0 引言

水下传感器网络(Underwater Wireless Sensor Network, UWSN)近年来在海洋数据收集、污染监测和海上救援等方面应用越来越广泛^[1]。由于水下环境衰落严重并且节点需要大规模部署，导致用户节点和目的节点之间实现直接通信较为困难，而协作通信能够有效提高通信距离和数据传输质量^[2];同时, 考虑到水下传感器节点需要长时间部署并且是无源供电的^[3]，能量耗尽导致个别节点的死亡将直接影响协作网络的服务质量和生存时间，因此，在水下传感器协作通信网络中如何控制节点能量的消耗，从而延长网络生存时间是需要解决的重要问题^[4]。而功率分配方法能够有效地减少节点额外的能量消耗，文献[5]针对多跳水下无线传感器网络利用交替最小化方法得到功率分配方案, 减少了网络总能量的消耗。文献[6]提出以最小化水下传感器网络中断概率为目标调整发送功率，从而减少网络的功耗。文献[7]提出了一种在满足用户的服务质量要求下的水声协作通信网络中继选择及功率分配算法，该算法有效地减少了节点能量的消耗。文献[8]针对水下传感器协作网络提出了一种基于最小误比特率的功率分配方法，该方法降低了传输延时和网络误比特率，提高了通信质量。文献[9]提出一种考虑信道状态和节点间距离的中继选择方法，并通过减少节点应答的冗余数据降低了水声协作通信网络的能量消耗。上述文献所提出的集中式算法虽然有效地提高了协作通信网络性能，但在水下复杂的环境中，建立集中式控制单元十分困难，因此水下协作网络对功率控制算法有着强分布式的要求。文献[10]将水下传感器网络的拓扑控制问题构建为序数势博弈问题，并证明了博弈存在纳什均衡解，提升了网络服务质量，减少了网络整体能耗。文献[11]考虑了移动节点作为中继，将网络资源分配问题建模为一个分布式的博弈问题并求得纳什均衡解，有效地分配了协作水声通信网络的功率，提高了系统信噪比。文献[12]针对水下传感网络，把提高网络吞吐量和能量效率两个目标联合优化问题构建为一个单层的纳什博弈模型，并以纳什均衡解作为最优的功率策略，该方法提高了网络吞吐量，减少了网络能耗。文献[10-12]构建的均为单层分布式博弈模型，而在水下协作网络中，用户节点和中继节点有着不同的工作方式。其中，用户节点为中继节点支付转发功率费用，中继节点为用户节点提供转发服务获取利益，使网络中的用户存在明显的分层，因此，单层博弈模型无法准确刻画实际的双层协作通信网络，并会引起网络性能的衰落。在无线电通信中，文献[13]将协作通信网络构建为双层的Stackelberg博弈模型进行中继节点的功率分配，但是该文献没有考虑到节点剩余能量问题。另外，目前的水下分布式博弈算法都仅考虑了网络整体的性能，忽略了网络各个节点间的能量平衡问题，而节点的能量消耗不平衡会导致部分节点过早死亡，降低协作网络通信质量，缩短协作通信网络的生存时间。

为解决上述问题，本文针对水下传感器协作通信网络提出一种考虑平衡节点剩余能量的分布式双层Stackelberg博弈功率分配算法。首先，将水下传感器协作通信网络构建为双层Stackelberg博弈模型，其中用户节点作为买家和博弈的领导者(leader)，中继节点作为卖家和博弈的跟随者(follower)，用户节点和中继节点对功率的数量和价格进行虚拟竞价，经过多次博弈后达成买卖协议，确定中继节点为用户节点提供服务的功率数量和单位功率价格。其次，针对节点间能量平衡的问题，提出了考虑平衡节点剩余能量的分布式博弈算法以延长水下传感器协作通信网络的生存时间。把中继节点剩余能量作为参数引入到效用函数中，使得剩余能量较多的中继节点付出较多的功率为用户节点服务，反之付出较少的功率进行服务，从而平衡节点间的能量消耗，延长网络的生存时间。仿真分析进一步说明了本算法有效性，而且提高了系统总的信道容量。

