1 引言

自20世纪初Felix Auerbach首次发现城市人口规模及其位序间存在着有序关系以来，城市规模分布研究的历史已长达百年，期间尤其是在George Kingsley Zipf在前人研究的基础上总结出了著名的Zipf法则之后^[1]，城市的规模分布问题受到了大量关注^[2-4]。为考察这一法则是否具有普适性，迄今已形成了卷帙浩繁的文献，研究尺度跨越地区、国家、大洲和全球，研究跨度短至数十年、长至数百年乃至千年^[5-11]。进一步的研究尝试在各社会经济要素与城市规模分布形态间建立联系^{[12, 13]}，但由于样本和控制变量选取上的差异，其结论往往并不一致。此外，城市规模分布方面理论研究也未停滞，城市的规模分布被认为在一定条件下具有分形特征，而分形现象所具备的标度区、分维等特征也相应进入城市地理学家的视野^{[4, 14, 15]}；此外，以Zipf法则为切入视角，相关研究同时对城市规模分布所服从的具体数理规律展开了深入探讨，早期Zipf法则已经经历过从单参数形式到二参数形式的演变，而此后受分形思想的启发，Mandelbrot提出了三参数形式的Zipf法则^[14]，这一形式被证明同城市规模分布研究领域的二倍数规律、Steindl模型在一定程度上是互通的^{[16, 17]}，而不同形式的Zipf法则能够用于刻画处于不同地域或发展阶段的城市聚落的规模分布^[18]。目前，围绕城市规模分布规律而进行的解释性研究，长期以来形成了诸多理论^{[2, 19, 20]}。这些模型总体上可分为经济模型和随机(数理)模型^[21]。

经济模型尝试在城市经济性因素的分布和变化规律同城市规模分布规律间建立联系，由于理论基础各异，这一类模型又涵盖了人口迁徙、城市等级、城市生长等类型。人口迁徙模型认为城市增长与人口迁徙密切相关，其研究范式一般是考察不同迁徙率下所能达到的均衡同相应城市规模分布间的关系^[2]，这一类型的模型可见于Gabaix^[21]和Richardson^[22]等的研究。大部分的城市等级模型则同中心地理论相关^{[23, 24]}。与前二者不同，城市生长模型注重城市内部经济因素对其规模的影响，相应的研究如Krugman的自然优势模型^[25]，Duranton的创新驱动模型^[26]等。随机模型则关注城市的增长过程，在这类研究中特定的城市规模分布往往是随机作用在若干简单运行规则下的稳定结果^[2]。一般认为Gibrat的研究^[27]奠定了大部分这类模型基础性的关键假设，Simon的研究^[28]则是第一个正式的模型^[29]；这类模型的优劣势长期以来已经得到了广泛的讨论^{[21, 25]}。

总体而言，经济模型因其所依据的理论多从单一角度看待城市演化问题，因而难以完整解释城市规模分布规律，而以Simon模型为代表的随机模型则往往缺乏经济学理论基础，结合随机增长理论与经济理论，经济因素和空间结构来解释城市规模分布规律就成为一个可探讨的方向^[20]。

此外，无论是经济模型或是随机模型，其在探讨各因素同城市聚落规模分布间的关系时，均将城市视为一个整体；然而作为典型的复杂系统，城市发展有着“自下而上”的本质特征，传统研究大部分都未能深入城市形成的微观层面，进而构建出可反映上述特征的涌现式模型；另一方面，虽然利用元胞自动机、基于智能体建模等计算实验方法探讨复杂系统的研究日臻完善，然而在城市领域其仅被大量地应用于单个城市的演化研究，对城市聚落鲜有涉及。

近年来，已经有研究注意到了报酬递增在城市规模分布形成中可能起到的作用，进而在联系经济模型和随机模型方面做出了有益的尝试^{[30, 31]}。然而，如上文所述，“自下而上”的建模思路意味着模型的解释能力很大程度上取决于对应于“下”的微观行为的建模。而传统的模型建构由于对微观个体的行为心理和行为规则缺乏充分的认知，因而在探讨城市演化规律方面存在局限。行为经济学和认知心理学的研究则逐渐弥补了此方面的不足，并为探讨基于微观行为的建模提供了重要的理论基础。

