1 引言

人们对人文经济地理二维、三维空间的视觉感知是直接而客观的。实际对周围目所能及的人文经济地理空间的第一感知，是每个人对社会经济事物的空间存在状态、运行过程、演变规律之终端表现的初步认识，也是进一步分析、理解、描述地理空间复杂性的出发点。而由此延伸的一个问题即：我们身边的外部空间事物多不是传统理论所假设的规则形状（如直线/道路、正方形/城市二维形状、圆/ 正六边形/克里斯塔勒区位论的底图、正立方体/城市三维空间），那么它们能准确描述现实中人文经济地理空间的复杂性吗？实际上，地理学、系统科学都已证明，地理空间是世界最复杂的系统之一，分数维（或分维，fractional di‐ mension）是其存在发展的根本属性，二维、三维的人文经济地理空间更不是单一多组分无结构、无层次性的简单“混乱”组合^[1-3]。据此把这一认识延拓，就预示着人文经济地理事物正好处于一个可视的、复杂的三维实体空间之内，且其中的规则性事物只是非规则性事物的特例。

社会经济系统的各要素基本都处于不同状态间的变换或发展过程之中，存在状态的显著变化即发生了相变（phase transitions）。而各要素在现实空间——人文经济地理空间的形态及投影，又会产生丰富多彩的外在表现，并在状态交叉区出现异常复杂的临界现象（critical phenom‐ ena）^{[2, 4-6]}。从相变、临界现象的视角，看待诸如高楼林立的城市经济景观、农业生产依山川河流不规则的分布、居民杂乱但有一定规律性的出行等现象，就可深入认知人文经济地理事物非整数维的分数维空间存在。目前相变理论、临界现象理论对非线性属性的解释力业已展现，可展望它对人文经济地理空间分数维的解析必大有裨益^{[4, 7]}，并将为人文经济地理学的研究思想构建、分析范式转变提供有力的理论支持^{[8, 9]}。

由此本文将从空间分数维广域的认知本源及分形技术的应用基础对此进行基础理论阐述，以期正本溯源，促进这一分析思想与技术方法在人文经济地理学界中的科学理解。

2 空间分数维简介 2.1 空间分数维的外在表现及其数理描述

人文经济地理空间广泛存在着分数维的空间形态。本文利用图 1所示的宏、中、微观实景/景观图，对现实中人文经济地理空间广泛的外在存在形式进行了景观图式的简单描述。图 1a为某一城市微观个人的出行热力图、图 1b为宏观的城市外景图、图 1c则为中观的城市内部道路级空间的存在形态。基于欧氏几何视角，图 1a中简约化地展示了由众多一维连续的OD连线（始点—终点连线）所构成的出行热力图，显然它为一个位于二维空间之内的非均匀平面；图 1b、图 1c也不是标准的三维立体空间，而可被看成是在二维平面上不饱和地堆砌了众多三维的物体。这些事物更多占有的是一种不规则的几何空间，从分形几何视角看，它们属于一维与二维、二维与三维之间、具有某种分维的空间存在。随意观察我们周边的空间现象，绝大多数都属于这种不规则的空间存在。从本源上说，现实中的社会经济活动都被约束在了地球表面，而这个表面被证明是个不规则的、介于二维与三维之间的几何空间，并为各种形状的地理事物所覆盖，规则的几何形状只是不规则形状的特例^{[2, 10, 11]}。

实际科研中的数值/数据分析范式可分为四种：数学理论、实验室实验、计算机模拟和数据密集计算^{[2, 12]}，而对地理空间维数的认识就属于基础性的数学理论问题^[13]。数学理论分析的前提是要找到特征长度或特征尺度，即可度量的尺度。传统地理学主要是依赖于可测量的空间距离的研究，即属于此。但多数情况下，地理系统的时空变化是没有特征尺度、不可度量的，特别是如图 1所示看似混乱、不规则的人文经济地理景观。

分数维或分维最开始在几何中仅用于描述支离破碎、具有奇异性的无特征尺度的图形，后来被理论界推广至数学领域、理论物理学中，并可通过标度分析（scaling analy‐ sis）以解析不规则系统的复杂特征。由此分数维及其解析方法——分形，作为一种科学思想与技术在无特征尺度广布的地理学研究中得到广泛应用^{[14, 15]}。具体到人文经济地理空间，分数维的存在形式多种多样，主要表现为地理事物不规则的空间形态、相互耦合并富含非线性的空间结构、多过程复合并呈非理想化的空间演变过程三种形式^[7]。如用三者相复合的视角再次审视如图 1所示的空间，我们就可看到分数维在各种人文经济地理空间中的遍布性。

2.2 空间分数维的数理描述示例

空间事物分数维的外在形态必然具有一定形式的数理表达。在人文社会系统，一些事物的运行规律可被掌握并进行传统数理方法的描述，比如线性相关、可简单加和的事物，并可根据过去、当前的发展判断未来一段时间内的发展。这种过程、因素或系统的发展与运行，可用传统数理方法进行描述或刻画，而其理论基础即经典力学体系^{[4, 5, 16-19]}。但在人文经济地理过程的相变过程、空间临界状态附近，地理事物复杂而敏感，并富含多种非线性的演变规律。且有些地理事物的运行还可能会陷入一个运行区间（系统科学称之为奇异吸引子/吸引环），事物的发展永不重复但却永不会跳出这一区间^[5]。