1 水下传感器网络协作通信模型

水下传感器协作通信网络模型如图 1所示，包括一个用户节点S，一个目的节点D和N个中继节点r₁, r₂, …, r_N。其中用户节点S与目的节点D进行通信，中继节点协助用户节点转发信号。生存时间是水下传感器网络的最重要的指标之一，任意一个节点能量耗尽都会影响整个水下传感器协作网络的正常使用，所以网络生存时间为从协作网络开始运行到任意一个节点能量耗尽为止^[14]。

在水声通信环境中，信道增益G表示为：

$G={1}/{A(l,f)}\;$

(1)

A(l, f)为水声信道衰减公式，表示为：

$A(l,f) = {l^\varepsilon }{\left[ {a(f)} \right]^l}$

(2)

其中，ε为传播系数，l为节点间的距离(单位为km)，f为载波频率(单位为kHz)。a(f)为吸收系数，其求解经验公式^[15]为：

$\begin{align} & 10\lg a(f)=\frac{0.11{{f}^{2}}}{1+{{f}^{2}}}+\frac{44{{f}^{2}}}{4100+{{f}^{2}}}+ \\ & 2.75\times {{10}^{-4}}{{f}^{2}}+0.03 \\ \end{align}$

(3)

本文传输过程采用放大转发(Amplify-and-Forward, AF)策略，即中继节点r_i将从用户节点S接收到的信号直接进行放大，然后转发，目的节点D将接收到的来自用户节点的信号和来自各个中继节点的信号进行最大比合并(Maximal-Ratio Combining, MRC)。

协作传输分为两个阶段，在第一阶段中，用户节点S发送信息到目的节点D，目的节点接收的信号为：

${{y}_{s,d}}=\sqrt{{{P}_{s}}{{G}_{s,d}}}x+{{\sigma }_{s,{{d}_{{}}}}}$

(4)

用户节点S同时发送信息到N个中继节点，中继节点r_i接收的信号为：

${{y}_{s,{{r}_{i}}}}=\sqrt{{{P}_{s}}{{G}_{s,{{r}_{i}}}}}x+{{\sigma }_{s,{{r}_{i}}}}$

(5)

其中，P_s为用户节点S的发送功率，x为用户节点发送的码元信息，G_{s, d}和G_{s, ri}分别表示用户节点到目的节点和中继节点r_i间的信道增益，σ_{s, d}和σ_{s, ri}分别表示用户节点到目的节点和中继节点r_i的加性高斯白噪声。不失一般性的，假设各个链路的噪声功率为σ²。

在第二阶段中，中继节点r_i将接收到用户节点的信号y_{s, ri}放大并转发到目的节点D，中继节点的发射功率为P_ri，可以表示为：

${{y}_{{{r}_{i}},d}}=\sqrt{{{P}_{{{r}_{i}}}}{{G}_{{{r}_{i}},d}}}{{x}_{{{r}_{i}},d}}+{{\sigma }_{{{r}_{i}},d}}$

(6)

其中:x_{ri, d}=y_{s, ri}/y_{s, ri}表示归一化的单位功率码元信息，G_{ri, d}表示中继节点r_i和目的节点D之间的信道增益，σ_{ri, d}表示中继节点r_i到目的节点D之间的加性高斯白噪声。

2 博弈模型建立及求解

在水下传感器协作通信网络功率分配问题中，需要对多个节点的功率策略进行优化。传统集中式的功率分配方法需要部署集中控制单元，且需要全局的信道状态信息及节点发射功率，系统的信令开销和网络成本很高。而分布式的功率分配方法仅需要节点根据本地信息制定自身策略，无需集中控制单元，从而降低网络成本。

因此，本文使用分布式的博弈方法解决协作网络功率分配问题，将多节点水下传感器协作通信网络构建为双层Stackelberg博弈模型。由于在协作通信网络中，中继节点是为用户节点服务的，用户节点权限高于中继节点，因此将用户节点构建为博弈的领导者，中继节点构建为博弈的跟随者。在协作网络模型中节点是自私且理性的，都是为了最大化自己的策略，其中用户节点S在上层博弈中制定购买中继节点的功率数量策略，中继节点r_i在下层博弈中制定单位功率价格策略。

2.1 用户节点

用户节点S作为买家，购买中继节点的功率帮助自己转发信号，提高吞吐量，并且为中继节点提供功率协助转发支付费用，因此用户节点S的效用函数表示为：

${{U}_{S}}=a{{R}_{s,r,d}}-M$

(7)

