在油气测井过程中, 所得测井数据量庞大, 其中必定存在大量的数据冗余和噪声^[1], 在进行油气层识别前需要进行数据压缩和去噪等预处理, 并保证数据处理后满足识别所需的最小精度。传统的压缩感知(CS)算法在数据压缩和噪声去除方面^[2]均可达到令人满意的效果, 但其没有充分利用数据本身的稀疏与低秩结构^[3]。低秩矩阵恢复(LRMR)是在压缩感知基础上发展起来的一种数据处理方法^[4-5], 主要由鲁棒主成分分析、矩阵补全和低秩表示等三类模型组成。它将CS向量样例的稀疏表示推广到矩阵的低秩情形, 已成为继CS之后又一种重要的数据获取和表示方式。该方法注重探索数据内在规律及本质结构, 考虑从较大但稀疏的误差中恢复出本质上低秩的数据矩阵。有时在不同的场合, 低秩矩阵恢复也被称为矩阵低秩稀疏分解, 即依据相关训练样本的类内信息对数据进行处理, 将一个矩阵分解为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵之和的形式, 再通过求解核范数优化问题来恢复低秩矩阵, 这样可更好地保持数据结构, 处理效率更高, 恢复去噪效果更好^[6]。

本文根据低秩矩阵恢复^[7-8]的思想, 提出基于低秩矩阵恢复理论的测井数据去噪方法, 即将加速近端梯度^[9-10](APG)算法和增广拉格朗日乘子^[11](ALM)法应用于测井信号的去噪处理中, 并对去噪后的测井数据分别采用支持向量机^[12-13](SVM)和相关向量机^[14](RVM)进行分类和识别, 以期取得更为理想的测井效果。

假设矩阵D∈R^m×n由一个低秩矩阵A和一个稀疏噪声矩阵E组成, 则LRMR可用如下优化问题来求解:

式中: $\lambda = 1/\sqrt {{\rm{max}}\left( {m,n} \right)} $ 为权重参数; ‖‖_*为矩阵核范数, 即该矩阵各奇异值之和。

由于无法得到(1)式的闭合解, 用凸优化方法得到增广拉格朗日函数:

式中, μ为常数。若μ大于0并接近于0, 那么(2)式的解可近似为(1)式的解, 记为:

(3) 式是光滑的, 并且具有李普希兹(Lipschitz)连续梯度, 存在L_f>0, 使得:

式中▽f(A, E)表示函数f(A, E)关于矩阵变量A和E的Frechet梯度。此处L_f=2。

以下对L(A, E, μ)函数部分进行二次逼近。取Y_A和Y_E为矩阵D的两个同型矩阵, 为了使更新Y_A, Y_E时得到的步长更好, 首先确定参数 ${t_{k + 1}} = \left( {1 + \sqrt {1 + 4t_k^2} } \right)/2$ , 然后迭代更新Y_A, Y_E, μ。APG算法^[5]在每次迭代过程中进行奇异值分解, 利用奇异值收缩算子将小于阈值的奇异值收缩到0, 进而更新秩, 之后更新参数并判断是否收敛。

ALM算法^[6]将本文的优化问题凸松弛到一个拉格朗日函数上, EALM算法每一步并不需要求出其子问题的精确解, 而是交替地迭代矩阵A和E, 直到满足终止条件为止。实际上, 我们只需要更新A与E各一次得到子问题的一个近似解, 就足以使算法最终收敛到原问题的最优解, 从而得到一个更简洁且收敛更快的IALM算法。三种去噪算法的具体步骤分别如表 1~表 3所示。

表 1(Tab. 1)