我们身边就大量存在上述这两类人文经济地理事物，它们相互影响并产生了整体耦合性的运行轨迹。这种运动轨迹（即演变过程）因复杂性、不确定性的存在，而常表现为分数维的数理规律。以下以社会经济运行的两个常用数理描述为例进行示例。例如，Logistic方程是描述市场调节行为、城市多因素耦合和社会发展的经典经验模型。它源自普通加和式的多元线性回归函数它综合考虑了受m个社会经济组分（x _j）、外部条件约束与内生力量（参数a、b_j）的共同影响，所产生的区域发展状态（f (x)）的变化。在社会经济系统，其建模思想合情合理，无可厚非。但在人文经济地理学中，各拟合曲线多为曲线而非直线，且该曲线常对自变量中间数值的变化敏感而对两端的数值不敏感（如城市化过程的“S”形曲线），于是上述多元线性回归函数常通过Logit变换被转化为Lo‐ gistic函数，并可更好地反映人文经济地理事物的发展演变机制^[20]。

(1)

但随着时间发展，公式（1）会发生持续迭代，参数a、b_j将成为刻画社会经济活动的关键变量，函数会呈现分数维的变化，且常出现奇异吸引子^{[13, 17, 20]}。实际很多人文经济地理学者都对这一映射过程在不同参数/不同发展情境下做过数理分析，并对研究对象在现实中富含混沌性的状态、过程、机制进行了解析^{[4, 17]}。例如在城市地理学中，Logistic模型及其分解的城乡人口迁移模型已被用于研究城市化动力学和城市生长的空间替代动力学^{[13, 20]}。

同样，在经济学、经济地理学中常用的多因素并联式（或相乘式）影响的生产函数也存在这种情况。

(2)

公式（2）不仅可解析界面性质经济活动的关联性，也可解析时序化经济活动的演变^{[4, 17]}。具体到人文经济地理学，该函数可通过若干变量（如土地、人口、产值），去刻画某一区域/城市复杂的空间结构、功能结构、演变进程^{[21, 22]}。而这一函数的混沌性很强、分数维的特征明显。实际上，社会经济系统非线性的存在状态、演变过程随处可见^[2]。而社会经济系统的上述复杂现象必然会转移到其空间载体——人文经济地理空间之上（地理空间本身就是其运行、耦合的基础之一），故生产函数（公式（2））也被广泛用于研究区域产业结构、城市发展功能等常具有分形特征的人文经济地理问题。

由上可知，人文经济地理空间是一个奇异性遍布、富含非线性且常具有不可复制性的复杂系统，其发展演变过程常可用分数维的数理表达来描述。

2.3 社会经济发展演变的本征函数与分数维认知的引入

2.1—2.2都属人文经济地理学经典范畴的研究领域，但它们还未涉及社会经济系统两个共同的基本属性——人的主观能动性和空间模式的概率性。而这一点是传统数理方法常忽视、或只能从行为的终端结果来进行判断的。实际传统数理方法解释不了“一人挑水、两人抬水、三人没水”的人文现象，也解释不了居民空间行为模式的选择或“我愿不愿意”的主观认识问题^[8]。单一个人的意愿是个概率性事件，但众多个人普遍存在的行为，常蕴含着一定主观性和概率性的规律性或趋势性，此即不随个人意愿而发生变化的“本征函数”——人们常说的社会发展规律（即把社会经济领域的规律对应于数学中的本征函数。本文多借鉴社会物理学中的类比进行阐述）。

所谓本征函数，就是在进行某种变换后仍具有不变性的函数^[2]。实际2.1所述的空间外在形态、2.2所述空间运行机制的数理表达均具有伸缩变换下的不变性，可将其视为本征函数。对分形体进行缩放、拉伸、扭曲，尺度变了但其内在结构并未改变^[2]。例如各级宏观规划往往追求区域总体效果的最大化（本征函数），但在各级空间尺度上都会存在对这一规划思想的变形/偏离。简而言之，空间分形模型在伸缩变换下仅仅改变地理事物存在的空间尺度而不会改变其结构^[2]，是对空间分数维事物一种更为科学的数学度量。而上述事物发展演变的本征函数是与社会经济事物分数维的存在密切相关的，它们在人文经济地理空间中的形态、结构、过程又多表现为分形结构^{[2, 8, 18]}。

社会经济系统不仅是非线性系统，同时也是自适应系统。用一般性归纳总结出来的数理模型（如趋势化、均衡化、典型样本的均值化），都不能准确地反映事物的本质特征。放到人文经济地理学中，一个几十万上百万的城乡微观系统，在现阶段计算机运算水平、数学、系统科学认知水平下，我们不可能对其进行精确的建模与计算^{[5, 18, 23]}。通常，人们只能用还原论、线性的方法去逼近宏中观空间的演变规律，而这些方法在拟合过程中也确实取得了较好的效果。然而学界却发现，用这些方法去拟合微观个体的行为模式、空间区位选择时确常不能给出很好的解释^{[4, 9, 12]}。这说明除了满足经典力学体系的发展领域，现实空间中还存在着更多的有“个性”（如相较于幂律广布的社会经济系统中城市体系分异的Zipf定律、人口增长的指数律）、属“怪物”（如城镇空间的分形几何形态）的领域。而基于各种人文经济地理空间本征函数的分异，又常表现为一种非规则性——分数维的数理描述形式^{[4, 9, 18, 23-25]}。由此在上世纪后半叶，上述问题把人文经济地理学界引入到了一个全新的领域——利用分数维的思想和技术去认识上述本质属性为非规则性的地理事物。

