0 引言

互联网、云计算、大数据等新兴信息技术的发展及其在工业、农业、商业等不同行业的应用，在为不同行业中的决策提供更为强大、全面的技术和信息基础的同时，也将相关决策置于一个高度动态不确定的环境中，正改变着人们的决策思维方式。在新的不确定决策环境中，对方案进行成对比较相对于直接给出方案评价更易为决策者所接受，能够更便捷、有效地刻画决策者的偏好。

已有的方案成对比较表示方法大体上包括三种：1) 层次分析法^[1]；2) 模糊偏好关系^[2]；3) 分布式偏好关系^[3]。层次分析法和模糊偏好关系是两种经典的方案成对比较表示方法，两者都是在单等级上描述成对方案间的优于(劣于)关系，前者运用9标度描述决策者认为方案1优于(劣于)方案2的程度，后者运用[0, 1]区间上的连续值刻画决策者认为方案1优于(劣于)方案2的不同程度，两种表示方法之间存在等价转换关系^[4]。直觉模糊偏好关系^[5]和模糊语言偏好关系^[6-9]是模糊偏好关系的两种典型扩展，前者在单等级上描述成对方案间的优于、劣于和不确定三种关系，而后者则在多等级上描述成对方案间的优于、劣于和无差异三种关系。不同于前面这两种方法，分布式偏好关系在多等级上同时刻画成对方案间的优于、劣于、无差异和不确定四种关系^{[3, 10]}，从而更为全面、柔性地描述成对方案间的比较关系，更好地应对高度动态不确定环境下的决策问题。

利用分布式偏好关系进行多属性决策问题求解时，必须对分布式偏好关系进行比较，从而产生合理的决策解。文献[3]构建的多属性决策方法利用等级得分值(见1.1节)将成对方案间的分布式偏好关系转化为得分值区间，基于文献[11]中的区间数比较方法，构建不考虑概率分布的分布式偏好关系的比较可能度，进而产生决策解。此比较可能度的提出仅考虑了得分值区间的上下限，对得分值区间自身的概率分布缺乏考虑。一般而言，在决策者提供详细信息的条件下，可考虑得分值区间服从相应的概率分布；而在没有进一步信息支撑的情况下，成对方案比较的全局无知可随机分配到各个等级，得分值区间内的每个点成为决策方案的综合评价值是等可能的，在这种情况下，决策方案的综合评价值在得分值区间内服从均匀分布。因此，有必要考虑分布式偏好关系得分值区间服从均匀分布的比较可能度，并运用于决策问题求解中。在进行多属性决策问题求解时，经常出现由于决策过程中知识的缺乏或者决策者的主观判断而导致属性权重未知的情形。针对此情形，考虑得分值区间服从均匀分布，同时产生高辨识度的决策解，本文提出一种基于服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度的多属性决策方法。

以下首先介绍分布式偏好关系及其未考虑分布的比较可能度；而后基于文献[12]中的区间数比较方法构造服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度，从理论上分析并证明了与未考虑分布的比较可能度相比，其具有更高的辨识度；进而基于提出的比较可能度提出属性权重未知的多属性决策方法。最后，将提出的方法运用于求解芜湖市战略性新兴产业评估问题，验证了方法的有效性与合理性。

1 相关基础 1.1 分布式偏好关系

分布式偏好关系是定义在多等级对称框架上，同时刻画成对方案间的优于、劣于、无差异和不确定四种关系的方案成对比较表示方法，规范化定义如下。

定义1^[3]  设X={x₁, x₂, …, x_m}表示一组方案集，Ω={H₁, H₂, …, H_N}(N为奇数)为一个对称的评价等级框架，其中H_(N+1)/2+1, H_(N+1)/2+2, …, H_N表示递增的优于强度，H₁, H₂, …, H_(N+1)/2-1表示递减的劣于强度，H_(N+1)/2表示无差异，且H_N-n+1与H_n(n=1, 2, …, (N+1)/2-1) 对称。任给一对方案x_i和x_j，它们之间的分布式偏好关系表示为d_ij={(H_n, m_ij(H_n)), n=1, 2, …, N; (Ω, m_ij(Ω))}，其中m_ij(H_n)和m_ij(Ω)分别表示等级H_n上的信念度和全局无知上的信念度(不确定度)，满足:

$ 0 \le {m_{ij}}\left( {{H_n}} \right), {m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) \le 1;\;n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, \mathit{N} $

(1)

$ \sum\limits_{n = 1}^N {{m_{ij}}\left( {{H_n}} \right)} + {m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) = 1 $

(2)

$ {m_{ij}}\left( {{H_n}} \right) = {m_{ij}}\left( {{H_{N - n + 1}}} \right);n \in \left\{ {1, 2, \cdot \cdot \cdot, N} \right\} $

(3)

$ {m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) = {m_{ji}}\left( \mathit{\Omega } \right) $

(4)

$ {m_{ij}}\left( {{\mathit{H}_{\left( {N + 1} \right)/2}}} \right) = 1 $

(5)

分布式偏好关系等级框架Ω={H₁, H₂, …, H_N}一般可通过决策者依据自身偏好和经验信息，综合专家意见来确定的。通过Saaty^[1]提出的层次分析法可知，从心理学规律上来看，由决策者给出方案x_i优于x_j的等级标度不超过9。分布式偏好关系的对称等级框架包括优于、劣于以及无差异三种关系，依据层次分析法中的9标度，一般而言，在实际决策过程中，分布式偏好关系的等级标度满足N≤17。

为了度量各等级的差异，定义各等级上的得分值，如下所示。

定义2^[3]  设Ω={H₁, H₂, …, H_N}(N为奇数)为表达定义1中分布式偏好关系的对称框架，则其对应的等级得分值s(H_n)满足：

$ 0 < s\left( {{H_{\left( {N + 1} \right)/2 + 1}}} \right) < \cdot \cdot \cdot < s\left( {{H_N}} \right) = 1 $

(6)

$ s\left( {{H_{\left( {N + 1} \right)/2}}} \right) = 0 $

(7)

$ s\left( {{H_n}} \right) = s\left( {{H_{N - n + 1}}} \right);n \in \left\{ {1, 2, \cdot \cdot \cdot, N} \right\} $

(8)

给定s(H_n)，分布式偏好关系d_ij可以转化为得分值区间s_ij=[s_ij^-, s_ij⁺]，其中：

$ s_{ij}^P = \sum\limits_{n = \left( {N + 1} \right)/2 + 1}^N {{m_{ij}}\left( {{H_n}} \right)} \cdot s\left( {{H_n}} \right) $

(9)

$ s_{ij}^N = \sum\limits_{n = 1}^{\left( {N + 1} \right)/2 - 1} {{m_{ij}}\left( {{H_n}} \right)} \cdot s\left( {{H_n}} \right) $

(10)

$ s_{ij}^ - = {{\bar s}_{ij}} - {m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) \cdot s\left( {{H_1}} \right) = s_{ij}^P - s_{ij}^N - {m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) \cdot s\left( {{H_1}} \right) $

(11)

$ s_{ij}^ + = {{\bar s}_{ij}} + {m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) \cdot s\left( {{H_1}} \right) = s_{ij}^P - s_{ij}^N + {m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) \cdot s\left( {{H_N}} \right) $

(12)

由式(6)~(12) 易知，s_ij和s_ji满足^[3]：

$ s_{ij}^ - + s_{ji}^ + = 0 $

(13)

$ s_{ij}^ + + s_{ji}^ - = 0 $

(14)

1.2 分布式偏好关系的比较可能度

为了比较分布式偏好关系形成决策解，文献[3]基于分布式偏好关系的得分值区间，利用文献[11, 13]中的区间数比较方法(NSG区间数比较方法^[14]的变形)构造不考虑均匀分布的分布式偏好关系的比较可能度，具体如下。