对微观主体决策行为的探讨肇始于20世纪40年代Neumann和Morgenstern的研究^[32]，在其经典著作《Theory of Games and Economic Behavior》中提出了期望效用理论^[33] (expected utility theory)，后又经Savage重构为主观期望效用理论^[34] (subjective expected utility theory)，二者均明确了行为主体在不确定性环境中决策的效用最大化原则。然而这一原则的可靠性随后被广泛观察到的以满意决策为代表的非理性行为(irrational behavior)现象所否定，有限理性(bounded rationality)继而逐渐成为描述真实决策行为的主流理论。受认知科学和行为经济学的激发，除了证明认知能力的限制会影响决策外，后继研究还开始关注人的行为和心理特征的影响，Kahneman和Tversky的前景理论^[35] (prospect theory)即是这方面的代表性理论之一。该理论认为行为主体对财富变化的敏感性呈边际递减；而且相比收益，对损失更为敏感。上述心理因素会令行为主体做出偏离传统效用最大化的非理性行为，即使其在主观上仍遵循着效用最大化原则^[36]。在具体的土地开发研究中，Mohamed从前景理论出发，探讨了促成开发商追求满意决策的禀赋效应(endowment effect)、损失厌恶(loss aversion)、心理账户(mental accounting)和狭域框架(narrow bracketing)等心理因素^[37]。这些因素使得行为主体感知到的价值偏离实际情况，而这往往被传统模型所忽略。

由此，本文尝试结合城市增长过程中土地开发行为的报酬递增规则与土地开发主体的风险认知行为，以城市增长的微观过程为切入视角模拟宏观城市聚落的演化过程，探讨风险态度这一心理因素对城市聚落形态，尤其是其规模分布的影响。

2 理论基础 2.1 位序—规模法则

位序—规模法则，是幂次法则在描述位序规模关系时的特例，具体是指事物的规模S和其出现频次N之间呈现以a为标度因子的比例关系，规模大的事物出现频率低，规模小的事物出现频率高^[31]。在城市研究中，目前研究中使用最为广泛的位序—规模法则为二参数形式，具体如式1所示。

$ {\mathit{P}_\mathit{r}}{\rm{ = }}{\mathit{P}_{\rm{1}}}{\rm{ \times }}{\mathit{r}^{{\rm{ - }}\mathit{q}}} $

(1)

两边同时取10为底的对数后，有：

$ {\rm{lg}}{\mathit{P}_\mathit{r}}{\rm{ = lg}}{\mathit{P}_{\rm{1}}}{\rm{ - }}\mathit{q}{\rm{lg}}\mathit{r} $

(2)

其中，r为城市位序；P_r为第r位城市的规模；P₁理论上为最大城市的规模；q为大于0的常数，q越大，式2的斜率绝对值越大，意味着相应城市聚落的规模分布越不均匀。一般而言，当q值接近1，城市聚落的规模分布接近于Zipf法则的理想状态；q值小于1，后位城市较发展；q值大于1，规模分布向前位城市集中。

大部分城市规模分布研究都以人口或经济规模作为刻度。然而亦有研究将城市用地规模作为刻度指标^{[9, 38]}。实际上，已有研究已经表明城市的人口规模和用地规模(城区面积)之间通常服从异速标度律^{[39, 40]} (allometric scaling law)，以此为前提，以城市人口规模为测度的位序—规模法则和以城市用地规模为测度的位序—规模法则是可以相互推导的^{[41, 42]}，以城市用地大小来表征城市规模可能是一个更好的选择^[43]。本文即以城市用地作为城市规模刻度指标。