2.4 认识空间分数维的理论意义

与自然科学中某些宏观事物的可预测性相比，长期以来人们普遍认为社会经济系统充满了“怪象”和意外，其是否存在可认识的运行机理、机理的形成机制是什么，一直是学界所探究而未知的难题。但由以上社会经济系统普遍存在的、并在人文经济地理空间有显著体现的复杂行为（2.3）、人文经济地理独有的空间形态（2.1）、空间演变过程（2.2）可看到，分数维的存在形式是人文经济地理事物存在的本质特征，其整体上（尤其是微观空间）常常无法用传统的数理方法进行解析。而更为重要的，分数维、本征函数的思维范式为我们奠定了一扇窥探人文经济地理空间形态本源性的窗户。它虽玄妙，但却为地理事物运行机制的深入理解、数理特征的科学描述，提供了一个完全不同于传统理论的认知视角和分析范式。

3 空间分数维的认知过程

目前，分数维的思维范式在各学科中均被赋予了实际的含义，并发现了特定的规律^{[7, 26]}。人文经济地理学是研究社会经济现象在空间上“投影”的科学，然而对其基于分数维视角的、具有更深刻理论认识的科学描述却仍在发展之中。以下将从数理认识视角介绍传统人文经济地理学理论的局限性，及由此而引起的对空间分数维逐步深化的认识过程。

3.1 传统数理方法的局限性

人文经济地理学的传统理论具有很大的局限性。城乡复合系统的人口门槛少则几十万上百万，多则以几百万上千万计，这显然是传统数理方法对少数研究对象相互作用的描述所无能为力的，大概率情况下，也不能深入反映城乡微观系统的真实面目^[1-3]。即使我们知道了该空间系统的精确构成及个体间的相互作用，也无法写出系统总体的动力学模型，并预测区域空间总体的发展演变趋势。若干个个体放在几十万—几千万级的城乡复合系统中，其量级简直微不足道，所以传统数理方法常用系统变量的“平均值”来描述系统总体的存在、演变状态。但个别个体、个体在极端情况下激发出来的应激状态往往又存在着异乎寻常的“能量”，并带动其它个体的响应进而主导着系统的发展^[9]。可知，社会经济系统变化的主导性、主体性常是分离的，它必然富含非线性，不规则乃至分形的事物也必然充斥其中。在分析人文经济地理具体的研究对象时，也应区分为宏观空间的“社会力学”和微观空间的“社会热力学”/ “社会量子力学”两个极化领域^{[8, 9]}，而这两个极化领域又会产生众多的耦合区间。由此，放到大的学科发展视角，我们会看到一个富含临界状态的世界万物存在、运行的复杂开放巨系统。而人文经济地理空间的临界状态又包含自组织（如由市场驱动的店铺区位选择）和他组织（如各种规划对城市整体发展的约束和指导），这就为科学地认识它提供了具体的解析方向，当然也为分数维的发现奠定了理论基础。

实际相较于传统认识，高等级的社会经济活动不仅具有周期性，还具有趋势性、相关性等特征，异速生长、涌现等特性。由此其发展演变的规律性就常处于变动之中，从而会推动整个社会的发展。对这些总体具有趋势性、涌现等特性、而局部/微观层次又较为离散的社会经济活动的认识，用人文经济地理学的传统理论进行描述其局限性确实很大。

3.2 空间分数维的发现

理论地理学者对身边分数维占多数的地理事物的探究，是伴随着20世纪不同研究思想、数学分析技巧对实际的逐步贴近发展而来的^{[4, 8, 9]}。在具体研究过程中，宏中观发展要素的空间分布与耦合、微观个体在特定区域内的空间行为选择，都有着特定的、甚至是说不清道不明的核心特质。它们往往会以依托的人文经济地理事物（土地斑块、建筑物、地理现象/空间行为）而发生强弱不一的变形。另外，在用传统数理方法对上述人文经济地理现象进行度量、拟合时，学者们常发现对自变量、因变量的数值拟合往往很好，但对函数的修正项/参数的数值大小、具体含义却往往解释不够，不知其所以然^{[4, 8, 9]}。随着数学、理论物理学、系统科学对修正项的进一步探索（如解析∞/∞、∞-∞的重正化技术），学界发现了拟合过程中修正项的发散性等性质，不同处理方式的差异已深刻影响到了整体的拟合结果，由此学界开始怀疑原有拟合方法的正确性^{[4, 9]}。而随着这一科学认识的探究和推广，也推动了现代理论地理学对分数维这一学科本源性认识的思考。

在欧氏几何中，空间维数为整数，一维为线、二维为平面、三维为立体。但对于广大地理现象，这种空间维数解释不了如图 1所示的山川河流的几何形状、城市空间不规则拓展的几何维数、人类行为的空间强度变化。直至上世纪中叶，以Mandelbrot的分形几何理论为代表提出了地理空间分数维的度量方法，并对无限细分的英国海岸线进行了示例性演示^[27]。参考物理学中的空间维数，其粒子（如原子、分子）随机行走的空间被定义于介于相邻两个整数维之间的分数维，而这两个整数维被称为上边界维数和下边界维数。由此多种非整数位的度量方法被相继提出，又尤以豪斯道夫维数（Hausdorff dimension）得到了更广泛的应用^[2]。如一个被揉成团后又展开的纸张（这和地球表面是何其相似），其下边界维数为2而上边界维数为3，具体空间维数肯定是一个介于2与3之间的分数值。

