负峰。

将套管井测量的节箍处的曲线与Doll几何因子对应源距的几何因子相减结果(取不同的半径值)重叠在一起, 如图 12所示, 两者的形状完全一致。该结果说明:套管井的几何因子具有Doll几何因子的主要特征。但是, 两者的宽度不一致, 这是受套管影响所致。即套管的高电导率和磁导率使得瞬变电磁场偏向井轴方向, 集中分布在套管与套管周围的地层中。与裸眼井相比, 套管使得瞬变电磁场的分布区域纵向加长, 影响区域纵向加长, 纵向分辨率降低, 纵向几何因子变长, 径向区域变短。我们以实际测量波形的峰值随深度变化的曲线为标准, 改变径向半径r₀(径向压缩), 并将4个不同源距的Doll几何因子相减以后在纵向上拉伸一定的比例, 如图 13所示。可以看出, 节箍处测量的曲线与几何因子相减以后的曲线基本重合。由此得到Doll几何因子纵向、径向上拉伸和压缩的比例, 如表 1所示。

由于套管井节箍处测井曲线所表现出来的几何因子形态与Doll几何因子相似, 因此可以用压缩、拉伸以后的Doll几何因子近似分析套管井的响应。图 14对比了0.430m源距的Doll几何因子与压缩、拉伸以后模拟套管井响应的几何因子。可以看到, 套管的存在使得一次场的响应集中在套管附近, 最终在探测深度方面表现为纵向伸长、径向大幅度压缩(表 1)。

4 讨论

为了探测剩余油分布, 获得套管井条件下连续的电导率曲线是非常必要的。用一个发射线圈和4个不同源距的接收线圈组成瞬变电磁测井仪器, 将仪器匀速移动, 等间隔记录每个深度点的瞬态电磁响应波形。用相邻深度点测量的波形相减去掉一次场信号和井内液体、套管、水泥环的二次场信号, 剩下相邻深度点所测量的地层二次场, 该二次场是实际测量的地层电导率的直接反映。实际测量的瞬态波形相减以后仍然是瞬态波形, 该波形每个时刻的幅度均反映地层的电导率, 在正向导通/关断、反向导通/关断4个激发时刻附近有极值, 这些极值是地层电阻率最有效的测量值, 对地层电阻率测量的灵敏度最高。

套管节箍对原始测量波形幅度影响最大。从相邻深度测量波形相减以后的波形中任意取一点构成测井曲线, 该曲线在节箍处的形状会出现很大变化。源距不同, 曲线变化形态各异。套管节箍的测井曲线形状反映了一定径向深度的几何因子形状。基于线性测井系统的概念进行分析, 节箍相当于一定半径的地层电导率的冲击输入, 其响应是线性系统的冲击响应。根据Doll几何因子的概念, 线性系统的单位冲击响应就是Doll几何因子。计算与实际测井仪源距相同的Doll几何因子, 并在相邻深度将两个Doll几何因子相减, 取其不同径向值得到不同随深度变化的曲线, 这些曲线形状与套管节箍处不同源距的测井曲线形状相似。源距短时, 节箍处的曲线形状与径向半径较大的Doll几何因子相减后的形状相似, 说明短源距的几何因子主要集中在套管周围, 套管节箍处增加的厚度相对于短源距的几何因子属于深部地层; 随着源距增加, 节箍处的曲线形状与径向较小的Doll几何因子相减后的形状相似, 说明长源距探测深度相对比较深, 套管节箍处增加的厚度所对应的径向深度相当于其径向半径比较小的情况。该结果说明:套管井条件下测量得到的瞬变电磁响应具有与Doll几何因子形状相似的几何因子。

5 结论

瞬变电磁方法可以用于套管井地层电阻率的连续测量。同一源距不同深度位置测量的瞬变电磁响应波形相减以后, 其每个幅度值都反映地层的电导率。取其峰值构成电导率测井曲线, 该曲线在套管节箍附近幅度大, 4个源距的测井曲线形状差异明显。用测井网络进行分析, 这些曲线显示了不同源距的瞬变电磁响应的几何因子形状, 与Doll几何因子具有相同的特征, 因此可以通过Doll几何因子的纵向拉伸和径向压缩来拟合。拉伸和压缩的比例系数按照测量曲线与Doll几何因子随深度变化的曲线形状是否吻合来确定。该结果说明:套管的存在使得瞬变电磁场集中在套管周围, 使测井响应的几何因子的纵向范围增加, 径向范围减小, 纵向分辨率降低, 径向探测半径减小。套管井也有类似于Doll几何因子形状的几何因子, 不同源距的测量波形其径向探测深度不同。这样, 我们便可以用拉伸、压缩以后的Doll几何因子分析套管井的纵向和横向探测特征, 获得不同分辨率的电导率曲线。