表 1 APG算法 1:输入D, λ, 初始化参数Y0, E0=0, μ0, k0=0 2:循环开始 3:YAk+1=Ak+(tk－1)(Ak－Ak+1)/tk+1; YEk+1=Ek+(tk－1)(Ek－Ek+1)/tk+1 4:GAk=[YAk+(D－YAk－YEk)/Lf], (U, S, V)=vd(GAk) 5: $\mathit{\boldsymbol{G}}_\mathit{\boldsymbol{E}}^k = \mathit{\boldsymbol{Y}}_\mathit{\boldsymbol{E}}^k - \frac{1}{2}\left( {\mathit{\boldsymbol{Y}}_\mathit{\boldsymbol{A}}^k + \mathit{\boldsymbol{Y}}_\mathit{\boldsymbol{E}}^k - \mathit{\boldsymbol{D}}} \right)$ 6: $\left( {\mathit{\boldsymbol{A}},\mathit{\boldsymbol{E}}} \right) \leftarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{k + 1}} = U{\mathit{\boldsymbol{S}}_{{\mu _k} - 1}}\left[ \mathit{\boldsymbol{S}} \right]{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{E}}_{k + 1}}{\rm{ = }}{\mathit{\boldsymbol{S}}_{\lambda /{\mu _k} - 1}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{G}}_\mathit{\boldsymbol{E}}^k} \right]}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_{k + 1}} = {\mathit{\boldsymbol{Y}}_k} + {\mu _k}\left( {\mathit{\boldsymbol{D}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_{k + 1}} - {\mathit{\boldsymbol{E}}_{k + 1}}} \right)} \end{array}} \right.$ 7: ${t_{k + 1}} = \left( {1 + \sqrt {1 + 4t_k^2} } \right)/2,{\mu _{k + 1}} = \max \eta \left( {{\mu _k},\bar \mu } \right),0 ＜ \eta ＜ 1$ 8:循环结束 9:输出恢复矩阵, i.e.最优解(A, E)

表 1 APG算法

表 2(Tab. 2)

表 2 EALM算法 1:输入t, D, λ, 初始化参数E0=0, Y0, μk, k=0 2:循环开始 3:Ek+10=Ek, j=0 4:循环开始 5:(U, S, V)=svd(D-Ek+1j+μk-1Yk) 6:Ak+1j+1=$\mathop {\arg \min L}\limits_\mathit{\boldsymbol{A}} $ (A, Ek+1j, Yk, μk=Dμk-1(D-Ek+1j+μk-1Yk) 7:Ek+1j+1= $\mathop {\arg \min \mathit{\boldsymbol{L}}}\limits_\mathit{\boldsymbol{E}} $ (Ak+1j, E, Yk, μk)=Sλ/μk-1(D-Ak+1j+μk-1Yk) 8:循环结束 9:Yk+1=Yk+μk(D－Ak+1－Ek+1) 10:更新μk 11:循环结束 12:输出恢复矩阵, i.e.最优解(A, E)

表 2 EALM算法

表 3(Tab. 3)

表 3 IALM算法 1:输入D, λ, 初始化参数E0=0, Y0, μk, k=0, 2:循环开始 3:(U, S, V)=svd(D-Ek+μk-1Yk) 4: $\left( {\mathit{\boldsymbol{A}},\mathit{\boldsymbol{E}}} \right) \leftarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_{k + 1}} = U{\mathit{\boldsymbol{S}}_{{\mu _k} - 1}}\left[ \mathit{\boldsymbol{S}} \right]{\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{E}}_{k + 1}}{\rm{ = }}{\mathit{\boldsymbol{S}}_{\lambda /{\mu _k} - 1}}\left[ {\mathit{\boldsymbol{D}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_{k + 1}}\mathit{\boldsymbol{ + }}\mu _k^{ - 1}{\mathit{\boldsymbol{Y}}_k}} \right]}\\ {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_{k + 1}} = {\mathit{\boldsymbol{Y}}_k} + {\mu _k}\left( {\mathit{\boldsymbol{D}} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_{k + 1}} - {\mathit{\boldsymbol{E}}_{k + 1}}} \right)} \end{array}} \right.$ 5:更新μk 6:循环结束 7:输出恢复矩阵, i.e.最优解(A, E)

表 3 IALM算法

在样本分类过程中, 大量噪声的存在会在很大程度上影响分类器的分类预测效果。为了提高去噪效果进而提高分类准确率, 本文给出基于低秩矩阵恢复的去噪方法流程(图 1)。

图 1(Fig. 1)

图 1 基于LRMR的去噪方法流程

基于LRMR的去噪方法主要过程如下:

1) 输入待恢复去噪矩阵;

2) 设定APG, EALM, IALM三种算法的收敛条件和最大迭代次数, 并调用三种算法进行低秩矩阵恢复去噪处理;

3) 对低秩矩阵恢复去噪后的结果进行输出。

油气层识别是石油勘测与开发的重要环节之一, 是测井分析专家以及地质专家的研究重点。由于测井数据信息量巨大, 样本空间复杂, 以及极易受噪声的侵扰, 因此, 实际油气层识别难度很大。为解决大量噪声对油气层识别带来的困难, 充分发挥测井数据的作用, 我们用低秩矩阵恢复去噪算法APG/EALM/IALM进行测井数据去噪, 并对去噪后的测井数据分别采用SVM/RVM进行油气层分类, 以期取得令人满意的油气层识别效果。