${{R}_{s,r,d}}=\frac{W}{2}\operatorname{lb}\left( 1+\frac{1}{\Gamma }{{\Gamma }_{s,d}}+\sum\limits_{{{r}_{i}}\in L}{{{\Gamma }_{s,{{r}_{i}},d}}} \right)$

(8)

其中，a为MRC输出的单位速率增益，R_{s, r, d}为用户节点S在中继节点协作的情况下获得的速率，L={r₁, r₂, …, r_N}为协作通信网络中继节点的集合，Γ_{s, d}为用户节点和目的节点之间直接传输的链路信噪比，Γ_{s, ri, d}为用户节点经过中继节点转发到目的节点的链路信噪比，Γ为信噪比的沟道因子，M为支付给中继节点总的成本，表示为：

$M=\sum\limits_{{{r}_{i}}\in L}{{{c}_{i}}{{P}_{{{r}_{i}}}}}$

(9)

其中:c_i为用户节点S支付给中继节点r_i的单位功率的价格，P_ri 为用户节点S购买中继节点r_i的功率数量，因此，用户节点S在买家的上层博弈可以表示为：

$\begin{align} & \max {{U}_{S}}=a{{R}_{S,r,d}}-M \\ & \text{ s}\text{.t}\text{. }{{P}_{{{r}_{i}}}}>0,{{r}_{i\in L}} \\ \end{align}$

(10)

根据用户节点S买家层面博弈的最优化问题，将式(10) 对分配的功率P_ri求偏导并令其等于零，可以得到：

$\frac{\partial {{U}_{S}}}{\partial {{P}_{{{r}_{i}}}}}=a\frac{\partial {{R}_{S,r,d}}}{\partial {{P}_{{{r}_{i}}}}}-{{c}_{i}}=0,{{r}_{i}}\in L$

(11)

由式(11) 可以得到中继节点r_i的最佳响应函数为：

$P_{{{r}_{i}}}^{*}=\sqrt{\frac{{{A}_{i}}{{B}_{i}}}{{{c}_{i}}}}\frac{Y+\sqrt{{{Y}^{2}}+4X{{W}^{'}}}}{2X}-{{B}_{i}}$

(12)

其中:$W'=\frac{aW}{\ln 2}$；$X=1+\sum\limits_{{{r}_{j}}\in L}{{{A}_{j}}}$；${{A}_{i}}=\frac{{{P}_{S}}{{G}_{S,{{r}_{i}}}}}{{{\sigma }^{2}}+{{P}_{S}}{{G}_{S,d}}}$；${{B}_{i}}=\frac{{{P}_{S}}{{G}_{S,{{r}_{i}}}}+{{\sigma }^{2}}}{{{G}_{{{r}_{i}},d}}}$; $Y=\sum\limits_{{{r}_{j}}\in L}{\sqrt{{{c}_{j}}{{A}_{j}}B_{j}^{{}}}}$。

2.2 中继节点

每个中继节点r_i作为卖家提供功率用来帮助用户节点S转发信号，其目的是为用户节点S提供转发服务，并向用户节点收取费用以支付转发的成本，因此中继节点r_i的效用函数表示为：

${{U}_{{{r}_{i}}}}={{c}_{i}}{{P}_{{{r}_{i}}}}-{{m}_{i}}{{P}_{{{r}_{i}}}}$

(13)

其中:m_i表示中继节点r_i转发功率的单位功率成本，P_ri是中继节点为用户节点S提供的最优分配功率。

下面对式(13) 所得的效用函数作进一步改进，考虑到在实际情况中，中继节点转发的功率成本会随着中继节点剩余能量的变化而变化。出于节点的自私性，剩余能量较多的中继节点，转发能力强，单位功率成本较低，相较于剩余能量较少的节点付出较多的功率为用户节点转发信号意愿更高，用户节点也会从该中继节点购买相对较多的功率；反之，剩余能量较少的中继节点，转发能力弱，单位功率成本较高，相对于剩余能量较多的中继节点付出功率为用户节点转发信号意愿较低，同时由于价格过高，用户节点向该中继节点购买的功率也会相对较少，因此，根据中继节点的剩余能量构建新的效用函数表示为：