定义3^[3]  设X={x₁, x₂, …, x_m}表示一组方案集，Ω={H₁, H₂, …, H_N}(N为奇数)为一个对称的评价等级框架。任给一对方案x_i和x_j，若由d_ij和s(H_n) (n=1, 2, …, N)依定义2得出s_ij=[s_ij^-, s_ij⁺]和s_ji=[s_ji^-, s_ji⁺]，则方案x_i优于x_j的比较可能度定义为：

$ p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) = \max \left\{ {\min \left\{ {\frac{{s_{ij}^ + }}{{s_{ij}^ + - s_{ij}^ - }}, 1} \right\}, 0} \right\} $

(15)

定义3中的比较可能度仅考虑利用得分值区间的上下限对方案进行优劣比较，未考虑得分值区间上随机变量的概率分布，得分值区间是由等级得分值、等级信念度和全局无知产生的，一般而言，全局无知被分配到各个等级的概率是相同的，那么由此产生的得分值区间服从均匀分布。为了定义分布式偏好关系得分值区间服从均匀分布的比较可能度, 本文首先介绍一种服从均匀分布的区间数比较方法，具体如下。

定义4^{[12, 15]}  设a=[a^-, a⁺]和b=[b^-, b⁺]为两个区间数，其上随机变量均服从均匀分布，则a优于b的可能度为：

p(a > b)=

$ \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad \, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{a^ - } \ge {b^ + }\\ \frac{{{a^ + } - {b^ + }}}{{{a^ + } - {a^ - }}} + \frac{{{b^ + } - {a^ - }}}{{{a^ + } - {a^ - }}} \cdot \frac{{{a^ - } - {b^ - }}}{{{b^ + } - {b^ - }}} + 0.5 \times \frac{{{b^ + } - {a^ - }}}{{{a^ + } - {a^ - }}} \cdot \frac{{{b^ + } - {a^ - }}}{{{b^ + } - {b^ - }}}, \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{b^ - } < {a^ - } < {b^ + } \le {a^ + }\\ \frac{{{a^ + } - {b^ + }}}{{{a^ + } - {a^ - }}} + 0.5 \cdot \frac{{{b^ + } - {b^ - }}}{{{a^ + } - {a^ - }}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, {a^ - } < {b^ - } < {b^ + } \le {a^ + }\\ 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, {b^ - } \ge {a^ + } \end{array} \right. $

(16)

以下将利用式(16) 构造服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度，并与定义3中的比较可能度进行理论对比分析，探讨两者的大小关系和取值差异，进而论证本文提出的比较可能度具有更高的辨识度。

2 服从均匀分布的比较可能度

在利用分布式偏好关系构建的多属性决策问题中，对分布式偏好关系进行比较，首先要产生其间的比较可能度，以下将从分布式偏好关系得分值区间出发，考虑其概率分布，探讨服从均匀分布的分布式偏好关系的比较可能度。

基于任意一对方案x_i和x_j之间的得分值区间s_ij=[s_ij^-, s_ij⁺]和s_ji=[s_ji^-, s_ji⁺]，假设方案的综合评价值在得分值区间内随机取值，服从均匀分布。利用式(16) 可获取方案x_i优于x_j的比较可能度，记为(s_ij≥s_ji)，具体定义如下。

定义5  设X={x₁, x₂, …, x_m}表示一组方案集，Ω={H₁, H₂, …, H_N}(N为奇数)为一个对称的评价等级框架。任给一对方案x_i和x_j，若由d_ij和s(H_n) (n=1, 2, …, N)得出s_ij=[s_ij^-, s_ij⁺]和s_ji=[s_ji^-, s_ji⁺]，且得分值区间服从均匀分布，则方案x_i优于x_j的比较可能度为：