2.2 风险态度

风险指代的是不确定的未来、尤其是可能会出现的负面结果^[44]。决策者不可能全然掌握各种可能的概率，故仅能凭期望来决策。所以，对于特定决策的结果，可能一些人觉得会是收益而另一些觉得会是损失^[45]。这种对特定决策结果损益情况主观预期的不同即可用不同的风险态度来表示。在分散决策中，准确引入风险态度对于理解当前的社会和空间变化是一项必要前提^[46]。

复杂空间系统中行为主体面对土地利用决策相关的风险时其态度是多样的^[47]，其具体可分为谨慎型(cautious)、贫穷型(poor)、中立型(unbiased)、富有型(rich)和鲁莽型(reckless)五种。这一划分最早由Keeney和Thompson^[48]引进，并相继为后续一些研究所引用^[46]。鲁莽型敏感于收益而迟钝于损失，谨慎型迟钝于收益而敏感于损失，贫穷型对损失和收益都较为敏感，富有型对收益和损失则均迟钝，中立型则无偏。根据上述特性，可拟出风险态度效用函数，具体如图 1所示。

由于城市形成中报酬递增效用的存在，本文假设土地开发决策的净收益始终为正，故而可仅考虑各风险态度在x＞0区间上的效用函数，故而五种态度可简化为风险厌恶型(以下简称“厌恶型”)、风险中立型(以下简称“中立型”)和风险寻求型(以下简称“寻求型”)三类，其中厌恶型迟钝于收益，寻求型敏感于收益。

根据上述论述及以往研究，我们对实验结果做出如下预期：首先，之前研究^[31]显示幂次法则是具有普遍性的规律，我们预测在不同风险态度下均能形成符合幂次法则的城市聚落。此外，根据三种风险态度的定义，我们预测在单态度处理中，开发商的风险态度越趋于寻求型，城市聚落中城市规模分布的非均匀性越强，越趋于厌恶型，非均匀性则越弱；而在多态度处理中，城市聚落的形态可能会接近仅由主导态度作用下的聚落形态，具体而言二者的各项参数可能会呈现相同的变化规律。

3 研究方法 3.1 基本思路

本文借鉴元胞自动机的基本思路，设置聚集强度系数、风险态度类型和风险态度强度三个实验变量，分单态度和多态度两种情况模拟微观地块的开发过程，重复若干次后，统计所形成的城市聚落中的城市规模，由大至小对其排序，然后对其位序X和规模Y取10为底的对数并分别以之为自变量和因变量，进行线性回归。以相关系数R²判断不同实验处理下能否产生位序规模分布服从幂次法则的城市聚落；以回归模型的回归系数和首位度度量模拟结果规模分布的均匀程度；以单态度情景和多态度情景下上述三个指标的变化规律差异分析两类情景模拟结果的类似程度。模型通过NetLogo软件建立。

3.2 模型设计

(1) 模型预设。① 本文假定城市聚落所在的区域为一个均质平原，由NetLogo软件中“瓦片(patch) ”代理模拟。每个瓦片代表一个地块，具有“已开发”和“未开发”中的一种状态，地块规模为200^*200，共40000个。② 每个地块将被赋予开发潜力属性，用于计算其在模型运行中的开发概率：开发潜力越大，则被选中开发的概率越大。

(2) 开发过程

1) 初始状态下，各地块的开发潜力值均赋值为1，这意味着第一回合“未开发”地块的选择由简单随机抽样确定。

2) 当第一个地块由“未开发”变为“已开发”时，各地块潜力均等的局面将被打破。模型设定与真实世界情况最为契合的“混合吸引”^[31]作为地块间吸引模式：假定区位选择中同时存在着地区性(“相邻吸引”)和规模性(“规模吸引”)两类因素。具体处理如式3所示：

$ \mathit{Q}{\rm{ = }}\mathit{N}{\rm{ \times }}\sqrt {\mathit{S}{\rm{ \times }}\mathit{T}} $

(3)

