随着石油勘探开发逐渐向复杂的隐蔽油气藏和非常规油气藏发展, 对地震反演的精度和分辨能力的要求越来越高。大部分地震反演问题都是不适定和非线性的, 因而反演结果具有多解性和不稳定性^[1]。基于变分原理的Tikhonov正则化方法能有效提高反演结果的稳定性^[2]。通常使用反射系数序列的L₂范数^[3]作为正则化函数, 得到较为平滑的反演结果。而研究结果表明, 块状化的地层波阻抗能使地层边界刻画清晰。要得到块状化的地层波阻抗, 则需要反射系数满足一定稀疏性。于是在近些年来, 基于信号稀疏表示的L₀和L₁范数约束发展起来的匹配追踪算法^[4-5]和基追踪算法成为了研究热点。

匹配追踪(Matching Pursuit, MP)算法是在变换域中找出与原信号匹配最佳, 也就是内积最大的基原子。该算法绝对收敛, 稳定可靠, 但是由于每次迭代都需要在过完备字典中找出最佳原子, 因此计算量巨大。另一方面, 作为一种贪婪算法, 迭代过程中受到上一次迭代误差的影响, 最终得到的解的稀疏性较差。随后发展出正交匹配追踪算法^[6-7], 该算法在每次迭代过程中, 由于基原子的正交性, 不会被同时选择两次, 从而提高了部分计算效率。为了更好地满足稀疏约束的要求, CHEN等^[8]提出了基追踪反演(Basis Pursuit Inversion, BPI), 采用L₁范数表征信号稀疏性的度量, 通过最小化L₁范数将反演稀疏问题转化为有约束条件的线性规划问题; THEUNE等^[9]基于不同的先验分布假设讨论了块状化地层和平滑反演结果的差异; ZHANG等^[10-11]和李爱山等^[12]利用对偶对数障碍规划算法进行基追踪反演得到稀疏的反射系数, 最终得到块状化的反演结果。

由于常规的基追踪反演方法仅依赖于地震资料, 其分辨率仍然有所不足, 不利于隐蔽油气藏和微小地质体的识别^[12-13]。本文提出一种改进的基追踪反演方法, 引入先验模型约束^[14], 合理地构建目标函数, 并采用有约束最优化问题求解算法进行反演, 在保持地震反演稳定性的同时, 提高反演结果的分辨率。

地震褶积模型可以表示为如下经典的矩阵形式:

(1)

式中:d, G, m和n分别表示地震记录、地震子波、反射系数和噪声。地震波阻抗反演的过程就是利用提取到的地震子波和已知的地震记录, 估计反射系数, 再通过道积分得到波阻抗结果。设噪声服从正态分布, 那么常规基追踪反演问题可以归结为如下极小值优化问题的数学框架^[15]:

(2)

式中:σ表示噪声在信号当中的强度; ‖·‖_p表示p范数。

常规基追踪反演方法对反射系数的稀疏性是建立在L₁范数意义下, 对噪声的抑制采用L₂范数的约束形式。由于地震数据的带限性质, 采用常规基追踪反演得到的结果分辨率不高, 不利于储层地质解释。所以, 有必要对常规基追踪反演目标函数进行改进, 使反演结果更有利于精细的储层解释。

由于L₁范数是一种典型的稀疏分布, 为此, 修改约束条件, 将其替换为L₁范数约束。考虑到L_p范数(p≥2) 约束条件下的优化问题是一个非凸函数优化问题, 而L₁范数约束下的优化问题是一个凸优化问题^[16], 同时它还是一种典型的稀疏分布。所以本文将公式(2) 中对噪声的约束条件由L₂范数改为L₁范数, 同时引入先验地质模型约束, 如(3) 式所示:

(3)

式中: , 其中, ξ为先验波阻抗值, C为积分矩阵, ρ为模型约束系数。

根据拉格朗日乘子法, (3) 式可等价为求解以下优化问题:

(4)

式中:λ为拉格朗日乘子。为了求解(4) 式, 根据文献[17], 针对修正后的基追踪反演目标函数, 令X=a-b, Y-AX=c-d; 其中a_i=(X_i)₊, b_i=(-X_i)₊, c_i=(Y_i-AX_i)+, d_i=(-Y_i+AX_i)₊; (x)₊=max{0, x}。因此, 可以推导出:

(5)

式中:I为单位矩阵, 进一步定义x=(c, d, a, b)^T, D=(I, -I, A, -A), b=Y, k=(1, …, 1, λ, …, λ)^T。则(4) 式的求解与如下的约束最优化问题等价:

(6)

对(6) 式的求解采用对偶对数障碍规划算法^[18], 反演得到反射系数之后利用(7) 式将其转化为地层纵波阻抗信息^[19]。

(7)

式中:Z(t₀)为初始波阻抗值; Z(t)为计算得到的最终波阻抗值。

为了说明基于模型约束下的基追踪反演方法的效果, 构建图 1所示的二维波阻抗模型。模型中包含断层、透镜体、尖灭和薄层(图中椭圆内)。采用30Hz雷克子波生成该模型的叠后地震数据, 然后加入10%的高斯噪声, 结果如图 2所示。从图 2中可以看出, 薄层难以区分, 断层、尖灭等不明显。对图 2所示的地震剖面分别进行常规基追踪反演和改进的基追踪反演, 得到图 3和图 4所示的反射系数剖面。对比图 3和图 4中黑色椭圆部分可以看出, 常规基追踪反演方法由于没有加入先验模型约束, 反演结果欠稳定, 容易出现虚假反射系数序列, 地层边界刻画不清晰; 而改进的基追踪反演方法得到的反射系数剖面结果更加稀疏、稳定, 能够更好地识别薄层、透镜体的边界。图 5, 图 6分别是由图 3和图 4得到的波阻抗剖面。对比图 5和图 6可以看出, 改进的基追踪反演结果分辨率优于常规基追踪反演结果, 在保持反演结果稳定性的同时, 能够更好地识别出薄层与尖灭。

图 1(Fig. 1)

图 1 波阻抗模型

图 2(Fig. 2)

图 2 合成地震剖面

图 3(Fig. 3)

图 3 常规基追踪反演得到的反射系数剖面

图 4(Fig. 4)

图 4 改进基追踪反演得到的反射系数剖面

图 5(Fig. 5)

图 5 常规基追踪反演得到的波阻抗剖面

图 6(Fig. 6)

图 6 改进的基追踪反演得到的波阻抗剖面

图 7为某实际地震剖面。该地区主力储层为河流相沉积, 目标层段储层较薄, 薄互层发育, 并且地层横向变化较大。对此地震剖面分别进行常规基追踪反演和改进基追踪反演, 得到的反射系数剖面分别如图 8和图 9所示。对比图 8和图 9可以看出, 常规基追踪反演结果地层边界模糊, 同时出现虚假反射系数, 这和模型测试结果一致。图 10为常规基追踪反演得到的波阻抗剖面(其中的测井曲线为井中波阻抗值), 可见反演结果只能反映出较厚的砂体; 图 11为用改进的基追踪反演方法得到的波阻抗剖面, 可以看出反演结果的整体分辨率得到了提高, 与测井曲线吻合得更好, 能更好地识别位于黑色椭圆部位的薄储层。

图 7(Fig. 7)

图 7 实际地震剖面

图 8(Fig. 8)

图 8 常规基追踪反演得到的反射系数剖面

图 9(Fig. 9)

图 9 改进基追踪反演得到的反射系数剖面

图 10(Fig. 10)

图 10 常规基追踪反演得到的波阻抗剖面

图 11(Fig. 11)

图 11 改进基追踪反演得到的波阻抗剖面

为检验改进的基追踪反演方法的计算结果, 从图 10和图 11中取出井旁道波阻抗反演结果与测井曲线进行了对比, 结果如图 12所示。图 12中从左至右依次为实际地震记录、改进基追踪反演结果的合成记录、反演结果与测井曲线的对比, 粉红色直线为井所在的位置。从图 12中可以看出, 改进的基追踪反演结果的合成记录与实际地震记录匹配良好; 同时, 相比于常规基追踪反演方法, 改进的基追踪反演结果与测井曲线更吻合, 对于薄层有更好的识别能力。

图 12(Fig. 12)

图 12 井旁地震道及波阻抗反演结果

常规基追踪反演方法由于仅仅依赖地震资料, 缺乏有效的高频信息, 导致分辨率较低, 在薄层识别和储层非均质性研究中受到限制。本文通过引入模型约束, 合理的补偿地震资料缺失的频带信息, 同时利用L₁范数进行稀疏约束, 采用对偶对数障碍规划算法求解有约束最优化问题。模型测试和实际资料反演结果表明, 该方法反演过程稳定, 得到的反演剖面不仅整体面貌与地震剖面一致, 而且能够提高反演结果的分辨率, 更有利于识别较薄的地层。