$ \bar p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1, \quad \quad {\kern 1pt} \quad \quad \quad \quad \, s_{ij}^ - \ge s_{ji}^ + \\ 1 - \frac{{2s_{ij}^ - \cdot s_{ij}^ - }}{{{{\left( {s_{ij}^ + - s_{ij}^ - } \right)}^2}}}, \quad s_{ji}^ - < s_{ij}^ - < s_{ji}^ + \le s_{ij}^ + \\ \frac{{2s_{ij}^ + \cdot s_{ij}^ + }}{{{{\left( {s_{ij}^ + - s_{ij}^ - } \right)}^2}}}, \quad \quad \, \, s_{ij}^ - < s_{ji}^ - < s_{ij}^ + \le s_{ji}^ + \\ 0, \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, s_{ij}^ + \le s_{ji}^ - \end{array} \right. $

(17)

依据定义5，在多属性决策中成对方案间的优劣关系可定义如下。

定义6  设X={x₁, x₂, …, x_m}表示一组方案集，Ω={H₁, H₂, …, H_N}(N为奇数)为一个对称的评价等级框架。任给一对方案x_i和x_j，若由d_ij和s(H_n) (n=1, 2, …, N)依定义2得出s_ij=[s_ij^-, s_ij⁺]和s_ji=[s_ji^-, s_ji⁺]，则有：

1) 当p(s_ij≥s_ji) > 0.5时，则方案x_i带有p(s_ij ≥ s_ji)的可能度优于方案x_j，表示为$ {x_i}\mathop \succ \limits^{\bar p({s_{ij}} \ge {s_{ji}})} {x_j} $；

2) 当p(s_ij≥s_ji) < 0.5时，则方案x_j带有1-p(s_ij≥s_ji)的可能度优于方案x_i，并表示为$ {x_i}\mathop \succ \limits^{1 - \bar p({s_{ij}} \ge {s_{ji}})} {x_j} $；

3)p(s_ij≥s_ji)=0.5当且仅当s_ij^-+s_ij⁺=0。

基于得分值区间服从均匀分布，定义5提出了一种新的分布式偏好关系比较可能度，且与定义3中的比较可能度p(s_ij≥s_ji)相比，两者在一定条件下存在固定的大小关系。

定理1  设X={x₁, x₂, …, x_m}表示一组方案集，Ω={H₁, H₂, …, H_N} (N为奇数)为一个对称的评价等级框架。对于任意一对方案x_i和x_j，若已知s_ij=[s_ij^-, s_ij⁺]和s_ji=[s_ji^-, s_ji⁺]，则p(s_ij≥s_ji)和p(s_ij≥s_ji)满足：

$ 0.5 \le p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) \le \bar p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) \le 1, {\rm{当0}} \le {{\bar s}_{ij}} \le 1 $

(18)

$ 0 \le \bar p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) \le p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) < 0.5, {\rm{当}} - {\rm{1}} \le {{\bar s}_{ij}} < 0 $

(19)

证明  由式(11)、(12) 可知，s_ij^-=s_ij-m_ij(Ω)和s_ij⁺=s_ij+m_ij(Ω)。当s_ij≥m_ij(Ω)≥0时，有s_ij^-≥0，可推出p(s_ij≥s_ji)=p(s_ij≥s_ji)=1。当0≤s_ij < m_ij(Ω)时，有s_ij < 0，s_ij⁺ > 0，-s_ij < s_ij⁺, 则可推出p(s_ij≥s_ji)≥0.5和p(s_ij≥s_ji)≥0.5。在此情形下，进一步可得p(s_ij≥s_ji)-p(s_ij≥s_ji)=1-$ \frac{{{{\left( {{{\bar s}_{ij}} - {m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right)} \right)}^2}}}{{2{m_{ij}}{{\left( \mathit{\Omega } \right)}^2}}} - \frac{{{{\bar s}_{ij}} + {m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right)}}{{2{m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right)}} - \frac{{{{\bar s}_{ij}} \cdot \left( {{m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) - {{\bar s}_{ij}}} \right)}}{{2{m_{ij}}{{\left( \mathit{\Omega } \right)}^2}}} $≥0。综上，当0≤s_ij≤1，0.5≤p(s_ij≥s_ji)≤p(s_ij≥s_ji)≤1是成立的。式(19) 类似可证。        证毕。