其中，Q为初始开发潜力值；N为聚集强度系数；S为该地块邻域中的已开发地块数，代表“相邻”吸引力；T为该地块紧邻的最大聚落规模，代表“规模”吸引力。本文分别设置了N=5、10、20、30、50、100、200和500共8组进行对照。如图 2中A地块，其周围8个地块中已开发地块数目为5，邻近的最大聚落规模为10，那么其初始发展潜力值即为$ \mathit{N}{\rm{ \times }}\sqrt {{\rm{5 \times 10}}} $。

3) 根据选取的风险态度修正本回合各地块的初始开发潜力。对于各风险态度的具体效用函数形式，Kirkwood认为运用指数函数能达到简洁而充分的近似处理^[49]；LigmannZielinska^[46]则提出“利用指数和对数函数来反映态度效用函数的形态既是一门科学亦是一种艺术”。本文参考上述文献中的处理，设三种风险态度效用函数如下：

$ \mathit{y}\rm{=(}\mathit{x}\rm{/}\mathit{\alpha }{{\rm{)}}^{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{\mathit{\alpha }}\;}}\rm{, }\mathit{\alpha >}\rm{1, }\ \ \ \rm{风险厌恶} $

(4)

$ \mathit{y}{\rm{ = }}\mathit{x}\;\;\;\;\;{\rm{风险中立}} $

(5)

$ \mathit{y}{\rm{ = }}\mathit{\alpha }{\mathit{x}^\mathit{\alpha }}{\rm{, }}\;\;\mathit{\alpha > }{\rm{1, }}\;\;\;{\rm{风险寻求}} $

(6)

其中，y代表修正后的开发潜力；x代表初始开发潜力；α为决定函数曲率的曲率系数，衡量风险态度对开发潜力的影响程度，α越大，影响越强，记作风险强度系数。考虑到现实世界中主体的异质性，单次模拟中α值将只设置上限(记为α_max)，各回合的α值则由随机赋值决定。本文分别设置了α_max=2、3和4三组进行对照。

4) 求取开发概率。求和各地块的开发潜力，根据各地块潜力值占总潜力值的比例确定开发概率，据此选择一个从“未开发”转变为“已开发”。

(3) 重复2000次以上过程，观察形成的城市聚落。之所以设定2000次，一是在于2000次之后模拟结果的形态已较为清晰；二是2000次后处于“已开发”状态的地块的占比为5%，基本上能避免出现两个“城市”因过于拥挤而突然合并为一个大“城市”的情况。

(4) 上述模型模拟了在单风险态度情况下的城市聚落形成过程，而现实世界中的风险态度必定会是多样的，据此本文在上述模型的基础上设计多态度模型，后者中效用函数的选择会根据预先设置的概率进行抽样。实验总共设计了4种多态度情景：厌恶型主导情景、中立型主导情景、寻求型主导情景以及等比例情景。在前三种情景中，主导态度和另两类态度的比例均设为3:1:1。

4 模拟结果 4.1 单态度模拟结果

根据以上描述，本文共设置有三个实验变量：聚集强度系数、风险态度类型和风险强度系数，相应的实验处理则有56组(厌恶型和寻求型各24组，中立型8组)，每一组均进行5次模拟，最终结果取5次模拟的平均值。图 3至图 5展示了一些具有明显形态特征的模拟结果，白色代表已开发土地，黑色代表未开发土地。

4.1.1 R²分析

R²用于判断不同实验处理下能否产生位序规模分布服从幂次法则的城市聚落。根据表格 1可以看出，总体而言大部分实验结果的R²值均高于0.9，体现了幂次法则的普遍性。

4.1.2 斜率分析

斜率衡量城市规模分布的均匀程度。从表 2中可以观察到无论风险态度类型和强度为何，聚集强度系数与斜率之间存在着正相关关系，表明大城市的集聚效应会随着城市吸引力(聚集强度系数)的增大而变得更显著；风险强度系数的作用则依类型而异，相较中立型，厌恶型会令斜率趋小而寻求型则会令斜率趋大，且风险强度系数越大，作用越显著。