而因“社会物理学”中的个体与微观物质世界中粒子的相似性，及对由众多个体组合而成的宏中观社会经济活动存在基础的再认识，由此溯源人文经济地理空间的系统基础，学界已意识到分数维具有比整数维更基础、更强大的数理刻画能力。20世纪后半叶，这一分数维的认知范式、分析范式强烈地影响着数学、自然科学、人文社会科学的发展，并逐步渗入到了人文经济地理组分的空间非线性组合、组合的无尺度性、空间状态的非理想化、多尺度分异等研究之中。地理空间广泛存在着分数维/分维，已成为学界的共识。

3.3 空间分形的数理刻画能力

研究分数维的分形几何是对欧氏几何的一大跃升^{[2, 26]}。分形/不规则性在一百年前还被学界称为“怪物”，但现在却发现源自经典力学体系的整数维/规则性才是这些千千万万怪物中的“另类”、特例。分形这一在当时还“不受欢迎”的理论已逐步发展，并趋于还原现实中的事物、过程。现在通过一定的、还算比较简单的分形技术及程序就可生成山川河流、植物、云彩等地理风景图画（图 2），其效果简直难辨真伪。这似乎预示着，依此数学描述（程序）可以还原自然界本真的面貌。此时，源自经典力学体系的传统数学方法就很尴尬了。由此可看到，由分形原理所得到的数理刻画能力远大于经典力学体系，分形思想及方法在地理学研究中具有更为基础的理论意义。实际除了分形分析，目前在复杂网络式的空间关联、空间多组分耦合结构的形成与“遗传”等交叉性研究中，都可找到利用分数维进行数理刻画的影子^{[24, 26]}。在基础理论研究方面，国外的Batty、Longley、Frankhauser、国内的陈彦光等学者的前沿性研究，都从不同方向解析了空间分维的存在形式、空间分形的复杂特征^[1-3]。

3.4 空间分数维产生与认识的源泉：相变与临界现象

上述空间分维、分形现象须有其存在的系统基础。溯源其产生，学界发现它们基本都源自社会经济活动的相变过程，并会在临界现象附近产生丰富的形态多样性。

在自然科学中，相变指物质从一种相态转变为另一种相态的过程，属物质宏观状态的变化，是普遍存在的突变。临界现象则指物质在相变临界点附近的热力学行为。处于这一情境下的物质、结构及其微观个体（如分子、原子）的存在状态，常具有特殊的物理性质和现象^[4]。研究显示，热力学系统在临界点附近会出现奇异性和发散。而数理上的奇异性包括两个意思：系统的变化奇妙异常，超乎我们的想象；系统存在变异，以往的传统数理分析解释不了该事物的变化过程^{[2, 6]}。实际人文经济地理看似规律化的宏观状态变化，同样依托于千千万万、形形色色的微观社会个体而存在。由此，社会系统的相变与临界现象，注定会成为人文经济地理空间复杂性的源泉^{[2, 4, 6]}。

在主观性、概率性遍布的人文经济地理系统中，随着向临界点的逼近，宏观空间内各组分的关联范围、密切程度常会变得越来越大。在达到空间整体的某一临界水平或某一组分超出特定的空间尺度时，某些空间特征/属性会消失，一些新的空间特征/属性会涌现，这种系统发生显著变化的现象即人文经济地理空间的相变过程。因为自然界中微观个体（如原子）—宏观状态与社会经济系统中微观个体（如个人）—社会发展形态的相似性，也被一些学者在较严格的逻辑推演下，开拓性地把两者关联并类比起来。用系统科学语言来描述，即社会经济系统通过相变过程中的不稳定性和突变，可产生多种地理发展组分全新的存在形式、耦合形式，并实现/形成与以往完全不一样的演变与分化现象/过程。这一现象/过程实际描述的就是人文经济地理空间演变过程中的临界现象。

总之相变是有序与无序的矛盾统一体^[4]，且因临界现象还产生了自组织、分岔理论、混沌学、标度率及复杂适应系统（CAS）、仿生、元胞自动机（CA）等一系列协同发展或单独发展起来的研究思想和分析方法。它们分别从不同的视角解析了世界（含人文经济地理空间）的系统特点、运行机制。这些理论和方法虽然整体还处于发展之中，但却构成了一个强大的学科群，为解决相应的地理空间问题提供了可供选择的认知途径和方法论支持。特别是基于以上分析思想和技术的已有科学结论，都为认识、解析人文经济地理空间多种形式的分数维这一重大课题提供了新的视角、构建了新的认知框架。

3.5 人文经济地理系统的复杂性及其空间维度

由上可知，社会经济系统中的各组分基本都处于不同状态间的变换或发展过程之中，存在状态的显著变化即发生了相变。人文经济地理事物丰富多彩的外在表现基本都是在相变过程中产生的，并会在宏观状态交叉区域出现异常复杂的临界现象。而以人文经济地理各要素的显著变化为代表的空间相变过程、异彩纷呈的临界现象，都会在特定维度区间内产生不规则的、难以度量的分数维的空间变化。这些宏观层次的相变、临界现象在空间上的终端表现，绝大多数情况都对应于微中观空间的混沌态^{[4, 9]}。而在人文经济地理空间，混沌的直接表象就是空间形态的不规则性、地理事物的多样性、地理过程的复合性。且其更多呈现为部分具有分形特征的前分形系统，存在的尺度区间也非全尺度/全子系统/全要素覆盖的。目前人文经济地理的复杂性研究，主要就是描述系统中这些分数维/非规则性的细节化特征的。