由定理1可知，对于相同的一对方案，定义6中的比较可能度始终大于定义3中的比较可能度，且两者之间的取值差异规约在一定范围内。

定理2  设X={x₁, x₂, …, x_m}表示一组方案集，Ω={H₁, H₂, …, H_N}(N为奇数)为一个对称的评价等级框架。任给一对方案x_i和x_j，若由d_ij和s(H_n) (n=1, 2, …, N)得出x_i优于x_j的两种可能度p(s_ij≥s_ji)和(s_ij≥s_ji)，则两者之间的差异满足：

$ 0 \le \bar p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) - p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) \le 0.125, {\rm{当}}0 \le {{\bar s}_{ij}} \le 1 $

(20)

$ 0 \le p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) - \bar p\left( {{s_{ij}} \ge {s_{ji}}} \right) < 0.125, {\rm{当}} - 1 \le {{\bar s}_{ij}} < 0 $

(21)

证明  由定理1可知，当0≤s_ij≤1时，有0.5≤p(s_ij≥s_ji)≤p(s_ij≥s_ji)≤1。又由定理1的证明过程可知，当s_ij≥m_ij(Ω)≥0时，有p(s_ij≥s_ji)=p(s_ij≥s_ji)=1，则p(s_ij≥s_ji)-p(s_ij≥s_ji) ≡ 0；而当0≤s_ij < m_ij(Ω)时，有p(s_ij≥s_ji)-p(s_ij≥s_ji)= $ \frac{{{{\bar s}_{ij}} \cdot \left( {{m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) - {{\bar s}_{ij}}} \right)}}{{2{m_{ij}}{{\left( \mathit{\Omega } \right)}^2}}} $。假设f(s_ij)= $ \frac{{{{\bar s}_{ij}} \cdot \left( {{m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) - {{\bar s}_{ij}}} \right)}}{{2{m_{ij}}{{\left( \mathit{\Omega } \right)}^2}}} $, 其一阶导数为$ \frac{{{\rm{d}}f}}{{{\rm{d}}({{\bar s}_{ij}})}} = \frac{{{m_{ij}}\left( \mathit{\Omega } \right) - 2{{\bar s}_{ij}}}}{{2{m_{ij}}{{\left( \mathit{\Omega } \right)}^2}}} $。易知，当0≤s_ij≤m_ij(Ω)/2时，有$ \frac{{{\rm{d}}f}}{{{\rm{d}}({{\bar s}_{ij}})}} \ge 0 $，f(s_ij)单调递增；而当m_ij(Ω)/2 < s_ij≤m_ij(Ω)时，有$ \frac{{{\rm{d}}f}}{{{\rm{d}}({{\bar s}_{ij}})}} < 0 $，f(s_ij)单调递减。由f(s_ij)的单调性可知，当s_ij=s_ij(Ω)/2时，f(s_ij)取得最大值，即max{f(s_ij)}=f(m_ij(Ω)/2)=0.125；而当s_ij=0或者s_ij=m_ij(Ω)时，f(s_ij)取得最小值，即min{f(s_ij)}=f(0)=f(m_ij(Ω))=0。综合两种情形可得，0≤f(s_ij)≤0.125。式(21) 类似可证。      证毕。

综合定理1和定理2可知，与不考虑概率分布的比较可能度相比，考虑服从均匀分布的比较可能度产生的决策解具有更高的辨识度。

3 多属性决策方法

在真实决策过程中，经常出现属性权重未知的情形。针对此情形，本章对多属性决策问题进行建模，进而设计一种基于服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度的多属性决策方法。