此外，风险态度与聚集强度系数亦存在交互作用。寻求型模拟结果的斜率对聚集强度系数的变化最敏感，中立型次之，厌恶型最弱，且风险强度系数越大，这一现象越明显。值得注意的是在厌恶型下，斜率呈现出了一种“收敛”的特性：斜率绝对值的变化范围随着风险强度系数增大而趋小。

4.1.3 首位度分析

“首位度”是指一个城市聚落中最大城市与其后若干城市规模和的比值，衡量最大城市的首要程度。本文采用四城市指数^[3]，由首位城市规模除以第二、三、四位城市规模和而得。

由表 3可知，首先随着聚集强度系数的增高，首位度于厌恶型和中立型下的均保持稳定，于低强度寻求型下不断增大，于中高强度的寻求型下则先增大后下降。风险态度的影响方面中立型和厌恶型之间无显著差异，但当风险态度越趋近寻求型时，首位度则显著增大，呈现出与斜率相同的高敏感性。

4.1.4 小结

首先根据R²分析，可知三类态度下均能较为稳定地产生符合幂次法则的城市聚落，这与我们的预期相一致。此外，通过斜率与首位度的组间差异可以发现风险态度越趋向于风险规避，所生成城市聚落规模分布的非均匀性越弱，而越趋向于风险寻求，则非均匀性越强，这同样与我们的预期相一致。

进一步地，综合以上三个指标的分析，可总结不同态度下所形成的城市聚落的形态特征：

(1) 厌恶型：与幂次法则之间存在着高契合度；其整体形态特征对集聚作用强度的变化并不敏感，体现出高稳定性，而且这一稳定性随着风险强度系数的增大亦趋强，呈现为规模均匀、高度离散、数目众多的小城市(如图 3)。

(2) 中立型：与幂次法则之间存在着高契合度；而非均匀化程度会随集聚作用增强而加强，不过首位度保持稳定，表明在这类风险态度下，因集聚作用增强所致的非均匀化主要体现为要素以相近的程度向若干个大城市的集聚(如图 4)。

(3) 寻求型：与幂次法则之间在风险强度较低时存在高契合度，但随强度增大契合度略有降低；此外，随着集聚作用增强，聚落的非均匀程度和首位度同步增大，表明在这类风险态度下，因集聚作用增强所致的非均匀化主要体现为要素向最大城市的集聚，最终出现发达的首位市(如图 5)。

4.2 多态度模拟结果

表 4分别列出了厌恶型为主、中立型为主、寻求型为主和等比例四种多态度情景模拟结果的R²、斜率和首位度。

R²在各组中均较高，显示了幂次法则的普遍性。

斜率绝对值在所有情景下与聚集强度系数均呈正相关，与风险强度系数之间关系则均呈现出上文曾述的“收敛”特性，下文将探讨这一现象可能的现实隐喻。

首位度在所有情景下与风险强度系数均呈正相关，然而其与聚集强度系数之间的关系则还要取决于风险态度强度水平。这与单态度下首位度单一的变化规律有显著不同。

总结上述三个参数的变化规律，可以发现在多态度情景下，城市聚落形态特征与聚集强度系数以及风险强度系数间的关系同单态度情景有着较大区别，斜率“收敛”特性的普遍出现以及首位度的高度变化等现象在单态度情景下均未曾出现，显示出多态度情景下城市聚落演化的复杂性，这与我们之前的预期并不一致。

5 讨论

美国学者Krugman^[6]曾研究了1890至1990年间美国所形成的130个城市的规模分布，发现其高度契合幂次法则，且回归斜率在100年内始终稳定于-1左右^①。鉴于上述实证数据表明现实世界中城市聚落的规模分布存在稳定性，赖世刚等进一步提出这其实也暗示着现实世界所对应的聚集强度系数可能只是“某一个适当的参数值”^[31]。