值得一提的是, 本文首次从套管井节箍处实际测量的曲线中获得了一定径向深度的Doll几何因子, 展现了径向半径比较小的区域内的特征(类似于火山口的形状)。

附录A 套管井响应计算模型与计算参数

套管井瞬变电磁响应的物理模型如附图 1所示, 中间是井内液体(Ⅰ), 向外依次是套管(Ⅱ)、水泥环(Ⅲ)和地层(Ⅳ)。选择柱坐标系(r, θ, z), 各层介质的电导率用σ₁, σ₂, σ₃, σ₄表示, 介电常数用ε₁, ε₂, ε₃, ε₄表示, 磁导率用μ₁, μ₂, μ₃, μ₄表示, 套管内径用r₁表示, 外径用r₂表示, 地层的井半径用r₃表示。发射、接收线圈均位于坐标系的轴线上。

选择磁失势A进行研究。位于井轴的发射线圈激发的瞬变电磁响应具有轴对称性, 因此只取势函数圆周方向的分量A_θ即可对该轴对称电磁场进行描述。由势函数A与电磁感应强度B和电场强度E之间的关系:

$ \boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A}=-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial z} \boldsymbol{e}_{r}+\left(\frac{\partial A_{\theta}}{\partial r}+\frac{A_{\theta}}{r}\right) \boldsymbol{e}_{z} $

(A1)

$ E_{\theta}=-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial t} $

(A2)

得到电场强度E在圆周方向的分量E_θ和电磁感应强度B在半径r方向和深度z方向的分量B_r、B_z。

$ B_{r}=-\frac{\partial A_{\theta}}{\partial z} $

(A3)

$ B_{z}=\frac{\partial A_{\theta}}{\partial r}+\frac{A_{\theta}}{r} $

(A4)

上述表示方法对井内液体、套管、水泥环和地层均适用, 每种介质的势函数均只有一个圆周方向的分量, 因此以下不再用θ作为下标进行标注, 所有的势函数均指势函数在圆周方向的分量。

用实轴积分法计算瞬变电磁场, 选择简谐波e^iωt作为时间的函数, 计算单个频率的响应, 对频率积分得到瞬态响应波形。在套管内径界面上, 井内液体的势函数Ψ₁和套管内的势函数Ψ₂满足的边界条件如下:

电场强度E_θ连续

$ - {\rm{i}}\omega {\mathit{\Psi }_1} = - {\rm{i}}\omega {\mathit{\Psi }_2},即{\mathit{\Psi }_1} = {\left. {{\mathit{\Psi }_2}} \right|_{r = a}} $

(A5)

磁场强度H_z连续

$ \frac{1}{{{\mu _1}}}\left( {\frac{{\partial {\mathit{\Psi }_1}}}{{\partial r}} + \frac{{{\mathit{\Psi }_1}}}{a}} \right) = \frac{1}{{{\mu _2}}}\left( {\frac{{\partial {\mathit{\Psi }_2}}}{{\partial r}} + \frac{{\varphi {\mathit{\Psi }_2}}}{a}} \right) $

(A6)

套管与水泥环、水泥环与地层的边界也满足电场强度E_θ和磁场强度H_z连续的边界条件。径向各层(井内液体、套管、水泥环和地层)的势函数表达式Ψ_i分别为:

$ {\mathit{\Psi }_1}(r,z) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {V(\omega )\left[ {{l_1}{K_1}\left( {{l_1}r} \right) + {C_1}{I_1}\left( {{l_1}r} \right)} \right]{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{k_z}z - \omega t} \right)}}{\rm{d}}{k_z}{\rm{d}}\omega } } $

(A7)

$ {\mathit{\Psi }_i}(r,z) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {V(\omega )\left[ {{F_i}{K_1}\left( {{l_i}r} \right) + {C_i}{I_1}\left( {{l_i}r} \right)} \right]{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{k_z}z - \omega t} \right)}}{\rm{d}}{k_z}{\rm{d}}\omega } } ,i = 2,3 $

(A8)

$ {\mathit{\Psi }_4}(r,z) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {V(\omega )\left[ {{F_4}{K_1}\left( {{l_4}r} \right)} \right]{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{k_z}z - \omega t} \right)}}{\rm{d}}{k_z}{\rm{d}}\omega } } $

(A9)

其中, Ψ₁(r, z)表达式中的第一项表示线圈(磁偶极子M)在无限大均匀介质中激发的响应:

$ {A_\theta } = \frac{{rM}}{{4{\rm{ \mathit{ π} }}{\rho ^3}}}(1 + {\rm{i}}r\rho ){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}r\rho }} = \frac{M}{{4{{\rm{ \mathit{ π} }}^2}}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {{l_1}{K_1}\left( {{l_1}r} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}{k_z}z}}{\rm{d}}{k_z}} $