人文经济地理空间是一个处于二维、三维之间的复杂空间。有学者认为的高维（三维+属性维）空间实际属于多种属性在三维空间的复合，各种空间组分完全可降维到三维空间进行分析。二维空间图像更多是三维空间事物的“投影”，本质上仍属于三维空间。即因相变和临界现象，富含多种属性（或多种发展维度）的社会经济活动，都会受到三维地理空间的约束而不会无限地“发散”。多种属性的社会经济系统和三维的地理空间相辅相成，共同构成了一个被系统科学认为属边缘奇迹的、融合自然、人文两种基本属性的开放复杂巨系统。即，高维属性会被限制在三维空间之中，进而会产生复杂而多样的分数维现象。

总体看，单体处于变化过程之中、基层呈现混沌态、宏观表现出一定的确定性或规律性是人文经济地理空间的基本特征。它们复合在一起，就构成了人文经济地理空间的复杂性，特别地还成为了分数维的源泉。对于当前理论地理学的发展，以空间分数维为基本依据，对空间混乱性（如空间熵）、空间结构（分形）、空间等级分异（Zipf规律）、空间格局的时序化演变（1/f噪声）、空间要素非线性耦合的分析就有了基础理论的支撑^{[2, 28, 29]}。而这些以系统科学为基础、专注于各种地理空间非线性特征的研究方法又相互结合，反过来又为空间分数维的认知途径及其技术方法——分形分析提供了科学依据。

4 分形技术的认识基础

第3部分是对人文经济地理空间分数维存在与发展的系统基础及思维范式的阐述，而这一思维范式又有待于发展为具体的、可操作的分析范式。以下将依分形的基本分析思想（第4部分）、当前的具体应用（第5部分）由抽象到具体地展开对分形分析的介绍。

4.1 空间自相似特征及其测度

当前复杂性研究的思想屡有创新，其技术方法也花样翻新，已突破了传统数理方法的局限、开辟了更广阔的非线性数理认知的视野^{[9, 30]}。随着分数维的自相似性（即无尺度现象）的发现与研究，极大地改变了各学科数理分析的研究思想和技术方法。例如，在认识到海岸线、水系、城市的形状在不同空间尺度/精度下的不确定性的前提下，还可发现它们在不同空间尺度上形态的相似性，或存在演变的特定核心特质。而以1967年Mandelbro在《Science》杂志发表的“大不列颠的海岸线有多长”一文为标志^[27]，传统数理理论受到巨大冲击，学界广泛兴起了对这一全新思维范式、分析范式的学习和研究。

人文经济地理各发展组分（或基本构成单元）的数量与其空间维度，是逻辑相关但层次差异又很大的两个概念。实际社会经济系统中很多组分在地理空间上的富集，不能都作为维度来认识。多种组分的空间耦合更多改变了自身或区域存在、发展的空间形态，只改变了自身/系统分数维的数值，而不会超过其上边界维数、不会低于其下边界维数。例如一个新开发区域的道路在地理空间（二维）沿类直线（一维）多种形式的拓展，其几何形状介于1与2两个边界维度值之间；由多种高度的建筑物组合在一起的城市建成区，其空间维数也介于2与3两个边界维度值之间。两者都会产生分数维的空间维度或存在形式，这显然显著地打破了传统理论以规则形状（如直线、圆、正六边形）为假设的前提。

自上世纪末以来，多重分形成为专门测度空间分形维数连续变化的技术^{[1, 2, 24, 26]}。在分数维、分形特征遍布的社会经济系统中，这种认知范式非常适用于广布自相似或具有自相似分布随机过程的人文经济地理空间。而人们某种行为或主观认识，例如社会各阶层对“炒房”现象的不同反映、各级政府对“过度城市化”采取的不同策略，无不在核心思想（即盈利目的、空间规划策略）的指引下有所变形，即产生了不同时空、不同发展方向、不同阶层之间各向异性的自仿射分形（属广义的自相似特征）。而多重分形技术就是多基于此的研究。

进入21世纪，在微观世界中，如果系统呈现各向异性时，它的有限尺度标度函数将与各向同性有限系统明显不同^{[24, 26]}。而以往分形研究所选择的趋于正方形、同心圆等规则的城市建成区形状，及所进行的多重分形分析，实际就是对这一现象的理想化处理。目前看，对大多数、更为普遍的不规则城市而言，自仿射分形在人文经济地理中的实践意义重大，但学界对其理论的解析却还远远不够。

4.2 分形技术的发展现状

人文经济地理系统涉及到很多具有主观能动性的个体（个人、企业、组织），而这些个体的意愿和行为是影响空间格局变化的重要因素，进而会在多个体之间形成一定群体性关联、协同变化的态势。而这种具有时序化、空间层次化分异特征的变化，在呈现一定相关性、趋势化、周期性等特征的情况下，就可把之称为社会经济的发展规律。