然而，多态度情景下斜率的“收敛”现象却表明将现实世界中斜率的稳定性归因于固定集聚效应的理由并不充分。在多态度情景中斜率的变化范围会随着风险强度的增大而不断趋小，最终可能稳定于某一特定值。

那么，斜率“收敛”的产生原因又是什么？实际上，幂次法则所对应的函数曲线最为显著的形态特征便是“大头”和“长尾”，然而在经过对数处理后，这一对比会被“抹平”，构成回归处理中样本主体的正是原先属于“长尾”的部分。在城市聚落中，这一“长尾”对应着大量的小城市，而这也正是厌恶型模拟结果最为显著的形态特征，并且这一特征会随着风险态度强度的增强而愈发稳定。而且，在单态度情景中风险厌恶型情景之于斜率“收敛”特性的独占性进一步暗示着斜率的稳定性和厌恶型态度相关：在多态度模拟中，各情景均设置有一定比例的厌恶型态度，风险态度越强，模拟结果的“长尾”部分对聚集强度系数的变化就越不敏感，形态就越稳定，继而使回归处理后的斜率亦趋于稳定，从而产生“收敛”现象。

那么，在城市聚落形成的语境下，上述解释的现实隐喻又是什么？如前文所述，所谓厌恶型态度，本质上是心理上对效用的负向偏离，故上述解释可进一步表述为：虽然大城市的吸引力(聚集强度系数)不断上升，然而总存在一定比例的一类人，他们或是出于偏好考虑，或是无力负担成本，心理上弱化了大城市对其的吸引力，最终选择落居小城市，从而令城市聚落整体规模分布的均匀性(斜率)保持稳定，即便聚落中大城市的相对规模(首位度)不断变化。

总体而言，相比较于固定集聚效应之说，我们更倾向于认为厌恶型态度下所形成的那部分稳定而均匀的小城市可能才是现实世界中城市聚落规模分布保持稳定的原因。证明这一观点需要进一步实验和实证数据验证和支撑。

6 结论与展望

本文基于报酬递增机制和风险态度效用函数，模拟不同集聚强度和风险态度下的城市聚落形成过程，探讨了不同风险态度下形成的城市聚落的形态特征，尤其是其规模分布与幂次法则之间的契合程度。研究结论和展望如下：

第一，在各模型中普遍能产生规模分布高度符合幂次法则的城市聚落，验证了报酬递增机制解释城市聚落规模分布符合幂次法则现象的鲁棒性。然而本文在模型设计上尚存在不足，并未深入至行为主体的记忆、学习和博弈等具体行为，如何建立一个仿真性更强的基于微观土地开发行为的城市聚落形成模型是可供探讨的方向之一。

第二，就风险态度的影响来看，在单态度情景中，三类风险态度下形成的城市聚落有着明显的差异。这三类城市聚落相应的报酬递增与风险态度情景可能对应着现实世界中具备不同禀赋或处于不同阶段的城市群，因而结论所蕴含的现实内涵与指向是可供探讨的研究方向之二。

第三，在多态度情景中，城市聚落形态特征的演变规律则更为复杂，出现了众多在单风险情景中未曾出现的现象。尤其是普遍出现的斜率“收敛”现象，暗示着递增报酬下城市聚落规模分布的稳定性可能是源于风险厌恶型所对应的那部分稳定而均匀的小城市。这些城市规模分布在以往研究中往往未能受到重视，其时空演化是可供探讨的方向之三。

总而言之，不同风险态度下的城市聚落规模均能产生位序规模分布服从幂次法则的城市聚落，验证了报酬递增规则在解释城市位序——规模规律上的鲁棒性，但风险态度对城市聚落规模分布的均匀程度有着显著和复杂的影响，而这能为解释现实世界中城市聚落规模分布的稳定和变异提供一种可能的范式。

注释：

① 虽然Krugman^[6]和本文分别采用了人口和用地作为规模表征，但在具体模型中，“瓦片”的隐喻可从已开发土地转变为密度一定条件下的人口数，故而二者具有可比性。