${{U}_{{{r}_{i}}}}={{c}_{i}}{{P}_{{{r}_{i}}}}-\frac{{{m}_{i}}}{{{\beta }_{{{r}_{ik}}}}}{{P}_{{{r}_{i}}}}$

(14)

其中: ${{\beta }_{{{r}_{ik}}}}=\frac{1}{{{E}_{i}}}{{E}_{i}}-\sum\limits_{k}{{{E}_{ik}}}$为中继节点r_i的剩余能量百分比，E_i为中继节点r_i的总能量，E_ik为中继节点在第k次转发信号时所消耗的能量。 β_rik用来表示中继节点r_i为用户节点转发信号意愿和转发能力的大小。

因此，中继节点r_i在卖家的下层博弈可以表示为：

$\begin{align} & \underset{{}}{\mathop{\max }}\,{{U}_{{{r}_{i}}}}=({{c}_{i}}-\frac{{{m}_{i}}}{{{\beta }_{{{r}_{ik}}}}})P_{{{r}_{i}}}^{*}({{c}_{1}},...,{{c}_{i}},...,{{c}_{N}}) \\ & \text{s}.\text{t}.{{c}_{i}}>0,i\in N \\ \end{align}$

(15)

在博弈开始时，信道条件较好的中继节点r_i需要用户节点S支付的单位功率价格c_i相对较低，因此中继节点会提高单位功率价格c_i获得更多利益，效用函数U_ri随着单位功率价格c_i的提高而增加，当单位功率价格c_i增加到一定值时，即使信道条件较好，由于价格过高用户节点S购买的功率数量P_ri 将减少，中继节点的效用函数U_ri也会随之减少；反之，信道条件较差的中继节点r_i需要用户节点S支付的单位功率价格c_i相对较高，中继节点会降低c_i获得更多效益，效用函数随着c_i的降低而增加，当单位功率价格c_i降低到一定值时，即使信道条件较差，出于自身利益节点也不会再降低单位功率价格c_i，最后博弈达到均衡。所以最优的单位功率价格c_i不仅与中继节点r_i和用户节点S、目的节点D之间的信道条件有关，而且还和其他中继节点的单位功率价格以及中继节点的剩余能量相关。

通过分析，求中继节点的效用函数U_ri对单位功率价格c_i的偏导数，并令其结果为0，可得：

$\frac{\partial {{U}_{{{r}_{i}}}}}{\partial {{c}_{i}}}=P_{{{r}_{i}}}^{*}+({{c}_{i}}-\frac{{{m}_{i}}}{{{\beta }_{{{r}_{ik}}}}})\frac{\partial P_{{{r}_{i}}}^{*}}{\partial {{c}_{i}}}=0,{{r}_{i}}\in L$

(16)

对式(16) 求解p_i，可以得到中继节点r_i在其他用户的策略一定时的最优单位功率价格为：

$c_{i}^{*}=\frac{{{m}_{i}}}{{{\beta }_{{{r}_{ik}}}}}-P_{{{r}_{i}}}^{*}/\partial P_{{{r}_{i}}}^{*}/\partial {{c}_{i}}$

(17)

其中:$\frac{\partial P_{{{r}_{i}}}^{*}}{\partial {{c}_{i}}}=\sqrt{\frac{{{A}_{i}}{{B}_{i}}}{{{c}_{i}}}}Y+\frac{\sqrt{{{Y}^{2}}+4X{W}'}}{2X}\left( -\frac{1}{2{{c}_{i}}} \right)1-\sqrt{{{c}_{i}}{{A}_{i}}{{B}_{i}}}/\sqrt{{{Y}^{2}}+4X{W}'}$。

由此可知，当中继节点的剩余能量百分比β_rik越大，节点的剩余能量较多，单位功率成本m_i/β_rik较低，用户节点需要支付的成本c_i^*越小，则会在该节点购买较多的功率为其服务；反之，中继节点的剩余能量百分比β_rik越小，中继节点剩余能量较少，单位功率成本m_i/β_rik较高，用户节点需要支付的成本c_i^*越大，则会在该节点购买较少的功率为其服务，使得剩余能量少的节点消耗较少的能量，而剩余能量较多的节点消耗较多的节点。这样可以自适应地平衡节点的能量消耗，从而达到延长网络生存时间的目的。而在未考虑剩余能量的算法中，信道条件较好的中继节点会一直以较高的功率为用户节点服务，使得该节点能量消耗较快，导致节点过早地死亡，缩短协作网络的生存时间。