(A10)

该响应沿球半径$\rho = \sqrt {{r^2} + {z^2}} $向外传播(省略了常数项M/(4π²)), 第二项是套管内壁导致的广义反射, 其中C₁是广义反射系数, 两者相加构成井内接收到的响应。Ψ_i(r, z)(i=2, 3)表达式中第一项表示第i层介质中所有向外传播的电磁波, 第二项表示在第i层与第i+1层介质边界产生的所有反射波, 两者相加构成了第i层介质中的响应。Ψ₄(r, z)表达式中只有一项向外传播的电磁波, 因为第4层是最外层介质——地层, 不存在反射波。

将(A7)、(A8)、(A9)式代入(A5)、(A6)式并令其被积函数相等, 得到套管井各层介质的边界条件。在套管内壁上有:

$ l_{1} K_{1}\left(l_{1} r_{1}\right)+C_{1} I_{1}\left(l_{1} r_{1}\right)=F_{2} K_{1}\left(l_{2} r_{1}\right)+C_{2} I_{1}\left(l_{2} r_{1}\right) $

(A11)

$ -\mu_{2} l_{1}^{2} K_{0}\left(l_{1} r_{1}\right)+C_{1} \mu_{2} l_{1} I_{0}\left(l_{1} r_{1}\right)=-F_{2} \mu_{1} l_{2} K_{0}\left(l_{2} r_{1}\right)+C_{2} \mu_{1} l_{2} I_{0}\left(l_{2} r_{1}\right) $

(A12)

在套管外径即套管与水泥环的界面上, 边界条件为:

$ F_{2} K_{1}\left(l_{2} r_{2}\right)+C_{2} I_{1}\left(l_{2} r_{2}\right)=F_{3} K_{1}\left(l_{3} r_{2}\right)+C_{3} I_{1}\left(l_{3} r_{2}\right) $

(A13)

$ -F_{2} \mu_{3} l_{2} K_{0}\left(l_{2} r_{2}\right)+C_{2} \mu_{3} l_{2} I_{0}\left(l_{2} r_{2}\right)=-F_{3} \mu_{2} l_{3} K_{0}\left(l_{3} r_{2}\right)+C_{3} \mu_{2} l_{3} I_{0}\left(l_{3} r_{2}\right) $

(A14)

在水泥环与地层的界面上, 边界条件为:

$ F_{3} K_{1}\left(l_{3} r_{3}\right)+C_{3} I_{1}\left(l_{3} r_{3}\right)=F_{4} K_{1}\left(l_{4} r_{3}\right) $

(A15)

$ -F_{3} \mu_{4} l_{3} K_{0}\left(l_{3} r_{3}\right)+C_{3} \mu_{4} l_{3} I_{0}\left(l_{3} r_{3}\right)=-F_{4} \mu_{3} l_{4} K_{0}\left(l_{4} r_{3}\right) $

(A16)

其中, l_i²=k_z²-γ_i², γ_i=iωμ_i(σ_i+iε_iω), σ_i、ε_i、μ_i分别为第i层(i=1, 2, 3, 4)介质的电导率、介电常数和磁导率。k_z是z方向的角波数, ω是角频率。K₁(l_ir_i)、K₀(l_ir_i)和I₁(l_ir_i)、I₀(l_ir_i)分别是虚宗量Bessel函数。

解上述代数方程, 得到系数C₁、C₂、C₃、F₂、F₃和F₄。将接收线圈的半径代入(A7)式并代入(A2)式, 得到接收线圈的电场强度, 将其乘以接收线圈的周长和圈数, 得到其感应电动势。

计算参数选择如下:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{r_1} = 0.06213{\rm{m}},{r_2} = 0.06980{\rm{m}},{r_3} = 0.10800{\rm{m}}}\\ {{\sigma _1} = 2{\rm{S}}/{\rm{m}},{\sigma _2} = 8 \times 100000{\rm{S}}/{\rm{m}},{\sigma _3} = 1/20{\rm{S}}/{\rm{m}},{\sigma _4} = 5{\rm{S}}/{\rm{m}}}\\ {{\varepsilon _1} = 50{\varepsilon _0},{\varepsilon _2} = 50{\varepsilon _0},{\varepsilon _3} = 10{\varepsilon _0},{\varepsilon _4} = 10{\varepsilon _0}}\\ {{\mu _1} = 4\pi \times {{10}^{ - 7}}{\rm{H}}/{\rm{m}},{\mu _2} = 2000 \times 4\pi \times {{10}^{ - 7}}{\rm{H}}/{\rm{m}},{\mu _3} = 4\pi \times {{10}^{ - 7}}{\rm{H}}/{\rm{m}},{\mu _4} = 4\pi \times {{10}^{ - 7}}{\rm{H}}/{\rm{m}}} \end{array} $

(A17)