3.1 问题建模

假定一多属性决策问题，其包含的方案集及属性集已知，标记为A={a₁, a₂, …, a_m}和E={e₁, e₂, …, e_L}，属性权重向量标记为w=(w₁, w₂, …, w_L)，满足w_i∈[0, 1](i=1, 2, …, L)，且$ \sum\limits_{i = 1}^L {{w_i} = 1} $。决策者利用对称等级框架Ω={H₁, H₂, …, H_N} (N为奇数)，在属性e_i (i=1, 2, …, L)上对方案a_i (i=1, 2, …, L)进行评价，用成对方案间的分布式偏好关系来表示相对评价，即d(e_i(a_lk))={(H_n, m_{n, i}(a_lk)), n=1, 2, …, N; (Ω, m_{Ω, i}(a_lk))}, ∀n∈{1, 2, …, N}, ∀i∈{1, 2, …, L}, ∀l, k∈{1, 2, …, m}，其中，m_{n, i}(a_lk)和m_{Ω, i}(a_lk)分别表示方案a_l和a_k在等级H_n上的信念度以及全局无知上的不确定度。

3.2 问题求解

对于3.1节中建模的多属性决策问题，首先要确定各属性的相对权重。

给定各属性上成对方案间的分布式偏好关系d(e_i(a_lk)) (∀i∈{1, 2, …, L}, ∀l, k∈{1, 2, …, m})，计算出各属性上成对方案间的得分值区间，标记为s(e_i(a_lk))=[s^-(e_i(a_lk)), s⁺(e_i(a_lk))](∀i∈{1, 2, …, L}, ∀l, k∈{1, 2, …, m})。

为了衡量在各属性上成对方案间的差异，需要考虑度量不同得分值区间之间的距离。针对这个问题，借鉴文献[16]中的两区间数的距离公式，即设a=[a^-, a⁺]和b=[b^-, b⁺]为两个区间数，则：

$ \begin{array}{l} {d^2}\left( {a, b} \right) = {\left( {\frac{{{a^ - } + {a^ + }}}{2} - \frac{{{b^ - } + {b^ + }}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{3}{\left[{\left( {\frac{{{a^ + }-{a^-}}}{2}} \right)} \right.^2} + \\ \;\;\;\;\;\left. {{{\left( {\frac{{{b^ + }-{b^ - }}}{2}} \right)}^2}} \right] - \frac{1}{6}{\left[{{{\left( {a \cap b} \right)}^ + }-{{\left( {a \cap b} \right)}^-}} \right]^2} \end{array} $

(22)

其中，d(a, b)为区间数a与b之间的距离。

依据式(22) 计算在各属性上每个方案与其余方案间的平均距离，将其标记为d(e_i(a_l)) (∀i∈{1, 2, …, L}, ∀l∈{1, 2, …, m})，即:

$ d\left( {{e_i}\left( {{a_1}} \right)} \right) = \sum\limits_{k = 1, k \ne l}^m d \left( {s\left( {{e_i}\left( {{a_{lk}}} \right)} \right), s\left( {{e_i}\left( {{a_{kl}}} \right)} \right)} \right)/\left( {m - 1} \right) $

(23)

基于式(23) 度量在各属性上所有方案间的平均距离，以此作为各属性上的方案差异度，并将其标记为d_i (∀i∈{1, 2, …, L})，即:

$ {d_i} = \sum\limits_{l = 1}^m {d\left( {{e_i}\left( {{a_l}} \right)} \right)} /m $

(24)

依据式(24)，利用各属性的方案差异度d_i (i=1, 2, …, L)来度量各属性权重w_i (∀i∈{1, 2, …, L})，即:

$ {w_i} = {d_i}/\sum\limits_{l = 1}^m {{d_i}} $

(25)

从而得到各属性的相对权重w=(w₁, w₂, …, w_L)。

获得属性权重后，结合文献[3]中的属性集结方法，将d(e_i(a_lk)) (∀i∈{1, 2, …, L}, ∀l, k∈{1, 2, …, m})集结为成对方案间的分布式偏好关系d(a_lk)，进一步转化为得分值区间，形成得分值矩阵S=(s(a_lk)=[s^-(a_lk, s⁺(a_lk))])_m×m。基于得分值矩阵S，利用式(17) 求得比较可能度p(s_ij≥s_ji)，形成可能度矩阵P=(p(s(a_lk)≥s(a_kl))_m×m。进而可以依据P确定方案集A上各方案的排序，产生决策结果。