2.3 算法流程

算法流程如图 2所示。

2.4 博弈均衡分析

由于Stackelberg博弈是双层博弈，Stackelberg博弈的均衡解(P_ri^*, c_i^*)由上层博弈的均衡解P_ri^*和下层博弈的均衡解c_i^*构成。下面将证明式(12) 求出的P_ri^*和式(17) 求出的c_i^*为Stackelberg博弈的均衡解。

所建立博弈模型的均衡解的定义为：

定义1 如果对于每个中继节点r_i∈L，当单位功率价格p_i固定:

${{U}_{S}}\left( \{P_{{{r}_{i}}}^{SE}\} \right)=\underset{\{{{P}_{{{r}_{i}}}}\}>0}{\mathop{\sup }}\,{{U}_{S}}\left( \{{{P}_{{{r}_{i}}}}\} \right),\forall {{r}_{i}}\in L$

(18)

如果对于每个中继节点r_i∈L，当中继转发功率P_ri 固定:

${{U}_{{{r}_{i}}}}\left( \{c_{i}^{SE}\} \right)=\underset{{{c}_{i}}\ge {{m}_{i}}}{\mathop{\sup }}\,{{U}_{S}}\left( \{{{p}_{i}}\} \right),\forall {{r}_{i}}\in L$

(19)

则和c_i^SE为博弈的均衡解。

通常，分层博弈的Stackelberg均衡解可以通过寻找上下两层子博弈的纳什均衡来求取。

引理1 博弈的纳什均衡存在条件：

1) δ是欧几里得空间R^N上的非空且凸的紧子集；

2) 在δ上连续，U(δ)且是δ的凹函数。

定理1 本文所提出的Stackelberg博弈的上层和下层博弈纳什均衡都存在。

证明

1) 上层子博弈：由于中继节点转发功率P_ri>0，则满足纳什均衡存在性条件一；由式(7) 知，是P_ri 的连续函数。又因为，A_i>0，B_i>0，P_ri>0，因此$\frac{{{\partial }^{2}}{{U}_{S}}}{\partial P_{{{r}_{i}}}^{2}} ＜0$, 所以是P_ri 的凹函数，因此，上层子博弈的纳什均衡存在。

2) 下层子博弈：由于中继节点功率价格c_i>0，则满足纳什均衡存在性条件一；由式(14) 知，是c_i的连续函数。${\frac{{{\partial }^{2}}{{U}_{{{r}_{i}}}}}{\partial c_{i}^{2}}＜0}{{}}\;$，所以函数是c_i的凹函数，因此，下层子博弈的纳什均衡存在。

因此，本文所建立的双层博弈模型的Stackelberg均衡解存在。

文献[16]中已经证明，如果函数I(c)满足当c≥0时，1) I(c)>0；2) 如果c>c′，则I(c)>I(c′)；3) 对于任何α>1，都有αI(c)≥I(αc)，则称该函数为标准函数。标准函数经过n次迭代后的向量收敛于唯一固定点。本文价格更新函数为Iⁿ(m)和功率更新函数Iⁿ(P)，它们都满足以上三个性质，因此标准价格函数Iⁿ(m)也收敛于唯一固定点c^*，功率更新函数Iⁿ(P)收敛于唯一固定的P^*。

因此，本文所建立的双层博弈模型的Stackelberg均衡解具有唯一性，并且本文所提出算法的解收敛于该Stackelberg均衡解。

3 仿真分析

本文的网络模型如图 1所示，仿真参数根据文献[8]和文献[13]设定，使用Matlab软件进行仿真。假设协作通信网络系统中包含一个用户节点S位于(0m, 0m)，一个目的节点D位于(0m, 1000m)，以及中继节点分别为2、3和4个三种情形下进行仿真，其中中继节点均匀分布在为(1000m, 0m)和(1000m, 1000m)两点之间的线段上，用户节点的发射功率P=1W, 噪声功率σ²=1.5×10^－7W，系统带宽W=1MHz，传播系数ε=1.5，载波频率f=20kHz，单位速率的增益a=0.01，中继节点初始单位功率成本m_i=50，数据时隙持续时长为0.2s，各个节点的初始能量都为40J。

