0 引言

低截获概率(Low Probability of Interception, LPI)雷达^[1]在现代电子侦察中具有重要的应用意义。经典LPI雷达信号包括线性调频(Linear Frequency Modulation, LFM)信号、伪随机编码信号及频率捷变信号等，它们在信号降低功率谱密度、降低截获概率方面都有一定的优势^[2-3]，然而随着截获技术的改进以及干扰手段的多样化^[4-6]，单一调制方式的缺点逐渐凸显。为了克服单一调制信号由于形式简单带来的易被截获的缺点，研究人员提出伪码-线性调频复合调制方法及脉间伪码调制脉内线性调制的组合调制方法，来降低信号功率谱密度^[7-9]。

伪码-线性调频复合调制方法主要利用伪码调制信号类图钉型模糊函数的优点进行波形设计^[10]，未利用线性调频的高带宽特性。脉间伪码调制脉内线性调制的组合调制方法保留了线性调频和伪码调制各自的优点，但由于这种组合调制信号脉内采用了线性调频技术，频率变化具有较高的线性度，这种组合调制信号的具体参数很容易被估计，这样就会提高信号的被截获概率^[11-13]。另外，这种组合信号保留了线性调频高旁瓣的缺点。基于以上研究课题中的不足，本文提出采用非线性调频(Nonlinear Frequency Modulation, NLFM)信号与巴克码相组合的调制方法，充分利用非线性调频信号的频率非线性变化及低旁瓣的特性，使得这种信号具有更好的低截获特性且不需要进行加权处理来抑制旁瓣。文中通过对模糊函数的分析来验证该信号在抑制旁瓣、降低距离与速度模糊度方面的性能优势。

NLFM设计的实质就是设计信号的频谱特性，最常用的设计方法是利用驻留相位原理对窗函数求反法^[14-15]，但NLFM信号的设计及处理过程比较复杂，在实际应用中通常采用近似方法设计NLFM信号^[16-17]。本文采用分段多项式拟合逼近非线性调频函数，得到近似S型调制初等显函数表达式，简化了波形设计及处理的过程。最后利用仿真实验及模糊函数分析拟合的显函数对波形设计产生的影响。

1 线性调频与伪码组合调制模型

线性调频和伪码组合调制信号的复包络表达形式为：

$u(t)=\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{NT}}\sum\limits_{k=0}^{N-1}{{{c}_{k}}{{u}_{LFM}}(t-kT)\begin{matrix} , & 0＜t ＜NT \\ \end{matrix}} \\ 0\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} & {} \\ \end{matrix} & {} \\ \end{matrix} & {} & {} & 其它 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$

(1)

其中：${{u}_{\text{LFM}}}(t)=\frac{1}{\sqrt{T}}rect({t}/{T}\;){{e}^{j\pi \mu {{t}^{2}}}}$为LFM信号，$rect({t}/{T}\;)=\left\{ \begin{matrix} 1,\begin{matrix} & \left| t \right|\le {T}/{2}\; \\ \end{matrix} \\ 0,\begin{matrix} & \left| t \right|>{T}/{2}\; \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$ ，T为子脉冲宽度，μ=B/T为调频斜率，B为调频带宽，C_k={1, -1}，N为码长，NT为信号持续时间。利用δ函数的性质，式(1) 可改写为式(2) ：

$\eqalign{ & u(t) = {u_{LFM}}(t) \otimes {1 \over {\sqrt N }}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{c_k}\delta (t - kT)} \cr & \matrix{ {} & {} \cr } = {u_{LFM}}(t) \otimes {u_{PN}}(t) \cr} $

(2)

其中，u_PN(t)为伪码调制信号。利用模糊函数的卷积性质，可得到此组合调制信号的模糊函数为式(3) ：

$\eqalign{ & \chi (\tau ,{f_d}) = {\chi _{LFM}}(\tau ,{f_d}) \otimes {\chi _{PN}}(\tau ,{f_d}) \cr & = \sum\limits_{m = 1 - N}^{N - 1} {{\chi _{LFM}}(\tau - mT,{f_d}){\chi _{PN}}(mT,{f_d})} \cr} $

(3)

其中： χ_LFM(τ, f_d)为线性调频的模糊函数，χ_PN(τ, f_d)为伪码调制的模糊函数，而χ_PN(mT, f_d)可表示为式(4) ：

${\chi _{PN}}(mT,{f_d}) = \left\{ {\matrix{ {{1 \over N}\sum\limits_{i = 0}^{N - 1 - m} {{c_i}{c_{i + m}}{e^{j2\pi {f_d}iT}}} \matrix{ , & {0 \le m \le N - 1} \cr } } \cr {{1 \over N}\sum\limits_{i = - m}^{N - 1} {{c_i}{c_{i + m}}{e^{j2\pi {f_d}iT}}} \matrix{ , & {1 - N \le m \le 0} \cr } } \cr } } \right.$

(4)