维持人文经济地理空间的力量，不仅包含“看不见的手”（市场机制）、“看得见的手”（政府管理服务机制），也涵盖了诸如约定俗成的文化、习俗等社会力量。这些力量相互耦合，就形成了社会经济系统的本质性的发展机制——一种我们还无法完全认知的“本征函数”。这一函数由于内容、结构、过程过于复杂，我们甚至无法用数学公式进行表达。而社会经济系统及其在空间上的投影，都会依这一本征函数产生具体的变形或平移，进而会具有时序化的混沌性及耗散结构，并会在空间上表现出一定的分形几何特征。遗憾的是，截止目前，我们只能给出上述这么一个笼统的认识。但基于现代科学的发展，我们已认识到，分数维应是对它们的基本数理描述，外表复杂的人文经济地理现象也有可能只由若干简单的规律所支配（目前我们对此也同样没有形成一个细致、深入的系统认识）。

正如文献2第1章所述，但凡涉及到人文经济地理的系统研究，都会遇到时间滞后（如理论上的Logistic迭代，实践中的学习、模仿过程）和空间维数的问题。有时间滞后就有非线性，有非线性就有复杂性；涉及空间维度就涉及量纲，涉及量纲就涉及复杂性。目前人文经济地理学理论建设的主要困难，就在于时间滞后导致的非线性过程和空间维度导致的量纲困境^[2]。而目前学界常见的研究，多是对附带这些困境的具体发展情境的案例研究，或具有截面性质的现状分析。应认识到，因分形而引起的思维范式、分析范式，一方面它具有开拓视野、完善理论建设的意义，但另一方面它仍处于对空间精细化数理描述的起步阶段。

4.3 当前分形技术的主要应用领域

从系统科学视角看，社会经济系统无疑处于异常复杂的混沌态，且这一系统具有一定的等级分异+多组分镶嵌结构（如多级的政府管理机制、等级化的聚落体系）、一定的学习模仿行为（如店铺的区位选择、生产技术的扩散）。这些结构、行为的内部具有很强的自相似性，可利用多重分形分析对其系统的总体特征、局部特征进行量化描述^{[24, 31-33]}。可看到，人文经济地理系统演变状态的混沌性，和其存在方式的分数维/分形之间存在着密切关系，这有助于我们深入认知对人文经济地理空间的第一感知——空间“混乱性”的实质。但因混沌的人文经济地理空间多属不规则分形，当前对分形技术的应用主要可细分为如下领域：

首先，线状分形研究。这一研究基本都是对粗糙的曲线（如城乡边界）、居民的出行/交通路线的线状空间的度量，以及对城市周长—面积或城市空间紧凑率的近似面状的研究^{[24, 33]}。这些研究一般都会贴近实际地选取研究对象、并获得可进行横向对比的分维值。特别是这一领域同时对多个研究对象的比较研究，对揭示地理现象中以往传统数理方法无法度量的、但又广泛存在着的幂律、小世界性都有很大帮助。

其次，面状分形研究。分形（或盒计数法）更适用于对包含较多聚落或城市的区域、单一城市的城乡界面的分析。在区域、城市空间结构研究中，因在进行双对数函数确定研究区域的空间范围时，一般还会剔除高密度区（如建成区）和低密度区（如远郊区）。沙箱法则更适用于单一分形体的空间拓展，如扩散限制集聚的DLA生长模型^{[2, 24, 33]}。而密度—密度相关函数法，对描述城市内部要素的空间结构也有很好的刻画能力。从现有文献看，相较于传统认识，上述空间属性的面状分形研究都能较好地描述相应的人文经济地理现象。

第三，随着三维空间数据的获得、自仿射分形的发展，近期人文经济地理学的分形研究有向深度、精细化发展的动向^{[24, 33]}。而这些研究在描述或刻画城市建成区的空间分异、非规则性的城市扩张方面具有很强的实践意义，并将为国土空间规划提供具体的依据。

具体地，上述分析都可通过多重分形多分维谱的具体参数大小、谱宽、谱偏，以及典型、广义多重分形特征的存在层次，来反映其整体的、局部的演变强度、系统的奇异性、演变的主导性和主体性、多种属性的不规则（含分数维）时序变化等。而这些多种存在状态的谱系化表达、典型、广义分形状态的存在区间等描述，显然比传统分析中单一节点的状态、平均化的强度、某一特征的最大/小点的分析要科学的多。

4.4 分形与其它技术的融合

在技术层面，当前学界对空间分数维的量化应用主要依赖于分形技术的发展。通过分形这一基于空间“混乱性”视角的量化分析，可促进对地理空间以形态特征、多组分耦合结构、非线性的运行机制及其分布尺度区间为主的复杂性分析，进而可更真实、深入、全面地认识人文经济地理空间这一富含过程性、耦合性的开放巨系统。显然，用面积、周长、人口规模/密度等传统指标只能反映城乡空间演变的表象，并不能有效反映空间演变的强度、空间组分的耦合结构、空间非线性的运行机制等空间变化的内在属性。而分形对空间格局、演变过程的分析，会得到其复杂变化的一些重要量化指标（如系统的奇异性、演变强度、演变的主导性或主体性），这显然比传统分析方法前进了一大步。

而在多技术的协同研究方面，当前热门的深度学习、人工智能、仿生技术等方法，常从不同视角展开了对人文经济地理事物、过程的数理分析、仿真。但不可否认，这些分析的假设、规则制定、判别标准往往带有一定的主观性。于是一些学者尝试利用分形与上述方法相融合的思想，去寻找、模拟、验证社会经济活动的演变趋势（即逼近其本征函数），以及它们分数维的空间存在、不规则的演变过程。这都要求我们不断深化对社会经济活动及其空间“投影”——人文经济地理空间带有一定经验性的科学认识，从而为各种模拟制定好合理的、贴近实际的“运算规则”。