从图 3和图 4中可以看出，该单次博弈过程在20次左右基本达到收敛。这说明中继节点和用户节点之间经较少的信息交换就可以达到Stackelberg均衡，算法的成本较低，从图 3和图 4中可看出中继节点的单位功率价格越高，用户节点从该节点处购买的功率越少，验证了价格和功率在博弈中的关系，说明了算法的有效性。

图 5为随着协作转发次数的增加，本文算法和未考虑剩余能量算法最优分配功率的变化曲线；图 6为随着协作转发次数的增加，本文算法和未考虑剩余能量算法中的算法节点剩余能量的变化曲线。假设当协作通信网络中任意一个中继节点的剩余能量小于1J时，中继节点不再具备转发能力，即该中继节点死亡，水下传感器协作通信网络停止运行。在未考虑剩余能量算法中，由于各个中继节点的信道条件和噪声是一定的，所以经过博弈后，中继节点一直以相同功率进行转发信号，节点的剩余能量也呈线性衰减。该算法无法平衡各个中继节点间的能量消耗，使得分配较多功率的中继节点1过早死亡。

综合图 4和图 6可知，在博弈的初始阶段，虽然中继节点的初始的剩余能量相同，但是由于中继节点1的信道条件比中继节点2的信道条件较好，中继节点1的单位功率价格也就低于中继节点2的单位功率价格。所以在初始阶段，用户节点购买中继节点1的功率大于购买中继节点2的功率。随着协作转发次数的增加，中继节点1的能量消耗比中继节点2的能量消耗较快，中继节点1的转发能力也比中继节点2的转发能力下降得快，中继节点1的单位功率价格增加幅度高于中继节点2。在一定次数后，即使中继节点1的信道条件好于中继节点2的信道条件，但是由于中继节点1的剩余能量较少、单位功率价格较高，所以用户节点购买中继节点1的功率数量也比购买中继节点2的功率数量减少得更明显，所以在迭代的后面中继节点1的剩余能量衰减速率趋缓，直到中继节点1的剩余能量少于1J时，中继节点1不再具备转发能力，水下传感器协作通信网络停止运行。与没有考虑节点剩余能量的算法相比较，传统算法的协作转发次数为187次，协作通信网络停止工作，而本文提出算法的协作转发次数为212次。说明加入中继节点剩余能量的水下传感器协作通信网络相比未考虑节点剩余能量的算法的协作转发次数明显增加，平衡了节点之间的能量消耗，即网络的生存时间变长，在水下能量消耗严重和水下通信节点更换电池比较困难的环境中有明显的优势。

表 1是在节点的初始能量都是40J的条件下，水下传感器协作通信网络系统中继节点数量N=2，3，4时，本文算法与未考虑节点剩余能量的算法在总的信道容量和协作转发次数的比较。可以看出本文所提出的基于节点剩余能量的功率分配算法相比未考虑节点剩余能量的算法在信道容量上有明显提高，而且在协作转发次数上也有显著的提升。表明了本文所提出的基于节点剩余能量的功率分配算法的有效性，提升了网络的效能和网络的生存时间，同时说明该方法不仅适用于中继节点较少的网络，而且在中继节点较多的协作通信网络中也表现出较强的性能优势。

4 结语

本文将水下传感器协作通信网络构建为双层Stackelberg博弈的模型，并提出一种平衡节点能耗的分布式功率分配博弈算法。首先，将用户节点和中继节点分别构建为博弈的领导者和跟随者，并且对功率的数量和价格进行竞价，实现用户节点和中继节点协作通信。其次，构建考虑中继节点剩余能量的效用函数，使得剩余能量多的节点提供较多的功率，剩余能量少的节点提供较少的功率，以此达到平衡节点间的能量消耗的目的，避免部分中继节点过早死亡，从而延长网络的生存时间，提高网络的传输性能。通过仿真对比分析，表明了本文算法提高了水下传感器协作通信网络的生存时间和系统总的信道容量，有利于网络在水下环境中长时间部署，但是在所有中继节点全部进行转发信号时，会造成算法复杂度较高，所以下一步将研究在水下传感器协作通信网络中限制中继接入数量，以降低算法复杂度。