由式(3) 、(4) 可以看出，该组合调制信号的距离模糊函数在每个T延时宽度内均为线性调频距离模糊函数与每个伪码码元宽度内距离模糊函数的卷积，因此组合调制信号的距离模糊函数中必然会出现与伪码调制信号的模糊函数同位置、等数量的波峰，使得组合调制信号保留两种调制方式的主要特点。图 1为线性调频与长度为13的Barker码组合调制的模糊函数图，从图 1中可以看出，组合信号的模糊函数与伪码调制信号的模糊函数均为类图钉型，因此，这种组合调制信号具有良好的探测性能和杂波抑制能力。图 2为组合调制与伪码调制的距离模糊函数的对比图，调制带宽为4MHz，子脉冲宽度为2μs，证明组合调制保留了线性调频和伪码调制各自的优点。

根据卷积的性质，在距离模糊函数的主峰[-T,T]内，线性调频信号的主峰也会受到伪码调制信号主峰的影响。图 3为组合调制与线性调频距离模糊函数主峰对比仿真结果，图 3表明该方法对主瓣的宽度影响很小，而且对于线性调频的高旁瓣没有抑制作用，因此，利用具有低旁瓣的调制信号与伪码进行组合调制为抑制组合调制信号旁瓣提供了一种便捷有效的途径。

2 驻留相位非线性调频与巴克码组合调制分析

由于组合调制信号的主峰特性取决于脉内调制信号的相关特性，因此本文利用低旁瓣的NLFM信号进行脉内调制能够克服采用LFM带来的高旁瓣问题，而且NLFM信号无需在脉冲压缩过程中进行加权处理，从而避免了主瓣展宽及信噪比下降的问题。NLFM信号设计的关键是保证信号具有良好的自相关特性。根据信号自相关与功率谱的关系，可以通过设计信号的功率谱来设计信号，最为常见的方法是利用驻留相位原理对窗函数求反法来近似求解NLFM信号，这种信号具有较低的输出旁瓣。

设信号u(t)的频谱为U(f)，信号的模糊函数为式(5) ：

$\begin{align} & \chi (\tau ,\text{ }{{f}_{d}})=\int _{-\infty }^{\infty }u(t){{u}^{*}}(t-\tau ){{e}^{\text{j}2\pi {{f}_{d}}t}}{{d}^{t}}= \\ & \int _{-\infty }^{\infty }U\left( f-{{f}_{d}} \right){{U}^{*}}\left( f \right){{e}^{\text{j}2\pi f\tau }}\text{d}f \\ \end{align}$

(5)

令f_d=0可得式(6) ：

$\chi (\tau ,\text{ }0)\text{ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{{\left| U\left( f \right) \right|}^{2}}}{{e}^{\text{j}2\pi f\tau }}\text{d}f$

(6)

为抑制输出旁瓣，通常采用特定窗函数W(f)作为U²(f)，利用驻留相位原理求得信号群延时函数为式(7) ：

$T\left( f \right)=T\int _{-\infty }^{f}W(\xi )d\xi /\int _{-B/2}^{B/2}W(\xi )\text{d}\xi ;\text{ }f\le B/2$

(7)

其中:T为信号持续时间，B为调制带宽。对式(7) 进行求反得到信号调制函数，如式(8) ：

$f\left( t \right)={{T}^{-1}}(f)$

(8)

以Hamming窗为例，利用Matlab中的内插法设计信号并验证NLFM信号与伪码组合调制的信号特性，图 4为基于驻留相位原理得到的非线性调制函数曲线。

图 5为NLFM信号与Barker码组合调制信号的模糊函数图，从图中可以看出这种信号的类图钉型与图 1所示的极为相似，但部分基台的高度有所降低。

图 6为脉内采用NLFM信号与采用LFM信号的距离模糊函数主峰对比，仿真时采用了相同的调制带宽及子脉冲宽度，其中实线为采用LFM信号的距离模糊图，虚线为采用NLFM信号的距离模糊图。通过图 6可以更加直观地对比这两种组合调制信号的优劣，利用NLFM组合调制的信号旁瓣约为LFM组合调制信号的一半，但是主瓣出现了展宽的问题。

3 多项式拟合非线性调频方法及仿真分析

利用驻留相位原理设计NLFM信号时，需要计算选定窗函数的群时延函数及其反函数，但这些函数大多数没有显函数表达式，因此一般采用近似逼近法得到NLFM信号，但是调制函数复杂，很难应用于实际。本文提出一种基于分段多项式拟合设计NLFM信号的方法，给出了调制函数的初等函数表达式，解决了拟合函数难以应用于实践的问题, 同时，这种拟合函数能够在不改变主瓣宽度的条件下进一步抑制旁瓣。鲍坤超等^[18]利用Fourier级数展开调制函数T^-1(f)为式(9) ：

f(t)=BTt+∑∞n=1A_nB sin(2πntT)； t≤T2(9)

$f(t)=\frac{B}{T}t+\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{{A}_{n}}B\sin (\frac{2\pi nt}{T})};\begin{matrix} {} & \left| t \right|\le \frac{T}{2} \\ \end{matrix}$

(9)