5 分形在人文经济地理空间分析中的具体应用 5.1 单分形分析与多重分形分析

在数理上，分形经历了一个由单分形分析到多重分形分析的发展历程。与此相对应，以二维空间数据、一维时序数据或截面数据为基础，人文经济地理学也经历了由空间单分形（单一分维值）到空间多重分形（谱系化的多种分维值）的技术发展过程。以城市空间发展的半径分形分析为例，上世纪后半叶发展而来的单分形分析主要包括对空间填充度、空间异质性等内容的分析^{[2, 33]}。它在做单一土地子类、单一空间组分的研究时效果较好，并可借助空间自相关、波谱分析对多种土地类型、发展功能的空间耦合及其错位进行较好的描述。由此延伸，多组分的单分形分析复合到一起，就可较好地揭示城乡空间演变的结构性特征。

在技术层面，单分形只是更广域的多重分形的特例。区别于单分形，本世纪初迅速发展的多重分形分析可从总体上把握区域空间的全局性特征和局域性特征^{[24, 31-33]}。其优点在于：可刻画区域多层次、多尺度的全局性+局域性的变化；并可直观且谱系化地展示系统总体性、局部/子系统逐步演变的数理过程。具体地，通过多重分形分析各种谱系化的示意图，我们可总结出很多细节性的差异：谱偏所预示的演变主体、峰值所揭示的变化强度、q值区间所揭示的空间尺度分布大小、分维谱形状所显示的演变的规则性等等^{[24, 31, 32, 34]}。

比较而言，在诸如城市多种土地类型的数据常不齐全的情况下，多组分的单分形分析较适合区域宏观层面的空间耦合、比较分析，而多重分形则适于利用同一数据进行区域整体的或单一组分细化的、层次性的分析。在现有研究水平下：①因对人文经济活动中临界现象认识的不足，我们还不能由空间多组分的单分形特征来描述、推断区域系统的整体耦合情况。②因细化数据的缺乏及对发展基础认识的不足，目前的多重分形分析基本属于对空间系统或其局部的现状分析，它对多组分耦合后的空间结构、运行机制等更为细致的数理特征的描述明显偏少。显然在现有条件下，单分形分析、多重分形分析本无所谓孰优孰劣，在具体研究中，如条件允许，做好单分形分析与多重分形分析的结合应最好。

5.2 分形分析的使用方法

实际5.1所述的分形技术属于数理分析层面的操作技巧，研究方法则为该技术在应用领域的具体使用。以此为基础，按照分析对象的特征或数据类型划分，当前空间分形研究可分为对时间序列、空间形态、等级结构的分形分析，并分别具有不同的分析方法。例如，目前对地理空间演化过程（时间序列）的分析使用较多的有功率谱分析、相空间重构法、对城市空间结构的分析常使用的网格分形法、沙箱法、面积—半径标度法、对城市等级结构、无标度网络常使用的规模分布、等级尺度分形分析等。这些方法的立论基础、侧重点各有不同，文献33对此进行了总结，并对各向同性、各向异性、空间尺度分异下的使用进行了较详细的阐述^[33]，这里不再赘述。总之，有针对性地选择具体分析方法，并辅以单分形、多重分形及其改进的分析技巧，对人文经济地理的分形分析非常重要，这一点可与4.3所述分形的具体应用结合起来进行考虑。即对研究者来说，分形技术的发展虽不可左右，但选择合适的分形方法却有助于我们的科研工作。

现实中，人文经济地理空间基本都是随机的多重分形系统，加之该系统又多属前分形系统，并存在多尺度分形分异和自仿射的分形式变化，故基本不可能找到一个真正的特征函数及其分形结构来描述某一地理空间系统。虽然通过分形技术我们获得了很多新的认知与成果，但通过一定分形分析程序获得的计算值，只是对实际值的逼近，这一点需要明确^[33]。

5.3 分形分析的应用基础

首先，对分数维的空间形态的认识，应以区域整体呈多组分相混杂的空间结构、非理想化的空间发展状态为分析基础。这是因为人文经济地理事物的现状、特征、机制多是在演变过程中形成的，这不同于一般的静态认识与简单性原则。一个完整的人文经济地理系统是高度结构化的，同时满足或倾向于满足时间序列的1/f噪声、空间形态上的分形特征、等级分异上的Zipf定律等规律乃是区域空间存在与发展的常态^[2]。分析单一指标显然不能揭示区域空间存在与演变的真实发展背景。

其次，人文经济地理空间发展演变的“情境性”很强，很多问题需要具体问题具体分析。建立于人的主观能动性和概率性之上的人文经济地理现象，常表现为分形、幂律和小世界性三种基本数理特征^[35]，加之还存在着大量非规律性的趋势性、无序性组分，人文经济地理的现实空间实则很复杂。加之当前分形技术的发展也是有局限的，所以进行分形分析一定要结合区域发展的实际“情境”，切勿脱离、违背现实。正如文献2所述，实际在理论上，分形分析主要是用于描述或刻画人文经济地理事物、过程的复杂性与数理特征的，然而它却不能真正解析（但有助于理解）其运行机制。所以在科研实践中，如要科学利用分形分析，还需依赖于更多的实证研究、数学模拟和其它方向上的支撑性、相关性研究来完成^{[2, 5-7, 13]}。