经低秩矩阵恢复去噪后的测井数据油气层识别模型如图 2所示。

图 2(Fig. 2)

图 2 经过LRMR去噪后的油气层识别模型

油气层识别的具体步骤如下:

1) 训练样本信息选取及样本信息的预处理。应尽量选取能够代表各深度特性的数据作为训练样本集, 确保训练样本信息准确、全面、不重复。为了便于识别, 还要将样本做归一化处理。待识别信息及测试样本在属性约简^[15]后也要做归一化处理。

2) 样本信息属性约简。采用基于属性重要性的约简方法对训练样本进行属性约简。在识别过程中, 待识别信息要按照训练样本属性约简后的结果剔除冗余属性。

3) SVM/RVM分类器建模。即将属性约简后的样本集作为输入信息, 建立经典的高斯核SVM/RVM分类器模型。

4) 结果输出。通过分类器完成对油气层的识别, 输出识别结果和识别效果图。

某气田Su6井为低产、低含气丰度、大面积分布的隐蔽性岩性气藏。该气田测井得到的数据中不可避免地含有大量的冗余和噪声, 利用常规的油气层识别方法对气层进行定量评价存在很大困难, 因此采用APG/EALM/IALM三种算法进行了低秩矩阵恢复去噪处理。

Su6井研究深度800m, 有13种测井属性, 分别是自然伽马(GR)、声波时差(DT)、自然电位(SP)、微球聚焦(WQ)、深侧向电阻率(LLD)、浅侧向电阻率(LLS)、补偿密度(DEN)、补偿中子(NPHI)、光电吸收截面指数(PE)、铀(U)、钍(TH)、钾(K)、井径(CALI)。以0.125m为采样间隔(每米8个采样点)进行采样, 所获测井数据共有6401个深度点, 样本信息的决策属性为{非气层, 气层}。令决策属性为D={d}, d={d_i=i, i=0, 1}, 其中0和1分别代表非气层和气层。对于条件属性的离散化处理采用基于曲线拐点的离散化算法^[16]分别对每个属性各自单独离散化。首先将属性值由小到大排列, 找出可能的拐点位置, 然后根据一定的原则筛选出合适的离散点。对于经过离散化处理的样本决策表, 采用差别矩阵约简法^[17]约简为GR, DT, SP, LLD, LLS, DEN, K七个属性。另外, 由于各种属性的量纲不一, 数值范围各异, 为避免建模计算中出现饱和现象, 必须对样本数据进行归一化处理, 使输入的样本数据大小在[0, 1]之间。归一化公式如下:

其中, $x \in \left[ {{x_{\min }},{x_{\max }}} \right],{x_{\min }},{x_{\max }}$ 分别为最小值和最大值。

为保密起见, 本文只列出一部分归一化后的测井数据(表 4)。图 3为属性约减后7个属性在某井段之间的归一化曲线图, 其中横轴表示深度(因保密需要, 将实际井段深度做了平移), 纵轴表示归一化的值。

表 4(Tab. 4)

表 4 部分归一化测井数据 深度/m GR DT SP … U TH K CALI 2750.000 0.4058 0.1929 0.0018 … 0.5436 0.1687 0.1957 0.6648 2750.125 0.3903 0.1796 0.5986 … 0.5469 0.1411 0.2144 0.6305 2750.250 0.3802 0.1670 0.5976 … 0.5463 0.1262 0.2330 0.6182 2750.375 0.3815 0.1584 0.5974 … 0.5414 0.1290 0.2150 0.6239 2750.500 0.3986 0.1569 0.5980 … 0.5345 0.1447 0.1930 0.6462 2750.625 0.4277 0.1633 0.2993 … 0.5283 0.1592 0.1669 0.6549 2750.750 0.4549 0.1750 0.6010 … 0.5228 0.1667 0.1413 0.6244 2750.875 0.4686 0.1862 0.6024 … 0.5172 0.1691 0.1191 0.5525 2751.000 0.4691 0.1915 0.6034 … 0.5069 0.1735 0.1060 0.4596 2751.125 0.4659 0.1891 0.6036 … 0.4885 0.1812 0.1075 0.3769 2751.250 0.4656 0.1861 0.6027 … 0.4666 0.1902 0.1253 0.3220 2751.375 0.4645 0.1740 0.6008 … 0.4494 0.1973 0.1527 0.3001 2751.500 0.4561 0.1696 0.5980 … 0.4428 0.1949 0.1744 0.3188 2751.625 0.4391 0.1685 0.5946 … 0.4420 0.1840 0.1803 0.3616 2751.750 0.4189 0.1690 0.5915 … 0.4428 0.1680 0.1740 0.4098 2751.875 0.4015 0.1695 0.5893 … 0.4439 0.1511 0.1672 0.4492 2752.000 0.3869 0.1697 0.5884 … 0.4450 0.1384 0.1724 0.4763 2752.125 0.4015 0.1695 0.5893 … 0.4439 0.1511 0.1672 0.4492        