其中：T为脉冲宽度，B为调制带宽。由于范德蒙矩阵性质的限制，选定长度为n进行拟合时需要n个数据，而且对应的系数矩阵必须为满秩，因此当n比较大时这种方法在实施过程中具有一定的难度。大量仿真实验表明正弦函数各次谐波的振荡也会对调制信号的主瓣和旁瓣产生较大的影响，根据图 4调制曲线的S型变化规律及正弦曲线的振荡规律，本文给出了初等函数分段拟合函数的一般表达式为式(10) ：

$f(t)=\left\{ \begin{matrix} \frac{B}{T}t+{{A}_{1}}B\sin (\frac{\pi t}{T})\begin{matrix} {} & \left| t \right|\le {{t}_{1}} \\ \end{matrix} \\ \frac{B}{T}t+{{A}_{2}}B\sin (\frac{2\pi t}{T})\begin{matrix} {} & 其他 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$

(10)

在[-t₁，t₁]内，非线性调频函数斜率变化缓慢，利用线性调频函数和相位变换较慢的正弦函数较易对其进行逼近拟合，此时只需选取一个合适点即可求出未知数A₁的值，其中拟合点的选取需保证在[-t₁，t₁]时间段内具有良好的曲线拟合度。为进一步抑制旁瓣，在其他时间间隔内不对曲线进行拟合，而是利用线性调频函数和相位变换较快的正弦函数来提高非线性调制函数的斜率变化速度。根据调频函数的连续性，A₂的值可以由A₁和t₁求出，其表达式为式(11) ：

${{A}_{2}}={{A}_{1}}\sin (\pi {{t}_{1}}/T)/\sin (2\pi {{t}_{1}}/T)={{A}_{1}}/\cos (\pi {{t}_{1}}/T)$

(11)

图 7为采用时宽为2μs、带宽为10MHz脉内拟合非线性调频与13位Barker码组合调制信号的模糊图，相比图 1和图 5，该模糊图中的基台更加收敛，使得距离和速度具有更小的模糊度。在仿真时，拟合点选取时间轴上T/8处，t₁为3T/8，此时A₁为-0.14775，利用式(11) 可求出A₂为-0.1365。拟合前后的调制函数曲线如图 8所示。

图 9为LFM-PN-ham的加窗调制信号、NLFM-PN组合调制信号以及分段拟合FNLFM-PN信号的距离模糊函数的主峰对比图，由图 9可知拟合的FNLFM-PN组合调制信号相比于NLFM-PN信号，在主瓣宽度基本无变化，而峰值旁瓣比有很大程度的降低。拟合的FNLFM-PN组合调制信号对比加窗后的LFM-PN-ham调制信号，主瓣展宽更小。拟合的FNLFM-PN展宽的程度仅为LFM-PN-ham的加窗调制主瓣展宽程度的一半；同时，拟合的NLFM-PN组合调制信号的旁瓣相比于NLFM-PN信号有了很大程度的降低。对于拟合前后，两种非线性组合的模糊函数也有极大不同。图 10为拟合FNLFM-PN信号与LFM-PN-ham的加窗调制信号的-3dB等高图，从图中对比可以看出，拟合后的调制方式的截面面积明显小于前者，由此可见，拟合信号能够更好地减小距离与速度耦合度。综上所述，FNLFM-PN调制信号继承了NLFM-PN信号低截获的特性，且峰值旁瓣更小，信号更优, 同时它又克服了LFM-PN-ham信号加窗后的主瓣展宽问题。

图 11为A₁取时间点T/12，A₂取不同时间点时，改变脉压系数后的距离模糊函数的峰值旁瓣比。可以看出，不同的A₂取值都存在使得距离模糊函数的旁瓣抑制最好的脉压系数，且随着A₂取的时间点的减小，最好旁瓣抑制点向脉压系数向增大方向偏移。图 12为A₂取时间点T/12，而A₁为不同时间点的，可以看出A₁对旁瓣影响较小，当A₁取的时间点减小时，旁瓣抑制点略微向右偏移且抑制效果减弱。拟合NLFM-PN组合信号在保持低截获概率、减小距离和速度模糊度等指标方面表现出了较大的优势, 同时当已确定脉压系数时，可以同时改变A₁、A₂来达到最好的旁瓣抑制。

4 结语

本文提出了利用驻留相位原理设计非线性与伪码组合调制信号的方法，克服了线性调制与伪码组合调制信号中调制频率线性变化可增大信号被截获概率、距离与速度模糊度较大、旁瓣较高等缺点。在工程应用上，基于驻留相位原理的非线性调制函数大多没有显函数表达式，本文提出了一种分段拟合逼近的方法来设计NLFM信号的调制显函数。文中详细阐述了该方法设计调制显函数的过程及构成，同时对设计的信号探测性能进行了仿真验证。仿真结果表明：分段拟合信号相比于非线性调制信号能进一步减小距离与速度模糊度、且抑制抑制旁瓣，同时能够根据脉压系数调整相关参数，来达到最好的旁瓣抑制。今后会进一步研究此方法在物理电路中的应用及实现。