综上，给出基于分布式偏好关系比较可能度属性权重未知的多属性决策方法流程。

步骤1  针对3.1节建模的多属性决策问题，决策者依据自身偏好，综合考虑专家意见，确定等级框架Ω={H₁, H₂, …, H_N}(N为奇数)，等级得分值s(H_n) (n=1, 2, …, N)。

步骤2  决策者给出属性集E上成对方案间的分布式偏好关系d(e_i(a_lk)) (∀i∈{1, 2, …, L}, ∀l, k∈{1, 2, …, m})。

步骤3  计算各属性上成对方案间的得分值区间，依据式(23)~(25) 确定各属性的相对权重w_i (i=1, 2, …, L)。

步骤4  运用文献[3]中的属性集结方法，得到完全的分布式偏好关系，形成得分值矩阵S。

步骤5  利用式(17) 求取p(s(a_lk)≥s(a_kl))，形成可能度矩阵P，进而形成带有可能度的方案排序，产生决策结果。

4 案例分析

为了构建国内先进产业基地以及现代高端产业体系，芜湖市决定实行战略性新兴产业重点培育和发展。芜湖市发改委选定了4个产业作为备选方案，包括装备制造、电子信息、新材料以及新能源。由芜湖市发改委官员担任决策者，邀请来自政府有关部门、相关产业以及合作高校的10位专家，选取产业发展潜力(e₁)、产业发展基础(e₂)、对低碳和环境保护的影响(e₃)、促进科技的产业效应(e₄)、盈利能力(e₅)、就业吸纳能力(e₆)等6个属性，并实现对4个产业的有效评估。由于针对每个属性，需要考虑的子属性颇多，且专家们相关意见繁杂不统一，获取6个属性的相对权重相当困难。以下将针对属性权重未知的情形，用本文提出的决策方法进行问题求解，流程如下：

1) 决策者结合自身知识和偏好，综合专家意见，确定对称的等级框架为Ω={H₁, H₂, …, H₁₁}={绝对弱, 非常弱, 很弱, 一般弱, 稍弱, 无差异, 稍强, 一般强, 很强, 非常强, 绝对强}，其等级得分值为s(H_n) (n=1, 2, …, 11)=(-1, -0.8, -0.6, -0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1)。

2) 针对上述4个产业，给出成对方案间的分布式偏好关系，如表 1所示。其中，4个产业表示为I_l (l=1, 2, …, 4)，成对产业在属性上的分布式偏好关系表示为d(e_i(I_lk)) (i=1, 2, …, 6; l, k=1, 2, …, 4)。

3) 依据式(9)~(12)，将各属性上成对方案间的分布式偏好关系转化为相应的得分值区间s(e_i(I_lk))，(∀i∈{1, 2, …, 6}, ∀l, k∈{1, 2, …, 4})，具体如表 2所示。

基于表 2，利用式(23) 计算各属性上每个方案与其余方案间的平均差距d(e_i(I_l))，如表 3所示。

依据式(24) 求取各属性上成对方案间的平均差距d_i(i=1, 2, …, 6)=(0.418 2, 0.772 3, 0.471 8, 0.387 8, 0.552 7, 0.883)。进而利用式(25) 求得各属性的相对权重w_i(i=1, 2, …, 6)=(0.112, 0.221 6, 0.135 3, 0.111 2, 0.158 6, 0.253 3)。

4) 运用文献[3]中的属性集结方法，将各属性上成对方案间的分布式偏好关系d(e_i(I_lk)) (∀i∈{1, 2, …, 6}, ∀l, k∈{1, 2, …, 4})集结为成对方案间的分布式偏好关系d(I_lk)，如表 4所示。