表 4 部分归一化测井数据

图 3(Fig. 3)

图 3 经过归一化后的属性曲线 a GR, DT, SP; b LLD, LLS, DEN, K

对Su6气井数据进行了实际应用分析, 运行环境基于Windows7操作系统平台, 内存2.00GB, 处理器为Intel Core i3 CPU, 主频参数为2.30GHz。

分别采用APG, EALM和IALM算法对研究区测井数据进行低秩矩阵恢复去噪, 运算过程中取最大迭代次数为10000, 收敛条件为10^-7。用经典的高斯核支持向量机进行分类, 选取某关键井段的100个深度点作为训练样本集进行训练, 并对恢复去噪之后的所有深度数据样本进行识别测试。为直观起见, 对所有测井数据进行识别后, 只取其中100个点来展示识别效果(图 4)。图 4a为直接对原始数据使用支持向量机识别的结果, 图 4b至图 4d分别为经过APG, EALM和IALM低秩处理后支持向量机识别的结果。其中横坐标为选取的100个测试样本点, 纵坐标为决策属性, “1”代表非气层, “2”代表气层, 蓝色“○”表示实际分类标签, 红色“*”表示识别结果, 红色“*”和蓝色“○”不重合的点即为错分点。

图 4(Fig. 4)

图 4 支持向量机识别结果对比 a原始数据; b APG算法处理后; c EALM算法处理后; d IALM算法处理后

分别采用APG, EALM和IALM算法对研究区测井数据进行低秩矩阵恢复去噪, 将Su6气井属性约减后的样本数据作为训练样本, 用经典RVM模型进行训练, 对恢复去噪后所有深度的测井数据进行识别测试。为直观起见, 只取某关键井段100m来展示识别效果(图 5)。图 5a为直接对原始数据使用相关向量机识别的结果, 图 5b至图 5d分别为经过APG, EALM和IALM低秩处理后相关向量机识别的结果。其中横坐标为选取的测井深度, 纵坐标为决策属性, “0”代表非气层, “1”代表气层。

图 5(Fig. 5)

图 5 相关向量机识别结果对比 a原始数据; b APG算法处理后; c EALM算法处理后; d IALM算法处理后

表 5展示了实际测井数据不同分类方法识别气层的性能指标。由表 5可见, 用APG, EALM和IALM算法对原始测井数据进行低秩矩阵恢复去噪后, 支持向量机对气层的识别准确率分别为89.95%, 90.30%, 90.30%, 相关向量机对气层的识别准确率分别为89.35%, 90.15%和91.90%, 相比去噪之前, 识别准确率有了明显提升。由图 5d可知, 气层主要分布在3111~3113m, 3115~3128m, 3130.5~3131.5m, 3136~3140m, 3174~3183m井段(为保密起见, 与实际井段有一个平移深度), 识别结果符合实际测井情况。IALM算法在运算时间上明显优于EALM算法和APG算法。由此可知, 在处理含有大量噪声的测井数据时, 先进行低秩矩阵恢复去噪处理能有效提高分类效率和分类准确率, 其中IALM算法对运算效率的提高最为明显。

表 5(Tab. 5)

表 5 测井数据不同分类方法性能指标对比 分类方法 去噪算法 运行时间/s 识别精度, % SVM 未去噪 2.165 76.23 APG 13.590 89.95 EALM 2.639 90.30 IALM 0.701 90.30 RVM 未去噪 1.173 82.00 APG 12.237 89.35 EALM 2.237 90.15 IALM 0.376 91.90

表 5 测井数据不同分类方法性能指标对比

本文研究了低秩矩阵恢复去噪算法在石油测井中的应用, 对APG, EALM和IALM算法的应用效果进行了对比。该方法充分利用了数据本身的稀疏与低秩结构, 将传统压缩感知算法向量样例的稀疏表示推广到矩阵的低秩情形, 使得数据处理更加高效和灵活。测井数据识别结果表明, IALM算法相比APG和EALM算法无论是气层分类的效率还是识别的精度都具有更好的效果。识别结果符合实际测井情况, 在石油开发中具有重要意义。