第三，因社会经济要素的异速生长分析常具有非负条件的限制（即常假设区域各领域的发展均为正增长、无负增长）^[2]，所以对诸如收缩型城市（尤其是我国中西部的中小城市、县城与大型集镇）的基础性分析、常规分形分析程序的适用性在很多分析中就值得探讨了。在这种情况下，系统的基本统计学属性（相关性、平稳性、周期性、趋势性）检验、系统熵值的变化，这些基本分析是必不可少的^[2]。需要强调的是，虽然考虑到人文社会系统存在大量的趋势性和概率性变化，适当放宽检验标准也是有限度的。目前，部分分形研究存在着有意无意忽视基础分析、检验标准过度宽泛的现象。

5.4 当前分形分析的局限性

实际人文经济地理事物在纵向的等级分异、横向的空间拓展、时序上的波动常具有广义的自相似特征，理论上可进行分形分析。但分形特征又可分为有规分形和无规分形，直到目前对于后者我们还基本无从下手^{[2, 24, 31-34]}。即使是有规分形，对于非正方形的三角形、菱形、角密度等作为基本分形单元、形成基本分析框架的研究还非常少，其具体的数理基础和分析过程也有待于进一步完善。在人文经济地理学，类似研究则更是少之又少。在当前地理空间分形分析中，具体的多重分形（单分形只是其特例）分析主要分为时间序列（或单一指标波动）、空间序列的分析。空间序列的分析往往都属于基础单元为规则正方形的空间多重分形分析，或圈层化的单分形分析^[24]。今后如何摒弃这种规则性、还原其多样化，将是人文经济地理学分形研究的重要方向，这对于还原不规则的长条形、菱形等城市的成长机制的现实意义更大。而对像Logistic方程、生产函数这样在经济现象中普遍存在的、具有分形属性的地理事物的深究，将为我们打开更广阔的视野^{[4, 13, 17, 20-22]}。但遗憾的是，目前有规分形在人文经济地理学中的使用实际也是受到局限的，甚至对人文经济地理事物的同一空间分维值对应着多少种空间存在形式，哪种是最贴近实际的表现形式，目前理论界也有很大困惑。

但科学发展已显示，分形音乐所创作出来的优美作品、历史过程的分形研究所揭示的历史发展规律、生命体生长的相似性等等都得到了或有望得到解决。理论上，很多具有非线性特征的自然、社会经济现象都可通过基于不规则、分数维的数理模拟、仿真得到更科学的解释。所以现在对分形分析的探究可能是艰难、困惑的，但也应看到它的美好前景。对人文经济地理空间的分数维研究而言，当前我们就处于这么一个虽已破晓但仍未艳阳高照的阶段。

6 结论

在地理空间约束下，社会经济系统的相变及临界现象，驱动了人文经济地理事物发展、演变的本质属性——分数维的形成。现实中，地理空间是各种社会经济活动的物质载体，及其空间“投影”的汇集区。这种载体承载着各种发展要素的叠加、耦合及其复杂变化，并通过学习、模仿等行为驱动着空间系统分数维的广泛存在。可知分数维的出现是人文社会系统中自相似特征的必然反映，是人文经济地理系统重要的数理属性。科学认知分数维的意义在于：①基于该认知范式，可突破以规则性为基础的传统地理数学方法的束缚，进而从根本上促进对混沌的人文经济地理事物与过程的科学描述。②通过分数维的量化技术——分形分析，可实现对广大地理事物不规则的空间形态、多组分耦合的空间结构、非理想化的空间演变过程的有效解析，进而带动整体认知途径的提高，及思维范式、分析范式的改变。

当然因分形几何发展的历史还较短，分形技术及其内容还有待于进一步的发展、完善和贯通，所以在现有技术水平下很多分形分析实际是有局限的。但不可否认，近三四十年来系统科学的再次活跃、1970年代以来计算机信息处理能力的飞速提高、地理数据获得和处理技术的大幅提升，都给予了通过分数维、分形技术深入认识人文经济地理空间复杂性之研究思想、分析技术的极大支持。同时在应用过程中，在充分考虑人文经济地理学研究对象的具体特性及其方法选择的前提下，分形分析还应与系统的统计学检验及空间熵、时间序列、等级分异等分析相结合，以尽可能保证对区域空间结构的完整认识，并做到研究结论的相互支撑、相互验证。展望未来的研究，如能进一步做好诸如基础分形单元的多样性研究、多重分形分析对不同领域具体特征/特色的挖掘、多空间尺度上分形特征细节的比较、自仿射分形与三维数据的深入研究，将为人文经济地理学打开一扇重新审视世界的窗户。而由分数维、分形技术的发展现状可预期，上述认知、分析的结果将会越来越贴近人们对地理事物的第一感知、逼近区域空间存在与演变的真实发展情境。

另外，在实践中，上述基于分数维、分形技术的认识，也为认识各种空间尺度的人文经济地理现象、进行区域空间的动态规划、弹性规划提供了理论依据。特别是对于看似混乱、实则有一定规律可循的微观尺度地理事物的存在状态、演变规律的研究，以及对具有不同空间关联的交通网络、基础设施的规划与配置，用分数维、分形思想与传统规划方法相融合的整体认知范式，来看待其复杂性、优化其结果，其效果应更好。

致谢: 感谢审稿人在术语的规范性、分形的系统基础、全文的数理分析基础上给予作者更为深刻的理解，在此谢忱！