将d(I_lk)转化为对应的得分值区间s(I_lk)=[s^-(I_lk), s⁺(I_lk)]，进而得到完全的得分值矩阵如下：

$ \mathit{\boldsymbol{S}}{\kern 1pt} \, = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\left[{-0.0465, 0.0961} \right]}\\ {\left[{-0.0961, 0.0465} \right]}&0\\ {\left[{-0.2502, 0.1152} \right]}&{\left[{-0.1873, 0.0377} \right]}\\ {\left[{-0.1483, 0.3407} \right]}&{\left[{-0.0089, 0.3105} \right]} \end{array}\;\;\;\;\begin{array}{*{20}{c}} {\left[{-0.1152, 0.2502} \right]}&{\left[{-0.3407, 0.1483} \right]}\\ {\left[{-0.0377, 0.1873} \right]}&{\left[{-0.3105, 0.0089} \right]}\\ 0&{\left[{-0.2345, -0.1489} \right]}\\ {\left[{0.1489, 0.2345} \right]}&0 \end{array}} \right] $

5) 基于分布式偏好关系得分值矩阵S，利用式(17) 求取服从均匀分布的可能度矩阵:

$ \mathit{\boldsymbol{P}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{0.7870}&{0.8013}&{0.1840}\\ {0.2130}&0&{0.9438}&{0.0016}\\ {0.1987}&{0.0562}&0&0\\ {0.8166}&{0.9986}&1&0 \end{array}} \right) $

基于可能度矩阵P，产生带可能度的方案排序$ {I_3}\mathop \prec \limits^{0.9438} {I_2}\mathop \prec \limits^{0.7870} {I_1}\mathop \prec \limits^{0.8161} {I_4} $, 以此作为此产业评估问题的解，此即4个战略性新兴备选产业的优先发展次序。

对于上述案例，如果不考虑得分值区间的概率分布，产生4个产业的排序结果为$ {I_3}\mathop \prec \limits^{{\rm{0}}{\rm{.8324}}} {I_2}\mathop \prec \limits^{{\rm{0}}{\rm{.6739}}} {I_1}\mathop \prec \limits^{{\rm{ 0}}{\rm{.6967}}} {I_4} $。从两种不同方法得到的结果来看，方案排序结果一致，但在产业间优劣辨识度方面，对于产业I₄和I₁、I₁和I₂以及I₂和I₃间的优劣关系，本文提出的比较可能度要更高，有着更高的辨识度，案例数据体现为0.816 1 > 0.696 7, 0.787 0 > 0.673 9, 以及0.943 8 > 0.832 4，从而$ {I_3}\mathop \prec \limits^{{\rm{0}}{\rm{.8324}}} {I_2}\mathop \prec \limits^{{\rm{0}}{\rm{.6739}}} {I_1}\mathop \prec \limits^{{\rm{ 0}}{\rm{.6967}}} {I_4} $更能凸显实际问题的决策结果。此外，依据得分值区间的产生，考虑决策方案的综合评价值在区间内随机取值，具有等可能性，进而服从均匀分布，具有较强的合理性。一方面，考虑得分值区间的概率分布，有助于深入挖掘决策信息，产生高辨识度的决策结果；另一方面，探讨得分值区间服从均匀的情况，进一步完善了利用分布式偏好关系建模的科学决策。整体而言，文献[3]中的方法和本文所提的方法都能对实际评估问题进行求解，而本文所提方法能够深入挖掘得分值区间信息，考虑其自身概率分布，进而产生更高辨识度的决策结果，更适用于全局无知随机分配的真实情形，符合决策者的偏好与思维。

5 结语

本文针对利用分布式偏好关系建模的多属性决策问题，提出了一种基于其比较可能度的属性权重未知的多属性决策方法。首先构造了一种服从均匀分布的分布式偏好关系比较可能度，进而运用此可能度阐述了一种属性权重未知的多属性决策方法。最后，利用提出的多属性方法求解芜湖市战略性新兴产业评估问题，诠释该方法的实现过程，验证了其应用性和合理性。同时，与文献[3]中的方法进行了对比，突出了本文方法在考虑均匀分布合理性、深入挖掘决策信息、产生高辨识度的决策解等方面的优点。

本文提出的分布式偏好关系比较可能度，能产生较高辨识度的决策结果，但仍不能保证比较可能度自身的传递性。下一步拟将设计新的区间数比较方法，实现比较可能度的传递性，并设计相应的多属性决策方法。